小升初数学探究型课堂实践

ccpaging

辩论总结
一周以后，参加辩论的同学重新聚在了一起。

首先对上次辩论中出现的不幸的人身攻击事件做反思和总结。
同学们认为，辩论的后半段比较激烈，唇枪舌剑，忘了印第安棒规则。当然，老师们也有责任，检讨之。
那么，如果在辩论中不使用印第安棒规则，将遇到了哪些问题呢？
“听不清楚。”几个人同时说话，而不是耐心等待别人把话说完，自己再说。
“秩序乱。”
“偏题。”这跟四五年级孩子的表达能力有限相关。因此，建议以后在辩论中一方说完，将印第安棒交给主持人（老师），由主持人进行先归纳同学的发言。
“争吵。”

讨论告一段落。老师宣布辩论总结的计分规则如下：
一方若说出另一方的优点，＋1分。
一方若说出本方的缺点，＋1分。

举几个例子让同学们明白以后，按照上次的划分，正反双方坐好，开始正式进行辩论总结。沿用印第安棒规则。

1、正反双方在辩论一开始就给出自己对直线的定义。
这是非常好的辩论行为。有些辩论者参加辩论，带个“大箩筐”，把自己的观点藏在这个“大箩筐”后面，看到对方犀利的好的观点就收到己方的箩筐里，让对方失去观点，辩无可辩，看起来，这样做好像保护了自己赢得辩论。但这是辩论中的懦夫行为，到最后只不过收获了一堆互相矛盾的观点，不能增加彼此对问题的理解。
在辩论中，我们要像一个真正的勇士那样，亮明自己的观点，让正方和反方的观点对撞，从而使我对直线的认识更加清晰。

2、知错必改。
具体的过程，记不得了，好像是反方在给出自己对于直线的定义时，在语言描述和真实意思有差距，即词不达意，反方在辩论中发现以后，勇敢地承认并做出了修改。

3、以数学的方式讨论数学问题。
同学们认为，纠结与直线的涂抹是否均匀、颜色的深浅，这些都与数学上关于直线的定义无关，是非数学的方式。
如果发现对方偏题，出现了非数学的方式，应对的办法一个是“忍”，一是向主持人指出对方的谬误。

4、保持主题，讲数学的道理。
数形结合。讨论直线的定义，要画图，要在图上作研究，不只是“辩”不只是“讲”。

5、一方提出“如何正方区分出长方形和直线？”这样的问题。
这是一个非常犀利的质疑。辩论双方的眼光不再局限于孤立的直线的定义，而是从将其与其它的几何定义联系起来。

6、辩论时，声音要柔和。



（全文完）

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-29 16:02 编辑 ]

Martina-Mm

原帖由 ccpaging 于 2013-5-29 15:59 发表
辩论总结
一周以后，参加辩论的同学重新聚在了一起。

首先对上次辩论中出现的不幸的人身攻击事件做反思和总结。
同学们认为，辩论的后半段比较激烈，唇枪舌剑，忘了印第安棒规则。当然，老师们也有责任，检 ...

可以学习辩论，正是孩子们集体学习时最佳优势。可惜如今学校课堂依旧是满堂灌。

ccpaging

原帖由 pianocrazy 于 2013-5-29 16:32 发表

非常感谢cc老师。

上午用了点时间去图书馆查阅了一点相关文献，了解到以下信息，请老师指正，谢谢。

第一，关于《原本》对“线”的定义问题。汉语版本（陕西人民出版社）是这样说的：“线只有长度而没有宽度”；Heath英译本是这样翻译的：“A line is breadthless length.”资料显示，这个英译定义是直接从希腊原版翻译的。希腊语或者拉丁语俺不懂，只能依靠这两个定义来考量了。文献显示，亚里士多德对这个定义提出过质疑，说这个定义是有毛病的，因为它“divides the genus by negation"，汉语通俗点说就是它“以否定词来描述这个genus——即此处的长度”，这样length既可以是“没有宽度”也可以是“有宽度”，结果length就被分为互相矛盾的两个方面。所以，《原本》对line的定义是有问题的。

第二，关于对line的重新定义。亚里士多德和Proclus都给line重新定义过，这里我仅仅引用一下Proclus的定义如下：“flux of point”，或者直白一点说就是“一个点移动的路径”。Proclus认为，他的这个定义是完美的，就不会产生前述歧义了，更重要的是，他的定义是从“根本原因”上来着手定义的，即用point来定义line，前者是后者的原因。

我不懂数学，只是看了点资料得到以上认识的，错误或不当之处敬请指正。 ...

