挑战小学数学难题---大家参与啊

hubaichun

应该是单循环
早就忘记排列组合和数列了，还给书本了
感觉这个题是中学生竞赛难度的

N个人单循环的次数是不是每个人N-1次，总次数为N(N-1)/2?
----我现推的，用N=4验算的
总分数应该是N(N-1)
如果分数都不一样，2n里的第二名分最低应该是0,1,2,3..2n-2
最高应该接近(2n(2n-1)/2-(2n-3)(n-1))/2

看起来还不好算
回家睡觉去了

qqyou

原帖由 颀颀妈妈 于 2009-5-11 20:30 发表
请教一道 华赛培训题.
2n名棋手参加象棋比赛, 胜者得2分, 负者得0分, 平局各得1分.赛后各棋手得分互不相同. 且第二名得分恰好等于后n名得分总和. 求n的最大值, 并给出n取最大值时各位选手的一种得分表.

儿子去睡觉了，我来说说这道题的思路吧。如果让我儿子做这道题，他应该这么做（小学一年级，我还没有给他做呀，也不准备拿这道难题给他做）

前提：要是单循环比赛，如果不是，这道题我没法解，因为变数太大，所求的值是无穷大

原则：前面几名分数要尽可能的最多，而后面几名要分手尽可能的最少，这样才能充分保证第二名的成绩等于最后n名的总和。

2n名选手，单循环比赛，最好的成绩的第一名是每轮都获得胜利，第二名则是只输一场,也就是比第一名少两分，第三名最多的分数是只输两场，比第二名少两分……

由于每轮有输就有赢，因此总分是固定的，每轮的分数总和都是2n分，所以第二名每少两分，最后的名次里就会增加两分

最后n名选手，最少的成绩和，因为得分各不相等，那最少是0+2+4+……+2×(n-1)

单循环赛，比赛为2n-1轮

下面列表（列复杂些，是因为我儿子仅仅会简单乘法，高年级的孩子则可以简化）

n=                                      1    2    3    4    5     6   
2n=                                    2    4    6    8    10   12  
第一名得分（最高）           2    6   10  14   18   22  
第二名得分（最高）           0    4    8   12   16   20   
最后n名得分和（最少）      0   2    6    12   20   30   

从上面表里可以看出，当n=5的时候，第二名最多是16分，而最后n名总和最少也是20，已没有相等的可能，因此n最大可能就是4

可能的一种排分表是
14 12 10 8 6 4 2 0

列表这是无奈，方程式解最容易

[ 本帖最后由 qqyou 于 2009-5-11 23:43 编辑 ]

颀颀妈妈

最后n名选手，最少的成绩和，因为得分各不相等，那最少是0+2+4+……+2×(n-1)

麻烦你解释一下. 为什么后面n名选手的的成绩和为什么不是: 0+2+3+4...

qqyou

原帖由 颀颀妈妈 于 2009-5-12 07:25 发表


麻烦你解释一下. 为什么后面n名选手的的成绩和为什么不是: 0+2+3+4...

实际上这个要证明起来，小孩子肯定不懂，只能拿数列给他们看规律

把2n个人分为两组 前n名，后n名

首先说要先找最后n个最小的可能，让最后n个最小的数列是0，1，2，3……

因为每轮比赛下来总分是一样的2n ,而总轮数是2n-1，因而把最后得分数列，用组合的方法分组的话，每两个头尾相加都必须是2*(2n-1)，所以按最小的排列结果对应的前n名分数是 2*(2n-1),2*(2n-1)-1,2*(2n-1)-2,……

但这种结果是不可能的做到的

这么解释，估计没有一个小学生能明白，实际上可以用归纳法证明出，最小的后n个，只能是 0，2，4，6，……

现在我省略证明过程，指哪一个具体例子来说明你上面那个问题

假设是n=4,最后4名的得分是0，2，3，4
那第一名最大的分是14，第二名是12，第三名必须是11，第四名必须是10分，否则无法保证总分数是4×14
但第三名是11有没有可能呢，没有！11分意味着他至多输一场然后平一场，但实际上由于单循环，他至少要输给第一名、第二名各一场，所以不可能得到11分。在题目规则下，第三名最好的得分只能是10分，类推第四名最好的结果是8分

不过从回答你这个问题，我看到了我上面那个答案中分析的错误了，实际上第二名最高的分数只能是2×（2n-1）-2没错，但第一名我没必要去求最大，我下面重新回答一次，来解决这个错误。

qqyou

我前面的回答，考虑不周了，实际上最后n名最少的得分是 1，2，3，……，n
只要第一名不要求是全胜，那前n名的结果完全可以是是2×（2n-1）-1，2×（2n-1）-2，2×（2n-1）-3，……

前提：要是单循环比赛，如果不是，这道题我没法解，因为变数太大，所求的值是无穷大

原则：第二名分数要尽可能的最多，而后面几名要分手尽可能的最少，这样才能充分保证第二名的成绩等于最后n名的总和。

单循环赛，比赛为2n-1轮

下面列表（列复杂些，是因为我儿子仅仅会简单乘法，高年级的孩子则可以简化）

n=                                      1    2    3    4    5     6    7
2n=                                    2    4    6    8    10   12  14
第二名得分（最高）           0    4    8   12   16   20   24
最后n名得分和（最少）      0   3    6    10   15   21   28

