[格林·杜曼(美)] 如何教宝宝数学

木糖醇

　多完全数

　　有的自然数，具有一种奇异的性质：把它所有的除数（本身不包括在内）加起来，正好等于这个自然数自己。例如，6的除数有1、2、3（6不包括在内），且有

　　6=1+2+3。

　　又如，28的所有的除数为1、2、4、7、14（28不包括在内），且有

　　28=1+2+4+7+14。

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象这样的数，我们就称之为“完全数”（“完数”）。“完数”这个名称具有神秘的色彩，意思是“完美的数”。如古代意大利人就把6看做属于爱神维纳斯的数，它象征着美满的婚姻。

　　完数在自然数中很少。据统计，在一到四千万这么多的自然数里，只有七个完数，它们是6，28，496，8128，120816，2096128，33550336。

　　如果一个正整数全部因子（包括它本身）之和等于这个数的某个整数倍，我们就称这个数为多完全数。如120全部因子为

　　1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。

　　这些因子之和为360，360正好是120的三倍。所以，120是一个多完全数，而倍数3称为这个完全数的指标。

　　早在古希腊时期，数学家欧几里得曾得出一个表达部分完全数的公式：

　　N=2n-1（2n-1）。

　　多完全数规律性比完全数差，难以找到一定的公式，只有用计算机来寻找较大的多完全数。

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　过去，人们竭尽全力只找到大约700个多完全数，其中最大的具有“指标”8。最近美国科罗拉多州的数学家弗雷德·海仑尼乌斯编制了一套计算机程序，将多完全数的个数扩大到了1288个。其中包括14个天文数字的大数，它们的“指标”为9，而最大的数有588位。

　　据理论研究，对于每一个“指标”，只有有限多个多完全数。

　　“指标”为3的多完全数只有6个；

　　“指标”为4的多完全数只有36个；

　　“指标”为5的多完全数只有65个。

　　然而“指标”为8的多完全数，已经知道的就有400多个，它们几乎都是海仑尼乌斯发现的。

　　人们在探索中发现，随着多完全数数字的变大，它的分布密度越来越稀疏。它们是否会在正整数中消失呢？这是一个悬而未决的问题。

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　冰雹猜想

　　1985年，德国汉堡大学的库拉兹发表了一篇文章，谈到他早在1928～1933年期间发现的一个问题：对于任意一个大于2的自然数，反复进行以下运算：

　　若n为奇数，则将它乘以3再加1；

　　若n为偶数，则除以2。如此计算下去，最后总可以得到1。库拉兹把它称为（3n+1）问题。

　　日本数学家角谷静夫也曾提出上述的问题。所以，在日本，人们把它称为角谷猜想。

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　现在我们以18为例算算看：

　　18÷2=99×3+1=28

　　28÷2=1414÷2=7

　　7×3+1=2222÷2=11

　　11×3+1=3434÷2=17

　　17×3+1=5252÷2=26

　　26÷2=1313×3+1=40

　　40÷2=2020÷2=10

　　10÷2=55×3+1=16

　　16÷2=88÷2=4

　　4÷2=22÷2=1

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　再以50为例：

　　50257839118

　　5917889268

　　13467202101

　　3041527638

　　19582988

　　44221134

　　17522613

　　以下同上例的第11步。

　　我们注意到：以上两例的运算过程中，算出来的数忽大忽小，犹如悬浮在空中的水珠，在高空气流的作用下，忽高忽低，遇冷成冰，体积越来越大，最后变成冰雹落了下来，变成了“1”！根据这种生动的类比，数学家们又把上述猜想形象地称为“冰雹猜想”。

　　日本数学家米田信夫曾对7000亿以内的数进行过验算，结果都是正确的。但迄今为止，人们还未能得到这个猜想的严格证明。但我们相信，和其它的数学猜想一样，经过有志者不懈的努力，“冰雹猜想”终将为人们解决。

