一组数论的题目

qdylz

原帖由 jiangying 于 2011-3-1 12:06 发表
求证：可以找到一个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数
这步想到了

后面没看懂

这步也想到了

春节前，用透支卡在超市给老婆买了个头饰，499元

结果银行连发了4次短信通知

我跟老婆说，坏了，花了接近2000元了。

jymm222

又走到一路，不知能行不。

各位数字都是1的数，一定有无限多个。
这无限多个数，除以499所得的余数（数学定义的余数）是有限的，余数为0～498的自然数。

那么，一定有某两个数，它们的余数相等，这两个数相减，得到一个新数111...1000...0。

余数相等的两个数相减，它们的差，好象是能被除数499整除的吧。

那么，这个新数的前面数字为1的部分（后面的0全部去掉），好象是能被除数499整除的吧。

qdylz

百度了一下，这个题目需要用到抽屉原理。

又百度抽屉原理如下：

抽屉原则

抽屉原则的常见形式

一，把n+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有两个物体。

二，把mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有m+1个物体。

三，把m1+m2+…+mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，那么后在一个抽屉里至少放入了m1+1个物体，或在第二个抽屉里至少放入了m2+1个物体，……，或在第n个抽屉里至少放入了mn+1个物体

四，把m个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，有两种情况：①当n|m时（n|m表示n整除m），一定存在一个抽屉中至少放入了m/n物体；②当n不能整除m时，一定存在一个抽屉中至少放入了m/n+1个物体（[x]表示不超过x的最大整数）

五，把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素。

注：背下来上面的几种形式没有必要，但应当清楚这些形式虽然不同，却都表示的一个意思。理解它们的含义最重要。在各种竞赛题中，往往抽屉原则考得不少，但一般不会很明显的让人看出来，构造抽屉才是抽屉原则中最难的东西。一般来说，题目中一旦出现了“总有”“至少有”“总存在”之类的词，就暗示着我们：要构造抽屉了。

这也是百度来的解法，仅供参考：

8.求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。


解：1996÷4=499，下面证明可以找到1个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数。


取500个数：1，11，111，……，111……1（500个1）。用499去除这500个数，得到500个余数A1，A2，A3，……，A500。由于余数只能取0，1，2，……，498这499个值，所以根据抽屉原则，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，差的前若干位是1，后若干位是0：11……100……0。又499和10是互质的，所以它的前若干位由1组成的自然数是499人倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，这是1996的倍数。

[ 本帖最后由 qdylz 于 2011-3-1 15:36 编辑 ]

jiangying

不知道怎么把抽屉原理和这道题联系其俩

jymm222

这楼解法不严谨，删了。

[ 本帖最后由 jymm222 于 2011-3-2 10:27 编辑 ]

jiangying

搞不懂，不搞了

jiangying

看不懂那个503是怎么构建的，凭啥说那余数不能有重复的？

jymm222

回来和孩子谈起这个题目，发现我#25的解答是有纰漏的，还是得按前面的，换成求证111...1能被499整除，原因在qdylz 的#23有说明：“又499和10是互质的......”

绕了一大弯，还出了一纰漏，没经住表扬 ，今后还需脚踏实地，扎扎实实。

davidzsguo

学习一下，比较有难度

jymm222

（今天心情大好，来做几个题）

2、有一个三位数等于它的各位数字和的42倍，这个三位数是___。

42能被3整除，则这个三位数能被3整除，则它的各位数字和能被3整除，则这个三位数能被(3x3=)9整除，则它的各位数字和能被9整除，则这个三位数可能是42x9=378、42x18=756，只有42x18=756满足题目要求。