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[size=+0]流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。在小学数学中涉及到的题目，一般是匀速运动的问题。这类问题的主要特点是，水速在船逆行和顺行中的作用不同。 [size=+0]流水问题有如下两个基本公式： [size=+0]顺水速度[size=+0]=船速+水速         （1） [size=+0]逆水速度[size=+0]=船速-水速         （2） [size=+0]这里，顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在静水中单位时间里所行的路程；水速是指水在单位时间里流过的路程。 [size=+0]公式（[size=+0]1）表明，船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流速度之和。这是因为顺水时，船一方面按自己在静水中的速度在水面上行进，同时这艘船又在按着水的流动速度前进，因此船相对地面的实际速度等于船速与水速之和。 [size=+0]公式（[size=+0]2）表明，船逆水航行时的速度等于船在静水中的速度与水流速度之差。 [size=+0]根据加减互为逆运算的原理，由公式（[size=+0]1）可得： [size=+0]水速[size=+0]=顺水速度-船速         （3） [size=+0]船速[size=+0]=顺水速度-水速         （4） [size=+0]由公式（[size=+0]2）可得： [size=+0]水速[size=+0]=船速-逆水速度         （5） [size=+0]船速[size=+0]=逆水速度+水速         （6） [size=+0]这就是说，只要知道了船在静水中的速度、船的实际速度和水速这三者中的任意两个，就可以求出第三个。 [size=+0]另外，已知某船的逆水速度和顺水速度，还可以求出船速和水速。因为顺水速度就是船速与水速之和，逆水速度就是船速与水速之差，根据和差问题的算法，可知： [size=+0]船速[size=+0]=（顺水速度+逆水速度）÷2   （7） [size=+0]水速[size=+0]=（顺水速度-逆水速度）÷2   （8） [size=+0]*例1一只渔船顺水行25千米，用了5小时，水流的速度是每小时1千米。此船在静水中的速度是多少？（适于高年级程度） [size=+0]解：此船的顺水速度是： [size=+0]25÷5=5（千米/小时） [size=+0]因为“顺水速度[size=+0]=船速+水速”，所以，此船在静水中的速度是“顺水速度-水速”。 [size=+0]5-1=4（千米/小时） [size=+0]综合算式： [size=+0]25÷5-1=4（千米/小时） [size=+0]答：此船在静水中每小时行[size=+0]4千米。

[size=+0]*例2一只渔船在静水中每小时航行4千米，逆水4小时航行12千米。水流的速度是每小时多少千米？（适于高年级程度）
[size=+0]解：此船在逆水中的速度是：

[size=+0]12÷4=3（千米/小时）

[size=+0]因为逆水速度[size=+0]=船速-水速，所以水速=船速-逆水速度，即：

[size=+0]4-3=1（千米/小时）

[size=+0]答：水流速度是每小时[size=+0]1千米。

[size=+0]*例3一只船，顺水每小时行20千米，逆水每小时行12千米。这只船在静水中的速度和水流的速度各是多少？（适于高年级程度）
[size=+0]解：因为船在静水中的速度[size=+0]=（顺水速度+逆水速度）÷2，所以，这只船在静水中的速度是：

[size=+0]（[size=+0]20+12）÷2=16（千米/小时）

[size=+0]因为水流的速度[size=+0]=（顺水速度-逆水速度）÷2，所以水流的速度是：

[size=+0]（[size=+0]20-12）÷2=4（千米/小时）

[size=+0]答略。

[size=+0]*例4某船在静水中每小时行18千米，水流速度是每小时2千米。此船从甲地逆水航行到乙地需要15小时。求甲、乙两地的路程是多少千米？此船从乙地回到甲地需要多少小时？（适于高年级程度）
[size=+0]解：此船逆水航行的速度是：

[size=+0]18-2=16（千米/小时）

[size=+0]甲乙两地的路程是：

[size=+0]16×15=240（千米）

[size=+0]此船顺水航行的速度是：

[size=+0]18+2=20（千米/小时）

[size=+0]此船从乙地回到甲地需要的时间是：

[size=+0]240÷20=12（小时）

[size=+0]答略。
[size=+0]*例5某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲港开往乙港共用8小时。已知水速为每小时3千米。此船从乙港返回甲港需要多少小时？（适于高年级程度）
[size=+0]解：此船顺水的速度是：

[size=+0]15+3=18（千米/小时）

[size=+0]甲乙两港之间的路程是：

[size=+0]18×8=144（千米）

[size=+0]此船逆水航行的速度是：

[size=+0]15-3=12（千米/小时）

[size=+0]此船从乙港返回甲港需要的时间是：

[size=+0]144÷12=12（小时）

[size=+0]综合算式：

[size=+0]（[size=+0]15+3）×8÷（15-3）

[size=+0]=144÷12
[size=+0]=12（小时）
[size=+0]答略。

[size=+0]*例6甲、乙两个码头相距144千米，一艘汽艇在静水中每小时行20千米，水流速度是每小时4千米。求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时，由乙码头到甲码头逆水而行需要多少小时？（适于高年级程度）
[size=+0]解：顺水而行的时间是：

[size=+0]144÷（20+4）=6（小时）

[size=+0]逆水而行的时间是：

[size=+0]144÷（20-4）=9（小时）

[size=+0]答略。

[size=+0]*例7一条大河，河中间（主航道）的水流速度是每小时8千米，沿岸边的水流速度是每小时6千米。一只船在河中间顺流而下，6.5小时行驶260千米。求这只船沿岸边返回原地需要多少小时？（适于高年级程度）
[size=+0]解：此船顺流而下的速度是：

