一~六年级奥数辅导及训练 直接复制免下载

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[size=+0]我们在研究一些问题时，可以把某一确定范围内的事物的全体看作是一个集合。例如，所有自然数就可以看作是一个集合。在小学一般用画图的方式表示集合，这种图叫作韦恩图（韦恩是英国数学家）。运用集合的思想，利用韦恩图进行解题的方法叫做集合法。 [size=+0]例[size=+0]1[size=+0]五年级一班有[size=+0]48人。在午后自习时，做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人。语文、数学作业都做完的有多少人？（适于三年级程度） [size=+0]解：由题意可知，做完语文作业的[size=+0]37人中有一部分只做完语文作业，另一部分既做完语文作业又做完数学作业。做完数学作业的42人中也是有一部分只做完数学作业，另一部分既做完数学作业又做完语文作业。 [size=+0]所以，如果我们用[size=+0]A圆圈表示做完语文作业的人数，用B圆圈表示做完数学作业的人数，则两个圆圈相交的阴影部分就表示语文、数学作业都做完的人数（如图20-1）。 [size=+0] [size=+0]从图中可以看出，语文、数学作业都做完的人数等于[size=+0]A圆圈的人数加上B圆圈的人数减去全班的总人数。 [size=+0]37+42-48=31（人） [size=+0]答：语文、数学作业都做完的有[size=+0]31人。 [size=+0]例[size=+0]2[size=+0]有[size=+0]110名学生参加书法和绘画比赛，参加书法比赛的有72人，既参加书法比赛又参加绘画比赛的有24人。参加绘画比赛的有多少人？（适于三年级程度） [size=+0] [size=+0]解：可通过画如图[size=+0]20-2的韦恩图来分析题意。A圆圈表示参加书法比赛的人数，B圆圈表示参加绘画比赛的人数，两圆圈相交的阴影部分表示既参加书法比赛又参加绘画比赛的人数。由图可知，参加绘画比赛的人数应等于总人数减去只参加书法比赛的人数。而只参加书法比赛的人数等于A圆圈的人数减去相交阴影部分的人数。 [size=+0]只参加书法比赛的人数： [size=+0]72-24=48（人） [size=+0]参加绘画比赛的人数： [size=+0]110-48=62（人） [size=+0]答略。

[size=+0] [size=+0]（适于六年级程度） [size=+0]解：参加径赛的有： [size=+0] [size=+0]根据题意作图[size=+0]20-3 [size=+0] [size=+0]从图中可以看出，只参加田赛的人数是： [size=+0]276-230=46（人） [size=+0]两种活动都参加的人数是： [size=+0]184-46=138（人） [size=+0]答略。 [size=+0]*例4某班45名学生期末考试的成绩如下：语文90分以上的有14人，数学90分以上的有25人，语文和数学都不足90分的有17人。求语文、数学都在90分以上的有多少人？（适于五年级程度） [size=+0]解：作图[size=+0]20-4。由图可看出，语文、数学一门或两门在90分以上的人数是： [size=+0] [size=+0]45-17=28（人） [size=+0]只语文在[size=+0]90分以上的人数是： [size=+0]28-25=3（人） [size=+0]只数学在[size=+0]90分以上的人数是： [size=+0]28-14=14（人） [size=+0]语文、数学都在[size=+0]90分以上的人数是： [size=+0]28-（14+3）=11（人） [size=+0]答略。

[size=+0]*例5学校气象小组有50名成员，其中负责观测的有19人，负责记录的有15人，既负责观测又负责记录的有7人。问：（1）只负责记录，不负责观测的有多少人？（2）只负责观测，不负责记录的有多少人？（3）气象小组有多少人负责其他工作？（适于高年级程度）
[size=+0]解：作图[size=+0]20-5。用A圆圈表示负责观测的人数，用B圆圈表示负责记录的人数，则两圆圈相交的阴影部分就表示既负责观测又负责记录的人数。

[size=+0]

[size=+0]由图[size=+0]20-5可知，只负责记录，不负责观测的人数，等于负责记录的人数减去既负责观测又负责记录的人数；只负责观测，不负责记录的人数，等于负责观测的人数减去既负责观测又负责记录的人数；气象小组负责其他工作的人数，等于总人数减去负责观测和负责记录的人数，再加上既负责观测又负责记录的人数。
[size=+0]（[size=+0]1）只负责记录，不负责观测的人数：

[size=+0]15-7=8（人）

[size=+0]（[size=+0]2）只负责观测，不负责记录的人数为：

[size=+0]19-7=12（人）

[size=+0]（[size=+0]3）负责其他工作的人数为：

[size=+0]50-19-15+7=23（人）

[size=+0]答略。

[size=+0]*例6某班有45名学生。据统计，喜爱足球、篮球、排球这三项运动的各有26人，喜爱其中两项运动的分别有13、14、15人。三项运动都喜爱的有多少人？（适于高年级程度）
[size=+0]解：用[size=+0]A圆圈表示喜爱足球的人数，B圆圈表示喜爱篮球的人数，C圆圈表示喜爱排球的人数。则A、B两圆圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱篮球的人数；B、C两圆圈相交的部分表示既喜爱篮球又喜爱排球的人数；A、C两圆圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱排球的人数；A、B、C三个圆圈相交的部分表示三项运动都喜爱的人数（图20-6）。

[size=+0]

[size=+0]由图[size=+0]20-6可知，三项运动都喜爱的人数应等于班级的总人数减去喜爱足球、篮球、排球的人数，再加上既喜爱足球又爱篮球、既喜爱篮球又喜爱排球、既喜爱足球又喜爱排球的人数。

[size=+0]45-26×3+（13+14+15）

[size=+0]=45-78+42
[size=+0]=45+42-78
[size=+0]=87-78
[size=+0]=9（人）
[size=+0]答：三项运动都喜爱的有[size=+0]9人。
[size=+0]*例755名学生中，有18人参加合唱队，25人参加美术组，17人参加运动队，参加合唱队与美术组的共有36人，没有人既参加合唱队又参加运动队，什么组都没有参加的有5人，请回答：
[size=+0]（[size=+0]1）既参加合唱队又参加美术组的有多少人？
[size=+0]（[size=+0]2）只参加合唱队的有多少人？
[size=+0]（[size=+0]3）只参加美术组的有多少人？
[size=+0]（[size=+0]4）只参加运动队的有多少人？
[size=+0]（[size=+0]5）既参加运动队又参加美术组的有多少人？（适于高年级程度）
[size=+0]解：作图[size=+0]20-7。

[size=+0]

[size=+0]因为参加合唱队与美术组的共有[size=+0]36人，所以：（1）既参加合唱队又参加美术组的人数是：

[size=+0]18+25-36=7（人）

[size=+0]（[size=+0]2）只参加合唱队的人数是：

[size=+0]18-7=11（人）

[size=+0]现在还不能求出只参加美术组的人数，先求出去掉既参加美术组又参加合唱队的[size=+0]7人，美术组剩下的人数是：

[size=+0]25-7=18（人）

[size=+0]因为在[size=+0]55名学生中，参加美术组、运动队的总人数是25+17=42（人），只参加合唱队的有11人，什么组都没有参加的有5人，参加美术、体育两项活动的实际人数是：

[size=+0]55-5-11=39（人）

[size=+0]所以：
[size=+0]（[size=+0]5）既参加运动队又参加美术组的人数是：

[size=+0]42-39=3（人）

[size=+0]（[size=+0]4）只参加运动队的人数是：

[size=+0]17-3=14（人）

[size=+0]（[size=+0]3）只参加美术组的人数是：

[size=+0]18-3=15（人）

[size=+0]答略。

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[size=+0]应用题中的数量有的是变化的，有的是始终不变的。解应用题时，抓住始终不变的数量，分析不变的数量与其他数量的关系，从而找到解题的突破口，把应用题解答出来的解题方法，叫做守恒法，也叫抓不变量法。

[size=+0]（一）总数量守恒

[size=+0]有些应用题中不变的数量是总数量，用守恒法解题时要抓住这个不变的总数量。

[size=+0]例[size=+0]1[size=+0]晶晶要看一本书，计划每天看[size=+0]15页，24天看完。如果要12天看完，每天要看多少页？如果改为每天看18页，几天可以看完？（适于三年级程度）
[size=+0]解：无论每天看多少页，总是看这一本书，只要抓住这本书的“总页数不变”这个关键，问题就好办了。
[size=+0]这本书的总页数是：

[size=+0]15×24=360（页）

[size=+0]如果要[size=+0]12天看完，每天要看的页数是：

[size=+0]360÷12=30（页）

[size=+0]如果改为每天看[size=+0]18页，看完这本书的天数是：

[size=+0]360÷18=20（天）

[size=+0]答略。
[size=+0]此题由于第一步是用乘法求出总数，因此也叫做“归总”应用题。

[size=+0]*例2用一根铁丝围成一个长26厘米，宽16厘米的长方形。用同样长的铁丝围成一个正方形，正方形所围成的面积是多少？（适于三年级程度）
[size=+0]解：这根铁丝的长是不变的量，铁丝围成的长方形的周长和正方形的周长相同。即：

[size=+0]26×2+16×2

[size=+0]=52+32
[size=+0]=84（厘米）
[size=+0]正方形的边长是：

[size=+0]84÷4=21（厘米）

[size=+0]正方形所围成的面积是：

[size=+0]21×21=441（平方厘米）

[size=+0]答略。

[size=+0]
[size=+0]解：书架上书总的本数是不变的数量，设它为单位[size=+0]1。从“上层书的本
[size=+0]
[size=+0]书总的本数分成[size=+0]5份，上层的书占总本数的
[size=+0]
[size=+0]因此，书总的本数是：

[size=+0]

[size=+0]原来书架的上层有书：

[size=+0]

[size=+0]原来书架的下层有书：

[size=+0]90-18=72（本）

[size=+0][size=+0]（二）部分数量守恒

[size=+0]当应用题中不变的数量是题中的一部分数量时，要抓住这个不变的部分数量解题。

[size=+0]例[size=+0]1[size=+0]一辆汽车，从甲站到乙站，要经过[size=+0]20千米的平路，45千米的上坡路，15千米的下坡路。如果这辆汽车在平路上每小时行40千米，在上坡路上每小时行30千米，在下坡路上每小时行45千米。照这样的速度行驶，这辆汽车在甲、乙两站间往返一次需要多少时间？（适于五年级程度）
[size=+0]解：无论汽车行驶在平路上、上坡路上，还是在下坡路上，每一段路上的速度是不变的。
[size=+0]这辆汽车往返一次共行：在平路（[size=+0]20+20）千米在上坡路（45+15）千米在下坡路（15+45）千米这辆汽车往返一次需要的时间是：

[size=+0]

[size=+0]答略。

[size=+0]例[size=+0]2[size=+0]有含盐[size=+0]15％的盐水20千克，要使盐水含盐10％，需要加水多少千克？（适于六年级程度）解：题中盐的重量是不变的数量，盐的重量是：

