数学学习——努力并快乐着

jiangying

　　一直认为学习应该是快乐的，不明白为什么很多人会认为学习很累。
　　数学的公式，物理的定律，化学的方程，一切一切的科学，都是那么美那么和谐。我希望自己的孩子能够愉快地学习。
　　给Q版碰个场，开始建数学楼。
　　以快乐学数学为主题，会搬一些以前的文章过来。

[ 本帖最后由 jiangying 于 2010-12-4 20:45 编辑 ]

jiangying

　　几天前的早上，洋洋问有没有更虚的数，有没有1+i+o形式的三维数，我不知道，只好去问。一个数学达人给了个四元数的维基网站。
　　原来数学上真有更有更虚的数，复数仅仅是二维的向量而已，4维的4元数应该是复数的复数，但是是否有三元数？从网络上查到的资料的，三元数是不存在的，证明的过程已经超过我的理解能力，洋洋以后是否去研究是他的事情了。
　　不过他能从-1的平方根是i ,去思考-i的平方根是否存在一个o，这样的念头已经很难能可贵了。孩子的每一个奇怪的念头都可能成为砸向牛顿的苹果。

jiangying

这几天，连续两次听到数感这个词，我不知道什么是数感，于是baidu了一下，见到这样的定义：“数感是人们主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识”和这样的解释：“在人们的学习和生活实践中，经常要和各种各样的数打交道，经常有意识地将一些现象与数量建立起联系，这就是数感。”于是有了这样一篇乱文，绝对原创，个人意见，错误难免。
    一.对学校教学的看法
    在谈数学思维培养前，我先谈谈对学校教学的看法。我的观点很明确：学校的教学是底线而不是上限。基于以下两点考虑。
    1.学校遵循课程标准进行授课，目的是保证所有的学生都达到一定的知识水平，得照顾大多数学生，而孩子们的水平参差不起，必然有很多孩子超过学校教学的要求。
    2.新课标对年级的划分是人为的，而数学是一个有机的整体（其实其他学科也是）。某些条件下完全可以跳出年级划分的框架。
    在这样认识的基础上，我对类似这样的问题都觉得不可理解，“什么时候可以学XX?"问题改成这样似乎要好些，“x岁该怎么学XX？”不应该是什么时候学，而是什么时候该怎么学。前一个问题就是把底线当成上限，必然限制孩子的发展。
    二.基础教育阶段数学学什么
    数学是自然科学的基础，学数学学的是规律，孩子学数学就是学如何总结和应用这些规律。跳出年级划分的框架来看，中小学12年，数学就学了两个方面，数与代数，几何，其中它们在初三交叉一次，就是三角函数，在高二交叉一次，变成解析几何（不是很清楚现在的课程设置，参照的我们以前的，下同）。而数学的难点,其实也就3个,小学阶段的应用题,初中阶段的因式分解和几何证明。掌握这两条主线并克服这三个难点，数学应该不成问题。
　　三.数学思维的培养
　　孩子数学思维的培养应该跳出年级的框架，全方位的在生活中培养。
　　1.数和代数
    如果我的理解没错，数和代数的基础就是数感，数感包括但不仅限于以下三个方面。
    a.数量结合
　　数量结合不仅仅要知道数量的对应，还得知道数量的关系，比如，两堆苹果分别是两个和四个，对应的不仅是2和4，还有多2，少2，移1个就相等，等等。
　　但是这样还是不够，数量结合的量不局限于定量，还包括变量，没错，就是初一才学的函数的变量，幼儿园和小一学的数的分解和组合就是函数，如果用逆序法进行数的分解，就已经把函数概念体现得淋漓尽致，幼儿园的孩子完全有能力掌握简单的函数思维，虽然他不知道什么是函数。在日常生活中，函数的概念也无处不在，家里3口人，吃饭要6支筷子，今天来了一个客人，会多几支。
    初中的函数学得好不好，就在于小时候数量结合掌握得好不好。
       b.数形结合
     华罗庚说过：“数形结合千般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离。”我认为数形结合分为两个方面，一个是几何和代数的统一，另一个是代数内部的结合。现在的一年级有些题已经是多元一次方程组了，只不过用苹果和梨子这样的东东代替x,y这样的抽象符号而已，幼儿和儿童实际的数形结合会直接影响以后的代数思维。算盘是一个很好的数形结合工具，虽然它已经不在是很好的计算工具。传统的算盘可以进行16进制计算，16进制在电脑应用中非常的广泛。
    c.数序结合
    这个不用多说了，很多成年人都结合得不好。问个简单的问题，家住在6楼，上到多少层是一半？估计很多人都会回答3层，而答案是3层半。
    2.几何
    自然界有很多形状，规则的，不规则的，学习几何就是研究这些形状，农耕社会的丈量，治水，都离不开几何，现在的工程也离不开几何。多多培养孩子的地图感觉和空间思维就行了。
    3.速算
    速算有没有用，现在是有争论的，说无用的人很常用的一句话：“又不当会计，算那么快干什么？”实际上，现在的会计没几个算得快的，基本都是用一个大大的计算器（还是非科学计算器）解决问题。我个人认为速算还是有用的，具体有什么用，就说不出来了，就算介于有用和无用之间吧。不过不管是否有用，在数学思维没有建立前学速算都不是一个好的时机，如果孩子对数很敏感，速算也就没有学的必要了。
    4.奥数
    如果有人问我奥数什么开始时候学，我的问答永远是幼儿园。不是所有的学习都是一板一眼地坐着听老师上课。当然如果有人问我幼儿园奥数怎么学，那是另外一个话题，我无法回答的话题。现在的奥数才是真正的数学思维，虽然奥数竞赛有点难，有点偏，有点怪。
    数学思维的培养不需要题海，不需要大量的教辅，跳出思维的框子，年级的限制，甚至学科的限制，给孩子一个广阔的空间。