[size=+0]260÷6.5=40（千米/小时）

[size=+0]此船在静水中的速度是：

[size=+0]40-8=32（千米/小时）

[size=+0]此船沿岸边逆水而行的速度是：

[size=+0]32-6=26（千米/小时）

[size=+0]此船沿岸边返回原地需要的时间是：

[size=+0]260÷26=10（小时）

[size=+0]综合算式：

[size=+0]260÷（260÷6.5-8-6）

[size=+0]=260÷（40-8-6）
[size=+0]=260÷26
[size=+0]=10（小时）
[size=+0]答略。
[size=+0][size=+0]*例8一只船在水流速度是2500米/小时的水中航行，逆水行120千米用24小时。顺水行150千米需要多少小时？（适于高年级程度）
[size=+0]解：此船逆水航行的速度是：

[size=+0]120000÷24=5000（米/小时）

[size=+0]此船在静水中航行的速度是：

[size=+0]5000+2500=7500（米/小时）

[size=+0]此船顺水航行的速度是：

[size=+0]7500+2500=10000（米/小时）

[size=+0]顺水航行[size=+0]150千米需要的时间是：

[size=+0]150000÷10000=15（小时）

[size=+0]综合算式：

[size=+0]150000÷（120000÷24+2500×2）

[size=+0]=150000÷（5000+5000）
[size=+0]=150000÷10000
[size=+0]=15（小时）
[size=+0]答略。

[size=+0]*例9一只轮船在208千米长的水路中航行。顺水用8小时，逆水用13小时。求船在静水中的速度及水流的速度。（适于高年级程度）
[size=+0]解：此船顺水航行的速度是：

[size=+0]208÷8=26（千米/小时）

[size=+0]此船逆水航行的速度是：

[size=+0]208÷13=16（千米/小时）

[size=+0]由公式船速[size=+0]=（顺水速度+逆水速度）÷2，可求出此船在静水中的速度是：

[size=+0]（[size=+0]26+16）÷2=21（千米/小时）

[size=+0]由公式水速[size=+0]=（顺水速度-逆水速度）÷2，可求出水流的速度是：

[size=+0]（[size=+0]26-16）÷2=5（千米/小时）

[size=+0]答略。
[size=+0]*例10A、B两个码头相距180千米。甲船逆水行全程用18小时，乙船逆水行全程用15小时。甲船顺水行全程用10小时。乙船顺水行全程用几小时？（适于高年级程度）
[size=+0]解：甲船逆水航行的速度是：

[size=+0]180÷18=10（千米/小时）

[size=+0]甲船顺水航行的速度是：

[size=+0]180÷10=18（千米/小时）

[size=+0]根据水速[size=+0]=（顺水速度-逆水速度）÷2，求出水流速度：

[size=+0]（[size=+0]18-10）÷2=4（千米/小时）

[size=+0]乙船逆水航行的速度是：

[size=+0]180÷15=12（千米/小时）

[size=+0]乙船顺水航行的速度是：

[size=+0]12+4×2=20（千米/小时）

[size=+0]乙船顺水行全程要用的时间是：

[size=+0]180÷20=9（小时）

[size=+0]综合算式：

[size=+0]180÷[180÷15+（180÷10-180÷18）÷2×3]

[size=+0]=180÷[12+（18-10）÷2×2]
[size=+0]=180÷[12+8]
[size=+0]=180÷20
[size=+0]=9（小时）
[size=+0]答略。

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[size=+0]植树问题是研究植树地段的全长、间隔距离、株数三种数量之间的关系的应用题。植树应用题基本分为两类：沿路旁植树；沿周长植树。 [size=+0]沿路旁植树，因为首尾两端都要种一棵，所以植树棵数要比分成的段数多[size=+0]1；沿周长植树，因为首尾两端重合在一起，所以，植树的棵数和所分成的段数相等。 [size=+0]解答植树问题的基本方法是： [size=+0]（[size=+0]1）沿路旁植树 [size=+0]棵数[size=+0]=全长÷间隔+1 [size=+0]间隔[size=+0]=全长÷（棵数-1） [size=+0]全长[size=+0]=间隔×（棵数-1） [size=+0]（[size=+0]2）沿周长植树 [size=+0]棵数[size=+0]=全长÷间隔 [size=+0]间隔[size=+0]=全长÷棵数 [size=+0]全长[size=+0]=间隔×棵数 [size=+0]（一）沿路旁植树 [size=+0]例[size=+0]1[size=+0]有一段路长[size=+0]720米，在路的一边每间隔3米种1棵树。问这样可以种多少棵树？（适于三年级程度） [size=+0]解：根据棵数[size=+0]=全长÷间隔+1的关系，可得： [size=+0]720÷3+1 [size=+0]=240+1 [size=+0]=241（棵） [size=+0]答：可以种[size=+0]241棵树。 [size=+0]例[size=+0]2[size=+0]在某城市一条柏油马路上，从始发站到终点站共有[size=+0]14个车站，每两个车站间的平均距离是1200米。这条马路有多长？（适于三年级程度） [size=+0]解：根据全长[size=+0]=间隔×（棵数-1）的关系，可得： [size=+0]1200×（14-1） [size=+0]=1200×13 [size=+0]=15600（米） [size=+0]答：这条马路长[size=+0]15600米。

[size=+0]例[size=+0]3[size=+0]要在[size=+0]612米长的水渠的一岸植树154棵。每相邻两棵树间的距离是多少米？（适于三年级程度）
[size=+0]解：根据“间隔[size=+0]=全长÷（棵数-1）”的关系，可得：