好问题，好问题。痛快！

《几何原本》最早是由徐光启翻译的。
http://ishare.iask.sina.com.cn/f/11258700.html

原文如下（原文无标点，请鉴之）：

第二界 线有长无广
试如一平面光照之，有光无光之间，不容一物是线也。真平真圆相遇，其相遇处止有一点，行则止有一线。线有曲有直。

徐光启的译文中看出：
1、线是一种边界。
2、线的定义与点的定义有相关性。
3、线的定义可以从动态变化的角度去理解。这一点，跟点的定义有异曲同工之妙。

我更喜欢第二的定义，“flux of point”。从维度上看，点0，线1，面2，体3。时间改变了纬度？

但是在教学中，老师先说了，学生也就只剩下点头称是的份儿。老师应当设计一个过程，包括但不限于辩论，让学生在此过程中慢慢地逐渐领悟，老师则耐心地等待－－时机。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-30 12:39 编辑 ]

ccpaging

“我不知道数学社”论文－－我们发现了分数加法
作者：Alex

提出问题

今天正好是J同学的生日（ccpaging注：也是“我不知道”数学社成立以来的第一次一起过生日），我（ccpaging注：Alex）、J同学、11和11的爸爸妈妈都非常高兴，一起唱着生日歌。然后，J同学拿出了他带来的生日蛋糕，11的妈妈把蛋糕分成了六份，大家便吃了起来。这时，爸爸提出了一个问题：
1/2 + 1/3 = ?
11同学说：“也就是半个蛋糕，加上三块小蛋糕！”
11的爸爸说：“那么等于几呢？”
我们都摇了摇头。

探究时间

吃完蛋糕以后，我们每人拿了一张纸（不包括11的妈妈），可是，我不知道该从哪里画起，瞄了瞄11同学作的图：


我问他：“哪一块是1/2 + 1/3 ？”
11回答：“蓝色的部分是1/2，紫色的部分是1/3，把这两块加起来就是 1/2+1/3 。”
突然，11的爸爸叫道：“你们看，我发现黄色部分正好是1/6 ！”


ccpaging注：
其实从11同学的第一张图到发现剩下的部分正好是1/6，经历了一个过程，并不像Alex说的这么简单，这也不符合“我不知道”亲子数学社的一贯原则，即“我不知道”。可能是活动过后没能及时总结（正好碰到期末考试），Alex忘了，我来把这一段补上。
11同学画饼图的时候，先用圆规画一个圆，然后画一条过圆心的直线，正好把一个圆分成两半，1/2就被画出来了。这时11碰到困难了，1/3应该怎么画呢？11这时大叫了起来：“我要量角器。”这句话提醒了大家，于是大家纷纷寻找量角器，好像为了争夺有限的量角器还差点打了起来。最后只好用剪刀石头布来解决，这也是“我不知道”数学社通常用来解决无理争端的有效方法。
“360度的1/3就是120度、、、”11一边计算着一边在 1/2 边上画出了 1/3 ，其他成员也在手忙脚乱的画着。
1/2 + 1/3 已经被画好了，结果已经在图上，可是，它究竟是多少呢？大家陷入了沉思。
后来，11同学在作图中发现，一块蛋糕被吃掉1/2+1/3后，剩下的那一块正好是1/6，于是他打破了沉寂，宣告自己发现了一个神奇的数字（Magic Number）――“6”，因为6是2和3的倍数，如果我们把一个圆等分成6份的话，我们就可以把无法相加的1/2和1/3找到一个共同的单位1/6。

Alex的爸爸(ccpaging注：实际上是边写边说。)说：“1/2 ＝ 3个1/6， 1/3 = 2个1/6，那么1/2 + 1/3 ＝ 2x(1/6) + 3x(1/6)，也就是说 1/2 + 1/3 = 5/6！”

ccpaging注：
11同学明白了1/2 + 1/3的方法后，就开始不停的在纸上写到。
1/2 + 1/3 = 2/6 + 3/6 = 5/6
= 6/12 + 4/12 = 10/12
= 9/18 + 6/18 = 15/18
=12/24 + 8/24 = 20/24
=18/36 + 12/36 = 30/36
看到11同学发现了这么多可以帮助计算的分母，很自然地，我们的话题开始转向。我对大家说：“为什么只有6才能用于计算，而不是5或者7？”
11同学立刻反驳：“我找到很多数字可以用啊！”
我说：“那么他们有什么规律吗？好像不是随便找个数学就可以用来作计算哦。”

总结
我们又讨论了一会儿，发现了一个有趣的数字――“6”。Alex的爸爸画了一张图：


Alex的爸爸说：“兔子和松鼠跳树桩过沼泽地，兔子一下跳3个树桩，松鼠一下跳2个树桩，问哪一个树桩上既有兔子又有松鼠的脚印？”
J同学看着图说：“6、12、18，下面是24、、、”
Alex的爸爸说：“这些数字有什么规律吗？”
11同学说：“每两个数字之间都相差6！”
J想了一会儿，说：“还有一个更加简便的规律，1x6、2x6、3x6、4x6、5x6、、、”