jiangying

　　前几天写过一篇数学思维培养之不完全感想http，本文为一些其他感想，对比上篇要凌乱些，不过既为不完全，乱就乱吧，自娱自乐之文而已，错误难免。

　　1.对数学新课标的看法

　　总体来说，数学新课标比以前的大纲是进步，对比以前大纲，知识点增加，难度降低。

　　优点：数学新课标按纵向划分，基本分为数与代数，图形与空间，统计与概率，实践和综合应用几块，系统性比以前的教学大纲增强，便于学有余力的孩子主动扩展，满足多样化的学习需求，便于因材施教，有利于数学思维的培养。

　　缺点：数学新课标重实践，轻推理，这本没有什么错，但是不适合中国国情，由于汉语言的特点，中国孩子综合能力强，思维速度快，记忆力强，但逻辑思维略差，而中国基础教育缺失一门逻辑课，数学学习中不把逻辑补上，使得孩子在逻辑上比西方国家孩子差距会加大。

　　2.中国小孩数学启蒙现状

　　由于汉语言思维速度快的优势，中国孩子算术能力和记忆能力较强，因为这个特点，鼓吹速算和死记硬背的商人很容易忽悠家长，毕竟容易出成果，但盲目速算和死记硬背容易损害孩子正常数学和逻辑思维。另外大多数家长盲目排斥奥数，不在孩子小的的时候注意数学思维的培养，到小学高年级迫不得已学习奥数的时候大感痛苦。

　　3.数学思维培养的一些想法

　　a.数学思维该何时培养？

　　我认为数学思维该在孩子接触1,2,3的时候就开始培养，从小就应该注意数形、数量和数序三个结合，不要让孩子的数感陷于空洞，数不能与现实生活割裂。

　　b.数学在小学课程的地位

　　我认为数学在小学主课中的地位仅次于语文，应该在英语之前。原因如下：

　　　1）我们目前的环境，学好英语的代价实在太大（个别家庭除外），事倍功半。孩子大点只要有意愿，基本上都能掌握好英语。

　　　2）数学思维培养在孩子小的时候进行事半功倍，孩子大了思维受限，再培养比较困难。

　　　3）对于没有英语环境的家庭创造英语环境代价太大，而数学思维的培养可以在生活中进行，低价较小。

　　c.对数学学习的一些想法

　　　1）奥数学习应尽早，越早越轻松，奥数应该是很快乐的，之所以不快乐是学习方法不对，奥数不是洪水猛兽，其中才真正蕴含着数学的本质。家长不会做奥数题很正常，毕竟成人的思维已经受限，不要因为家长不会就盲目认为奥数超过孩子的能力。