[size=+0]612÷（154-1）

[size=+0]=612÷153
[size=+0]=4（米）
[size=+0]答：每相邻两棵树间的距离是[size=+0]4米。

[size=+0]例[size=+0]4[size=+0]两座楼房之间相距[size=+0]60米，现要在两座楼房之间栽树9棵。每两棵树的间隔是多少米？（适于三年级程度）
[size=+0]解：因为在[size=+0]60米的两端是两座楼房，不能紧挨着楼房的墙根栽树，所以，把60米平均分成的段数要比树的棵数多1。由距离和段数便可求出两棵树之间的距离：

[size=+0]60÷（9+1）

[size=+0]=60÷10
[size=+0]=6（米）
[size=+0]答：每两棵树的间隔是[size=+0]6米。

[size=+0]*例5原计划沿公路一旁埋电线杆301根，每相邻两根间的距离50米。实际上在公路一旁只埋了201根电线杆。求实际上每两根电线杆之间的距离。（适于四年级程度）
[size=+0]解：题中所埋电线杆的根数比段数多[size=+0]1，因此在计算段数时，要从根数减去1，才得段数。

[size=+0]50×（301-1）÷（201-1）

[size=+0]=50×300÷200
[size=+0]=75（米）
[size=+0]答：实际上每两根电线杆之间的距离是[size=+0]75米。
[size=+0]（二）沿周长植树

[size=+0]例[size=+0]1[size=+0]在周长是[size=+0]480米的圆形养鱼池周围，每隔12米栽一棵树。一共可以栽多少棵树？（适于三年级程度）
[size=+0]解：根据棵数[size=+0]=全长÷间隔，可求出一共栽树的棵数：

[size=+0]480÷12=40（棵）

[size=+0]答：一共可以栽[size=+0]40棵树。

[size=+0]例[size=+0]2[size=+0]一个圆形湖的周长是[size=+0]945米，沿着湖的周长栽了270棵树。求相邻两棵树间的距离是多少米？（适于三年级程度）
[size=+0]解：

[size=+0]945÷270=3.5（米）

[size=+0]答：相邻两棵树间的距离是[size=+0]3.5米。

[size=+0]例[size=+0]3[size=+0]一块长方形场地，长[size=+0]300米，宽比长少50米。从这个长方形的一个角开始，沿长方形的周长栽树，每隔10米栽一棵。这块场地周围可以栽树多少棵？（适于四年级程度）
[size=+0]解：先求出长方形场地的周长，再求可栽树多少棵。

[size=+0]（[size=+0]300+300-50）×2÷10

[size=+0]=550×2÷10
[size=+0]=1100÷10
[size=+0]=110（棵）
[size=+0]答：可以栽树[size=+0]110棵。
[size=+0]*例4有一个圆形花坛，绕它走一圈是120米。如果在花坛周围每隔6米栽一株丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花。可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？每2株紧相邻的月季花相距多少米？（适于四年级程度）
[size=+0]解：根据棵数[size=+0]=全长÷间隔可求出栽丁香花的株数：

[size=+0]120÷6=20（株）

[size=+0]由于是在每相邻的[size=+0]2株丁香花之间栽2株月季花，丁香花的株数与丁香花之间的间隔数相等，因此，可栽月季花：

[size=+0]2×20=40（株）

[size=+0]由于[size=+0]2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的，而2株丁香花之间的距离被2株月季花分为3等份，因此紧相邻2株月季花之间距离为：

[size=+0]6÷3=2（米）

[size=+0]答：可栽丁香花[size=+0]20株，可栽月季花40株，2株紧相邻月季花之间相距2米。

[size=+0]例[size=+0]5[size=+0]在圆形水池边植树，把树植在距离岸边均为[size=+0]3米的圆周上，按弧长计算，每隔2米植一棵树，共植了314棵。水池的周长是多少米？（适于六年级程度）
[size=+0]解：先求出植树线路的长。植树线路是一个圆的周长，这个圆的周长是：

[size=+0]2×314=628（米）

[size=+0]这个圆的直径是：

[size=+0]628÷3.14=200（米）

[size=+0]由于树是植在距离岸边均为[size=+0]3米的圆周上，所以圆形水池的直径是：

[size=+0]200-3×2=194（米）

[size=+0]圆形水池的周长是：

[size=+0]194×3.14=609.16（米）

[size=+0]综合算式：

[size=+0]（[size=+0]2×314÷3.14-3×2）×3.14

[size=+0]=（200-6）×3.14
[size=+0]=194×3.14
[size=+0]=609.16（米）
[size=+0]答略。

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[size=+0]研究时钟的长针（分针）与短针（时针）成直线、成直角与重合的问题，叫做时钟问题。 [size=+0]钟表的分针每小时走[size=+0]60个小格，而时针每小时只走5个小格；分针每分 [size=+0] [size=+0]出题中所要求的时间。 [size=+0]解题规律： [size=+0]（[size=+0]1）求两针成直线所需要的时间，有： [size=+0] [size=+0]（[size=+0]3）求两针重合所需要的时间，有： [size=+0] [size=+0]求出所需要的时间后，再加上原来的时刻，就得出两针形成各种不同位置的时刻。 [size=+0]（一）求两针成直线所需要的时间 [size=+0]*例1在7点钟到8点钟之间，分针与时针什么时候成直线？（适于高年级程度） [size=+0]解：在[size=+0]7点钟的时候，分针在时针后面（图39-1）： [size=+0] [size=+0]5×7=35（格） [size=+0]当分针与时针成直线时，两针的间隔是[size=+0]30格。因此，只需要分针追上时针： [size=+0]35-30=5（格） [size=+0] [size=+0] [size=+0]综合算式： [size=+0] [size=+0]

