[转贴]小学数学难题选解

qdylz

第八章、相遇问题

解题指导：
    “相遇问题”( 或相背问题)是两个物体以不同的速度从两地同时出发，( 或从一地同时相背而行)，经若干小时上遇( 或相离)。我们若把两物体速度之和称之为“速度和”，从同时出发到相遇( 或相距)时止，这段时间叫“相遇时间”；两物体同时走的这段路程 叫“相遇路程”，那么，它们的关系式是：
          速度和×相遇时间＝相遇路程
          相遇路程÷速度和＝相遇时间
          相遇路程÷相遇时间＝速度和
1、甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行42.5千米，乙车每小时行38千米，4小时后，两车还相距35. 5千米，求A、B两地的距离？
分析：
从题中已知甲乙两车的速度，它们速度和是42.5＋38＝80.5 ( 千米)
        相遇时间是4小时，相遇路程可。
       A、B两地的距离是：相遇路程 ＋还相距的35.5千米
解： ( 42.5＋38 )×4＋35.5
              ＝80.5×4＋35.5
              ＝322＋35. 5
              ＝357.5 ( 千米)
                    答：A、B两地的距离是357.5千米。
2、一辆货车和一辆客车同时从相距299千米的两地相向而行，货车每小时行40千米，客车每小时行52千米，问：几小时后两车第一次相距69千米？再过多少时间两车再次相距69千米？
分析：
从题意可知，第一次相距69千米，就是两车还没有相遇，还差69千米，相遇路程应是299－69，
根据相遇路程÷速度和＝相遇时间， 即  230÷( 40＋52 )＝2.5 ( 小时)。
第二次相距69千米，是在行完第一次相距的69千米相遇后，到再相离69千米，实际共行2个69千米。
根据：路程÷速度和＝时间
可解。
解： ( 299－69 )÷( 40＋52 )
             ＝230÷92
             ＝ 2.5 ( 小时)

               ( 69×2 )÷( 40＋52 )
             ＝138÷92
             ＝1.5 ( 小时)
                    答：2.5小时后两车第一次相距69千米，再过1.5小时两车再次相距69千米。

qdylz

第九章、追及问题

解题关键：追及问题是两物体速度不同向同一方向运动，两物体同时运动，一个在前，一个在后，前后相隔的路程若把它叫做“追及的路程”，那么，在后的追上前一个的时间叫“追及时间”。
              关系式是：
追及的路程÷速度差＝追及时间
1、A、B两地相距28千米，甲乙两车同时分别从A、B两地同一方向开出，甲车每小时行32千米，乙车每小时行25千米，乙车在前，甲车在后，几小时后甲车能追上乙车？
分析：如图
        
        根据题意可知要追及的路程是28千米，每行1小时，甲车可追上 32－25＝7 千米
即速度差。看28千里面有几个7千米，就要几小时追上。
也就是 ：
追及的路程÷速度差＝追及时间
解：  28÷( 32－25 )
            ＝28÷7
            ＝4 ( 小时)
                  答：4小时后甲车能追上乙车。
2、两辆汽车都从甲地开往乙地，第一辆车以每小时30千米的速度从甲地开出，第二辆车晚开12分钟，以每小时40千米的速度从甲地开出，结果两车同时到达乙地。求甲乙两地的路程？
分析： 从题意可知两车从同一地出发，第二辆车晚开12分钟，也就是第一辆车出发12分钟后，第二辆车才出发，那么，追及的路程是第一辆12分钟所行的路程，即 30×  ＝6 (千米)。两车同时到达乙地，也就是第二辆车刚好追上第一辆车，追及的时间就是第二辆车从甲地到乙地行驶的时间。即6÷(40－30)＝0.6(小时)，已知速度和时间，甲乙两地的距离可求。
解：30×12/60
＝ 6 (千米 )    6 ÷( 40 －30 )＝0.6 (小时)
           