　　　2）家长也学会识别数学学习中的无用知识，这部分知识只为应试所用，对未来的生活工作毫无意义，不要浪费实践去强化。比如超强的心算能力（必要的心算能力还是有用的）等。

　　　3）初中应该加强平面几何证明的锻炼，也可以进行一些形式逻辑的锻炼，不过数理逻辑强的话，形式逻辑学起来比较简单，不能为了逻辑而逻辑，不能在生活中应用数学毫无意义，不能在生活应用的逻辑也毫无意义。

jiangying

　　提示：观看本文，后果自负。

　　本文为菜鸟根据自己大脑记忆和小学低年级段数学课本所写，未参考现行高年级以及中学课本，未经数学和教育专业人士审核，故菜鸟不保证文中引用的正确性，推理的正确性和结论的正确性，观看本文所引起的所有不良反映（包括但不限于头晕，呕吐，感冒发烧等），均后果自负，菜鸟不承担任何责任。

　　

　　孩子数学思维的培养，包括数形结合，数量结合以及数序结合，其中的数量结合将贯穿孩子学习的整个过程。菜鸟认为大学以前，孩子对量的理解分为4个阶段，巧合的是，这4个阶段恰好对应学校教育的大约3年时间。当然由于孩子的个体差异，数量思维的发展并不完全同步。有些孩子会有一定的超前，但最好不要滞后。

　　1.离散量阶段，对应小学三年级以前。这个阶段的前期尤为重要，孩子通过数数把整数和整量的关系结合起来，是一个从形象到抽象的过程，然而很多家长所做的事情却是不准孩子用手指，学速算，背公式，背19x19表等，非要把孩子的数和量割裂了才开心。学前的数量结合启蒙做得好，上学后会非常的轻松，小学低年级，基本都是整数量（也就是离散量）的计算，难度不是很大。

　　2.连续量阶段，四年级左右开始接触分数和小数，孩子对数的思维跳出离散数的框架，进入连续量阶段，分数的引入，有理数也就完备了，再引入开方和圆周率等无理数，连续量概念形成，直线数轴可以覆盖所有的连续数。常说：“四年级是一个坎”，从数学上来说，这个坎就是连续量的理解。

　　3.变量阶段，初一的函数，变量正式登上舞台，数轴变成了平面直角坐标，这个阶段因式分解是难点和重点。这个时候的直角坐标系中的量仍然是一维的，两个量组成坐标。

　　4.矢量和虚数阶段，矢量的引入是在高中的物理中静力学的力学分析，数量走出一维概念，走向平面和空间，配合着数量的空间化，几何也开始空间化。矢量概念只是直角坐标的延续，难度也不大。

　　这4个阶段的划分也不是很严格，实际上进入后一个阶段，对于前面阶段的理解会一直延续。

jiangying

　　免责提示：观看本文，后果自负。

　　本文为菜鸟个人观点，未经数学和教育专业人士审核，故菜鸟不保证文中引用的正确性，推理的正确性和结论的正确性，观看本文所引起的所有不良反映（包括但不限于头晕，呕吐，感冒发烧等），均后果自负，菜鸟不承担任何责任。



　　中小学数学的天王山是几何证明和因式分解，只要在初二左右迈过这两个山头，高考前的数理化都一马平川。

　　初中的时候，父亲曾对我说：“小学数学的难点是应用题，初中数学的难点是几何证明和因式分解。”当时对因式分解体会不深，那些分解方法（十字相乘，配方法等）我都掌握得非常好，没觉得难。到了后来，发现有些同学对二次函数掌握不了，才知道因式分解确实是难点和重点。几何求证上，在一个暑假里面父亲要求我把《许纯鲂初等几何四种》研究了个透彻（为什么不说是做题？因为实际上我一道题都没做完过，基本上是在选择题型，理出思路），刚开始的时候是心怀抵触的，后来才慢慢地体会到了推理的乐趣。

　　从孩子数学思维发展的角度来看，因式分解是数量结合达到变量思维的极致，几何证明是数形结合达到变量思维的极致。初中是学校教育中从常量到变量转换的分水岭，数学思维落后的孩子会在这里大幅掉队。

　　小学阶段的未知数使用还局限于方程这个万能钥匙，严格的来说，方程的未知数仍然是常量。谁先掌握变量思维，谁就在数学学习中掌握主动。从这个意义上来说，在小学阶段慢慢给孩子侵浸植入变量思维，是孩子中学阶段理科能够轻松学习的关键所在。