[size=+0]*例2在4点与5点之间，分针与时针什么时候成直线？（适于高年级程度）
[size=+0]解：[size=+0]4点钟时，分针在时针的后面（图39-2）：

[size=+0]

[size=+0]5×4=20（格）

[size=+0]当分针与时针成直线时，分针不仅要追上已落后的[size=+0]20格，还要超过时针30格，所以一共要追上：

[size=+0]20+30=50（格）

[size=+0]

[size=+0]

[size=+0]综合算式：
[size=+0]

[size=+0]（二）求两针成直角所需要的时间

[size=+0]*例1在6点到7点之间，时针与分针什么时候成直角？（适于高年级程度）
[size=+0]解：分针与时针成直角时，分针在时针前面[size=+0]15格或时针后面15格，因此，本题有两个答案。
[size=+0]（[size=+0]1）6点钟时，分针在时针后面（图39-3）：

[size=+0]

[size=+0]5×6=30（格）

[size=+0]因为两针成直角时，分针在时针后面[size=+0]15格，所以分针追上时针的格数是：

[size=+0]30-15=15（格）

[size=+0]

[size=+0]

[size=+0]综合算式：

[size=+0]

[size=+0]（[size=+0]2）以上是两针第一次成直角的时刻。当两针第二次成直角时，分针在时针前面15格，所以分针不仅追上时针，而且要超过时针：

[size=+0]5×6+15=45（格）

[size=+0]

[size=+0]

[size=+0]综合算式：

[size=+0]

[size=+0]
[size=+0]*例2在1点到2点之间，时针与分针在什么时候成直角？（适于高年级程度）
[size=+0]解：[size=+0]1点钟时，分针在时针后面：

[size=+0]5×1=5（格）

[size=+0]当分针与时针成直角时，两针间隔是[size=+0]15格，因此，分针不仅要追上时针5格，而且要超过时针15格，分针实际追上时针的格数是：

[size=+0]5+15=20（格）

[size=+0]

[size=+0]

[size=+0]综合算式：

[size=+0]

[size=+0]当分针走到时针前面[size=+0]45格（也就是走到时针后面15格）时，两针也成直角。因此，所需时间是：
[size=+0]

[size=+0]*例3在11点与12点之间，时针与分针在什么时候成直角？（适于高年级程度）
[size=+0]解：在[size=+0]11点钟时，分针在时针后面：

[size=+0]5×11=55（格）

[size=+0]第一次两针成直角时，分针是在时针后面[size=+0]45格，因此，分针需要追上时针的格数是：

[size=+0]55-45=10（格）

[size=+0]

[size=+0]

[size=+0]综合算式：

[size=+0]

[size=+0]
[size=+0]
[size=+0]（三）求两针重合所需要的时间

[size=+0]在[size=+0]11点到1点之间，两针除在12点整重合外，其他每一点钟之间都有一次重合。
[size=+0]*例13点钟到4点钟之间，分针与时针在什么时候重合？（适于高年级程度）
[size=+0]解：在[size=+0]3点钟时，分针在时针后面：

[size=+0]5×3=15（格）

[size=+0]
[size=+0]

[size=+0]*例2在4点与5点之间，两针什么时候重合？（适于高年级程度）
[size=+0]解：在[size=+0]4点钟时，分针在时针后面5×4格，分针只要追上时针4×5格，两针就重。
[size=+0]

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[size=+0]利用几何图形的变换解答几何题的方法叫做几何变换法。 [size=+0]在实际生产和生活中，几何形体往往不是以标准的形状出现，而是以比较复杂的组合图形出现，很难直接利用公式计算其面积或体积。如果在保持图形的面积或体积不变的前提下，对图形进行适当的变换，就容易找出计算其面积或体积的方法。 [size=+0]（一）添辅助线法 [size=+0]有些组合图形按一般的思考方法好像已知条件不足，很难解答。如果在图形中添加适当的辅助线，就可能找到解题的途径。辅助线一般用虚线表示。 [size=+0]*例1求图40-1阴影部分的面积。（单位：平方米）（适于三年级程度） [size=+0]                [size=+0]解：图[size=+0]40-1中，右边两个部分的面积分别是20平方米和30平方米，所以可如图40-2那样添上三条辅助线，把整个长方形分成5等份。这样图中右边的五个小长方形的面积相等。同时，左边五个小长方形的面积也相等。左边每个小长方形的面积是： [size=+0]25÷2=12.5（平方米） [size=+0]所以，阴影部分的面积是： [size=+0]12.5×3=37.5（平方米） [size=+0]答略。 [size=+0]*例2如图40-3，一个平行四边形被分成两个部分，它们的面积差是10平方厘米，高是5厘米。求EC的长。（单位：厘米）（适于五年级程度） [size=+0]解：如图[size=+0]40-4，过E点作AB的平行线EF，则△AEF与△ABE是等底等高的三角形。所以，△AEF的面积与△ABE的面积相等。 [size=+0]               [size=+0]小平行四边形[size=+0]EFDC的面积就是10平方厘米。 [size=+0]因为它的高是[size=+0]5厘米，所以， [size=+0]EC=10÷5=2（厘米） [size=+0]答：[size=+0]EC长2厘米。

[size=+0]*例3如图40-5，已知图中四边形两条边的长度和三个角的度数，求这个四边形的面积。（单位：厘米）（适于五年级程度）
[size=+0]解：这是一个不规则的四边形，无法直接计算它的面积。
[size=+0]如图[size=+0]40-6，把AD和BC两条线段分别延长，使它们相交于E点。这样，四边形ABCD的面积就可以转化为△ABE的面积与△DCE的面积之差。