           40×0.6＝24 ( 千米)
                           答：甲乙两地的路程是24千米。
3、甲乙二人在周长600米的水池边上玩，两人从一点出发，同向而行30分钟后又走到一起，背向而行4分钟相遇。求两人每分钟各行多少米？
分析：
两人从一点出发同向而行，速度有快、有慢，形成前后，从出发到再次走到一起，看作追及问题，追及的路程是600米，追及的时间30分钟，根据“追及的路程÷追及的时间＝速度差 ”，可求出速度差是 600÷30＝20 (米)。又背向而行4分钟相遇，属相遇问题，相遇的路程是600米，相遇时间是4分分钟，根据“相遇路程÷相遇时间＝速度和”，可求出速度和是 600÷4＝150 (米)。然后根据“和差问题”(和＋差)÷2＝大数，(和－差)÷2＝小数，可求出两人的速度。
解：   600÷30＝20 (米)    600÷4＝150  (米)
             (20＋150)÷2＝85 (米)        (150－20)÷2＝65 (米)
                         答：甲每分钟行85米，乙每分钟行65米。
4、甲骑自行车行12分钟后，乙骑摩托车去追他，在距出发点9千米处追上了甲。乙立即返回出发点拿东西，后又立即返回去追甲，再追上甲时恰好离出发点18千米。求甲、乙的速度？
分析：如图

从图中可知，甲行9千米，乙则行了9＋18＝27 (千米)，即 乙的速度是甲的27÷9＝3 (倍)
     那么，从乙出发到第一次追上甲时，乙行9千米，甲应只行9÷3＝3 (千米)，可求出甲先行12分钟的路程应是 9－3＝6 (千米)，从而可求出甲速度是 6÷12＝0.5 (千米)，由此可求出乙速度。
解：   (9＋18)÷9＝3 (倍)      9÷3＝3 (千米)     9－3＝6 (千米)
         6÷12＝0.5 (千米)          甲每分钟行的路程
         0.5×3＝1.5 (千米)         乙每分钟行的路程
答：甲每分钟行0.5 千米，乙每分钟行1.5千米。

洋洋妈

感觉现在小学好难啊,比我小时难多了.

qdylz

第十章、时钟问题

解题关键：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是分针的1/12，两针速度差是分针的速度的11/12，分针每小时可追及11/12。
1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？
分析：两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后5×2＝10（小格）。而分针每分钟可追及1－1/12＝11/12（小格），要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应为（10÷11/12）分钟。
        解：
（5×2）÷（1－1/12）＝10÷11/12＝10+10/11（分）
            答：2点10+10/11分时，两针重合。
2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？
分析：分针与时针成一条直线时，两针之间相差30小格。在4点钟的时候，分针指向12，时针指向4，分针在时针后5×4＝20（小格）。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须追上时针（20小格）并超过时针（30小格）后，才能成一条直线。因此，需追及（20＋30）小格。
        解：
（5×4＋30）÷（1－1/12）＝50÷11/12＝54+4/11（分）
            答：在4点54+4/11分时，分针和时针在同一条直线上。
3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？
分析：分针与时针成直角，相差15小格（或在前或在后），一点时分针在时针后5×1＝5小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。所以分针需追及（5×1＋15）小格或追及（5×1＋45）小格。
        解：
（5×1＋15）÷（1－1/12）＝20÷11/12＝21+9/11（分）
          或（5×1＋45）÷（1－1/12）＝50÷11/12＝54+6/11（分）
            答：在1点21+9/11分和1点54+6/11分时，两针都成直角。
4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？看到几点结束的？
分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后。12点以后时针与分针：
       第一次成一条直线时刻是：（0＋30）÷（1－1/12）＝30÷11/12＝32+8/11（分）
                               即12点32+8/11分。
       第二次成一条直线时刻是：（5×1＋30）÷（1－1/12）＝35÷11/12＝38+2/11（分）
                               即 1点38+2/11分。
       第三次成一条直线的时刻是：（5×2＋30）÷（1－1/12）＝40÷11/12＝43+7/11（分）
                               即  2点43+7/11分。
    如果从12点32+8/11分开始，到1点38+2/11分，只敲2下，到2点43+7/11分，就共敲5下（不合题意）
    如果从1点38+2/11分开始到2点43+7/11分，共敲3下。因此，小明应从1点38+2/11分开始看书，到2点43+7/11分时结束的。
5、一只挂钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12点时，把钟与标准时间对准。现在是标准时间下午5点30分，问，再经过多长时间，该挂钟才能走到5点30分？
分析：1、这钟每小时慢5分钟，也就是当标准钟走60分时，这挂钟只能走60－5＝55（分），即速度是标准钟速度的55/60＝11/12。
      2、因每小时慢5分，标准钟从中午12点走到下午5点30分时，此挂钟共慢了5×（17+1/2－12）＝27+1/2（分），也就是此挂钟要差27+1/2分才到5点30分。
      3、此挂钟走到5点30分，按标准时间还要走27+1/2分，因它的速度是标准时钟速度的1/12，实际走完这27+1/2分所要时间应是（27+1/2）÷11/12。
        解：    5×（17+1/2－12） ＝27+1/2 （分）
（ 27+1/2）÷11/12＝30（分）
            答：再经过30分钟，该挂钟才能走到5点30分。

