[格林·杜曼(美)] 如何教宝宝数学

木糖醇

铺地锦

　　前面已经介绍了，米兰芬是《镜花缘》里的一个“才女”，精通数学，在书中有不少她解数学题的故事。

　　有一位才女要考考米兰芬：“有一套金杯，大小一共9只，共用126两黄金打造，这些杯子从小到大每只都比前一只重同样多，且第二只是第一只重量的2倍”，她问米兰芬，“你能算出杯重吗？”

　　米兰芬说：“这要用‘差分之法’。”并算出这9只杯子重量依次为2两8钱、5两6钱、8两4钱、11两2钱、14两、16两8钱、19两6钱，22两4钱和25两2钱

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这里“差分之法”实际上就是现在的等差数列的计算方法。由于从第二个杯子起，各个杯子的重量分别是最小杯的2、3、4、5、6、7、8、9倍，所以，这些杯子的重量是最小杯子的

　　1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝9×（9＋1）÷2＝45（倍）。

　　于是，最小的杯子重量为126÷45＝2.8（两），以后再算出各个杯子的重量。

　　又有一位才女指着一张圆桌，问米兰芬：“你能算出它的周长吗？”

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米兰芬说可以，她叫人拿尺量得圆桌直径为3尺2寸，然后画了一个“铺地锦”：

　

　　于是得出：圆周长为一丈零零四分八。并说周三径一是古率，不太准，较准确的数字是径一周三一四一五九二六五，（正是祖冲之计算的结果）并声明只用“大数”（较接近的近似值）三一四计算得出的圆周长。这就是说，米兰芬用3.2×3.14＝10.048。

　　什么是铺地锦呢？

　　铺地锦原来是古代阿拉伯人计算乘法时用的一种方法，后来传入我国，这种算法被起了一个很好听的名字：铺地锦。你看前面米兰芬画的那个乘法图式，象不象用瓷砖铺起的地面。我们如何用铺地锦来计算乘法呢？

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　比如要计算342×27，被乘数与乘数分别有3个与2个有效数字。就可以画一个三列二行（竖的叫列，横的叫行）的方格，并画出一系列的对角线。在方格上方写上被乘数342，每个方格上写一个数字，右方从上列下写出乘数27，然后就开始相乘：先用2分别乘以3、4、2，得到6、8、4，把这三个数字分别填在与被乘数、乘数的对应数字对齐的方格中，均填在下半格。再用7分别乘3、4、2，得出21、28、14，把这三个数依次填在相应的格子中。各个积的个位数字填在右下的半格中，十位数字填在左上的半格中，填完后，按斜线，把每两条斜线间夹的数字分别相加，和写在格子外的相应位置。如和超过10，则格子外只记和的个位数字，而和的十位数字则在上一斜线间补记上。（如图中加圈的两个数字）在上一斜线间数字求和时，这些补记的数字也要加进去。全部加完后，从左上到右下沿格子外读数，即是所求积，即342×27＝9234。

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“世界末日”的传说
　　有这样一段关于“世界末日”的传说。

　　在印度北部的一个佛教的圣庙里，桌上的黄铜板上，放着三根宝石针，每根长约0.5米。据说印度教的主神梵天在创造世界时，在其中的一根针上，自上而下由大到小放了六十四片金片。每天二十四小时内，都有僧侣值班，按照以下的规律，不停地把这些金片在三根宝石针上移来移去：每次只准移动一片，且不论在那根针上，较小的金片只能放在较大的金片上。当所有六十四片金片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另一根针上时，世界的末日就要到临。