[size=+0]                  

[size=+0]在△[size=+0]ABE中，∠A是直角，∠B=45°，所以∠E=45°，即△ABE是等腰直角三角形。所以AB=AE=7（厘米），则△ABE的面积是：

[size=+0]7×7÷2=24.5（平方厘米）

[size=+0]在△[size=+0]DCE中，∠DCE是直角，∠E=45°，所以，∠CDE=45°，即△DCE是等腰直角三角形。所以，CD=CE=3厘米，则△DCE的面积是：

[size=+0]3×3÷2=4.5（平方厘米）

[size=+0]所以，四边形[size=+0]ABCD的面积是：

[size=+0]24.5-4.5=20（平方厘米）

[size=+0]答略。

[size=+0]（二）分割法

[size=+0]分割法是在一个复杂的几何图形中，添上一条或几条辅助线，把图形分割成若干个已学过的基本图形，然后分别计算出各图形的面积或体积，再将所得结果相加的解题方法。

[size=+0]例[size=+0]1[size=+0]计算图[size=+0]40-7的面积。（单位：厘米）（适于五年级程度）
[size=+0]解：如图[size=+0]40-8，在图中添上一条辅助线，把图形分割为一个梯形和一个长方形，分别计算出它们的面积，再把两个面积相加。

[size=+0]               

[size=+0]［[size=+0]2+（8-4）］×（6-4）÷2+4×8

[size=+0]=6+32
[size=+0]=38（平方厘米）
[size=+0]答：图形的面积是[size=+0]38平方厘米。
[size=+0]例[size=+0]2[size=+0]图[size=+0]40-9中，ABCD是长方形，AB=40厘米，BC=60厘米，E、F、G、H是各边的中点。求图中阴影部分的面积。（适于五年级程度）
[size=+0]解：如图[size=+0]40-10，在图中添加辅助线EG，使阴影部分被分割成为两个面积相等的三角形。先计算出一个三角形的面积，再把它的面积乘以2。
[size=+0]三角形的底是长方形的长，高是长方形的宽的一半。

[size=+0]                 

[size=+0]60×（40÷2）÷2×2

[size=+0]=60×20
[size=+0]=1200（平方厘米）
[size=+0]答：阴影部分的面积是[size=+0]1200平方厘米。

[size=+0]*例3求图40-11中各组合体的体积。（单位：厘米）（适于六年级程度）

[size=+0]

[size=+0]解：如图[size=+0]40-12，把各组合体分割为几个基本形体，然后分别求出每个基本形体的体积，再用加法、减法算出各组合体的体积。

[size=+0]

[size=+0]（三）割补法

[size=+0]在计算一些不规则的几何图形的面积时，把图形中凸出来的部分割下来，填补到相应的凹陷处，或较适当的位置，使图形组合成一个或几个规则的形状，再计算面积的解题方法叫做割补法。

[size=+0]例[size=+0]1[size=+0]求图[size=+0]40-13阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）
[size=+0]
[size=+0]成了一个梯形如图[size=+0]40-14，这个梯形的面积就是图40-13中的阴影部分的面积。

[size=+0]                     

[size=+0]

[size=+0]答：阴影部分的面积是[size=+0]45平方厘米。

[size=+0]*例2求图40-15中阴影部分的面积。（单位：米）（适于六年级程度）

[size=+0]

[size=+0]

[size=+0]

[size=+0]

[size=+0]16×16×2=512（平方米）

[size=+0]答：阴影部分的面积是[size=+0]512平方米。
[size=+0]*例3图40-17中，ABCD是正方形，ED=DA=AF=2厘米。求图中阴影部分的面积。（适于六年级程度）
[size=+0]解：经割补，把图[size=+0]40-17组合成图40-18。很容易看出，只要从正方形的面积中减去空白扇形的面积，便得到阴影部分的面积。

[size=+0]               

[size=+0]

[size=+0]答：图中阴影部分的面积是[size=+0]2.43平方厘米。

[size=+0]（四）平移法

[size=+0]在看不出几何图形面积的计算方法时，通过把图形的某一部分向某一方向平行移动一定的距离，使图形重新组合成可以看出计算方法的图形，从而计算出图形面积的解题方法叫做平移法。

[size=+0]例[size=+0]1[size=+0]计算图[size=+0]40-19中阴影部分的周长。（单位：厘米）（适于六年级程度）
[size=+0]解：把图[size=+0]40-19中右边正方形中的阴影部分向左平移5厘米，图40-19中的阴影部分便转化为图40-20中的正方形。图40-20中阴影正方形的面积就是图40-19阴影部分的面积。

[size=+0]                  

[size=+0]5×5=25（平方厘米）

[size=+0]答略。
[size=+0]*例2求图40-21中阴影部分的周长。（单位：厘米）（适于三年级程度）

[size=+0]

[size=+0]解：按图[size=+0]40-22箭头指示，把两条横向的线段向上平移到虚线处，再按图40-23箭头指示把垂直线段的一部分向右平移到虚线处，求图40-21阴影部分的周长便转化为求图40-24的周长和两条竖线长之和的问题了。

[size=+0]            

[size=+0]（[size=+0]5+4）×2+2×2

[size=+0]=9×2+4
[size=+0]=22（厘米）
[size=+0]答略。

[size=+0]*例3求图40-25S形水泥弯路面的面积。（单位：米）（适于三年级程度）

[size=+0]              