（ 我忘了后面的。）

反思
过了几天，我和爸爸在吃牛肉面的时候，又重新讨论了这个问题。
“上次J同学发现的那个数列都是6的倍数，最后其实还发现了n x 6！”爸爸说。
“这么说，6是2的倍数，6是3的倍数，所以我们把6称作2和3的公倍数，也就是公共的倍数。我记起来了，你和11的爸爸把这句话下来了。”
“还有一句话当时也被写下来了，6是2和3的公倍数里边最小的。”
我一听，问道：“0是吗？”
爸爸说：“0是所有数的公倍数，这样就没什么意思了！而且0还不能做除数，至少在计算分数时，0这个最小公倍数没有什么意义。所以，严格地说，6是除0以外，2和3的最小公倍数。”
爸爸过了一会儿，又问：“n x 6是什么意思？”
我说：“就是随便一个数 x 6！”
爸爸说：“不完全是这样，在J同学的数列6、12、18、24、30中，n有特别的意义？！”
我想了一会回答到：“n是第几个数！”
爸爸说：“是啊，那么nx6的下一个数是多少呢？”
“是 (n+1)x6 ！”我大声说道。
“对了。其实当时11同学跟J同学关于这个数列的规律是有争议的，11认为相邻的两个数相差6，J同学认为是nx6，他们都认为自己的规律更简单。后来我们怎么说服11的呢？”
我说：“如果让11计算第10个数是什么，他要从第一个数 6 开始，一个个加下去，要算10次，J同学只要算一次就可以了―― 10x6 = 60。”

等到我们搞明白了，爸爸问道：“1/4 + 1/3 = ?”我们便开始做了起来。
我想，得先吧分母变成一样才能计算，我写到：
1/4 + 1/3
= 3/12 + 4/12
= 7/12
         
这时，大家也都写完了，都得出了一个结果：7/12
11爸爸写得跟我们不一样：
1/4 +1/3
= 1x3/(4x3) + 1x4/(3x4)                        <＝ 写得更清楚
＝3/12 + 4/12
=7/12

爸爸又问了一个新的问题：“为什么分母乘了一个数，分子也要乘同一个数呢？”
这就是我们下一次要研究的内容吧？

（全文完）

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-30 15:07 编辑 ]

ccpaging

紫色风铃03：
小四数学题
小学四年级数学题：某个学校组织划船活动，如果每船坐8人，多24个人，如果每船坐10个人，就多一条空船，问有多少个人参加活动？

junhuayang2005：  
四年级没有学方程，其实也是可以用方程的方法来解的。
设一个X条船
那么8X+24=10X-10
所以X=17
一共的人数是
8*17+24=160人

Hxy007：
这是解决这个问题的正途。在孩子没有学代数和方程之前，不必强求孩子做这种题。
　　
　　也可以用算术方法解决这个问题。
　　思路是：要知道总共有多少人参加活动，就必须知道总共有多少条船。要知道总共有多少船，就必须知道后一种乘船方案比前一种乘船方案总共可以多乘几个人，还要知道每条船上后一种方案比前一种方案多坐几个人。
　　
　　每船坐10人的方案（后一种案），比每船坐8人的方案（有一种方案），总共可以多坐多少人？24+10=34（人）
　　其中，每条船上后一种案比前一种方案多坐几个人？10-8=2（人）
　　所以，可以划的船总共有：34/2=17（条）。
　　据此，可以推断参加本次活动的人数是：（17-1）*10=160（人）

　　但是，让成年人一下子想到这种算术解决方法也未必容易，所以不能强求小四生一定要想得出。换句话说，这种题并不是对小四生普遍的要求。想不出算术解决办法，也无所谓。
　　如果想让自己的孩子在这种有难度的题上进行探究，最好不要引导孩子机械地去套什么盈亏公式。
　　[（24+10）/（10-8）-1]*10=160（人）
这个令人敬畏的式子可能会把孩子吓得不敢思考，或者把孩子训练得不能思考。既然要解决，就要在理解的基础上解决。

Ccpaging：
甲数比乙数多150，正好是甲数比乙数多2倍。乙数是多少？甲数是多少？

Alex的解答如下：（Alex给这个步骤取名“破案法”）
甲＝乙x3
甲－乙=150
=>
乙x3 - 乙=150（Alex取名“代替更换法”）
=>
乙=150÷2=75
甲=225

