[格林·杜曼(美)] 如何教宝宝数学

木糖醇

七座桥的故事
　　沿着俄国和波兰的边界，有一条长长的布格河。这条河流经俄国的古城康尼斯堡——它就是今天俄罗斯西北边界城市加里宁格勒。

　　布格河横贯康尼斯堡城区，它有两条支流，一条称新河，另一条叫旧河，两河在城中心会合后，成为一条主流，叫做大河。在新旧两河与大河之间，夹着一块岛形地带，这里是城市的繁华地区。全城分为北、东、南、岛四个区，各区之间共有七座桥梁联系着。

　　人们长期生活在河畔、岛上，来往于七桥之间。有人提出这样一个问题：能不能一次走遍所有的七座桥，而每座桥只准经过一次？问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。最后，人们只好把这个问题向俄国科学院院士欧拉提出，请他帮助解决。

木糖醇

　公元1737年，欧拉接到了“七桥问题”，当时他三十岁。他心里想：先试试看吧。他从中间的岛区出发，经过一号桥到达北区，又从二号桥回到岛区，过四号桥进入东区，再经五号桥到达南区，然后过六号桥回到岛区。现在，只剩下三号和七号两座桥没有通过了。显然，从岛区要过三号桥，只有先过一号、二号或四号桥，但这三座桥都走过了。这种走法宣告失败。欧拉又换了一种走法：

　　岛东北岛南岛北

　　这种走法还是不行，因为五号桥还没有走过。

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　欧拉连试了好几种走法都不行，这问题可真不简单！他算了一下，走法很多，共有

　　7×6×5×4×3×2×1=5040（种）。

　　好家伙，这样一种方法，一种方法试下去，要试到哪一天，才能得出答案呢？他想：不能这样呆笨地试下去，得想别的方法。

　　聪明的欧拉终于想出一个巧妙的办法。他用A代表岛区、B、C、D分别代表北、东、西三区，并用曲线弧或直线段表示七座桥，这样一来，七座桥的问题，就转变为数学分支“图论”中的一个一笔画问题，即能不能一笔头不重复地画出上面的这个图形。

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欧拉集中精力研究了这个图形，发现中间每经过一点，总有画到那一点的一条线和从那一点画出来的一条线。这就是说，除起点和终点以外，经过中间各点的线必然是偶数。像上面这个图，因为是一个封闭的曲线，因此，经过所有点的线都必须是偶数才行。而这个图中，经过A点的线有五条，经过B、C、D三点的线都是三条，没有一个是偶数，从而说明，无论从那一点出发，最后总有一条线没有画到，也就是有一座桥没有走到。欧拉终于证明了，要想一次不重复地走完七座桥，那是不可能的。

　　天才的欧拉只用了一步证明，就概括了5040种不同的走法，从这里我们可以看到，数学的威力多么大呀！

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“飞矢不动”

　　养由基是我国古代最有名的射手。他射箭的技术非常高超，如果任意在一棵杨树上指定一片树叶，养由基站在百步之外，弯弓搭箭，嗖的一声，这片树叶就被他射穿了。这就是“百步穿杨”的功夫。

　　有一天，养由基正在表演他的“百步穿杨”绝技，有一个叫芝诺的希腊人走了过来，笑嘻嘻地说：“我今天准保能让你的飞矢不动！”

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养由基听了大惑不解，说：“我射出的箭谁都阻挡不住，你怎么能让它飞着飞着突然就不动了呢？”

　　芝诺神秘兮兮地说：“我说你的箭是根本无法射出的。”

　　养由基更觉奇怪，“我的弓是最好的弓，箭也是最好的箭，我又是天下无双的射手，怎么可能射不出箭呢？”

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　芝诺说：“那你就听我慢慢说出其中缘故吧。现在假定你张满了弓，搭上了箭，箭头设为点O，你瞄准了百步之外的杨树叶点A。你的箭最后要射中点A，对吗？”

　　养由基说：“当然万无一失要射中的！”

　　“好，你听着，你的箭要射中A，必定要先经过线段OA的中点A1，对吗？”

　　“对！”

　　“箭要经过A1，又得先经过线段OA1的中点A2，对吗？”

　　“是呀！”

　　“要经过A2，又必须先经过线段OA2的中点A3，这也是对的吧？”

　　“一点也不错。”

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　“你想想，OA3还有中点A4，那你的箭又要先经过A4啰”,等养由基回答，芝诺又说了：“照此下去，要经过点An，都必须先经过OAn的中点An+1，这自然是千真万确的啰,于A1、A2、A3，……这些点一个比一个更靠近点O，而每个线段又总是有它的中点，那么，请问，你的箭最先应该经过哪一个点呢？”

　　养由基这一下抓头了。“是呀，我的箭最先应该经过哪个点呢？这倒真成问题了。我射箭这么多年了，我还真从来没有想过这个问题呢！”

木糖醇

　“是呀！”芝诺这一下可神气起来了，“你既然连你的箭首先通过哪个点都找不到，又怎么能让你的箭依次通过后面的那些点呢？”

　　养由基放下了弓，沉默不语了。

　　芝诺洋洋得意起来：“现在你该服了吧。所以我说，你的箭是根本射不出去的，这也就是说：‘飞矢不动’了。”

　　养由基是中国人，芝诺则是希腊有名的诡辩家，他们当然不会有这番对话，但这个故事却是古代希腊的几个有名的悖论之一。

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　与这个悖论相似，芝诺还设计了另外一些悖论，“阿其里斯追龟”则又是其中的一个：

　　据说阿其里斯是跑得非常快的一个人，芝诺却说，阿其里斯追不上乌龟。

　　假定乌龟在阿其里斯前面10米，而阿其里斯的速度是乌龟的10倍，那么，当阿其里斯跑完10米时，乌龟已经前进1米，而当阿其里斯再前进1米时，乌龟又前进了0.1米，仍在阿其里斯前面，阿其里斯再前进0.1米，乌龟又前进了0.01米，……，如此下去，乌龟永远在阿其里斯前面，所以尽管阿其里斯跑得飞快，也永远追不上乌龟！