　　

jiangying

　　洋洋的数学老师要求周末每天两道奥数题，给洋洋出奥数题是意见费脑筋的事情，简单了无意义，难了又怕打击，费劲脑汁，整了两周，上周的忘保留电子档，懒得打了，这周的６道，全部独立完成，唯一的一点缺陷是第５题，本来是道５步应用题，被洋洋简化为两步，要是竞赛分丢得就可惜了，还好，现在才二年级。


1.       计算2005－2004＋2003－2002＋……＋3－2＋1＝_____    _____。


2.       用1，2，3三个数字组成不同的三位数（可重复），一共有（   ）个
  A．6           B.  12         C.  15     D.  27
  
3.       2010年的12月份是个不寻常的月份，这个月份中有5个星期三，5个星期四,5个星期五,这个月的第一天是星期几？
  

4.       如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A，B，C三点周围的阴影部分是圆形的水洼．一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿，它跃过水洼，飞到关于A点对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对称的2号位；接着，它飞到关于C点对称的3号位，再飞到关于A点对称的4号位，……如此继续，一直对称地飞下去．由此推断，2004号位和0号位之间的距离是          米。




5.       甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。



6.       有5框水果，分别重14，26，22，15，32千克，其中两框梨的重量和是两框苹果和的2倍，另一筐香蕉的重量是（   ）千克

jiangying

　　洋洋：“1/3和1/4的差和积是一样的。”
　　洋爸：“哦，对的，其他好象还有1/2和1/3也是这样的。”
　　洋洋：“恩1/2和1/3的差都是1/6。还有1和1/2也是一样的。”
　　洋爸：“找出规律没有？”
　　洋洋：“恩1/2和1/3的差都是1/6。还有1和1/2也是一样的。”
　　洋爸：“找出规律没有？”
　　洋洋：“什么规律？”
　　洋爸：“如果一个自然数为a，那么1/a和1/(a+1)的积的分母是多少？”
　　洋洋：“分母是a(a+1)，分子是1。1/a和1/(a+1)的差的分母也是a(a+1)，分子是a+1-a，也就是等于1，1/a和1/(a+1)是相等的。”
　　

jiangying

　　洋洋：“一个数的无穷大次方等于多少？”
　　洋爸：“你说呢？”
　　洋洋：“无穷大。”
　　洋爸：“是不是哦？”
　　洋洋：“除了0和1以外的非负整数是这样的。”
　　洋爸：“其他数呢？”
　　洋洋：“负数和（小于0的）小数也不行。”
　　洋爸：“0的无穷大次方等于多少？”
　　洋洋：“0。”
　　洋爸：“1的无穷大次方等于多少呢？”
　　洋洋：“1。”
　　洋爸：“负数的无穷大次方等于多少？”
　　洋洋：“除了-1的负整数的无穷大次方都等于负无穷大......哦，不对，一会正一会儿负。”
　　洋爸：“-1的无穷大次方等于多少？”
　　洋洋：“-1,+1,-1,+1，不停的跳。”
　　洋爸：“这样能趋于一个定数的极限叫收敛，比如1和0的无穷大次方，不能收敛的叫发散。”
　　洋洋：“哦，那负数的无穷大次方都是发散的，那趋于无穷大是收敛还是发散了。”
　　洋爸（已经忘了）：“这个好象是发散，我查查资料。”
　　搜索中......
　　洋爸：“也叫发散，不能趋于一个定数就是发散，在问你一个，小于1大于0的小数的无穷大次方收敛不？”
　　洋洋：“不知道。”
　　洋爸：“举个例吧，0.1的平方是多少。”
　　洋洋：“0.01。”
　　洋爸：“无穷大次方呢？”
　　洋洋：“0.0，0的循环，就是0，是收敛的，小于1大于0的小数的无穷大次方都是收敛的。”
　　



　　


　　

大卫不可以

由于汉语言的特点，中国孩子综合能力强，思维速度快，记忆力强，但逻辑思维略差，而中国基础教育缺失一门逻辑课，数学学习中不把逻辑补上，使得孩子在逻辑上比西方国家孩子差距会加大。
========================
十分赞同这句话
为此，我专门买了逻辑学的教材