按照三年级教科书的做法应该是这样：
甲：+-----+-----+-----+
乙：+-----+
实际操作时，可以用不同颜色的磁力棒来帮助思考。

思考部分：
甲比乙多出来的正好是2个乙，这部分是150。

书写计算：
150÷2=75
75 + 150=225
答：乙数是75，甲数是225。


最后，无论采用上述哪一种方法，都应把答案放在题目里边检查一下。
甲数（225）比乙数（75）多150，正好是甲数（225）比乙数（75）多2倍。乙数是多少？甲数是多少？

题后反思：
对比以上的两种不同解题方法，方程式方法看起来多了几个步骤，恰恰是多出来的步骤把磁力棒法思考的东西记录和呈现了出来，容易思考，也容易检查。

我现在有2个问题：
1、在小三已经方程式入门的情况下，是否还要反复去强调教科书的磁力棒计算法？
2、老师是否能接受方程式的解法？

hxy007：
能用“破案法”，又何必强求用“磁力棒法”？

Ccpaging：
第二天，Alex给另一个同学讲题时，先讲了“破案法”，但似乎对方没听懂。于是，他又用“磁力棒法”讲了一遍，那位同学明白了，写下了算式。在讲题的过程中，Alex也明白了，他回来跟我说：“原来两种方法是一样的，我的破案法更清楚一些。”

“两种方法是一样的”，听到这话，我心里非常高兴，这说明Alex真正明白了这两种方法，而且找到了它们之间的联系，完成“立而破，破而立”的思维循环。

hxy007：
　　我家小四生目前而言能够理解、接受和使用“磁力棒法”，但对“破案法”敬而远之。一建议他设个X什么的算算，他立即说：我到初中再学这个。
007真后悔早早地告诉他代数方程是初中的学习内容，现在人家理直气壮地拒绝提前学习。可是，看到小三生Alex也能够比较自如地使用“破案法”，007心里又痒痒的，恨不得自己的孩子愿意学学试试方程解法。小三小四生提前掌握这门功夫，就不必害怕许多变态的小奥题了。

Ccpaging：
忘记了习题，剩下的是什么？
跟Alex上小三以来，一直有一个问题萦绕在我心中，那就是“无用的数学”，想讲却又不知从何讲起。

我小时候特别喜欢数学，那时候题目不多，一本教科书的习题要做三遍，假期里边预习做一遍，上课的时候跟着老师安排做一遍，星期天再做一遍。小学、初中都是如此。

高中的时候，各种参考书多了起来，一开始也是见习题就做，还特别喜欢做难题，我会做别人不会，便沾沾自喜。慢慢地我发现，其实并不是所有的习题集都是有价值，有的纯粹就是抄袭来的，印刷有错误，只有答案没有过程，所以，那时我开始选择习题集了，而且只做一本习题集，一章习题中有一两道难题。按理说，题做的多了，考试应该是不怕的，可是我还是会害怕，因为我不知道今天考卷上的题目是不是我都做过的，题海深啊，谁敢说他就能踩到低，越是做得多，越是感到其深不可测。

到了高考结束，回过头去想想，我的高中数学有什么值得我留念的，或者说印象深刻的，没有，任何一道当时觉得无法逾越的难题都没有在我的脑海中留下印记。高考结束了，这些难题再也为难不了我，我在那个暑假一个数学题都没有做，而是把《基督山伯爵》完完整整，舒舒服服地读了一遍。

直到现在，我依然不记得在高中所遇到的那些习题，任何一道题都不记得。但是，在高中又两件事随时都会想起，一件事是我在学习立体几何之前，自己一个人看了《高教自考丛书》的《立体几何》部分。那本书是针对当时的知识青年的，如其书名，特别适合自学，由浅入深，徐徐道来，几乎没有什么习题，但是，每一个章节的内容都从实践、从生活中讲起。第二件事也是关于立体几何的，老师在黑板上出了一道立体几何的定律，在课堂上所有的同学都无法证明，只有我一个人用反证法证明了，那是我们第一次运用反证法。

到现在我仍然讨厌做题，尤其是计算题。整天的加加减减，有什么用？一天整个二三十道计算，做完了，笔一扔，第二天交给老师检查，错了，算我粗心了，对了，算我运气好。这些题早晚很快会被忘掉。太阳东升西落，地球自转公转，同学们吃饭拉屎。错了如何？对了又如何？这不就是“无用的数学”吗？

数学真的就是这样？当然不是，绝对不是。有这样的感觉是因为我们没有真正掌握数学的学习方法。就拿计算题中的数学来说吧，我们以为做一道计算题就是为了那个答案，其实那个答案一点都不重要，它的对错不会对任何事情产生影响，如果你只把注意力放在答案上，那你学到的就是“无用的数学”。