　　这虽是一个传说，但却引起人们的重视，大家都想知道僧侣移动完毕这六十四片金片需要多少时间。也就是说，人类在这个世界上还可以生存多少时间。让我们来算算看。

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　设原来放置金片的宝石针为甲，其它两根针为乙、丙。

　　1．设金片只有一片。显然，只要移动1次即可。

　　2．设金片只有二片。可先将较小金片移至乙针上，较大金片移至丙针上，再将较小金片从乙针移至丙针上，共移动3次。

　　3．设金片有三片。可先将上面两片金片移到乙上。按2可知，共需移动3次。再把第三片移至丙，又移一次。下面把乙上两片移至丙同2，还需三次。以上共需

　　2·3+1=7（次）。

　　4．设金片有四片。先把上面三片移至乙，按3需7次。再把第四片从甲移到丙上，又移一次。最后，把较小的三片从乙移至丙，又需移7次。以上共需移动

　　2·7+1=15（次）。

　　依此递推下去。设有k片金片，先将k-1片移至乙，需移动Sk-1次。然后再把第k片移至丙，又移一次。最后把k-1片从丙移至乙，又需Sk-1次。以上共需移动

　　（2·Sk-1+1）次。

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　　这样，我们可以得到如下的递推式：

　　Sk=2·Sk-1+1。

　　根据这个递推公式，分别令k=1，2，3，……，64，得

　　S1=1＝21-1；

　　S2=2S1+1=2（21-1）+1=22-1；

　　S3＝2S2+1=2（22-1）+1=23-1；

　　S4=2S3+1=2（23-1）+1=24-1；

　　………………

　　S64=264-1=18446744073709551615。

　　如果僧侣移动金片一次需要1秒钟，移动这么多次共需约5845亿年。把这个寓言和现代科学推测对比一下倒是有意思的。按照现代的宇宙进化论，恒星、太阳、行星（包括地球）是在三十亿年前由不定形物质形成的。我们还知道，给恒星特别是给太阳提供能量的“原子燃料”还能维持100～150亿年。因此，我们太阳系的整个寿命无疑要短于二百亿年。可见远不等僧侣们完成任务，地球早已毁灭了。

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　梦境里的数学家

　　莱蒙托夫是俄罗斯伟大的诗人。他爱好美术，曾画过一幅肖像，画的是他在梦里见到的一位数学家。

　　诗人不仅爱好画画，还喜欢数学。他身边经常带着数学书，有空就拿出来看，还喜欢和朋友们玩数学游戏。一天晚上，他又被一道有趣的数学题吸引住了，可想了许久还得不到答案，感到有点疲倦了。这时，房门突然被推开，走进一位学者打扮的人来。

　　“你好啊，莱蒙托夫！”

　　诗人揉了揉眼睛。多面熟啊，好像在哪儿见过。

　　“在干啥？又写诗吗？”那人拖过一张椅子，在桌旁坐了下来。

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“做一道数学题。”莱蒙托夫回答。

　　“唷，和我是同行啰！”那人幽默地笑了笑，就跟莱蒙托夫一道研究起题目来。他一面画图，一面解释。

　　“这不解决了么！”那人放下了笔，两人相对大笑。

　　莱蒙托夫笑得真痛快。这一阵笑使他醒了过来，原来做了个梦。他深沉地回味着刚才的梦境，回想着那位面熟的数学家。他急忙地取出了画纸，把这位梦中的数学家画了下来。这幅肖像至今还收藏在俄罗斯科学院的普希金馆里。

　　这位梦里的数学家到底是谁呢？人们说，从形象看，很象对数的创始人约翰·纳泊尔。

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　约翰·纳泊尔（John Napier，1550～1617）早于莱蒙托夫二百年左右，他是苏格兰数学家。在他生活的年代，天文学的研究要碰到大量的繁琐的运算，花费了天文学家大量的精力和时间。因而，简化大数的乘、除、乘方和开方的运算，就成为当时迫切需要解决的问题。这就是约翰·纳泊尔发明对数的动机。

　　乘方、开方比乘法、除法麻烦，乘法、除法又比加法、减法麻烦。对数的发明，使乘方、开方三级运算可以转化为乘、除二级运算，乘、除二级运算转化为加、减一级运算，从而使较繁的计算转化为较简单的计算。法国著名数学家拉普拉斯说过：“对数算法使得原来需要好几个月劳力才能完成的计算，缩短为很少的几天，它不仅可以避免冗长的计算与可能产生的误差，而且实际上使得天文学家的生命延长了好多倍。”

　　莱蒙托夫和纳泊尔不是同时代的人，他们不可能见过面。但是，由于对数产生的时代影响很深，加之莱蒙托夫完全有可能看过纳泊尔的著作，而且有可能在这些书中看到过纳泊尔的肖像。所以在研究数学题入了迷的时候，纳泊尔就闯进了莱蒙托夫的梦境里来了。