[size=+0]20×15％=3（千克）

[size=+0]在盐水含盐[size=+0]10％时，盐的对应分率是10％，因此盐水的重量是：

[size=+0]3÷10％=30（千克）

[size=+0]加入的水的重量是：

[size=+0]30-20=10（千克）

[size=+0]答略。

[size=+0]
[size=+0]解：文艺书的本数是不变的数量。文艺书有：

[size=+0]

[size=+0]
[size=+0]=720（本）
[size=+0]从后来两种书总的本数中减去原来两种书总的本数，得到买进科技书的本数：

[size=+0]720-630=90（本）

[size=+0]综合算式：

[size=+0]

[size=+0]=720-630
[size=+0]=90（本）
[size=+0]答略。
[size=+0]（三）差数守恒

[size=+0]当应用题中两个数量的差是不变的数量时，要抓住这个差，分析数量关系解题。
[size=+0]例[size=+0]1[size=+0]父亲今年[size=+0]35岁，儿子5岁。多少年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍？（适于四年级程度）
[size=+0]解：父子年龄的差是个不变的数量，始终是[size=+0]35-5=30（岁）
[size=+0]在父亲年龄是儿子年龄的[size=+0]3倍时，父子年龄的差恰好是儿子年龄的2倍。
[size=+0]因此，这时儿子的年龄是：

[size=+0]30÷2=15（岁）

[size=+0]15[size=+0]-[size=+0]5=10（年）

[size=+0]答：[size=+0]10年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍。

[size=+0]*例2小明有200个枣，大平有120个枣。两人吃掉个数相同的枣后，小明剩下的枣是大平剩下枣的5倍。问两个人一共吃掉多少个枣。（适于四年级程度）
[size=+0]解：两个人相差的枣的个数是不变的数量：

[size=+0]200-120=80（个）

[size=+0]两人吃掉个数相同的枣后，小明剩下的枣是大平剩下枣的[size=+0]5倍。这就是说大平剩下的枣是1份数，小明剩下的枣比大平剩下的枣多4份数。因为两人吃掉的枣的个数相同，所以相差数还是80个。这80个是4份数。
[size=+0]因此，大平剩下的枣是其中的一份数：

[size=+0]80÷4=20（个）

[size=+0]大平吃掉的枣是：

[size=+0]120-20=100（个）

[size=+0]因为两个人吃掉的枣一样多，所以一共吃掉枣：

[size=+0]100×2=200（个）

[size=+0]答略。
[size=+0][size=+0]*例3有甲、乙两个车间，如果从甲车间调出18人给乙车间，甲车间就比乙车间少3人；如果从两个车间各调出18人，乙车间剩下人数就是甲车间
[size=+0]
[size=+0]解：由“从甲车间调出[size=+0]18人给乙车间，甲车间就比乙车间少3人”可看出，甲车间比乙车间多2个18人又少3人，即甲车间比乙车间多：

[size=+0]18×2-3=33（人）

[size=+0]由“从两个车间各调出[size=+0]18人，乙车间剩下的人数就是甲车间剩下人数的
[size=+0]

[size=+0]甲车间原有的人数是：

[size=+0]88+18=106（人）

[size=+0]乙车间原有的人数是：

[size=+0]106-33=73（人）

[size=+0]答略。

[size=+0]*例4甲种布的长是乙种布长的3倍。两种布各用去8米时，甲种布剩下的长是乙种布剩下长度的4倍。两种布原来各长多少米？（适于六年级程度）
[size=+0]解：甲、乙两种布的长度差是不变的数量，解题时要以这个不变的数量作为标准量。
[size=+0]原来乙种布的长是标准量的：
[size=+0]
[size=+0]乙种布先后两个分率的差是：
[size=+0]
[size=+0]乙种布的长是：

[size=+0]

[size=+0]甲种布的长是：

[size=+0]48+24=72（米）

[size=+0]答略。

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[size=+0]解应用题时，首先确定一个标准数（即[size=+0]1倍数），再根据已知的两数差与倍数差，用除法求出1倍数，然后以此为基础，用乘法求出另一个数的解题方法，叫做两差法。用两差法一般是解答差倍问题。 [size=+0]差倍问题的数量关系是： [size=+0]两数差÷倍数差[size=+0]=1倍数 [size=+0]1倍数×倍数=几倍数 [size=+0]较小数[size=+0]+两数差=较大数 [size=+0]例[size=+0]1[size=+0]某厂女职工人数是男职工人数的[size=+0]6倍，男职工比女职工少65人。这个厂男女职工共有多少人？（适于四年级程度） [size=+0]解：根据“人数差÷倍数差[size=+0]=1倍数”，有： [size=+0]65÷（6-1）=13（人） [size=+0]那么，这个厂男女职工共有的人数是： [size=+0]13×（6+1）=91（人） [size=+0]答略。 [size=+0]例[size=+0]2[size=+0]小李买[size=+0]3本日记本，小华买同样的8本日记本，比小李多用2.75元。小李、小华两人分别用去多少钱？（适于五年级程度） [size=+0]解：小华比小李多用[size=+0]2.75元（总价差），是因为小华比小李多买（8-3）本（数量差）日记本，用这两个差求出每本日记本的价钱。 [size=+0] [size=+0]小李用的钱数是： [size=+0]0.55×3=1.65（元） [size=+0]小华的钱数是： [size=+0]0.55×8=4.40（元） [size=+0]答略。

[size=+0]例[size=+0]3[size=+0]甲、乙两数的差是[size=+0]28，甲数是乙数的3倍。问甲乙两数各是多少？（适于四年级程度）
[size=+0]解：甲[size=+0]-乙=28，甲是乙的3倍，那么乙就是1倍数，28所对应的倍数是3-1=2（倍），则乙数可以求出。解法是：

[size=+0]28÷（3-1）=14……………………………乙数

[size=+0]14×3=42…………………………………甲数

[size=+0]答：甲数是[size=+0]42，乙数是14。

[size=+0]例[size=+0]4[size=+0]一个植树小组植树。如果每人栽[size=+0]5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。这个植树小组有多少人？一共有多少棵树苗？（适于五年级程度）
[size=+0]解：把题中的条件简要摘录如下：
[size=+0]      每人5棵      剩14棵
[size=+0]      每人7棵      缺4棵
[size=+0]比较两次分配的情况可看出，由于第二次比第一次每人多栽（[size=+0]7-5）棵，一共要多栽（14+4）棵树。根据两次每人栽的棵数差和所栽总棵数的差，可求出植树小组的人数，然后再求出原有树苗的棵数。

[size=+0]（[size=+0]14+4）÷（7-5）=9（人）……………………人数

[size=+0]5×9+14=59（棵）……………………………棵数

[size=+0]答略。

[size=+0]例[size=+0]5[size=+0]用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进[size=+0]3杯水，连瓶共重440克；如果倒进5杯水，连瓶共重600克。一杯水和一个空瓶各重多少克？（适于五年级程度）
[size=+0]解：解这类题，要先找出“暗差”的等量关系，再找解题的最佳方法。
[size=+0]这道题的“暗差”有两个：一个是[size=+0]5-3=2（杯），另一个是600-440=160（克）。这里两个暗差的等量关系是：2杯水的重量=160克。
[size=+0]这样就能很容易求出一杯水的重量：

[size=+0]160÷2=80（克）

[size=+0]一个空瓶的重量：

[size=+0]440-80×3=200（克）

[size=+0]答略。

[size=+0]*例6甲从西村到东村，每小时步行4千米。3.5小时后，乙因有急事，从西村出发骑自行车去追甲，每小时行9千米。问乙需要几小时才能追上甲？（适于高年级程度）
[size=+0]解：乙出发时，甲已经行了（[size=+0]4×3.5）千米，乙每行1小时便可比甲每小时多行（9-4）千米，那么（4×3.5）千米中含有几个（9-4）千米，乙追上甲就需要多少个小时。所以：
[size=+0]
[size=+0]答：乙需[size=+0]2.8小时才能追上甲。

[size=+0]例[size=+0]6是典型的“追及问题”。由此可知，追及问题也可以利用两差法来解答。

[size=+0]*例7某电风扇厂生产一批电风扇。原计划每天生产120台电风扇，实际每天比原计划多生产30台，结果提前12天完成任务。这批电风扇的生产任务是多少台？（适于高年级程度）
[size=+0]解：在同样的时间（计划天数）里，实际比原计划多生产电风扇的台数是：（[size=+0]120+30）×12。因为实际每天比原计划多生产30台，因此：
[size=+0]
[size=+0]计划完成任务的天数是[size=+0]60天，那么这批电风扇的生产任务就是：

[size=+0]120×60=7200（台）

[size=+0]答略。
[size=+0]*例8甲每小时走5千米，乙每小时走4千米，两人同走一段路，甲比乙少用了3小时。问这段路长多少千米？（适于五年级程度）
[size=+0]解：解答这道题应从“差异”入手。因为凡是发生差异必定有它的道理。题中的差异是“甲比乙少用了[size=+0]3小时”，抓住它作如下追问，即可发现解题途径。
[size=+0]为什么会“甲比乙少用了[size=+0]3小时”？因为甲比乙的速度快。
[size=+0]（[size=+0]1）在3个小时里甲比乙多走多少千米的路呢？在3小时里甲比乙正好多走：

[size=+0]4×3=12（千米）

[size=+0]（[size=+0]2）甲每小时可以追上乙多少千米呢？

[size=+0]5-4=1（千米）

[size=+0]（[size=+0]3）走完这12千米的差数甲要走几小时呢？

[size=+0]12÷1=12（小时）

[size=+0]（[size=+0]4）这段路长多少千米？

[size=+0]5×12=60（千米）

[size=+0]综合算式：

[size=+0]5×[4×3÷（5-4）]

[size=+0]=5×[12÷1]
[size=+0]=5×12
[size=+0]=60（千米）
[size=+0]答略。

[size=+0]
[size=+0]解：此题是“差倍”问题的变形。
[size=+0]
[size=+0]
[size=+0]
[size=+0]答略。

[size=+0]
[size=+0]两堆煤原来各有多少吨？（适于六年级程度）
[size=+0]解：这里已知两堆煤的总数和运走的总数，不知道两堆煤在总数中占多大比率，也无法把运走的煤分为甲堆运走的和乙堆运走的。虽然知道甲堆运
[size=+0]
[size=+0]知道，无法发生联系，因此这两个分率无法参加运算。
[size=+0]本题的难点在于两堆煤运走的分率不同，若分率相同，分析就会有所进展。
[size=+0]
[size=+0]然后再看假设引出了什么差异。已知条件告诉我们共运走[size=+0]180吨，与方才算得的162吨相差180-162=18（吨），为什么会产生这18吨的差异呢？
[size=+0]
[size=+0]
[size=+0]270-120=150（吨）……………………甲堆
[size=+0]答略。
[size=+0][size=+0]*例11祖父给兄弟二人同样数目的零花钱，祖母给了哥哥1100日元，给了弟弟550日元，这样兄弟二人所得到的零花钱数的比为7∶5。求祖父给兄弟二人的钱数都是多少日元？（适于六年级程度）
[size=+0]解：因为祖父给兄弟二人的钱数相同，所以祖母给兄弟二人的钱数之差，就是他们分别得到的所有零花钱钱数之差。

