[格林·杜曼(美)] 如何教宝宝数学

木糖醇

　（2）由于 AD1=AD，AD2=AD，故△AD1D2是等腰三角形。又由于∠1=∠2，∠3=∠4，故△AD1D2的顶角∠D1AD2=2∠BAC为定值，因此，只有当其腰AD1最短时，D1D2最短。此时必有AD最短。从而当 AD为△ABC的高时，内接三角形DEF的周长最短。

　　（3）当AD为△ABC的高时，由前面三角形垂足三角形性质，可证△ABC的内接三角形中，以其垂足三角形DEF的周长最短。

　　在平面几何中，还有一个以费尔马为名的“费尔马点”。即：在△ABC所在平面上找一点，它到三个顶点的距离之和相等。

　　只考虑△ABC的三个内角都小于120°的情况。

　　以 AB、BC、CA为边向形外作正三角形BCD、ACE、ABK，作此三个三角形的外接圆。设⊙ABK、⊙ACE除A外的交点为F，由 A、K、B、F四点共圆知∠AFB＝120°。同理∠AFC＝120°于是∠BFC=120°。故⊙BCD边过点F，即⊙ABK，⊙BCD，⊙CAE共点F。

　　由∠AFB=120°，∠BFD=60°，知 A、F、D在一条直线上。

　　在FD上取点G，使FG=FB，则△FBG为正三角形。由BG＝ BF， BD＝BC，∠DBG＝∠CBF＝60°-∠GBC，故△DBG≌△CBF。于是GD＝FC，即AD=FA+FB+FC。

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对于平面上任一点P，以BP为一边作等边△PBH（如图4），连HD，同样可证△BHD≌△BPC。于是AP+PH+HD=PA+PB+PC。但PA+PH+HD≥AD=FA+ FB+FC。这就是说，点F为所求点。这点称为△ABC的费尔马点。

　　如果△ABC有某一内角≥120°，例如∠A≥120°，则点A即为所求点。

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拿破仑三角形
　　对于法国人来说，拿破仑·波拉巴这个妇孺皆知的名字是他们的骄傲。拿破仑出身于科西嘉岛。1793年，24岁的拿破仑在土仑战役中崭露头角，打了一个大胜仗。

　　“谁在土仑打胜仗啦？”法国人都在问。

　　“炮兵上尉拿破仑·波拉巴。”知道情况的法国人骄傲地回答。

　　“我们从来没听过这个名字。拿破仑长得什么样子呀？长得一定挺帅的吧。”太太小姐们问。

　　“不，拿破仑是个矮子。”

　　一夜之间，拿破仑就成了家喻户晓的英雄。拿破仑是个天才的军事家，在接下去的几次战役中，拿破仑所向披靡，风头出尽。当他指挥着法国部队翻过阿尔卑斯山时，他已赫赫有名，并登上法兰西第一帝国皇帝的宝座。他几次打垮了欧洲的封建君主们的反法联盟，并把大半个欧洲置于他的帝辇之下。1812年，法国军队踏进了莫斯科。然而铺天盖地的暴风雪，把踌躇满志的拿破仑的美梦压碎了。面对坚壁清野的俄国人，法国兵陷入了饥寒交迫的绝境。而当法国兵退出空城莫斯科时又遭到俄国名将库图佐夫的毁灭性打击。不久，失败的拿破仑被流放到厄尔巴岛。据说他此时写了一段回文：“ABLE WAS I ERE I SAW ELBA。”（可译为：在我看见厄尔巴之前，我可是非常能干的。——我想，这或许是好事者为之，并非出自拿破仑的手笔。）不久，他又复辟，但又在滑铁卢打败了（这次又是电闪雷鸣、暴雨如泣的恶劣天气帮了他的对手的忙。）拿破仑又被流放到圣·赫勒钭岛，1821年死于慢性砷中毒。

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　由于拿破仑是炮兵军官出身，所以他的几何与三角都学得相当好，在绚丽的数学大花园中，就开着一朵以他的名字命名的小花。

　　以任何三角形ABC的三边为边向三角形外侧（或内侧）作正三角形ABC′、BCA′、CAB′，这三个正三角形的中心分别为P、Q、R，则△PQR是正三角形。当所作三个正三角形在△ABC外侧时， △PQR称外拿破仑三角形；而当它们位于△ABC内侧时，则称内拿破仑三角形。