[size=+0]解：把图[size=+0]40-25中水泥弯路面左边的甲部分向右平移2米，使S形水泥路面的两条边重合，图40-25便转化为图40-26，S形水泥路面的面积转化为图40-26中的阴影部分的面积。
[size=+0]S形水泥路的面积是：

[size=+0]30×2=60（平方米）

[size=+0]答略。

[size=+0]（五）旋转法

[size=+0]将看不出计算方法的图形的一部分以某一点为中心旋转适当角度，使图形重新组合成能看出计算方法的形状，从而计算出图形面积的解题方法叫旋转法。

[size=+0]*例1计算图40-27阴影部分的面积。（单位：分米）（适于六年级程度）

[size=+0]
[size=+0]图[size=+0]40-27便转化为图40-28。图40-28中梯形的面积就是图40-27中的阴影面积。

[size=+0]  

[size=+0]

[size=+0]答略。
[size=+0]例[size=+0]2[size=+0]图[size=+0]40-29中，小圆的半径是10厘米，中圆的半径是20厘米，大圆的半径是30厘米。求图中阴影部分的面积。（适于六年级程度）

[size=+0]

[size=+0]解：把图[size=+0]40-29中的小圆向逆时针方向旋转90度，把中环向顺时针方向旋转90度，图40-29便转化为图40-30。
[size=+0]很明显，图[size=+0]40-29阴影部分的面积就是整个大圆面积的四分之一。

[size=+0]

[size=+0]

[size=+0]答略。

[size=+0]*例3计算图40-31的阴影面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）
[size=+0]解：把图[size=+0]40-31右边的半圆以两个半圆的公共点为中心，顺时针方向旋转180度，与左边的半圆组成一个圆（图40-32）。

[size=+0]               

[size=+0]此时，两个空白的三角形组成一个等腰直角三角形。这个等腰直角三角形的底边等于圆的直径[size=+0]10厘米，高等于圆的半径5厘米，三角形的面积可求，接着也就可以求出图中阴影部分的面积了。

[size=+0]

[size=+0]答略。
[size=+0]（六）扩倍法

[size=+0]扩倍法就是把组合图形扩大几倍后，先求扩大倍数后的面积或体积，然后再求原来的面积或体积。

[size=+0]*例1求图40-33的面积。（单位：厘米）（适于三年级程度）

[size=+0]         

[size=+0]解：此题用分割法计算比较麻烦，而用扩倍法解答就容易多了。如图[size=+0]40-34那样把图40-33扩大为原来的2倍，就会看出图40-33的面积是：

[size=+0]（[size=+0]30+40）×30÷2=1050（平方厘米）

[size=+0]答略。

[size=+0]例[size=+0]2[size=+0]计算图[size=+0]40-35木块的体积。（单位：分米）（适于五年级程度）
[size=+0]解：在图[size=+0]40-35的木块上再扣上同形状、同体积的木块，如图40-36。图40-35木块的体积就是图40-36长方体木块体积的一半儿。

[size=+0]               

[size=+0]3×10×（3+2）÷2

[size=+0]=150÷2
[size=+0]=75（立方分米）
[size=+0]答略。
[size=+0][size=+0]（七）缩倍法

[size=+0]缩倍法与扩倍法正好相反，它是先将图形的面积缩小若干倍，计算出面积，再把面积扩大为原来那么大。

[size=+0]例[size=+0]1[size=+0]图[size=+0]40-37中，每个小正方形的面积都是2平方厘米，求图中阴影部分的面积。（适于五年级程度）

[size=+0]

[size=+0]解：将图[size=+0]40-37中小正方形的面积先缩小2倍，则每个小正方形的面积都是1平方厘米，边长都是1厘米。
[size=+0]从大长方形面积减去三个空白三角形的面积（即①、②、③三个部分的面积），得阴影部分面积。

[size=+0]3×5-3×3÷2-2×1÷2-5×2÷2

[size=+0]=15-4.5-1-5
[size=+0]=4.5（平方厘米）
[size=+0]把[size=+0]4.5平方厘米扩大2倍，得阴影部分的实际面积。

[size=+0]4.5×2=9（平方厘米）

[size=+0]答略。

[size=+0]例[size=+0]2[size=+0]图[size=+0]40-38正方形的面积是18平方厘米。求图中阴影部分的面积。（适于六年级程度）

[size=+0]

[size=+0]解：先将正方形面积缩小[size=+0]2倍，18平方厘米被转化为9平方厘米，则正方形的边长是3厘米。
[size=+0]先算出已经缩小的正方形中的阴影面积，然后再把它扩大[size=+0]2倍，就得到题中所求。

[size=+0]

[size=+0]答略。

[size=+0]（八）剪拼法

[size=+0]有些几何图形比较抽象，不适于用割补、分割、平移等方法解答。如果把这类图形剪成若干部分，再重新组合、拼接，就有可能找到解答方法。

[size=+0]*例1计算图40-39、图40-40、图40-41的阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）

[size=+0]         

[size=+0]解：沿各图中的虚线，把各图剪成上、下两部分，再把下半部分翻过来，以它的背面与上半部分的正面拼接，图[size=+0]40-39、图40-40、图40-41便转化为图40-42、图40-43、图40-44的形状。

[size=+0]          

[size=+0]很容易看出，图[size=+0]40-39的阴影面积等于大圆面积的一半。

[size=+0]

[size=+0]图[size=+0]40-40的阴影面积等于从大圆面积减去小圆的面积。

[size=+0]