[size=+0]1100-550=550（日元）

[size=+0]由兄弟二人所得到的零花钱钱数的比为[size=+0]7∶5可知，把哥哥的钱看成是7份的话，弟弟的钱数就是5份，它们相差：

[size=+0]7-5=2（份）

[size=+0]所以，每一份的钱数是：

[size=+0]550÷2=275（日元）

[size=+0]哥哥有零花钱：

[size=+0]275×7=1925（日元）

[size=+0]其中祖父给的是：

[size=+0]1925-1100=825（日元）

[size=+0]答：祖父给兄弟二人的钱都是[size=+0]825日元。

[size=+0]*例12一位牧羊人赶着一群羊走过来，小明问他：“你的羊群里有山羊、绵羊各几只？”牧羊人说：“山羊的只数加上99只就是绵羊的只数，绵羊的只数加上99只就是山羊的3倍，你去算吧。”请你帮助小明算一算。（适于五年级程度）
[size=+0]解：由“山羊的只数加上[size=+0]99只就是绵羊的只数”知道，绵羊比山羊多99只。由“绵羊的只数加上99只就是山羊的3倍”知道，绵羊的只数加上99只后，绵羊的只数比山羊多（99+99）只。此时，如果把山羊只数看作1倍，绵羊只数就是3倍，比山羊多（3-1）倍，这（3-1）倍正好是（99+99）只（图22-1）。用除法可以求出1倍数（山羊只数），再用加法就可以求出绵羊只数。

[size=+0]

[size=+0]（[size=+0]99+99）÷（3-1）

[size=+0]=198÷2
[size=+0]=99（只）…………………山羊只数
[size=+0]99+99=198（只）…………绵羊只数
[size=+0]答略。

[size=+0]*例13某工厂有大、小两个车间。如果从小车间调10人到大车间，则大车间的人数是小车间的3倍；如果从大车间调30人到小车间，则两个车间的人数相等。求大、小两个车间各有多少人？（适于高年级程度）
[size=+0]解：根据“如果从大车间调[size=+0]30人到小车间，则两个车间的人数相等”知道，大车间比小车间多30×2人；根据“如果从小车间调10人到大车间，则大车间的人数是小车间的3倍”知道，这样调动后，大车间比小车间多（30×2+10×2）人。把调动后小车间的人数看作1倍数，则大车间的人数就是3倍数，比小车间的人数多（3-1）倍数，这（3-1）倍数正好是（30×2+10×2）人。用除法可以求出1倍数（调动后，小车间人数），加上10就得小车间原有人数。

[size=+0]（[size=+0]30×2+10×2）÷（3-1）+10

[size=+0]=80÷24+10
[size=+0]=50（人）………………（小车间原有人数）
[size=+0]50+30×2=110（人）…（大车间原有人数）
[size=+0]答略。
[size=+0]在差倍问题中，有一类比较特殊，这就是年龄问题。年龄问题一般用差倍问题的解题思路、计算公式来分析、解答。但要注意年龄问题所单独具有的“定差”特点，即大、小两个年龄，相当于大、小两个数，无论现在、过去、将来，这两个年龄的差不变。抓住这个特点，再利用差倍问题的数量关系和解题方法，便可解答年龄问题。
[size=+0]*例14今年哥哥18岁，弟弟8岁。问几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍？（适于高年级程度）
[size=+0]解：作图[size=+0]22-2。

[size=+0]

[size=+0]哥哥和弟弟年龄之差（[size=+0]18-8）岁始终不变。把几年前弟弟的年龄看作1倍数，哥哥的年龄就是3倍数，比弟弟多（3-1）倍数，这（3-1）倍数正好对应于（18-8）岁。用除法可以求出1倍数，就是几年前弟弟的年龄，再用减法便可求出几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍。

[size=+0]8-（18-8）÷（3-1）=3（年）

[size=+0]答略。

[size=+0]*例15今年父亲40岁，儿子4岁。问几年后父亲的年龄是儿子的4倍？（适于高年级程度）
[size=+0]解：作图[size=+0]22-3。

[size=+0]

[size=+0]父子年龄之差（[size=+0]40-4）岁始终不变。把几年后儿子的年龄看作1倍数，父亲的年龄就是4倍数，比儿子多（4-1）=3倍数，这（4-1）倍数正好对应于（40-4）岁。用除法可求出1倍数，即几年后儿子的年龄，再用减法便可求出几年后父亲的年龄是儿子的4倍。

[size=+0]（[size=+0]40-4）÷（4-1）-4

[size=+0]=36÷3-4
[size=+0]=8（年）
[size=+0]答略。

qdylz

[size=+0]比和比例是传统算术的重要内容，在较早的年代，许多实际问题都是应用比和比例的知识来解答的。近年来，小学数学教材中比和比例的内容虽然简化了，但它仍是小学数学教学的重要内容之一，是升入中学继续学习的必要基础。 [size=+0]用比例法解应用题，实际上就是用解比例的方法解应用题。有许多应用题，用比例法解简单、方便，容易理解。 [size=+0]用比例法解答应用题的关键是：正确判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例，然后列成比例式或方程来解答。 [size=+0]（一）正比例 [size=+0]两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 [size=+0]如果用字母[size=+0]x、y表示两种相关联的量，用k表示比值（一定），正比例的数量关系可以用下面的式子表示： [size=+0] [size=+0]例[size=+0]1[size=+0]一个化肥厂[size=+0]4天生产氮肥32吨。照这样计算，这个化肥厂4月份生产氮肥多少吨？（适于六年级程度） [size=+0]解：因为日产氮肥的吨数一定，所以生产氮肥的吨数与天数成正比例。 [size=+0]设四月份[size=+0]30天生产氮肥x吨，则： [size=+0] [size=+0]答略。 [size=+0]例[size=+0]2[size=+0]某工厂要加工[size=+0]1320个零件，前8天加工了320个。照这样计算，其余的零件还要加工几天？（适于六年级程度） [size=+0]解：因为每一天加工的数量一定，所以加工的数量与天数成正比例。 [size=+0]还需要加工的数量是： [size=+0]1320-320=1000（个） [size=+0]设还需要加工[size=+0]x天，则： [size=+0] [size=+0]答略。

[size=+0]例[size=+0]3[size=+0]一列火车从上海开往天津，行了全程的[size=+0]60％，距离天津还有538千米。这列火车已行了多少千米？（适于六年级程度）
[size=+0]解：火车已行的路程∶剩下的路程[size=+0]=60％∶（1-60％）=3∶2。
[size=+0]设火车已行的路程为[size=+0]x千米。

[size=+0]

[size=+0]答略。

[size=+0]
[size=+0]米。这时这段公路余下的长度与已修好长度的比是[size=+0]2∶3。这段公路长多少米？（适于六年级程度）
[size=+0]解：余下的长度与已修好长度的比是[size=+0]2∶3，就是说，余下的长度是已
[size=+0]

[size=+0]这段公路的长度是：

[size=+0]

[size=+0]答略。
[size=+0]（二）反比例

[size=+0]两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
[size=+0]如果用字母[size=+0]x、y表示两种相关联的量，用k表示积（一定），反比例的数量关系可以用下面的式子表达：

[size=+0]x×y=k（一定）

[size=+0]例[size=+0]1[size=+0]某印刷厂装订一批作业本，每天装订[size=+0]2500本，14天可以完成。如果每天装订2800本，多少天可以完成？（适于六年级程度）
[size=+0]解：由于要装订的本数一定，因此，每天装订的本数与可以装订的天数成反比例。
[size=+0]设[size=+0]x天可以完成，则：

[size=+0]

[size=+0]答略。

[size=+0]例[size=+0]2[size=+0]一项工程，原来计划[size=+0]30人做，18天完成。现在减少了3人，需要多少天完成？（适于六年级程度）
[size=+0]解：工作总量一定，每人的工作效率也是一定的，所以所需要的人数与天数成反比例。
[size=+0]现在减少[size=+0]3人，现在的人数就是：

[size=+0]30-3=27（人）

[size=+0]设需要[size=+0]x天完成，则：

[size=+0]

[size=+0]答略。

[size=+0]例[size=+0]3[size=+0]有一项搬运砖的任务，[size=+0]25个人去做，6小时可以完成任务；如果相同工效的人数增加到30人，搬运完这批砖要减少几小时？（适于六年级程度）
[size=+0]解：题中的总任务和每人的工作效率一定，所以搬运砖的人数与所需要的时间成反比例。
[size=+0]设增加到[size=+0]30人以后，需要x小时完成，则：

[size=+0]

[size=+0]6-5=1（小时）
[size=+0]答：增加到[size=+0]30人后，搬运完这批砖要减少1小时。

[size=+0]例[size=+0]4[size=+0]某地有驻军[size=+0]3600人，储备着吃一年的粮食。经过4个月后，复员若干人。如果余下的粮食可以用10个月，求复员了多少人？（适于六年级程度）
[size=+0]解：按原计划，[size=+0]4个月后余下的粮食可以用：

[size=+0]12-4=8（个月）

[size=+0]因为复员一部分人后，人数少了，所以原来可以用[size=+0]8个月的粮食，现在就可以用10个月。
[size=+0]粮食的数量一定，人数与用粮的时间成反比例。
[size=+0]设余下的粮食供[size=+0]x人吃10个月，则：

[size=+0]

[size=+0]答：复员了[size=+0]720人。
[size=+0][size=+0]（三）按比例分配

[size=+0]按比例分配的应用题可用归一法解，也可用解分数应用题的方法来解。
[size=+0]用归一法解按比例分配应用题的核心是：先求出一份是多少，再求几份是多少。这种方法比解分数应用题的方法容易一些。用解分数应用题的方法解按比例分配问题的关键是：把两个（或几个）部分量之比转化为部分量占总量的（几个部分量之和）几分之几。这种转化稍微难一些。然而学会这种转化对解答某些较难的比例应用题和分数应用题是有益的。
[size=+0]究竟用哪种方法解，要根据题目的不同，灵活采用不同的方法。
[size=+0]有些应用题叙述的数量关系不是以比或比例的形式出现的，如果我们用按比例分配的方法解这样的题，要先把有关数量关系转化为比或比例的关系。

[size=+0]1.按正比例分配

[size=+0]
[size=+0]甲、乙、丙三个数的连比是：

[size=+0]

[size=+0]4+5+8=17

[size=+0]
[size=+0]答略。

[size=+0]例[size=+0]2[size=+0]有甲、乙、丙三堆煤，甲堆比乙堆多[size=+0]12.5％，乙堆比丙堆少
[size=+0]
[size=+0]解：因为甲堆比乙堆多[size=+0]12.5％，所以要把乙堆看作“1”，这样甲堆就是（1+12.5％）。

[size=+0]甲∶乙[size=+0]=（1+12.5％）∶1=9∶8

[size=+0]

[size=+0]甲∶乙∶丙[size=+0]=9∶8∶10

[size=+0]已知甲堆比丙堆少[size=+0]6吨，这6吨所对应的份数是1，所以，甲堆煤的吨数是：

[size=+0]6×9=54（吨）

[size=+0]乙堆煤的吨数是：

[size=+0]6×8=48（吨）

[size=+0]丙堆煤的吨数是：

[size=+0]6×10=60（吨）

[size=+0]答略。
[size=+0]2.按反比例分配

[size=+0]*例1某人骑自行车往返于甲、乙两地用了10小时，去时每小时行12千米，返回时每小时行8千米。求甲、乙两地相距多少千米？（适于六年级程度）
[size=+0]解：此人往返的速度比是：