　

　　这个题并不难证，首先△ABC′、△BCA′、△CAB的外接圆交于一点X。（请看前一篇《费尔马点》）

　　连AP、AR、XP、XR，易知△APR≌△XPR，故∠APR=∠XPR，连BQ、BP、XQ，同理可证∠BPQ=∠XPQ，于是∠QPR=1/2∠APB，由∠APB=120°知∠QPR=60°。同理∠PQR=∠QRP=60°，即△PQR为正三角形。

　

　　类似可证三角形的内拿破仑三角形是正三角形（图2）。

　　拿破仑三角形还可有更简单的证明：实际上，在图1中，连AX、BX、CX，则由于PQ⊥BX，（两圆连心线垂直于公共弦）PR⊥AX，于是立即可得到∠QPR=60°，于是命题可证得。

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　拿破仑三角形还可作如下推广：

　　以△ABC的三边为边分别向三角形外侧作三个相似的三角形ABC′、CA′B、B′CA，（相似三角形的顶点对应排列）这三个三角形的外心为 P、Q、R，则△PQR也与这三个三角形相似。



　　外拿破仑三角形即为此题之特例，这只要让三个相似三角形是正三角形即可。

　　这题的证法与前面类似。

　　利用高中三角知识还可证明：

　　三角形的面积等于它的外、内拿破仑三角形面积之差。

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　拿破仑的四等分圆

　　问题拿破仑虽然是位军事家，但他与当时的许多法国知名数学家，如拉格朗日，拉普拉斯等交往都颇密切，一次拿破仑问拉普拉斯：“我读了您不少的大作，我对您在您的书中竟然一次都不提上帝很不理解，您能解释一下吗？”拉普拉斯不客气地回答：“陛下，我不需要那个假设。”对拉普拉斯的傲慢态度，拿破仑却并未发火，仍给了他很多的荣誉与职位，从这一点看，拿破仑倒颇有一点“尊重知识，尊重人材”的大将风度。

　　拿破仑尽管忙于打仗，但仍经常与数学家们讨论数学，有一次，拿破仑就提出这样一个问题：

　　“给出一个圆，只准用圆规，把圆周四等分”。

木糖醇

　大家知道，几何作图题是规定只准使用圆规与无刻度的直尺来完成的，这两种工具的功能规定为：

　　（1）已知圆心及半径，用圆规作圆。

　　（2）已知两点，用直尺作过这两点的直线。

　　（3）已知两圆，或已知两直线，或已知一圆及一直线，找出它们的交点。

　　另外还限制只准有限次地使用这两种工具，逐步作出所需图形，如果不准使用直尺，只准使用圆规来完成作图，就是“圆规几何学”的内容，或称为“单用圆规的作图问题”。

　　如果补充规定用圆规“画直线”可以理解为：“若已知直线上两点，则可画出直线上任意多个点。”那么，可以证明：能用圆规与直尺完成的图，都可用圆规单独完成。

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　例1，作一线段等于已知线段的任意整数倍。

　　由于圆规很容易把一个（圆心已知的）已知圆6等分，利用这一点即可完成本作图。

　　如图，已知线段为AB，以B为圆心，BA＝a为半径作圆，以A为一个分点，把圆B六等分，与A相对的分点为C，则AC=2AB。

　

　　如此下去，就可以把已知线段延长任意整数值。

　　例2，把已知线段AB分成n等分（n≥2为整数）。

　　以n＝3为例，由上题可知，可以作出点C，使点C在AB延长线上且使AC＝3AB。以C为圆心CA为半径画圆，再以A为圆心，AB为半径画圆，两圆交点之一为D，以D为圆心，AB为半径画圆，交AB于M，

　　

　

　　证明：△ACD、△ADM均为等腰三角形，且有一个底角公用，于是△ACD∽△ADM，于是AC∶AD=AD∶AM但AC=3AD，于是可得AD=3AM即AM=AB。

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　下面来看看拿破仑的“单用圆规四等分圆”的问题如何解决？

　

　　作法：取已知圆O上任一点A，以A为一个分点把⊙O六等分，分点依次为A、B、C、D、E、F（如图）。分别以A、D为圆心，AC、BD为半径作圆交于G，以A为圆心，OG为半径作圆，交⊙O于M、N，则A、M、D、N即四等分⊙O的圆周。　

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