从上面表里可以看出，当n=6的时候，第二名最多是20分，而最后n名总和最少也是21，已没有相等的可能，因此n最大可能就是5

可能的一种排分表是
17 16 15 14 12  6 4 3 2 1

颀颀妈妈

如果N=5，则依其得分排列：17 16 15 14 12 6 4 3 2 1
假如前三名得分正确,即17 16 15, 那么第一名有8胜1平,他只能与第三名平局,第二名有8胜,他只能负于第一名,第三名有7胜1平1负,他只能负第二名,平第一名, 接下來第四名最多只能胜6场,得12分.就不能满足了.

qqyou

原帖由 颀颀妈妈 于 2009-5-12 12:18 发表
如果N=5，则依其得分排列：17 16 15 14 12 6 4 3 2 1
假如前三名得分正确,即17 16 15, 那么第一名有8胜1平,他只能与第三名平局,第二名有8胜,他只能负于第一名,第三名有7胜1平1负,他只能负第二名,平第一名, 接 ...

嗯，谢谢，确实需要不断研究，我真的佩服你颀颀妈妈，难得一个女孩子把数学问题研究的这么透彻

看来我还需要再认真研究这个问题

有可能5不能成立，那前面那个4才是最可能的结果

17，16是可能的，但15大约就做不到了

看来我前面的想法是对的，我先论证最后8名可能的分数，在全不重复的情况下，最小是多少吧。

qqyou

谢谢颀颀妈妈的不断提问，使得我真正可以思考这个题目

现在我可以给出这道题目的最正确的答案了。我第一个答案结果正确，但论证的思路不对，因为那仅仅是考虑了一个特例

我第二个答案实际是错误的，因为那不可能出现

现在这个我认为是最终的正确答案了。

不过完整的结果，不能给我儿子用了，因为必须完整了解乘法和变量才会比较容易

首先证明第二名最多的分数只能是2×(2n-1)-2

2n个人，单循环比赛是2n-1轮，第一名最多的分数是2×（2n-1)分，即全胜，这种情况下，第二名肯定要输给第一名，所以最高分是2×(2n-1)-2。如果第一名是2×(2n-1)-1分，按照每位选手得分各不相同的条件，第二名最高也是2×(2n-1)-2

下面说最后n名得分总和最少的理解，要让最后n名得分总和最少，那就是说，他们在与前n名选手的对抗中，没有赢过，只有最后n名选手之间的比赛胜负，这就相当于最后n名选手之间进行了一场单循环赛，这种比赛每轮总分n分，共n-1轮，最终总分和是n×（n-1）。不管各个名词得分是否重复，这个总分不会变，除非有人弃权退出比赛。

如果最后n名选手和总分列前面n名选手之间不是全输，则后n名得分总和只会增加，不会减少。

因此，最后n名选手得分总和，最少就是n×（n-1）

下面列表：
n=                                      1    2    3    4    5     6   
2n=                                    2    4    6    8    10   12  
第一名得分（最高）           2    6   10  14   18   22  
第二名得分（最高）           0    4    8   12   16   20   
最后n名得分和（最少）      0   2    6    12   20   30

从上面表里可以看出，当n=5的时候，第二名最多是16分，而最后n名总和最少也是20，已没有相等的可能，因此n最大可能就是4

可能的一种排分表是
14 12 10 8 6 4 2 0

再给一种可能的排分表，来说明我第一次证明不过是仅仅考虑了特例的情况，故第一种证明，也是错误的方法，尽管最后的结果对了。

13 12 11 8 5 4 2 1

谢谢颀颀妈妈，是你让我认真思考了这个问题，谢谢啦。

颀颀妈妈

这道题是孩子上周日带回家的华赛培训班的作业卷. 一共六题, 这是第四道.
前三题, 他能动手做,可以给出解. 但只做对了一题.
他做错的两题, 我还能看到他错在那儿. 是那儿没有想到.
但这一题, 他已经想了二天了. 试卷上划得乱七八糟. 做不出来. 我也做不出来.想得头疼.
体会到家长不能辅导孩子奥数,又不得不帮孩子解题的苦恼了.
以前觉得小学奥数小儿科.实在是错了.
我还得弄他剩下的另两道不会做的题.
做不出来, 还是要来请教大家.

qqyou

原帖由 qdylz 于 2009-4-9 14:30 发表
http://www.neycs.cn/show/newshtml/class/cla85/as/olpk4/image012_0074.gif

……

因此有B、D、E、F四种情况成立，白+衣的值分别是15、13、12、9，
（15+13+12+9）÷4＝49÷4＝12.25。 ...

这类题总有一个很含糊的地方，我举一个例子


            9 7 8
            9 4 8
+          0 8 0
------------------
         2 0 0 6

这种可能等式是成立的，但他们会忽略这种情况，理由是数字的第一位数字不能是0,在我们的理念里，零就是没有，所以不用写

但这个等式在数学上确实是成立的，而且我们不习惯写不意味着这个算式不成立，实际上我们在计算机领域里的二进制，16进制运算中，大量的会看到前面带0的数字，你怎么可以算他不对呢。

结合前面分析的答案，我觉得这道题的正确答案是（15+13+12+9+11）÷5=60÷5=12

结果是一个整数，比较符合小学生们的情况。

所以我觉得这类题还是从国外抄袭来的，抄袭者自己设计正确答案的时候出现了错误，因此出现了一个大勺子。