[size=+0]12∶8=3∶2

[size=+0]因为在距离一定的情况下，时间与速度成反比例，所以，由此人往返的速度比是[size=+0]3∶2，可推出此人往返所用的时间比是2∶3。
[size=+0]去时用的时间是：

[size=+0]

[size=+0]两地之间的距离：

[size=+0]12×4=48（千米）

[size=+0]答略。

[size=+0]*例2一个文艺演出队去少数民族地区慰问演出，路上共用了110个小
[size=+0]
[size=+0]
[size=+0]这也是骑马、乘轮船、坐火车的时间比。
[size=+0]将[size=+0]110小时按8∶2∶1的比例分配。
[size=+0]骑马的时间是：
[size=+0]
[size=+0]坐火车的时间是：

[size=+0]

[size=+0]答略。
[size=+0][size=+0]3.按混合比例分配

[size=+0]把价格不同、数量不等的同类物品相混合，已知各物品的单价及混合后的平均价（或总价和总数量），求混合量的应用题叫做混合比例应用题。混合比例应用题在实际生活中有广泛的应用。

[size=+0]*例1红辣椒每500克3角钱，青辣椒每500克2角1分钱。现将红辣椒与青辣椒混合，每500克2角5分钱。问应按怎样的比例混合，菜店和顾客才都不会吃亏？（适于六年级程度）
[size=+0]解：列出表[size=+0]23-1。
[size=+0]表[size=+0]23-1
[size=+0]

[size=+0]表中，价格一栏是根据题意填的，其他栏目是在分析题的过程中填的。
[size=+0]混合后的辣椒是每[size=+0]500克卖2角5分钱，而混合辣椒中红、青两种辣椒的比不能是1∶1，因为在混合后的辣椒中每有500克红辣椒，红辣椒就要少卖5分钱，所以应算是每500克红辣椒损失了5分钱，在“损”一栏中，横对红辣椒和3角，填上5分；又因为在混合后的辣椒中每有500克青辣椒，青辣椒就要多卖4分钱，所以应算是每500克青辣椒多卖了（益）4分钱，在“益”一栏中，横对青辣椒和2角1分，填上4分。
[size=+0]5与4的最小公倍数是20。

[size=+0]20÷5＝4，20÷4＝5，

[size=+0]只有在混合的辣椒中，有[size=+0]4份的红辣椒，5份的青辣椒，500克混合后的辣椒正好卖2角5分钱。
[size=+0]4份的红辣椒是4个500克，它的价钱是，

[size=+0]0.3×4=1.2（元）

[size=+0]5份的青辣椒是5个500克，它的价钱是，

[size=+0]0.21×5=1.05（元）

[size=+0]4份红辣椒与5份青辣椒的总价是，

[size=+0]1.2+1.05=2.25（元）

[size=+0]而[size=+0]9个500克的混合辣椒的总价是，

[size=+0]0.25×9=2.25（元）

[size=+0]9份（9个500克）红辣椒和青辣椒的总价正好与9个500克混合辣椒的总价相等。
[size=+0]所以在混合的辣椒中，红辣椒与青辣椒的比应是[size=+0]4∶5。这个比正好是益损两数比的反比。
[size=+0]答略。

[size=+0]*例2王老师买甲、乙两种铅笔共20支，共用4元5角钱。甲种铅笔每支3角，乙种铅笔每支2角。两种铅笔各买多少支？（适于六年级程度）
[size=+0]解：[size=+0]20支铅笔的平均价格是：

[size=+0]4.5÷20=0.225（元）=2.25（角）

[size=+0]列出表[size=+0]23-2。
[size=+0]表[size=+0]23-2
[size=+0]
[size=+0]因为甲种铅笔每支[size=+0]3角，而平均价格是每支2.25角，所以每支甲种铅笔损失了0.75角钱。在表中“损”一栏横对“甲”填上0.75角/支；因为乙种铅笔每支2角，而平均价格是每支2.25角，所以每支乙种铅笔是增加（益）了0.25角。在表中“益”一栏横对“乙”填上0.25角/支。
[size=+0]两种铅笔的混合比，正好是损、益两数比的反比，所以在混合比一栏中，横对甲填[size=+0]0.25，而横对乙填0.75。把0.25和0.75化简后得1和3。
[size=+0]现在可以认为两种铅笔的总份数是：

[size=+0]1+3=4（份）

[size=+0]甲种铅笔的支数是：

[size=+0]

[size=+0]乙种铅笔的支数是：

[size=+0]

[size=+0]答略。

[size=+0]（四）连比

[size=+0]如果甲数量与乙数量的比是[size=+0]a∶b，乙数量与丙数量的比是b∶c，那么表示甲、乙、丙三个数量的比可以写作a∶b∶c，a∶b∶c就叫做甲、乙、丙三个数量的连比。
[size=+0]注意：“比”中的比号相当于除号，也相当于分数线，而“连比”中的比号却不是相当于除号、分数线。

[size=+0]*例1已知甲数和乙数的比是5∶6，丙数和乙数的比是7∶8，求这三个数的连比。（适于六年级程度）
[size=+0]解：已知甲、乙两数的比是[size=+0]5∶6，丙数与乙数之比为7∶8，即乙数与丙数之比为8∶7。第一个比的后项是6，第二个比的前项为8，这说明甲、丙两个数不是以相同标准划分的，甲、乙、丙三个数不能直接写成连比。
[size=+0]用下面的方法可以统一甲、丙的标准，把甲、乙、丙三个数写成连比。把[size=+0]5扩大8倍，得40；把6扩大8倍，得48。把6扩大8倍得48，也就是把8扩大6倍，得48，所以也要把7扩大6倍得42。
[size=+0]甲、乙、丙三个数的连比是：[size=+0]4O∶
[size=+0]48∶42=20∶24∶21。

[size=+0]

[size=+0]答略。

[size=+0]*例2甲、乙、丙三堆煤共重1480吨，已知甲堆煤重量的
[size=+0]又根据，甲∶乙[size=+0]=3∶2，乙∶丙=5∶6，可求出甲、乙、丙三个数的连比是：
[size=+0]甲∶乙∶丙[size=+0]=15∶10∶12

[size=+0]

[size=+0]把[size=+0]1480吨煤按15∶10∶12的比例分配。
[size=+0]甲堆煤重：

[size=+0]

[size=+0]乙堆煤重：
[size=+0]
[size=+0]答略。

qdylz

[size=+0]解答应用题时，通过转换（即转化）题中的情节，分析问题的角度、数据……从而较快找到解题思路，或简化解题过程的解题方法叫做转换法。 [size=+0]（一）转换题中的情节 [size=+0]转换题中的情节是运用联想改变原题的某个情节，使题目变得易于解答。 [size=+0] [size=+0]14+6=20（吨） [size=+0] [size=+0]30吨所对应的分率是： [size=+0] [size=+0]答略。 [size=+0]例[size=+0]2[size=+0]一项工程，甲、乙两队合做要用[size=+0]12天完成。如果甲队先独做16天，余下的再由乙队独做6天完成。如果全部工程由甲队独做，要用几天完成？（适于六年级程度） [size=+0]解：求甲队独做要用几天完成全部工程，得先求出甲队的工作效率。可是题中已知的是甲、乙合做要用的时间，和甲、乙一前一后独做的时间，很难求出甲的工作效率。如果将“一前一后独做”这一情节变换为“先合做，后独做”就便于解题了。可这样设想，从甲队的工作量中划出[size=+0]6天的工作量与乙队6天的工作量合并起来，也就是假定两队曾经合做了6天。情节这样变动后，原题就变换成： [size=+0]一项工程，甲、乙两队合做要用[size=+0]12天完成，这项工程先由甲乙两队合做6天后，余下的工程由甲队单独做10天完成。如果全部工程由甲队独做要用几天完成？ [size=+0]这样就很容易求出甲队的工作效率是： [size=+0] [size=+0]甲队独做完成的时间是： [size=+0] [size=+0]答略。

[size=+0]（二）转换看问题的角度

[size=+0]解应用题时，如果看问题的角度不适当就很难解出题。如果转换看问题的角度，把原来从正面看问题转换为从侧面看或从反面看，把这一数量转换为另一数量进行分析，就可能找到解题思路。

[size=+0]
[size=+0]解：一般都沿着女工占总人数的分率去寻找与之相对应的具体人数，但这样往往会误入歧途，难以找到正确答案。不如根据女工所占分率，换一个角度，想一想男工的情况。
[size=+0]
[size=+0]男工人数便占总人数的：
[size=+0]
[size=+0]后来女工的总人数是：
[size=+0]
[size=+0]=560-480
[size=+0]=80（人）
[size=+0]答略。

[size=+0]*例2求图24-1中阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）

[size=+0]

[size=+0]解：如果直接计算图中阴影部分的面积，几乎是不可能的。如果把角度转换为，从大扇形面积减去右面空白处的面积，就容易求出阴影部分的面积了。

[size=+0]

[size=+0]=200.96-81.5
[size=+0]=119.46（平方厘米）
[size=+0]答：阴影部分的面积是[size=+0]119.46平方厘米。
[size=+0]（三）转换题中的数据

[size=+0]转换题中的数据就是将题中已知的数据进行等价变换，从而协调各个数据之间的关系。

[size=+0]例[size=+0]1[size=+0]两辆汽车同时从相距[size=+0]465千米的两地相对开出，4.5小时后两车还相距120千米。一辆汽车每小时行37千米。另一辆汽车每小时行多少千米？（适于五年级程度）
[size=+0]解：如果两地的距离减少[size=+0]120千米，两车经过4.5小时正好相遇，两车4.5小时行的路程是：

[size=+0]465-120=345（千米）

[size=+0]两车的速度之和是：
[size=+0]
[size=+0]综合算式：

[size=+0]（[size=+0]465-120）÷4.5-37

[size=+0]=345÷4.5-37
[size=+0]


[size=+0]
[size=+0]解：如果从分数角度分析，不易找出数量间的关系。如果把分数转换为比来分析，就会得出，第一天与第二天种的棵数的比是[size=+0]3∶5，第二天与第三天种的棵数比是5∶6。
[size=+0]所以，第一、二、三天种的棵数的比是[size=+0]3∶5∶6。
[size=+0]第一天种：
[size=+0]
[size=+0]第三天种：

[size=+0]

[size=+0]答略。
[size=+0]（四）转换为统一标准

[size=+0]当题中两个或几个数量的单位“[size=+0]1”不统一，不便于解答时，如把某个数量作为标准单位“1”，把其他数量转化为以它为标准的分率，就会突破障碍，顺利解题。

[size=+0]例[size=+0]1[size=+0]甲、乙、丙、丁四人合买一批化肥。甲付的钱是其他人所付钱数之[size=+0]
[size=+0]解：把甲、乙、丙、丁所付钱数统一为以总数量作为标准量的分率。由[size=+0]