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　批注之谜

　　 我们知道，x+y=z是一个三元一次不定方程，它的正整数解有无穷多个。x2+y2=z2是一个三元二次不定方程，它的正整数解也有无穷多个。在初中平面几何中学过勾股定理，根据这个定理，直角三角形三条边的长就满足这个方程。人们必然要问：x3+y3=z3、x4+y4=z4有没有正整数解呢？一般地说来，xn+yn=zn（n是大于2的整数）有没有正整数解呢？最早提出这个问题的是法国数学家费尔马（Fermat，1601～1665）。

　　公元1637年，费尔马经过反复研究，提出了如下的结论：对于方程xn+yn=zn，其中n是大于2的整数，不存在正整数解。这个结论被人们称为“费尔马大定理”。之所以称为“定理”，是因为当时费尔马声称，他已能证明这个结论。他在一本书的空白之处以批注的形式写道：“我已经找到了这个令人惊异的证明，但是书页太窄了，无法把它写出来。”可是，人们此后找遍费尔马的著作，并未能找到批注中所讲的“证明”。

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为了解开这个批注之谜，数学家和业余数学爱好者纷纷开展了对这一问题的研究。可是，问题研究了一百多年都没有能够解决。公元1850年、1853年，法兰西科学院两度以二千法郎的奖金悬赏征解，但都失望了。1908年，德国哥廷根科学院又以十万马克巨金悬赏，征求费尔马大定理的“谜底”。

　　科学发现的荣誉，高额的悬赏，引得大批业余数学爱好者对这一问题进行研究，不少人还声称得到了“证明”，但经过权威数学家的“审查”，这些“证明”均一一被否定。哥廷根科学院不堪审稿的烦扰，一方面把奖金降为七万五千马克，另一方面又以仅接受公开发表的文章为由，打发了一大批“证明”者。但这样做的结果又产生了副作用：社会上又出现了成千种公开发行的所谓“费尔马大定理证明”的小册子，以及上万篇同样性质的文章。当然，这只是“费尔马大定理”证明历史长河中的一股支流，应该充分肯定的还是长期来一些优秀数学家所作出的努力和获得的成果：

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　　欧拉（Euler）证明了n=3，4的情况；

　　1823年，法国数学家勒让得证明了n=5的情形；

　　1840年，法国数学家拉梅和勒贝格证明了n=7的情形；

　　1849年，德国数学家库默尔证明了n=3～100（37、59、67除外）的情形，但其中有错误；

　　1976年，美国数学家证明了2＜n＜1000000的情形。

　　当然，以上这些数还包括它们的倍数在内。1983年，前联邦德国乌珀塔尔大学29岁的讲师法尔廷斯（Falitings）证明了数学中的“莫德尔猜想”。这个猜想的一个直接推论是，对任何固定的正整数n（n＞3），xn+yn=zn至多只有有限多组互素的正整数解。

　　接着，希思—布郎又证明了，对“几乎所有”的n，费尔马大定理都是成立的

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　　1988年3月10日，美国《波士顿环报》报导，日本数学家宫冈在前联邦德国一数学研究所证明了费尔马大定理。可是时隔仅一个月，美国《科学新闻》及其它一些报刊报导，著名数学家们在检验了宫冈的手稿后说，证明在细节上是有问题的。

　　1993年6月23日，一个令人震惊的消息在全球传开了——350年来悬而未决的费尔马大定理终于被40岁的英国数学家安德鲁·怀尔斯所解决。

　　怀尔斯现在美国普林斯顿大学工作，他是一位具有世界水平的数论专家。1993年6月21日～23日，他在故乡英国的剑桥大学艾萨克·牛顿数学研究所一连三天以“模形式的椭圆曲线和伽罗瓦表示”为题进行演讲。开始，谁也看不出他有讨论费尔马大定理的意图。最后那天，在演讲的结尾部分，怀尔斯总结说，他证明了由日本学者谷山丰提出的一个猜想。在场的专家们立刻意识到，这意味着：怀尔斯已经证明了费尔马大定理。

　　人们纷纷举起相机，抢拍下这一历史的镜头。接着是一片经久不息的掌声。成千上万的祝贺电话、邮件象雪片似地飞来，世界各大报纸竞相报导这一消息。