Alex他们班这次数学期中考试成绩普遍不好，大部分都失分在计算题，究其原因，大部分的同学都没有检查，考试的时间是充裕的。其实，说到这，聪明的同学已经可以看出一些计算题的端倪了。没错，计算的结果是无用的，要检查并且学会如何检查才是有用的数学，是可以受用受用终身的数学。做了几千几万道题，却没有想到要去检查，不知道如何去检查，这番功夫只能是无用功。习题可以忘掉，可以不做，但人总是要工作，在完成一件工作之前，一定要问问自己：“你检查了吗？”

所以，hxy007大可不必自责，你告诉11的东西不会成为他的枷锁，关键在于他自己能明白自己要追求什么，寻找到自己的方向。就这道题目而言，如果小四只关注一个答案，那么我们讲什么都是多余的，甚至都不需要去做，反正第二天老师会公布正确答案的。如果小四关注的是思想，那么他就会变成一块海绵玩命地吸收，你跟他说这是初中的还是高中的，还是大学的，都不会阻挡他的脚步。

今天，Alex在计算面积的时候给一块复杂图形的不同方块标注了字母代号，而且在每一个计算式前面加上了这个字母代号。

我问他：“你这道题的方法很好啊，我没教过你，你怎么发明的？”

“嘿嘿，这是我课间休息的时候看到三2班的张老师在黑板上写的。”

“哦，原来是张老师教你的，可是你是三1班的啊？”

“不是张老师教的，我是路过的时候瞄了一下，张老师在方块里边写上了S1、S2，我觉得不错，就用上了。爸爸，为什么要写上‘S’这个字母呢？”

“我猜是从Square来的吧，面积的单位不就是一个个小方块吗？”

“是这样啊，我写的是A和B。”

“AB也很好啊，这样计算过程就很清楚了，不会搞混。你能给这个方法取个名吗？”

“嗯、、、那就叫‘标记’法吧。”

simpley

原帖由 pianocrazy 于 2013-5-29 16:32 发表

非常感谢cc老师。

上午用了点时间去图书馆查阅了一点相关文献，了解到以下信息，请老师指正，谢谢。

第一，关于《原本》对“线”的定义问题。汉语版本（陕西人民出版社）是这样说的：“线只有长度而没有 ...

几何原本中关于线点面还有别的一些定义是多余的，另外好象是弓形角的定义从来就没有使用过。
定义只能定到某个层次上，线点面虽然是个抽象概念，但已经很明晰，不需要再定义了。如果认为对定义进行研究可以增加对概念的认识，则是错误的，就会陷入无限轮回中。比如，你要分析直线无粗细的含义，就要分析什么是粗细------

simpley

无论什么定义，总要存在不须定义的元概念和语言，这些元概念（相当于公理）和语言是不需要解释的。而诡辩，耍赖的空间就存在元概念和语言里。
数学不需要对定义和概念进行讨论。

ccpaging

我们先来看看一道应用题：
原题是这样：
小英步行的速度是65米/分，小华步行的速度比小英每分钟快10米，小华9分钟行多少千米？

我改成了这样：
小英步行的速度是65米/分，小华步行的速度比小英每10分钟快100米，小华9分钟行多少千米？

小明是这样做的：
65 + 100 = 165 米/分
165 x 9 = 1485 米
1485米 ＝ 1.485千米

答：9分钟行1.485千米

请同学们看看小明的做法对吗？

先绕个弯子－－单位
速度公式很难
速度公式看似简单，只有速度、路程、时间三个变量（以小三的话来说，应该是数字吧），但实际上远不像看起来那么简单。纵观整个小学数学，速度是个难点，很多所谓的难题都出在速度公式上。例如，一道应用题只讲一个人或者物体的移动是简单的，三个数字，以小三的聪明凑也能凑出来，可是如果应用题讲的是2个人呢，那就有6个数字，2个人在各分为两个段，就有12个数字，可怕哇，这时候要想凑个答案出来，绝对是不可想象的。所以，学习速度一定不能单纯地从公式到习题，而要从最根本的概念出发，刨根究底，全面地理解速度的基本含义，真正搞清楚速度的来龙去脉。

从日常生活开始－－量词
在“我不知道”亲子数学社中，我和hxy007以及小三、小四们尝试了一种新的有关速度的学习方法，与各位小三小四分享。一开始，我们并没有急于去研究速度，而是绕了一个大圈子。
妈妈问小四：“你们今天不是要研究速度吗？现在在研究什么啦？”
小四回答曰：“我不知道啊在研究什么，看不出跟速度有关系啊？！”