[size=+0]

[size=+0]答略。

[size=+0]
[size=+0]色电视机的台数没有发生变化，我们以彩色电视机的台数作为单位
[size=+0]彩色电视机的台数是：

[size=+0]

[size=+0]黑白电视机的台数是：
[size=+0]
[size=+0]答略。
[size=+0]（五）转换隐蔽条件为明显条件

[size=+0]有些应用题的解题条件十分隐蔽。认真体会题中字、词、句的含义，看清这些字、词、句实质上说的是什么，必要时借助图形分析，或适当改变题中的条件，就可能把原来题中隐蔽的条件转换为明显条件，从而较快解题。

[size=+0]*例1甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在离B点18千米的地方相遇。相遇后二人继续往前行，甲到B地和乙到A地立即返回，在离A地8千米的地方又相遇。求A、B两地相距多少千米？（适于高年级程度）
[size=+0]解：解答此题的条件十分隐蔽。借助图[size=+0]24-2分析问题，可将隐蔽条件转换为明显条件。

[size=+0]

[size=+0]（[size=+0]1）从开始出发到二人第一次相遇，甲、乙共同走完一个全程的路程，其中乙走了18千米。这就是说甲、乙二人共同走完一个全程的路程时乙走18千米，若共同走完三个全程，那么乙就走18×3千米的路程。
[size=+0]（[size=+0]2）甲、乙第二次相遇时，二人走了三个全程的路程，而乙走了一个全程加8千米。
[size=+0]（[size=+0]3）乙走的一个全程加8千米应等于18×3千米，所以，A、B两地的距离是：

[size=+0]18×3-8=46（千米）

[size=+0]答：甲乙两地相距[size=+0]46千米。

[size=+0]

[size=+0]
[size=+0]
[size=+0]220-100=120（千克）…………………甲袋米重
[size=+0]答略。
[size=+0]（六）转换叙述方式

[size=+0]对数量关系复杂、不易理出头绪、不易分析解答的应用题，经过逐字、逐句地分析，弄清每一句话的意思，然后转换原题的叙述方式，就可化繁为简，化难为易，使原题变得易于解答。

[size=+0]*例1李老师带领学生植100棵树。李老师先植一棵，然后对同学们说：“男同学每人植两棵，女同学每两人合植一棵。”这样正好把余下的树苗植完。问李老师带领的学生中有多少名男生，多少名女生？（适于高年级程度）
[size=+0]解：逐层分析每一句话的意思。李老师植一棵，那么学生就是植了[size=+0]99棵；男同学每人植两棵，女同学每两人合植一棵，可以看作一名男生和两名女生组成一组，植树3棵。

[size=+0]99÷3=33（组）

[size=+0]这样就可以认为学生正好分成[size=+0]33组。
[size=+0]根据上面的分析，上面的题就可以这样叙述：
[size=+0]有[size=+0]33组学生去植树，每一组学生中有一名男生、两名女生。求去植树的学生中有多少名男生、女生？

[size=+0]1×33=33（名）………………………………………男生人数

[size=+0]2×33=66（名）………………………………………女生人数

[size=+0]答：有男生[size=+0]33名，有女生66名。

[size=+0]*例2一位天文爱好者说：“土星直径比地球直径的9倍还多4800千米，土星直径除以24等于水星直径，水星直径加上2000千米等于火星直径，火星直径的一半减去500千米等于月亮直径，月亮直径是3000千米。求地球直径是多少千米？（适于高年级程度）
[size=+0]解：把原题倒过来叙述：月亮直径是[size=+0]3000千米，月亮直径加上500千米后的2倍等于火星直径，火星直径减去2000千米等于水星直径，水星直径的24倍等于土星直径，土星直径减去4800千米是地球直径的9倍。
[size=+0]水星直径：

[size=+0]（[size=+0]3000+500）×2-2000=5000（千米）

[size=+0]土星直径：

[size=+0]5000×24=120000（千米）

[size=+0]地球直径：

[size=+0]（[size=+0]120000-4800）÷9=12800（千米）

[size=+0]答略。
[size=+0][size=+0]（七）转换解题的方法

[size=+0]当题目用通常方法很难解答或不能解答时，应转换解题方法，使问题得到解决。

[size=+0]例[size=+0]1[size=+0]汽车[size=+0]7小时行300千米，照这样计算，行驶7500千米需要多少小时？（适于三年级程度）
[size=+0]解：此题如果这样考虑，求行[size=+0]7500千米需要多少小时，要先求出汽车每小时行多少千米，然后7500千米再除以汽车每小时的速度，即：7500÷（300÷7）
[size=+0]这样列式计算时，小括号内的[size=+0]300÷7是除不尽的，三年级的学生还没学过计算小数的近似值。本题用上面的方法列式解答看来不行，应换一种解题方法。
[size=+0]如果求出[size=+0]7500千米中含有多少个300千米，就可求出这辆汽车行多少个7小时。这时可这样列式解答：

[size=+0]7×（7500÷300）

[size=+0]=7×25
[size=+0]=175（小时）
[size=+0]答：行驶[size=+0]7500千米需要175小时。

[size=+0]*例2一个长方体，表面积是66.16平方分米，底面积是19平方分米，底面周长是17.6分米。这个长方体的高是多少分米？（适于五年级程度）
[size=+0]解：以一般方法解此题，求长方形的高，需要用底面积去除体积。可是已知条件中没有体积，而且不容易求出，这就需要转换解题方法。
[size=+0]题中已知长方体的表面积。因为长方体共有[size=+0]6个面，每一对相对面的面积相等，所以可以把表面积转化为三个不同面积之和：

[size=+0]66.16÷2=33.08（平方分米）

[size=+0]又因为底面积已知，所以可求出另外两个面的面积之和：

[size=+0]33.08-19=14.08（平方分米）

[size=+0]14.08平方分米这个面积是由“长×高+宽×高=（长+宽）×高”得到的。
[size=+0]14.08平方分米这个面积的长（即长与宽的和）是：

[size=+0]17.6÷2=8.8（分米）

[size=+0]所以，这个长方体的高是：

[size=+0]14.08÷8.8=1.6（分米）

[size=+0]答略。

[size=+0]例[size=+0]3[size=+0]一辆快车和一辆慢车同时分别从[size=+0]A、B两站相对开出，经过4小时后两车相遇。相遇后快车继续行驶3小时到达乙地。已知慢车每小时比快车少行15千米。求A、B两站相距多少千米？（适于六年级程度）
[size=+0]解：此题要是依靠具体的数量进行分析，解题就会遇到困难。如果转换解题思路，用解工程问题的方法可化难为易。
[size=+0]

[size=+0]慢车每小时行全程的：
[size=+0]
[size=+0]A、B两地的距离是：

[size=+0]

[size=+0]答略。

[ 本帖最后由 qdylz 于 2009-1-6 15:48 编辑 ]

jjnbu

谢谢雪帆版主，我自己先学习学习。

qdylz

当应用题用一般方法很难解答时，可假设题中的情节发生了变化，假设题中两个或几个数量相等，假设题中某个数量增加了或减少了，然后在假设的基础上推理，调整由于假设而引起变化的数量的大小，题中隐蔽的数量关系就可能变得明显，从而找到解题方法。这种解题方法就叫做假设法。
[size=+0]用假设法解应用题，要通过丰富的想象，假设出既合乎题意又新奇巧妙，既简单又便于计算的条件。
[size=+0]有些用一般方法能解答的应用题，用假设法解答可能更简捷。

[size=+0]（一）假设情节变化

[size=+0]
[size=+0]解：假设篮球没有借出，足球借出一个，那么，可以把现有篮球的个数看作是[size=+0]3份数，把现有足球的个数看作2份数，两种球的总份数是：

3+2=5（份）

[size=+0]原来篮球的个数是：

[size=+0]

[size=+0]原来足球的个数是：

21-12=9（个）

[size=+0]答略。

[size=+0]例[size=+0]2[size=+0]甲乙两个煤场共存煤[size=+0]92吨，从甲场运出28吨后，乙场的存煤比甲场的4倍少6吨。两场原来各存煤多少吨？（适于六年级程度）
[size=+0]解：假设从甲场运出的不是[size=+0]28吨，而是比28吨少6吨的22吨，那么，乙场的存煤数就正好是甲场的4倍，甲场的存煤是1份数，乙场的存煤是4
[size=+0]
[size=+0]甲场原来存煤：

92-50=42（吨）

[size=+0]答略。
[size=+0]（二）假设两个（或几个）数量相等

[size=+0]例[size=+0]1有两块地，平均亩产粮食185千克。其中第一块地5亩，平均亩产粮食203千克。如果第二块地平均亩产粮食170千克，第二块地有多少亩？（适于五年级程度）
[size=+0]解：假设两块地平均亩产粮食都是[size=+0]170千克，则第一块地的平均亩产量比两块地的平均亩产多：

203-170=33（千克）

5亩地要多产：

33×5=165（千克）

[size=+0]两块地实际的平均亩产量比假设的平均亩产量多：

185-170=15（千克）

[size=+0]因为[size=+0]165千克中含有多少个15千克，两块地就一共有多少亩，所以两块地的亩数一共是：

165÷15=11（亩）

[size=+0]第二块地的亩数是：

11-5=6（亩）

[size=+0]答略。

[size=+0]
[size=+0]解：此题可以有三种答案。
[size=+0]
[size=+0]答：剩下的两根绳子一样长。
[size=+0]
[size=+0]答：甲绳剩下的部分比乙绳剩下的部分长。
[size=+0]（[size=+0]3）假设两根绳子都比1米长。任意假定为1.5米，则甲绳剪去
[size=+0]答：乙绳剩下的部分比甲绳剩下的部分长。
[size=+0]例[size=+0]3[size=+0]一项工作，甲、乙两队单独做各需要[size=+0]10天完成，丙队单独做需要7.5天完成。在三队合做的过程中，甲队外出1天，丙队外出半天。问三队合做完成这项工作实际用了几天？（适于六年级程度）
[size=+0]解：假设甲没有外出，丙也未外出，也就是说，甲、乙、丙三个队的工作天数一样多，则三队合做的工作量可达到：

[size=+0]

[size=+0]三队合做这项工作，实际用的天数是：

[size=+0]

[size=+0]答略。

*例4一项工程，甲、乙两队合做80天完成。如果先由甲队单独做72天，再由乙队单独做90天，可以完成全部工程。甲、乙两队单独完成全部工程各需要用多少天？（适于六年级程度）
[size=+0]解：假设甲队做[size=+0]72天后，乙队也做72天，则剩下的工程是：

[size=+0]

[size=+0]乙队还需要做的时间是：

90-72=18（天）

[size=+0]乙队单独完成全部工程的时间是：

[size=+0]

[size=+0]甲队单独完成全部工程的时间是：

[size=+0]

[size=+0]答略。
[size=+0]（三）假设两个分率（或两个倍数）相同

*例1某商店上月购进的蓝墨水瓶数是黑墨水瓶数的3倍，每天平均卖出黑墨水45瓶，蓝墨水120瓶。过了一段时间，黑墨水卖完了，蓝墨水还剩300瓶。这个商店上月购进蓝墨水和黑墨水各多少瓶？（适于高年级程度）
[size=+0]解：根据购进的蓝墨水是黑墨水的[size=+0]3倍，假设每天卖出的蓝墨水也是黑墨水的3倍，则每天卖出蓝墨水：