[size=+0]图[size=+0]40-41的阴影面积等于从大圆面积减去中圆的面积，加上小圆的面积。
[size=+0]
[size=+0]答略。

[size=+0]*例2图40-45中每个大正方形的边长都是2厘米，求（1）～（10）各图阴影部分的面积。（适于六年级程度）

[size=+0]

[size=+0]解：作图[size=+0]40-46，并把图40-46中的（1）画在一张透明纸上剪成（2）那样的4个小正方形。如果画出两个（1），就可以剪出8个（2）那样的小正方形。

[size=+0]

[size=+0]用（[size=+0]2）的4个小正方形，可以组合、拼接出图40-45中（1）～（5）中的任何一个图形。
[size=+0]这时可清楚地看出，图[size=+0]40-45中（1）～（5）每个图形的阴影部分的面积都与图40-46中（1）的阴影部分的面积相等，它们的面积都是：

[size=+0]2×2-3.14×1×1=0.86（平方厘米）

[size=+0]同理，用[size=+0]8个图40-46中（2）的小正方形可以组合、拼接出图40-45中（6）～（10）的任何一个图形。
[size=+0]图[size=+0]40-45中（6）～（10）每个图形的阴影面积都是图40-46中（1）的阴影面积的2倍：

[size=+0]（[size=+0]2×2-3.14×12）×2=1.72（平方厘米）

[size=+0][size=+0]      答:略

qdylz

某中心校六年级数学竞赛试题

姓名___________班别__________总分______

一、填空：（18分）
1、龙滩建设计划投资三百五十亿七千三百万九千六百零四元，该数写作____________________，以万作单位写作____________________________。
2、 8  的分数单位是____________;表示有________个这样的分数单位。
3、1 的倒数是___________；__________的倒数是0.5。
4、张明给地震灾区损款60元，比李勇少捐1/3，李勇捐款________元。
5、在腰长为4厘米的等腰直角三角形的腰上，做两个以4厘米为直径的半圆，图中阴影部分的面积为_______________。（3分）（自己可以画图）
6、把1克的药放入100克水中，药与药水的比是__________。

7、公顷=（     ）平方米    1.5千米=（     ）米
2050平方厘米=（      ）平方分米=（     ）平方米。
8、你书包中有那么多课外书，请你随意选一本量一量有关数据，计算它的体积是_______________。
9、我国“神舟”六号飞船2005年10月12日上午9时飞向太空，绕地球77周后于17日4时33分安全着陆，举国欢庆，世界瞩目。航天英雄聂海胜和费俊龙在太空飞行了_______小时。
10、按要求填数：（1分）
（     ）+（     ）=  （（填两个分母小于12的分数）
二、判断题。（对的“√”，错的“×”）（共5分）
1、整数的倒数都小于它本身（     ）
2、师徒两人单独做一项工程分别用3小时和5小时，他们的工作效率比是：3：5。（ ）

3、小明在2006年植树节活动中种了10棵树，其中有2棵没有活，小明向班主任汇报他植树成活率为8成。（     ）
4、小兰上街参加展销会，买了1件衬衣花了25. 50元，一条裤子34元，售货员找给她也许是0.5元或20.5元。（     ）
5、三角形的面积等于平行四边形面积的一半（      ）
三、选择（把正确答案序号填在括中内）（5分）
1、甲数比乙数多1/4，乙数比甲数多（     ）
A． 1/4 B、 1/3 C、1/5
2、六年级某班到校51人，请假1人，旷课2人，该班当日出勤率为（     ）
A、94.4%      B、100%     C、96.3%
3、小刚家装修一间长4米，宽3. 2米的房间，要铺正方形的地板砖，选用边长为（     ）厘米的正方形砖，损耗会较少？
A、60      B、40     C、30
4、一本书有120页，小明已看了70％，将从（    ）页看起。
  A、84     B、85     C、70
5、 x/y是最简分数，（X、Y≠0）， x/y  ×（y/x ）  ÷（x/y ）
A、大于1   B、等于 1     C、小于1
四、细心计算（27分）
1、直接写出得数（6分）
1-0.86=   4970÷70=    0.333×3≈                   41×198≈
2、求未知数X的值。每题3分，共6分。
2x÷3=                   24×2.4x=12

3、灵活计算下面各题。每题5共15分。
①  1+2+…………+100   
②23.42+46×0.5378×1/8
3。378×46×0.75-8×46×
0.125×0.5378



五、认真思考，相信你能行（9分）
1。右图一正方体，小甲虫要从A顶点到B顶点，请你为小甲虫设计一条最短的线路，在正方体上标出来   





2。把20以内质数分别填入□中（每个质数只用一次）
□+□+□+□+□+□+□
A=———————————   使A是整数，A最大是多少？
             □



六、列式计算（12分）
1、修一条路，甲工程队15天可完成，乙工程队需要用的时间是甲工程队的，如果两工程队合作，修建这条公路一半需要几天？
2、学校图书馆有儿童读物1800本，是学校图书总数的1/4，学校图书总数有多少本？