原来hxy007先从中文与英语的区别开始，中文有量词（一“条”狗、一“个”苹果），英文则只有a、an、the，引导大家轮流说出我们知道的量词。一开始，大家说的还是日常用的量词，如只、条、个、碗、包、间等，后来逐渐地说出数学中的“量”，如克、千克、厘米、米等，这时，hxy007理解对小三小四们做了强调：“这些新的量词跟前面所说的量词有什么关系？”
有人说：“前面的量词都是不精确的，数学的量词都是精确的。”
hxy007说：“是啊，我分给你一碗饭，分给他一碗饭，说起来好像都一样，实际上，可能一个是大碗，一个是小碗。”
这句话很重要，它把数学研究问题的方式与日常生活的体验联系了起来，同时有点出了数学和生活的重要区别。

生活到数学，无序到有序
接下来，大家慢慢地开始把眼光集中在数学单位上，有重量单位（克、千克、吨）、长度单位（mm, cm, dm, m, km），开始比较乱，随着已经说出来的单位越来越多，要找出新的单位就越来越困难。自然地，小三小四们不自觉地对已经说出的单位进行了分类，并且开始按照单位的大小规律去进行有序思考。这是一个值得大声肯定的进步，从无序走向有序是数学的历史发展规律之一。

变态的面积单位
顺利地过渡到单位分类的时候，大家发现在以前学过的这些单位中，面积单位是一个特殊的单位，有别于长度和重量单位。
简单地说，长度单位和重量单位是一种基本单位，它是可以直接测量的。例如，当我们测量一根铅笔的长度时，我们会先用分米做单位测量，剩下不足1分米的，换用小一点的单位厘米测量，剩下不足1厘米的，再用更小的单位毫米测量，如此可以知道铅笔的长度。
而面积虽然与长度有关，却无法用长度尺测量。开始我们实验时，hxy007是选用的一个标准的长方形，这时小三小四还试图用（长X宽）来测量面积，后来我干脆撕去了长方形的一个角，使其变成不规则图形，这时小三小四只能根据测量长度的步骤：先做一个标准的1分米见方的正方形去测量，剩下不足1分米见方的，换用小一点的单位1厘米见方测量，剩下不足1厘米见方的，再用更小的单位1毫米见方测量。于是，我们开始得到三个面积测量单元，即1分米见方、1厘米见方、1毫米见方，这就是面积的基本单位1dm小2，1cm小2，1mm小2，标准的说法是1平方分米、1平方厘米、1平方毫米。
这产生了一个新的问题，既然面积单位跟长度单位是不同的单位，为什么它不像重量单位那样，重新设计另一个单位名称呢？这可不是一个无聊的问题哦，历史上有关平面确实存在过其它的单位，如亩、英亩、坪，或者模糊的单位如块（砖）等。原因就在于面积与长度虽然不同，但跟长度是密切相关的，正是这个联系使我们认识到，不需要为面积另设单位。
另外，中国人历史上有很多说法是不分长度和面积的，如一寸山河一寸血、寸土必争等，这里的寸是长度单位，表达的意思却指得是面积，具体的含义要根据上下文去体会理解，这不够方便、容易混淆。
面积的单位即不必要另设，又不能直接用长度单位代替，这就有点让人为难了。
所以，最后有人提出了平方分米的概念。既然面积就是一个个不同边长的正方形方块，如1平方分米＝1分米x1分米，那我们索性把面积的单位表示成（分米x分米），换成更简单的一种表达方式就是分米（小2），读成平方分米。这样可以表达出长度与面积单位的关系，又不用另造新的单位，岂不是两全其美了吗!

小结
这个弯子绕的不小啊，我们的目的明明是速度，却要从生活的量词开始，再长度、重量单位，然后还要重新复习面积单位，难怪妈妈要发出疑问了！
老实说，刚开始活动时，妈妈不解，同学不解，我也不解。待全部活动完了，我细细体会时才发现，这个弯子实在是绕的很恰当，很值。
1、hxy007设计了一个很巧妙的阶梯，从最简单、最生活的问题出发，使小三小四和其它BBMM比较容易地进入研究的情景。
2、小三小四在课堂上已经学习了很多单位，他们从课外书中看到了更多的单位，但这些知识是孤立的，从数学的角度看，甚至是混乱的。现在对这些孤立的知识点进行总结正是时候。
3、通过对已学单位的复习、分类、清理，使大家学到数学思维的一些基本要点，如模糊与精确、无序与有序。
4、使小三小四学到了如何从一个系统的角度观察、分析、思考问题的方法，掌握了这种方法不仅仅是复习，更为以后其它单位的学习打下了基础，使他们在将来的学习中有可能变被动为主动。
5、使小三小四真正明白单位是从生活中来的，每个单位的设定都有其道理，而学习数学就是要搞清楚这些道理。