45×3=135（瓶）

[size=+0]这样，过些日子当黑墨水卖完时蓝墨水也会卖完。实际上，蓝墨水剩下[size=+0]300瓶，这是因为实际比假设每天卖出的瓶数少：

135-120=15（瓶）

[size=+0]卖的天数：

300÷15=20（天）

[size=+0]购进黑墨水：

45×20=900（瓶）

[size=+0]购进蓝墨水：

900×3=2700（瓶）

[size=+0]答略。

*例2甲、乙两个机床厂今年一月份都超额完成了生产计划，甲厂完成计划的112％，乙厂完成计划的110％。两厂共生产机床400台，比原计划超产40台。两厂原计划各生产多少台机床？（适于六年级程度）
[size=+0]解：假设两个厂一月份都完成计划的[size=+0]110％，则两个厂一月份共生产机床：

[size=+0]（[size=+0]400-40）×110％=396（台）

[size=+0]甲厂计划生产：

[size=+0]（[size=+0]400-396）÷（112％-110％）

=4÷2％
=200（台）
[size=+0]乙厂计划生产：

400-40-200=160（台）

[size=+0]答略。

[size=+0]（四）假设某个数量不比其他数量多或不比其他数量少

[size=+0]例[size=+0]1[size=+0]某校三、四年级学生去植树。三年级去[size=+0]150人，四年级去的人数比三年级人数的2倍少20人。两个年级一共去了多少人？（适于三年级程度）
[size=+0]解：假设四年级去的人数正好是三年级的[size=+0]2倍，而不是比三年级的2倍少20人，则两个年级去的人数正好是三年级人数的3倍。
[size=+0]两个年级去的人数是：

150×3=450（人）

[size=+0]因为实际上，四年级去的人数比三年级[size=+0]2倍少20人，所以两个年级去的实际人数是：

450-20=430（人）

[size=+0]答略。

*例2甲、乙、丙三个乡都拿出同样多的钱买一批化肥。买好后，甲、丙两个乡都比乙乡多18吨，因此甲乡和丙乡各给乙乡1800元。问每吨化肥的价格是多少元？（适于高年级程度）
[size=+0]解：假设甲、丙两个乡买的化肥不比乙乡多[size=+0]18吨，而是与乙乡买的同样多，则应把多出来的2个18吨平均分。平均分时每个乡多得：

18×2÷3=12（吨）

[size=+0]因为甲、丙两个乡都比乙乡多得[size=+0]18吨，而平均分时每个乡得12吨，所以乙乡实际比甲、丙两个乡都少：

18-12=6（吨）

[size=+0]每吨化肥的价格：

1800÷6=300（元）

[size=+0]答略。
[size=+0]（五）假设某个数量增加了或减少了

[size=+0]
[size=+0]

6-4=2（人）

[size=+0]全班人数是：
[size=+0]
[size=+0]女生人数是：

[size=+0]

[size=+0]答略。

*例2学校运来红砖和青砖共9750块。红砖用去20％，青砖用去1650块后，剩下的红砖和青砖的块数正好相等。学校运来红砖、青砖各多少块？（适于六年级程度）
[size=+0]解：假设少运来[size=+0]1650块青砖，则一共运来砖：

9750-1650=8100（块）

[size=+0]以运来的红砖的块数为标准量[size=+0]1，则剩下的红砖的分率是：

1-20％=80％

[size=+0]因为剩下的红砖的块数与青砖的块数正好相等，所以青砖的分率也是[size=+0]80％。
[size=+0]因为[size=+0]8100块中包括全部红砖和红砖的（1-20％）（青砖），所以8100块的对应分率是（1+1-20％）。运来的红砖是：

[size=+0]（[size=+0]9750-1650）÷（1+1-20％）

=8100÷1.8
=4500（块）
[size=+0]运来的青砖是：

9750-4500=5250（块）

[size=+0]答：运来红砖[size=+0]4500块，运来青砖5250块。
[size=+0][size=+0]（六）假设某个数量扩大了或缩小了

[size=+0]例[size=+0]1[size=+0]把鸡和兔放在一起共有[size=+0]48个头、114只爪和脚。鸡和兔各有多少只？（适于四年级程度）
[size=+0]解：假设把鸡爪和兔子脚的只数都缩小[size=+0]2倍，则鸡爪数和鸡的头数一样多，兔的脚数是兔头数的2倍。
[size=+0]这样就可以认为，[size=+0]114÷2所得商中含有全部鸡的头数，也含有兔子头数2倍的数，而48中包含全部鸡的头数和兔子头数1倍的数。
[size=+0]所以兔的只数是：

114÷2-48=9（只）

[size=+0]鸡的只数是：

48-9=39（只）

[size=+0]答略。

[size=+0]
[size=+0]解：假设把从甲、乙两堆煤里取出的煤的数量扩大[size=+0]4倍，则从两堆煤取出的总数量比原来的两堆煤多：

708×4-2268

=2832-2268
=564（千克）
[size=+0]
[size=+0]甲堆煤的重量是：

[size=+0]

[size=+0]乙堆煤的重量是：

2268-940=1328（千克）

[size=+0]答略。
[size=+0]

qdylz

[size=+0]当应用题中没有解题必需的具体的数量，并且已有数量间的关系很抽象时，如果假设题中有个具体的数量，或假设题中某个未知数的数量是单位[size=+0]1，题中数量之间的关系就会变得清晰明确，从而便于找到解答问题的方法，我们把这种解答应用题的方法叫做设数法。 [size=+0]实际上设数法是假设法中的一种方法，因为它的应用比较多，所以我们把它单列为一种解题方法。 [size=+0]在用设数法解答应用题设具体数量时，要注意两点：一是所设数量要尽量小一些；二是所设的数量要便于分析数量关系和计算。 [size=+0]（一）设具体数量 [size=+0]例[size=+0]1[size=+0]一艘轮船从甲港开往乙港，去时顺水，每小时行驶[size=+0]30千米；返回时逆水，每小时行驶20千米。求这艘轮船往返的平均速度。（适于五年级程度） [size=+0]解：甲、乙两港之间的路程没有给，要求往返的平均速度就比较困难。我们可以设甲、乙两港之间的路程为[size=+0]60千米（60是轮船往返速度30和20的最小公倍数）。 [size=+0]这样去时用的时间是： [size=+0]60÷30=2（小时） [size=+0]返回时用的时间是： [size=+0]60÷20=3（小时） [size=+0]往返一共用的时间是： [size=+0]3+2=5（小时） [size=+0]往返的平均速度是： [size=+0]60×2÷5=24（千米/小时） [size=+0]综合算式： [size=+0]60×2÷（60÷30+60÷20） [size=+0]=120÷（2+3） [size=+0]=120÷5 [size=+0]=24（千米/小时） [size=+0]答略。 [size=+0]*例2光华小学中、高年级共有学生600名，如果中年级派出本年级人数 [size=+0] [size=+0]位“[size=+0]1”。假设高年级增加20名学生，这样中、高年级人数从原来的600名增加到： [size=+0]600+20=620（名） [size=+0] [size=+0]中年级人数是： [size=+0] [size=+0]高年级的人数是： [size=+0]600-320=280（人） [size=+0]答略。

[size=+0]例[size=+0]3[size=+0]某人骑一辆自行车从甲地去乙地，每小时行[size=+0]15千米；从乙地回到甲地，每小时行10千米。求此人骑自行车往返甲、乙两地的平均速度。（适于六年级程度）
[size=+0]解：题中缺少“甲、乙两地的距离”的具体数量。我们可以任意设一个数为甲、乙两地的路程。
[size=+0]如设[size=+0]30千米为甲、乙两地路程，这辆自行车往返甲、乙两地的平均速度是：

[size=+0]

[size=+0]答略。
[size=+0]此题如设[size=+0]20千米为甲、乙两地的路程，那么，可列式为20×2÷
[size=+0]
[size=+0]辆自行车往返甲、乙两地的平均速度都是[size=+0]12千米/小时。

[size=+0]例[size=+0]4[size=+0]用甲、乙两台收割机分别收割一块地的小麦时，甲用[size=+0]6小时可以收割完，乙用4小时可以收割完。用这两台收割机同时收割这块地，多少小时可以收割完？（适于五年级程度）
[size=+0]解：因为这块地的亩数是个未知的数量，所以对没学过用“解工程问题”的方法解应用题的学生是一道难题。如果假设出这块地的亩数是个已知的数量，此题就容易解了。
[size=+0]假设这块地是[size=+0]12亩（也可假设为6和4的其他公倍数，如24亩、36亩、48亩、60亩等。这里假设为12亩，是因为12是6和4的最小公倍数，这样便于计算）。则由题意得：

[size=+0]12÷（12÷6+12÷4）

[size=+0]=12÷（2+3）
[size=+0]=2.4（小时）
[size=+0]答：两台同时收割[size=+0]2.4小时可以收割完。

[size=+0]*例5有一堆苹果，如果平均分给大、小两个班的小朋友，每人可得6个；如果只分给大班，每人可得10个。如果只分给小班，每人可得几个？（适于五年级程度）
[size=+0]解法（[size=+0]1）：假设有120个苹果，则大、小两个班共有小朋友：

[size=+0]120÷6=20（人）

[size=+0]大班有：

[size=+0]120÷10=12（人）

[size=+0]小班有：

[size=+0]20-12=8（人）

[size=+0]小班每人可分得苹果：

[size=+0]120÷8=15（个）

[size=+0]综合算式：

[size=+0]120÷（120÷6-120÷10）

[size=+0]=120÷8
[size=+0]=15（个）
[size=+0]答：只分给小班，每人可得[size=+0]15个。
[size=+0]解法（[size=+0]2）：假设两个班的总人数是30人，则苹果的总个数是：

[size=+0]6×30=180（个）

[size=+0]大班人数是：

[size=+0]180÷10=18（人）

[size=+0]小班人数是：

[size=+0]30-18=12（人）

[size=+0]小班每人可分得苹果：

[size=+0]180÷12=15（个）

[size=+0]综合算式：

[size=+0]6×30÷（30-6×30÷10）

[size=+0]=180÷（30-18）
[size=+0]=15（个）
[size=+0]答略。
[size=+0]（二）设单位“[size=+0]1”

[size=+0]例[size=+0]1[size=+0]某食堂改造炉灶后，每天节约用煤[size=+0]60千克，这样原来计划用32天的煤，现在可以用48天。这堆煤共有多少千克？（适于六年级程度）
[size=+0]
[size=+0]
[size=+0]答略。

[size=+0]例[size=+0]2[size=+0]有一个正方体和一个长方体，长方体的长等于正方体的棱长，长方
[size=+0]
[size=+0]解：设正方体的棱长为[size=+0]1，那么正方体的体积是：

[size=+0]1×1×1=1

[size=+0]长方体的体积是：
[size=+0]
[size=+0]答略。

[size=+0]
[size=+0]设甲的钱数为单位[size=+0]1，这时因为甲的钱数是1，所以上面的关系式便成为：

[size=+0]