3、0.5与0.3的差，加上3/5除6/7的商，和是多少？

4、6.8与5.4的差乘2.75,所得的积比1.85多多少？

七、联系实际解决问题（共24分，每题6分）
1、天然饮料厂生产一种饮料，请你为该厂设计一种“净含量340毫升”的长方体包装盒，长、宽、高各是多少？



2、要加工600个零件，师傅每天加工30个，徒弟每天加工20个，根据所给的信息，提出三个以上的不同问题,并解答。





3、一个除法算式里，被除数、除数、商和余数的和是10.6，已知商是5，余数是0.1，被除数是多少？



4、一个水池安装有甲进水管，乙排水管，单独开甲管12分钟能使水池灌满，单开乙管，18分钟能给满水池的水放完，现甲乙两管同时开放，多少分钟能使水池满？

[ 本帖最后由 qdylz 于 2009-2-18 08:13 编辑 ]

qdylz

1、黑兔、兔和白兔三只兔子在赛跑。黑免说：“我跑得不是最快的，但比白兔快。”请你说说，谁跑得最快?谁跑得最慢?
（ ）跑得最快，（ ）跑得最慢。
2、三个小朋友比大小。根据下面三句话，请你猜一猜，谁最大?谁最小？ (1)芳芳比阳阳大3岁； (2)燕燕比芳芳小1岁； (3)燕燕比阳阳大2岁。 （ ）最大，（ ）最小。
3、根据下面三句话，猜一猜三位老师年纪的大小。
(1)王老师说：“我比李老师小。” (2)张老师说：“我比王老师大。”
(3)李老师说：“我比张老师小。” 年纪最大的是（ ），最小的是（ ）。
4、光明幼儿园有三个班。根据下面三句括，请你猜一措，哪一班人数最少?哪一班人数最多? (1)中班比小班少； (2)中班比大班少； (3)大班比小班多。 （ ）人数最少，（ ）人数最多。
5、三个同学比身高。 甲说：我比乙高； 乙说：我比丙矮； 丙：说我比甲高。 （ ）最高，（ ）最矮。
6、四个小朋友比体重。 甲比乙重，乙比丙轻，丙比甲重，丁最重。
这四个小朋友的体重顺序是： （ ）＞（ ）＞（ ）＞（ ）。
7、小清、小红、小琳、小强四个人比高矮。
小清说我比小红高；小琳说小强比小红矮； 小强说：小琳比我还矮。
请按从高到矮的顺序把名字写出来： （ ）、（ ）、（ ）、（ ）。
8、有四个木盒子。蓝盒子比黄盒子大；蓝盒子比黑盒子小；黑盒子比红盒子小。请按照从大到小的顺度，把盒子排队。
（ ）盒子，（ ）盒子，（ ）盒子，（ ）盒子。
9．张、黄、李分别是三位小朋友的姓。根据下面三句话，请你猜一猜，三位小朋友各姓什么?
(1)甲不姓张； (2)姓黄的不是丙；(3)甲和乙正在听姓李的小朋友唱歌。
甲姓（ ），乙姓（ ），丙姓（ ）。
10．张老师把红、白、蓝各一个气球分别送给三位小朋友。根据下面三句话，请你猜一猜，他们分到的各是什么颜色的气球?
(1)小春说：“我分列的不是蓝气球。”
(2)小宇说：“我分到的不是白气球。”
(3)小华说：“我看见张老师把蓝气球和红气球分给上面两位小朋友了。” 小春分到（ ）气球。小宇分到（ ）气球。小华分到（ ）气球。 11．甲、乙、丙三个小朋友赛跑。得第一名的不是甲，得第二名的不是丙，乙看见甲和丙都在自己的前面到达了终点。
甲得了第（ ）名，乙得了第（ ）名，丙得了第（ ）名。
12．A、B、 C三名运动员在一次运动会上都得了奖。他们各自参加的项目是篮球、排球和足球。现在我们知道：(1)A的身材比排球运动员高；(2)足球运动员比C和篮球运动员都矮。诸你想一想：
A是（ ）运动员，B是（ ）运动员，C是（ ）运动员。
13、爸爸买了3个皮球，两个红的，一个黄的。哥哥和妹妹都想要。爸爸叫他们背对着背坐着，爸爸给哥哥塞了个红的，给妹妹塞了个黄的，把剩下的一个球藏在自己背后。爸爸让他们猜他手里的球是什么颜色的，谁猜对了，就把球给谁。那么，谁一定能猜对呢? （ ）。
14、小菲、小南、小阳三个小朋友，分别戴着红、黄、蓝三顶帽子，排着队儿向前走，谁也不回头。小南能看见一顶红帽子和一顶黄帽子，小菲只能看到一顶黄帽子，而小阳一顶帽子也看不到。你知道走在第一个的是谁?谁又走在第二个?最后一个又是谁呢?他们又各自戴着什么颜色的帽子呢? （ ）走在第一个，戴着（ ）帽子； （ ）走在第二个，戴着（ ）帽子； （ ）走在最后，戴着（ ）帽子； 15、3个小朋友下课后排队做游戏，他们一共最多可以有几种不同的排列法？ 16、一个小组的小朋友排队去做游戏，从前往后数排第3个，从后往前数排在第 5个，共有多少小朋友在做游戏？ 17、按规律填数：
0，1，3，6，10，（ ），（ ）。
18、小明家住在5楼，小明从一楼回到家共爬了几层楼梯？
19、小猴与小兔去摘桃，小猴摘下15个桃，当小猴将自己的桃分3个给小兔子 时，它俩的桃就一样多，你知道小兔子摘了多少个桃？
20、小明回家时看到爸爸正在锯一根钢管，小明问爸爸要锯多少时间，爸爸对 小明说：“锯一段要10分钟，要将一根钢管锯成5段。”并让小明猜猜共需要多 少时间，你能帮忙吗？
21、妈妈给姐姐买了18枝铅笔，给弟弟买了10枝铅笔，姐姐分给弟弟几枝，姐 弟俩的铅笔就一样多？

yiyitj

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visualprobe

题很棒，更棒的是不用花银子下载。

sazdj

这内容真丰富，谢谢了！

yingyingmama

越来越喜欢这个版块了,谢谢斑竹如此费心整理了这么好的资料!超感谢!