参考资料
基本单位
http://baike.baidu.com/view/576750.htm

速度与战争
你第一次使用“速度”这个词是什么时候？
11同学回答说：“我比他跑的快。”
Alex回答：“我发现走路比较慢。”
J同学认真地想了一会，鼓起勇气说道：“我忘了。”

所有的回答都有一个共同的特征，那就是我们知道速度并不是在学习速度公式之后，从很小的时候就已经有了速度的体验。我们知道：
1、在同样的时间内，谁走的路更长，谁的速度就快。
2、走同样的路程，谁用的时间少，速度就快，像奥运会的百米飞人大赛就是这样比赛速度的。
3、出发起点要一样，否则不公平。
当然，这种速度的体验是模糊的，不精确的。

为什么要研究速度？
因为速度很重要。在历史上，速度曾经决定了战争的胜负，决定了国家民族的存亡。
蒙古人凭借速度征服了欧洲，他们的军队主要是骑兵，主要的武器是弓箭。那时候，别的军队主要是步兵，打仗的时候，步兵一般借助城市、堡垒、营寨、天险来击退侵略者。可是蒙古人根本不去攻击对方的步兵，而是骑马绕过敌人的军队，直接攻击敌人的后方，把敌人的粮草抢了烧了，前方的步兵没得吃没得穿，蒙古人便不战而胜。他们为了保持军队的速度，每个士兵通常骑一匹马，带1－2匹马。
德国军队在二次大战中使用的主要战术就是“闪电战”，他们真的像闪电一样，能够突然击中敌人后方最薄弱的环节。“闪电战”依靠的也是机械化部队，这些部队使用汽车、摩托、装甲（日本军队甚至使用过自行车）来装载士兵，使他们拥有更快地移动速度。当法国军队还在马其诺防线上等待德国军队冲锋时，德国军队已经传过从防线边上的森林，涌入了防线的后方，在法国的腹地横冲直撞，一举击败了法国军队。

速度的数学意义
hxy007给小三小四出了一个难题：“假定我朝明强小学方向走了1500米，J同学朝七宝外国语小学方向走了1000米。然后问大家：我跟J同学哪个走得快？”
小三小四立即说：“不知道？你又没有说你们俩各走了多长时间？”
hxy007梗着脖子说：“我走了1500米，J同学走了1000米，我走的路程更远，当然是我走得快了。这跟时间有什么关系？”
小三小四不屑地说：“你又没有说你们走了同样多的时间，不好比谁走得更快。”
hxy007总算释然了：“你们是说，要比速度的话，就不但要知道走了多长的路程，还要知道用了多少时间。我必须告诉你们时间，是不是？”
小三小四齐声答道：“是的。”
hxy007：“那好，我告诉你们，我走1500米用了30分钟，J同学走1000米用了20分钟。请问谁走得更快一些？”
小三小四们没吭声，纷纷拿起笔和纸，开始计算。
hxy007大声道：“这个还要笔算吗？1500*30肯定大于1000*20……”
小三小四诧异了：“不对啊，不能用乘法计算速度。”
hxy007再出个妖蛾子：“那我就用加法，1500+30也大于1000+20……”
小三小四们笑了：“不对，不能用加法算速度。”
hxy007又道：“那我就用减法，1500-30大于1000-20，还是我更快。”
小三小四们慌忙应道：“不行不行，计算速度要用除法，行程除以时间才是速度。”
hxy007说：“你凭什么说一定要用除法来计算速度？谁能说说这么算的道理是什么？”

小三小四们茫然了，就没碰见过这么轴的爸爸。Alex开始作图，画出hxy007的行程。他把一条线段分成30份，一份表示1分钟走的路程，算下来hxy007在1分种的时间里边走了50米，把hxy007的速度表示为50米/分。
J同学也图出了自己的行程，他把一条线段分成20份，一份表示1分钟走的路程。J同学计算出了自己的速度，也是1分钟走了50米。
这时，大家不约而同地笑了起来，原来hxy007和J同学的速度是一样，根本不存在谁快谁慢的问题。

hxy007紧接着问道：“为什么前面不能比两人的速度？为什么现在就可以比较两个的快慢了？”
11回答道：“因为两人走的路程不一样，用的时间不一样，所以不能直接比。等我们算出一格子一分钟两人的走路程之后，就可以比出谁快谁慢。”
ccpaging和hxy00这两个笨爸爸总算明白了：“换句话说，你们用了同样的单位，就能够比较谁快谁慢了。你们用一格表示一分钟的路程，其实是在规定一种速度单位，也就是“米/分”。我这样说对不对？”
11回答道：“对的，‘米/分’就是一个速度单位，还有‘米/时’、‘米/秒’、‘千米/时’……”
hxy007说：“那么，你们看看速度单位和面积单位有什么相同和不同的地方呢？”
小三小四们一脸惘然，不明白什么意思。
hxy007解释道：“你们看，面积公式是“长*宽”，所以面积单位是“米*米”，是两个长度单位组成的。那么，速度单位呢？”
小三小四们回答道：“速度公式是‘行程/时间’，所以速度单位是‘米/分’，是长度单位和时间单位组成的。”
hxy007笑道：“呵呵，面积单位里有乘法，速度单位里有除法。它们都是复合单位，但是好像速度单位比面积单位还变态哟。”