[size=+0]

[size=+0]

[size=+0]乙有人民币：

[size=+0]

[size=+0]答略。

[size=+0]例[size=+0]4[size=+0]在一次[size=+0]407人参加的歌手大赛中，没有获奖的女歌手占女歌手总数
[size=+0]
[size=+0]解：设女歌手的总人数为[size=+0]1。
[size=+0]从男女歌手总人数[size=+0]407人中，去掉没获奖的男歌手16人之后，（407-
[size=+0]=207（人）
[size=+0]男歌手的人数是：

[size=+0]407-207=200（人）

[size=+0]答略。

qdylz

解应用题时，用字母代表题中的未知数，使它和其他已知数同样参加列式、计算，从而求得未知数的解题方法，叫做代数法。代数法也就是列方程解应用题的方法。
[size=+0]学习用代数法解应用题，要以学过算术法解应用题为基础。我们知道用算术法解应用题时，未知数始终处于被追求的地位，除了要进行顺向思考，必要时还要进行逆向思考，所以有些应用题用算术法解答很困难，而用代数法解应用题，由于是用字母代表题中的未知数，因此只要把代表未知数的字母看作已知数来考虑问题，正确找出题中数量间的等量关系，就可以用代表未知数的字母和已知数共同组成一个等式（即方程），然后计算出未知数的值。这种解题思路直接、简单，可化难为易，特别是在解答比较复杂的应用题时用代数法就更容易。
[size=+0]小学生在开始学习用代数法解应用题时，可能不大习惯，会受到算术法解题思路的干扰，在解题过程中可能出现一些错误。为顺利地学好用代数法解应用题，应注意以下几个问题：
[size=+0]1.切实理解题意。通过读题，要明白题中讲的是什么意思，有哪些已知条件，未知条件是什么，已知条件与未知条件之间是什么关系。
[size=+0]2.在切实理解题意的基础上，用字母代表题中（设）未知数。通常用字母x代表未知数，题目问什么就用x代表什么。小学数学教材中，求列方程解答的应用题绝大多数都是这样的。
[size=+0]有些练习题在用代数法解答时，不能题中问什么都用[size=+0]x表示。x只表示题中另一个合适的未知数，这样才能顺利列出方程，求出所设的未知数。然后通过计算，求出题目要求的那个未知量。如果一道题要求两个或两个以上的未知数，这就要根据题目的具体情况，从思考容易、计算方便着眼，灵活选择一个用x表示，其他未知数用含有x的代数式表示。
[size=+0]3.根据等量关系列方程。要根据应用题中数量之间的等量关系列出方程。列方程要同时符合三个条件：（1）等号两边的式子表示的意义相同；（2）等号两边数量的单位相同；（3）等号两边的数量相等。如果一道应用题的数量有几个相等的关系，并且每一个都可以作为列方程的依据，这时要选择最简便、最明确的等量关系列出方程。
[size=+0]列方程时，如果未知数[size=+0]x只出现在等式的一端，要注意把含有未知数x的式子放在等式左边，这样解方程时比较方便。但不能在列方程时，只把表示未知数的一个字母x单独写在等号左端，因为这种列式的方法不是代数法，而仍然是算术法。
[size=+0]4.解方程。解方程是根据四则运算中各部分数之间的关系进行推算。计算要有理有据，书写格式要正确。
[size=+0]解出[size=+0]x的数值后，不必注单位名称。
[size=+0]5.先检验，后写答案。求出x的值以后，不要忙于写出答案，而是要先把x的值代入原方程进行检验，检验方程左右两边的得数是不是相等。如果方程左右两边的得数相等，则未知数的值是原方程的解；如果方程左右两边的数值不相等，那么所求出的未知数的值就不是原方程的解。这时就要重新检查：未知数设得对不对？方程列得对不对？计算过程有没有问题？……一直到找出问题的根源。值得注意的是：即使求出的未知数的值是原方程的解，也应仔细考虑一下，得出的这个值是否符合题意，是否有道理。当证明最后得数确实正确后再写出答案。
[size=+0]列方程解应用题的关键是找准等量关系，根据等量关系列出方程。找等量关系没有固定方法，考虑的角度不同，得出的等量关系式就不同。

[size=+0]（一）根据数量关系式找等量关系，列方程解题

[size=+0]例[size=+0]1[size=+0]一名工人每小时可以制作[size=+0]27个机器零件。要制作351个机器零件，要用多少小时？（适于五年级程度）
[size=+0]解：设制做[size=+0]351个机器零件，要用x小时。
[size=+0]根据“工作效率×时间[size=+0]=工作总量”这个数量关系，列方程得：

[size=+0]27x=351

[size=+0]x=351÷27
[size=+0]x=13
[size=+0]答：这名工人制作[size=+0]351个机器零件要用13个小时。
[size=+0]   
[size=+0]例[size=+0]2[size=+0]A、B两地相距510千米，甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，6小时后相遇。已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行多少千米？（适于五年级程度）
[size=+0]解：设乙车每小时行[size=+0]x千米。根据“部分数+部分数=总数”，列方程得：

[size=+0]45×6+6x=510

[size=+0]6x=510-45×6
[size=+0]6x=510-27O
[size=+0]6x=240
[size=+0]x=240÷6
[size=+0]x=40
[size=+0]答略。

[size=+0]（二）抓住关键词语找等量关系，列方程解题

[size=+0]例[size=+0]1[size=+0]长江的长度为[size=+0]6300千米，比京杭大运河（北京-杭州）全长的3倍还多918千米。求京杭大运河的全长是多少千米？（适于五年级程度）
[size=+0]解：根据“长江的长度为[size=+0]6300千米，比京杭大运河全长的3倍还多918千米”，可找出长江的全长与京杭大运河全长的等量关系：京杭大运河全长×3+918=长江全长。
[size=+0]设京杭大运河全长为[size=+0]x千米，列方程得：

[size=+0]3x+918=6300

[size=+0]3x=6300-918
[size=+0]3x=5382
[size=+0]x=1794
[size=+0]答略。
[size=+0]例[size=+0]2[size=+0]9头蓝鲸的最长寿命之和比6只乌龟的最长寿命之和多114年。乌龟的最长寿命是116年。求蓝鲸的最长寿命是多少年？（适于五年级程度）
[size=+0]解：根据“[size=+0]9头蓝鲸的最长寿命之和比6只乌龟的最长寿命之和多114年”，可以看出9头蓝鲸寿命之和与6只乌龟寿命之和的等量关系是：
[size=+0]蓝鲸的最长寿命×[size=+0]9-114=116×6。
[size=+0]设蓝鲸的最长寿命是[size=+0]x年，列方程得：

[size=+0]9x-114=116×6

[size=+0]9x=116×6+114
[size=+0]9x=810
[size=+0]x=90
[size=+0]答略。

[size=+0]（三）画图形找等量关系，列方程解题

[size=+0]例[size=+0]1[size=+0]某农场收割[size=+0]4000亩小麦，前3天每天收割700亩。剩下的要2天收完，每天要收割多少亩？（适于五年级程度）
[size=+0]解：根据题意作图[size=+0]27-1。

[size=+0]

[size=+0]由图[size=+0]27-1可以看出题中的等量关系是：“前3天收割的亩数+后2天收割的亩数=4000亩”。
[size=+0]设后[size=+0]2天每天收割x亩，列方程得：

[size=+0]700×3+2x=4000

[size=+0]2x=4000-700×3
[size=+0]2x=4000-2100
[size=+0]2x=1900
[size=+0]x=950
[size=+0]答略。
[size=+0][size=+0]例[size=+0]2[size=+0]甲、乙两列火车同时从相距[size=+0]360千米的两个车站相向开出，3小时后相遇。已知甲车每小时行55千米，乙车每小时行多少千米？（适于五年级程度）
[size=+0]解：根据题意作图[size=+0]27-2。

[size=+0]

[size=+0]从图[size=+0]27-2可以看出，甲、乙两列火车3小时共行36O千米，甲车行的路程+乙车行的路程=360千米。
[size=+0]设乙车每小时行[size=+0]x千米，列方程得：

[size=+0]55×3+3X=360

[size=+0]3x=360-165
[size=+0]3x=195
[size=+0]x=65
[size=+0]答略。

[size=+0]*例3甲、乙两地相距60千米，自行车和摩托车同时从甲地驶往乙地，摩托车比自行车早到4小时，摩托车的速度是自行车速度的3倍。求摩托车和自行车的速度。（适于高年级程度）
[size=+0]解：作图[size=+0]27-3。用图中纵向线段表示时间，用横向线段表示速度。

[size=+0]

[size=+0]图[size=+0]27-3中线段AB表示自行车的速度，AC表示摩托车的速度；AG表示自行车用的时间，AF表示摩托车用的时间。矩形ABHG和ACDF的面积都是表示甲、乙两地的距离60千米。
[size=+0]设[size=+0]AB为x千米，则AC为3x千米。
[size=+0]
[size=+0]4x+20=60
[size=+0]4x=60-20
[size=+0]x=10
[size=+0]3x=30
[size=+0]答：自行车每小时行[size=+0]10千米，摩托车每小时行30千米。
[size=+0]（四）列表找等量关系，列方程解题

[size=+0]例[size=+0]1甲、乙两名车工共车了390个零件，车工甲每小时车30个，车工乙每小时车35个。他们共同工作多少小时才车完这批零件？（适于五年级程度）
[size=+0]解：设两人共同车了[size=+0]x小时。根据题意，列表27-1。
[size=+0]表[size=+0]27-1
[size=+0]
[size=+0]从表[size=+0]27-1可以看出，车工甲在x小时里共车30x个零件，车工乙在x小时里共车35x个零件。
[size=+0]根据题意，列方程：

[size=+0]30x+35x=390

[size=+0]65x=390
[size=+0]x=390÷65
[size=+0]x=6
[size=+0]答略。

[size=+0]*例231名学生去划船，分乘3只大船和4只小船，每只大船坐5名学生，每只小船坐几名学生？（适于高年级程度）
[size=+0]解：设每只小船坐[size=+0]x名学生。根据题意列出表27-2。
[size=+0]表[size=+0]27-2
[size=+0]
[size=+0]从表[size=+0]27-2看出，大船上坐的人数+小船上坐的人数=31人。大船上的人数是5×3名，小船上的人数是4x名。
[size=+0]列方程：

[size=+0]5×3+4x=31

[size=+0]4x=31-15
[size=+0]4x=16
[size=+0]x=4
[size=+0]答略。
[size=+0]（五）根据公式找等量关系，列方程解题

[size=+0]例[size=+0]1一个三角形的面积是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？（适于五年级程度）
[size=+0]解：设三角形的高是[size=+0]x厘米。
[size=+0]根据三角形的面积公式“底×高÷[size=+0]2=三角形面积”，列方程：

[size=+0]25x÷2=100

[size=+0]25x=100×2
[size=+0]x=100×2÷25
[size=+0]x=8
[size=+0]答略。

[size=+0]例[size=+0]2[size=+0]图[size=+0]27-4梯形的面积是1050平方厘米，下底长18厘米，高30厘米。上底长是多少厘米？（适于五年级程度）

