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无理数的证明
洋爸：“洋洋，0.9，9的循环，和1，哪个大？”
洋洋：“一样大。”
洋爸：“为什么？”
洋洋：“1/3就是0.3，3的循环嘛，1/3乘以3就是1，0.3，3的循环乘以3等于0.9，9的循环，所以他们是一样大的三。”
洋爸：“哦，对的，那么你会不会把无限循环小数转成分数呢？比如，0.21，21的循环怎么转成分数”
洋洋：“不会。”
洋爸：“那我教你嘛，你看，先把这个数乘以100，等于多少？”
洋洋：“21.21，21的循环。”
洋爸：“然后减去原数，等于多少？”
洋洋：“21。”
洋爸：“乘以100再减去原数，那是原数的多少倍呢？”
洋洋：“哦，是99倍。那么21除以99，就是21/99，化简出来就是7/33。那么就是看循环节的位数，然后用原数乘以1后面多少个0，就可以转换了。但是想0.16，6的循环这样的数，如果不知道是1/6，又怎么转换呢？”
洋爸：“一样的嘛，现乘以10，相减。”
洋洋：“1.5是小数的嘛，咋个除以9呢。”
洋爸：“放大十倍就是15了。”
洋洋：“那就是15/90，明白了。那我会0.9，9的循环，和1相等的另一种证明法，就是乘以10，相减等于9，再除以9，就是1三。”
洋爸：“对。”
洋洋：“那么对于无限不循环小数，怎么证明它不能转化为分数呢。”
洋爸：“我只会证明一部分，大多数不行。”
洋洋：“比如PI可以证明不嘛？”
洋爸：“PI我不会，PI是通过测量计算出来的，不是推理出来的应该无法证明哦。”
(此处略去圆周率的对话若干句）
洋洋：“e能不能证明呢。”
洋爸：“e我也不会。”
(此处略去e的对话若干句）
洋洋：“根号5呢？”
洋爸：“根号2我会，根号5不会。”
洋洋：“根号2怎么证明呢？”
洋爸：“用反证法，假设有两个互质的正整数啊a和b，使得V2=b/a，然后两边平方,2=b^2/a^2，就可以得到b^2是偶数”（这里V根号，,^2代表平方，下同）
洋洋：“那么b也是偶数，这样a就肯定是奇数，否则就不互质了。”
洋爸：“对，从另一方面看，b^2=2a^2，b^2里面肯定含有2个2为质因数，式子里面只有一个，所以a^2也含有质因数2。”
洋洋：“矛盾了，这样a也是偶数，和前面的a是奇数矛盾了。”
洋爸：“对。”
洋洋：“那么根号3能不能证明呢？”
洋爸：“我们也可以试试，先假设有两个互质的正整数啊a和b，使得V3=b/a。然后两边平方,3=b^2/a^2。”
洋洋：“那么b^2就是3的倍数，b就是3的倍数，a就不能是3的倍数。另一方面b^2=3a^2,a有是3的倍数，矛盾了。”
洋爸：“对。那么现在根号5能不能证明？”
洋洋：“能。9的立方根能不能证明呢？”
洋爸：“你自己想。”
想了一会，洋洋：“也可以，我发现b是9的倍数，a是81的倍数，也就是9的倍数，矛盾了。” |
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狗仔卡
楼主
发表于 2012-8-20 14:47:28