模拟战斗
法国军队与德国军队打仗，同时在早上8点出发相向而行，两只军队相距180公里路程。法军的速度为30公里/小时（读作30公里每小时），德军的速度为60公里/小时，问他们在何时何地相遇？

就把这道题留给同学们自由讨论吧！

效率主义者的批评
估计我们这么干会被现在的效率主义者笑死：我们几分钟可以搞定的问题，你们却把简单问题复杂化，真是浪费时间呀！

实际操作中，确实非常费时间。例如面积，至少集中讨论了7、8次，每次差不多2－3个小时，依次讨论了以下问题：
分田地，小明妈妈比较布的大小，引出面积问题。
长方形和正方形面积。
三角形、梯形面积。
Piza店的优惠，讨论圆的面积。在hxy007的带领下，一群小三小四，计算出了圆的面积。这个相当厉害了，他们用的是积分方法。

看起来确实非常浪费时间，他们研究的大部分内容恐怕在小学阶段都不会考的，如果我们以（效率＝考试成绩/时间）这样的公式来计算的话，肯定是不划算的。

在讨论三角形面积时，Alex还没学面积，我们也不知道如何去引导孩子学会切割、填补等计算面积基本方法。到了三年级上，Alex在做习题时自己发现了这些方法，我适时提醒他进行了总结。他根据这些总结，自己发现了计算平行四边形面积的方法，还有其它计算面积的好方法。据此推断，面积问题研究到这个程度，整个小学、初中都不需要我们BBMM再讲了，因为他们自己已经能根据所掌握的面积概念去发现和总结相关的问题。

就上面的速度而言，我们在活动中实现了或者部分实现了以下几个目的。
1、对已学过的数学单位进行了整理和分类。俗话说，千金难买回头一看。经过这次活动，同学们把前面学过的、零散的各种单位，进行了分类和整理，使自己的知识更加系统有序，这对他们以后运用旧知识、学习新的知识能起到承前启后的作用，在小三进行这个工作特别是时候，小四也不晚。
2、同学们把自己的生活体验和数学知识贯通联合起来了。他们知道，原来数学公式和概念不是某某特别聪明的数学家凭空捏造出来的，而是跟我们的日常生活紧密联系的。而且，同学们已经逐渐开始了解如何把生活体验跟数学联系起来的方法。
3、由于我们的数学活动中是没有老师的，大家都可以进行平等的交流，甚至可以意气用事的互相争吵，同学们开始慢慢体会到如何在这种平等的研讨中去获得对自己有益的知识，如何归纳和提高。我认为，这一点是会影响到同学们未来的重要素质。而在学校里边他们很少会有这样的机会，甚至可能根本没有。
4、可能会令效率论者更加沮丧的是，我们花了这么多时间在速度问题上，可能还只是个开始，最多把同学们领到了速度问题的门口。可是我们并不担心，因为我们根本就没打算“带”孩子们进入到速度问题的门里边。他们在活动中已经获得了进行这种能力，完全可以自己主动去进行进一步的探索。

先总结这么四条吧。好像会让某些BBMM失望，这几天里边没讲到考试，没讲到题目，甚至讲数学而没讲到数字，这能算是讲数学吗？记得在hxy007在“亲子阅读：谈自由阅读的乐趣，斥应试训练”曾经提出过的疑问：“忘了考试和习题，我们还剩下什么？”据说，那些剩下的东西就是“教育”。我想，这次的活动总结也许可以作为注脚。

榴琏

生活数学大杂烩啊， 形成一个数学思维肯定有方法了， 谢谢， 慢慢反刍！

simpley

原帖由 ccpaging 于 2013-5-31 09:52 发表
我们先来看看一道应用题：
原题是这样：
小英步行的速度是65米/分，小华步行的速度比小英每分钟快10米，小华9分钟行多少千米？

我改成了这样：
小英步行的速度是65米/分，小华步行的速度比小英每10分钟快 ...

绝对正确的教学方法，但不赞成用这种方法大规模系统地教学。
这里所展现的是人如何进行数学思考，学生需要学的是这种思考的方法。