[size=+0]

[size=+0]解：设梯形的上底为[size=+0]x厘米。
[size=+0]根据梯形的面积公式“（上底[size=+0]+下底）×高÷2=梯形面积”，列方程：

[size=+0]（[size=+0]x+18）×30÷2=1050

[size=+0]（[size=+0]x+18）=1050×2÷30
[size=+0]x=70-18
[size=+0]x=52
[size=+0]答略。

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[size=+0]我们把由某事物而想起其他相关的事物，由某概念而想起其他相关的概念，由某种解题方法而想起其他解题方法，从而使问题得到解决的解题方法叫做联想法。 [size=+0]通过联想，可以把感知过的客观事物中那些接近的、相似的、对立的，或有一定因果关系的事物建立某种联系，从而沟通知识之间的逻辑关系，促进知识之间、方法之间的迁移和同化，有利于认识新事物、产生新的设想。 [size=+0]（一）纵向联想 [size=+0]这是把问题的前后条件联系起来思考的方法。 [size=+0] [size=+0]进红皮球[size=+0]20只，这时红皮球正好占皮球总数的60％。现在有红皮球和白皮球各多少只？（适于六年级程度） [size=+0] [size=+0]4份。后来又买进红皮球20只，这时红皮球正好占皮球总数的60％，由此联想到：现在皮球的总只数中，红皮球占6份，白皮球占4份。 [size=+0]可见，白皮球占的份数没有起变化，红皮球的份数增加了[size=+0]6-5=1（份）。因为增加了20只红皮球是增加了1份。所以1份就是20只皮球。 [size=+0]红皮球这时占[size=+0]6份，红皮球的只数是： [size=+0]20×6=120（只） [size=+0]白皮球占[size=+0]4份，白皮球的只数是： [size=+0]20×4=80（只） [size=+0]答略。

[size=+0]（二）横向联想

[size=+0]这是指从一个问题想到另一个问题的思考方法。

[size=+0]例[size=+0]东风小学五、六年级的同学共植树[size=+0]330棵。已知五年级植树的棵数
[size=+0]
[size=+0]六年级植树：
[size=+0]

[size=+0]或[size=+0]330-180=150（棵）

[size=+0]由分数解法联想到按比例分配的解法。
[size=+0]
[size=+0]六年级植树：
[size=+0]
[size=+0]答略。
[size=+0]（三）多角度联想

[size=+0]这是指对一个问题从几个不同的角度进行思考的方法。

[size=+0]例[size=+0]图[size=+0]28-1半圆空白部分的面积是7.85平方厘米，求阴影部分的面积？（适于六年级程度）

[size=+0]

[size=+0]解：
[size=+0]（[size=+0]1）用归一法解。先求出右边扇形圆心角为1°时的面积，再求出阴影部分扇形圆心角度数，然后求出阴影部分面积。
[size=+0]7.85÷100=0.0785（平方厘米）
[size=+0]180°-100°=80°
[size=+0]0.0785×80=6.28（平方厘米）
[size=+0]（[size=+0]2）由归一法解联想到用倍比法来解。求出图中阴影扇形圆心角度数是空白扇形圆心角度数的倍数，再根据空白部分的面积7.85平方厘米是阴影部分面积的倍数，然后求出阴影部分的面积。
[size=+0]（[size=+0]3）由倍比法解又联想到用解分数应用题的方法来解。先求出右边空白扇形圆心角度数是所在半圆圆心角度数的几分之几，再求出半圆面积，然后从半圆面积中减去空白部分的面积，就得到阴影面积。
[size=+0]
[size=+0]设图中阴影部分面积为[size=+0]x平方厘米

[size=+0]

[size=+0]答略。
[size=+0][size=+0]（四）由具体到抽象的联想

[size=+0]例[size=+0]车站有货物[size=+0]45吨，用甲汽车10小时可以运完，用乙汽车15小时可以运完。用两辆汽车同时运，多少小时可以运完？（适于六年级程度）
[size=+0]解：根据具体的工作量、工作效率和工作时间之间的关系有：
[size=+0]（[size=+0]1）甲汽车每小时的工作量（工作效率）：

[size=+0]45÷10=4.5（吨）

[size=+0]（[size=+0]2）乙汽车每小时的工作量（工作效率）：

[size=+0]45÷15=3（吨）

[size=+0]（[size=+0]3）甲乙两汽车每小时的工作量（工作效率）的和：

[size=+0]4.5+3=7.5（吨）

[size=+0]（[size=+0]4）两辆汽车同时运所需时间：

[size=+0]45÷7.5=6（小时）

[size=+0]由具体的工作总量、工作效率和工作时间之间的关系，联想到抽象的工作总量、工作效率和工作时间之间的关系。
[size=+0]
[size=+0]
[size=+0]答略。
[size=+0]（五）由部分到整体的联想

[size=+0]例[size=+0]图[size=+0]28-2是一个机器零件图，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）

[size=+0]

[size=+0]解：图[size=+0]28-2中阴影部分的面积由四个部分组成，分别求出它们的面积，再求几个部分面积的和是比较麻烦的。如果把这个图形经过旋转和翻折转化成图28-3，那么，只要计算出一个边长是4÷2=2（厘米）的正方形的面积就可以了。
[size=+0]答略。

[size=+0]（六）由一般到特殊的联想

[size=+0]例[size=+0]前进机器厂，计划生产[size=+0]2400个机器零件，实际上在前3小时就完成了计划的40％，照这样计算，几小时可以完成任务？（适于六年级程度）
[size=+0]解：一般解法是先求出前[size=+0]3小时生产多少个机器零件，再求出平均每小时生产多少个机器零件，然后求出生产2400个机器零件需要的时间。

[size=+0]2400÷（2400×40％÷3）

[size=+0]=2400÷320
[size=+0]=7.5（小时）
[size=+0]由一般解法联想到特殊解法。
[size=+0]把计划生产[size=+0]2400个机器零件需要的时间看作1，由“实际上在前3小时就完成了计划的40％”可知“3小时”与
[size=+0]“[size=+0]40％”正好是对应关系。因此，可直接列出算式：

[size=+0]3÷40％=7.5（小时）

[size=+0]答略。
[size=+0][size=+0]（七）由一种方法联想到另一种方法

[size=+0]这是指解决某个问题时，由一种方法想到另一些方法的思考方法。

[size=+0]例[size=+0]1[size=+0]木材公司运进一批木材，垛成如图[size=+0]28-4的形状。已知最底层是102根，以上每层少1根，共有32层，求这些木材共有多少根？（适于六年级程度）

[size=+0]

[size=+0]解：解这个题，当然可以把[size=+0]32层的32个数加起来，但是太麻烦，应该想一个能反映规律的办法。
[size=+0]观察它的截面，很容易同等腰梯形发生联想，梯形有上底、下底和高，于是联想到借用梯形的面积公式，或者说仿照梯形面积公式找出一个反映规律的公式，问题就可以解决了。

[size=+0]（[size=+0]102+71）×32÷2

[size=+0]答略。

[size=+0]例[size=+0]2[size=+0]某工人原计划用[size=+0]42天的时间完成一批零件的加工任务，实际前12天就完成了任务的40％，剩下的零件比已完成的多21600个。照这样的工作效率，可以提前几天完成任务？（适于六年级程度）
[size=+0]解：先用一般解法。求出总任务的个数：

[size=+0]21600÷（1-40％-40％）

[size=+0]=21600÷20％
[size=+0]=108000（个）
[size=+0]再求提前完成天数：

[size=+0]42-12-[108000×（1-40％）÷（108000×40％÷12）]

[size=+0]=30-[64800÷3600]
[size=+0]=30-18
[size=+0]=12（天）
[size=+0]如果运用联想转化来解题，就不难发现，在工作效率一定的情况下，工作时间和工作量成正比例关系。也就是说前[size=+0]12天的工作量与总工作量的比率同前12天的工作时间与实际完成的工作时间的比率是一样的。因此可以由“实际前12天占实际完成任务所需时间的40％”，从而立即求出实际完成任务的天数是：

[size=+0]12÷40％=30（天）

[size=+0]提前完成任务的天数是：

[size=+0]42-30=12（天）

[size=+0]答略。

[size=+0]
[size=+0]剩下的数量正好相等。两堆煤原来各有多少吨？（适于六年级程度）
[size=+0]解：先用一般方法解。先求甲堆煤的吨数。
[size=+0]因为两堆煤剩下的数量正好相等，所以把两堆煤剩下的数量分别看作[size=+0]1，则甲堆煤原来的数量是：
[size=+0]
[size=+0]甲堆煤的吨数是：

[size=+0]270÷（5+4）×5

[size=+0]=270÷9×5
[size=+0]=150（吨）
[size=+0]乙堆煤的吨数是：

[size=+0]270-150=120（吨）

[size=+0]此题如果运用联想法，可获得简捷的解题思路。
[size=+0]
[size=+0]两堆煤运走后剩下的数量相等，可见甲堆的[size=+0]1份等于乙堆的1份。
[size=+0]又已知两堆煤有[size=+0]270吨，共有（5+4）份，联想到整数归一应用题，便可轻而易举地求出甲堆煤原来的吨数：

[size=+0]270÷（5+4）×5

[size=+0]=270÷9×5
[size=+0]=30×5
[size=+0]=150（吨）
[size=+0]乙堆煤原有吨数：

[size=+0]270÷（5+4）×4

[size=+0]=270÷9×4
[size=+0]=30×4
[size=+0]=120（吨）
[size=+0]答略。
[size=+0][size=+0]（八）情境联想

[size=+0]这是指回到问题的情境中去思考问题的方法。

[size=+0]例[size=+0]有一个运动场（如图[size=+0]28-5），两头是半圆形，中间是长方形，这个运动场的周长是多少？面积是多少？（适于六年级程度）

[size=+0]

[size=+0]解：有的同学对图中的两个“[size=+0]72米”，要不要作为周长来计算拿不定主意。我们可以联想在操场或运动场赛跑时的情境，就知道两个“72米”在赛跑时是不要跑的，因此跑道的长度是：

[size=+0]87×2+3.14×72÷2×2

[size=+0]=174+226.08
[size=+0]=400.08（米）
[size=+0]运动场的面积，也可联想实际情况而正确地算出：

[size=+0]

[size=+0]答略。
[size=+0]（九）因果联想

[size=+0]*例如图28-6，△ABC是等腰直角三角形，斜边BC=6cm，求阴影部分的面积（适于六年级程度）

[size=+0]

[size=+0]解：我们从条件与问题所涉及的角和边展开联想：
[size=+0]（[size=+0]1）因为△ABC是等腰直角三角形，所以联想到，

[size=+0]∠[size=+0]1=∠2=45°

[size=+0]（[size=+0]2）因为AD是斜边上的高，所以联想到，
[size=+0]

[size=+0]

[size=+0]
[size=+0]（[size=+0]5）因为阴影部分的面积，等于等腰直角三角形面积减去两个扇形面积，所以得出：

[size=+0]9-7.065=1.935（平方厘米）

[size=+0]答略。