小学高年级必须掌握的解题方法-列方程解题

人生有几何

仔细拜读了一楼的帖子，总结起来就是一句话：

几乎任何的小学数学问题都可以用方程解决。

其实这个问题可能好多人已经发现了，其实还有另外一个更重要的问题，不知是楼主是否注意到，还是已经发现留待以后阐述：

几乎任何小学数学的问题都可以通过方程找到不列方程解决问题的思路。

以楼主14#的题目为例：

楼主提出了方程解法
S=(V1+V2)×6…①
V1+210=S…②
V2+230=S…③
将②、③两式左右分别相加得：
V1+210+ V2+230=S+S
V1+ V2+440=2S
1/6S+440=2S
S=240

其实可以用方程解出后再以非方程的方式解答。

S=(V1+V2)×6…①…………题目已知条件：甲乙两车同时从A、B两地相向而行，6小时可以相遇。
V1+210=S…②…………根据已知“甲车从A地出发1小时后距离B城210km”，可以得出一个全程＝甲一小时的行程+210km。
V2+230=S…③…………根据已知“乙车从B地出发1小时后距离A城230km”，可以得出一个全程＝乙一小时的行程+230km。

因此，两个全程＝（甲一小时的行程+210km）+（乙一小时的行程+230km）＝（甲一小时的行程+乙一小时的行程）+（210+230）

再根据已知条件：甲乙两车同时从A、B两地相向而行，6小时可以相遇。即一个全程＝甲6小时的行程+乙6小时的行程

因此题目可以转化成这样的条件：两个全程＝1/6全程+（210+230）

很自然地可以列出算式：A、B间的距离＝（210+230）÷（2-1/6）＝240

dreamur

21楼人生有几何说：几乎任何小学数学的问题都可以通过方程找到不列方程解决问题的思路。鼓掌！！！
我女儿在学习了用方程解题之后，我曾问过她：如果考试的时候要求不能用方程解题的时候怎么办（事实上至少到目前我尚未见到有这样要求的考试题，要求用方程解答的考试题我倒是见过很多）？
女儿回答：我先在草稿纸上用方程解答，把最后的算式写到考卷上不就OK啦！
我还曾经让女儿做题时用两种方法解答，一种是用方程，一种方法是列综合算式解答，让她观察其中的联系，效果奇佳。不信大家试试，我当时是女儿在解答和差问题以及和倍问题的时候要求她这么做的。大家可以试试。
这其实就是人生有几何所阐述的问题。这也为用方程解题平添了几分魅力。

[ 本帖最后由 dreamur 于 2010-9-6 16:46 编辑 ]

dreamur

jiangying版主说道：这个都是老师该讲的呀，怎么变成学校不讲的了？
人生有几何也提到：几乎任何的小学数学问题都可以用方程解决。这个问题可能好多人已经发现了...

闻言顿感惭愧不已！jiangying版主数学一定超级棒！我读了20多年书确实不记得哪位数学老师跟我详细解说“项”这个概念了。“移项”我倒是听的很多。
“项”的概念确实是我最近几个月在辅导女儿用方程解题的过程中自己总结出来的，我还把它当成“最新研究成果”在论坛发布，真是有点井底之蛙了！让大家见笑了！
我再仔细考虑考虑，换个不是这么雷人的标题。
不过你们的话也说明了另外一个问题，那就是我的观点是对的。我只不过是花了很多精力总结出了一个早就存在的规律罢了。这已经够让我开心的了。

jiangying

项的准确定义是什么，我忘了

但是代数中有个很重要的计算或者是推理过程：合并同类项。
既然同类项要合并，有移项，你觉得老师会不让学生了解项的含义吗？

三宝妈

认真听老师讲课.等待

亮子妈妈

孩子刚刚接触方程就觉得：这个东西好用！但碰到有难度的题应该怎样设未知数就有些糊涂，我也跟着听课来理清头绪了。

学而妈妈

五年级数学是有“列方程解答问题”这个单元的，对于如何确定未知数，如何列方程式，都是老师在课堂上必须解决的问题。

我家孩子并不习惯于列方程解答问题，她能很快地列出算式，把答案计算出来。关于这个问题，我请教过一位教授，他女儿小学时数学就是强项。那位教授说：“小学的孩子，不使用方程，而是用画图等方法去理解问题，对他们的思维训练是有好处的。因为方程仿佛流水线一样，通过移项等步骤就能得到答案，无助于他们的形象思维。”

以前，我们是要到初中才接触方程的，现在把方程移到小学，到底好不好，还没有人做出相关的研究。不过，我孩子已经到小学六年级了，学好方程是她的当务之急，楼主的办法有助于孩子对方程的理解。谢谢楼主

jiangying

原帖由 学而妈妈 于 2010-9-7 08:57 发表
以前，我们是要到初中才接触方程的，现在把方程移到小学

h
我的记忆中，我们也是小学学方程的，而且我相信我记忆的正确性。

因为我4年级的时侯随父母调动，我很明确地记得我会解方程是在老地方学会的，我哥比我高一个年级，我不知道是我在4年级学得还是他在5年级学后我跟着学会的。

我不知道为什么大家都说我们小时候是初中学方程，我也很明确的记得初一的时侯就开始学函数了，初中学的是一元二次方程。多元一次方程组都是小学学的。

看了一些奥数题，尤其是形成问题和一些简单的几何，我的感觉这些是我们小学时侯的基础题或者提高题，为什么现在都成了竞赛题？到底是我的记忆错了？还是我们在黑客帝国中？

谁还能找到小时候的教材验证一下？

dreamur

反复，仔细拜读了各位的跟帖，谈谈自己的看法。
27楼学而妈妈的发言很中肯，也提醒了我还要更深入地思考这些问题。但是有一点我觉得没有疑问，那就是：高年级的小学生必须要掌握用方程解题这个手段。如果孩子们都能像学而妈妈的宝贝女儿那样，能够熟练地列算式解题，再学习用方程解题那就太容易了。但是如果有些小学高年级的孩子数学比较差，直接多下点功夫学习用方程解题可能会是一条捷径。不过这只是我个人的观点，实际情况如何还有待实践的检验。

从发言中就能看出，jiangying版主是一个极其严谨的人。一直在反复强调解方程、项是在学校都讲过了的（连我把帖子标题更改以后都还不依不饶，严谨的吓人啊，哈哈）；还坚定地认为现在小学的数学比我们当年简单；我们当年小学就学过方程了...也许您的记忆没有错，您说的是事实。可是我认为大部分家长花了很多时间来到论坛，其目的不是为了求证我们当年学过方程没有？我们当年的题目是不是比现在难？我们究竟是小学学的方程还是初中学的方程？...
家长们来论坛的目的就是为了找一些适合自己的孩子的学习资料和学习方法。我们都是大人，都有一定的判断能力，我们会根据自己的孩子的实际情况决定某个学习方法是否适合自己的孩子。有的方法对某些孩子效果很好，但是对很多孩子是没有效果甚至还是非常不好的，这是事实，否则怎么会有“因材施教”之说呢？
至于我个人总结出来的经验，是我在自己孩子身上得到了验证的，之所以拿出来跟大家分享，是希望对某些孩子甚至是某个孩子有用，那么我就会感到无比欣慰了。我也愿意听到大家的这样反馈：DREAMUR，你的方法不适合我们家的孩子。那我就会真诚地说声：SORRY!再深入思考个中的原因。争取能够帮助到更多的孩子和家长。
接下去，我还是会结合自己教育孩子的实践经验再谈一点列方程解题的技巧。对那些有高年级的孩子的家长，特别是那些自己也在列方程解题方面有疑惑、辅导孩子比较吃力的家长可能会有帮助。对于那些水平远在DREAMUR之上的家长以及那些孩子数学超棒的家长，就请你们多多指点，我跟亮子妈妈等会虚心学习的。21楼人生几何的发言让我自愧不如！感谢人生几何，向您学习！
毕竟英语才是我的强项，我以后会把主要精力花到英语版块。但是欢迎各位家长随时跟我探讨数学教育方面的问题，互通有无，共同进步！

dreamur

先谈谈自己总结的解方程的几点心得：
怎样设未知数？
1.很多时候，题目问什么直接就设其为未知数即可。这样做的好处是方程解完答案立现；但是并不是所有的题目都能这么设，碰到这种情况可以考虑把一个中间量设为未知数，往往会有“柳暗花明”感觉；
2.如果题目中有诸如“甲是乙的a倍”、“甲是乙的a分之b”之类的表达，可以直接设乙为X，则甲=a*X、甲=b/a*X；
3.见到“甲比乙多a”、“甲比乙少a”这样的表达，设乙为X，则甲=X+a、甲=X-a；
4.很多情况下可以借助线段图帮助列方程，这是我对孩子再三强调的问题。并且我要求孩子在线段图上表示数字要尽量准确，比如用8cm的线段表示两地之间的全程，那么，两地之间的中点一定要标在4cm左右的地方。
感觉还有几点体会，一时不能全部想起，将来想到再补充。
下面举例说明。
我是从和差问题、和倍问题、鸡兔同笼问题着手教孩子学习用方程解题的。
例一：已知两数之和为20，两数之差为14，求这两个数。
女儿说：（20+14）÷2=17，是大的那个数；（20-14）÷2=3，是小的那个数。
我说，不错。还可以用方程解答：
设其中的一个数为X，则另一个数为：20-X，依题意：
X-（20-X）=14
X-20+X=14
2X=34
X=17
另一个数为：20-17=3。
女儿不服：还没有我的方法简单！
我说，别急，请看下题：
已知在一个减法算式里，被减数、减数、差三数之和为388，减数比差大16，求减数是多少？
女儿傻了：不能直接用公式计算，没辙了！
我说：看我怎样用方程把它拿下！
设减数为X，依题意：差=X-16，被减数=减数+差=X+（X-16）=2X-16
因为被减数、减数、差三数之和为388，所以有：
（2X-16）+X+(X-16)=388
4X-32=388
4X=388+32=420
X=105
完工！
女儿乐了，爸爸，快教我用方程解题吧！

例二：数学竞赛一共有20道题，做对一题得5分，不做或做错一题扣3分。结果小明得了60分。问他做对了几题？
设小明做对了X题，依题意可知他没做的和做错的一共是20-X题。
5X-3*（20-X）=60
5X-60+3X=60
8X=120
X=15
完工！
现在我让女儿每天作业做完以后做两道数学题（当然是有一定难度的，方法不限，可是她基本都在用方程解题）。昨天晚上做题的时候，第一题用了不到2分钟搞定，第二题卡壳了。题目如下：
甲乙两车同时从东西两城相对开出。当甲车行至全程的4/7时，乙车已行路程和剩下的路程的比是3:2，这时两车相距120km。求东西两城之间的距离。
女儿的解题思路是这样的：
先画线段图，在图上标上东西（左东右西），甲车从东往西（从右往左）行驶，乙车从从左往右行驶。然后在线段中点附近标上记号，表示甲行驶到了全程的4/7，然后在甲车行驶到的地方的左边标上一点，表示乙车行驶到的位置，然后在两点间标上120km，表示两车相距120km。然后进行分析：
设全程为S。因为乙车已行路程和剩下的路程的比是3:2，所以乙车已行的路程是：3/5*S，剩下的路程是：2/5*S。列方程：
3/5*S+120+4/7*S=S
然后开始解方程，把等号左面的三项和右面的S各乘以35得：
21S+120*35+20S=35S
41S+120*35=35S
6S+120*35=0
做到这里，卡壳了：两个数相加不可能等于零啊？老爸，哪做错了？
我装出一脸无辜的样子：我也不知道啊！自己琢磨呗！
我还真不告诉她，让她自己去想，她竟然足足想了30多分钟才找出错误的地方：乙车到达的地方应该在甲车所到地的右边！换句话说，两车已经相遇过之后又分别行驶了一段路了！而女儿开始画的线段图是两车还没有相遇！
我这才语重心长地对女儿说：我平时一直要求你养成良好的学习习惯，多次告诉过你线段图要尽量画的准确点。这道题你如果开始就把线段图画准确点，题目早就解出来了！
其实只要稍微细心一点就能发现，题目中甲车行驶了全程的4/7，超过了全程的一半（3.5/7），而乙车已经行驶了全程的3/5，也超过了全程的一半（2.5/5），所以只要你把甲车行驶到的地方标在中点的左边，把乙车行驶到的地方标在中点的右边，这道题想做错都难！还好这不是考试，如果是考试，在这么简单的题目上花半小时就意味着考试肯定砸了！

[ 本帖最后由 dreamur 于 2010-9-7 13:59 编辑 ]