qdylz

第十一章、工程问题

解题指导：“工程问题”指的都是两个人以上合作完成某一项工作，有时还将内容延伸到相遇运动和向水池注水等等。解答工程问题时，一般都是把总工作量看作单位“1”，把单位“1”除以工作时间看成工作效率，因此，工作效率就是工作时间的倒数。
        工程问题睥关系式是：工作总量÷工作效率＝工作时间
                        或：工作总量÷工作效率和＝合作的时间
1、加工360个零件，单独完成这批任务，甲需要20天，乙需要30天，两人共同工作，需要多少天能完成任务？
分析：加工360个零件，单独完成，甲需20天，甲的工作效率是360÷20＝18 (个)，乙需要30天，乙的工作效率是360÷30＝12 (个)，两人合作，那么工作效率和是18＋12＝30 (个)。
根据：
      工作总量÷工作效率和＝合做的工作时间，即360÷30＝12 (天)
        解：    360 ( 360÷20＋360÷30 )
              ＝360÷30
              ＝12 (天)
            答：需要12天能完成任务。
    或：如果把工作总量360个看作单位“1”，那么，甲的工作效率是1/20，乙的工作效率是1/30
        他们的工作效率和是1/20＋1/30，根据：工作总量÷工作效率和＝合做的工作时间
          1÷(1/20＋1/30)
        ＝1÷1/12
        ＝12 (天)
2、一项工程，由甲队单独工作需要15天完成，由乙队单独工作需要12天完成，由丙队单独工作需要10天完成。现在由甲乙两个工程共同工作了3天后，剩下的工程由丙队单独完成，丙队还需要几天才能完成这项工程？
分析：
       这一项工程看作单位“1”，甲队单独工作需15天完成，工效应是1/15，乙队单独工作需要12天完成，乙工效应是1/12，丙队单独工作需10天完成，丙队工效应是1/10，现由甲乙两队先共同工作3天，可完成这项工程的(1/15＋1/12)×3＝9/20，还剩下1－9/20＝11/20，剩下的由丙队去完成，需要的天数是11/20÷1/10
      
        解：        [ 1－（1/15＋1/12）×3 ]÷1/10
                  
                  ＝[ 1－9/20]÷1/10
                 
                  ＝11/20÷1/10

                  ＝5.5（天）
            答：丙队还需要工作5.5（天）
3、一个水池安装甲、乙两个进水管和丙放水管，单开甲管4小时能把空池注满水，单开乙管5小时能把空池注满水，单开丙管3小时能把满池水放完。现在三管同时打开，几小时能把空池注满？
分析：
      把一池水看作单位“1”，单开甲管4小时能注满，甲效是1/4，单开乙管5小时能注满，乙效是1/5，单开丙管3小时能放完，丙效是1/3。三管同时打开，因甲、乙是进水管，使水增加，丙是放水管，使水减少，那么，三管齐开的工作效率和是1/4＋1/5－1/3，工作时间可求。

        解：    1÷(1/4＋1/5－1/3) ＝1÷7/60＝8+4/7 (小时)

            答：三管同时打开8+4/7小时能注满水池。
4、一项工程，甲单独干需要20天，乙单独干需要30天，现在由他们两人合干，又知甲在工作途中先请了3天事假，后因公事出差2天。求他们完成这项工程从开工到结束一共花了多少天？
分析：
     甲单独干需要20天，甲的工作效率是1/20，乙单独干需要30天，乙的工作效率1/30。又甲工作途中请了3天事假，出差2天，而乙从开工到完工一直在干，那么，甲走5天时，乙是单独干了5天，其余天数是甲乙合干的。即从工程总量中减去乙独干的5天工作量，余下的合干的。合干的天数＋乙单独干的5天＝完成工程共花的天数。
        解：    ( 1－1/30×5)÷(1/20＋1/30)＋5

               ＝5/6÷1/12＋5
               
               ＝10＋5
               ＝15 (天)
                        答：他们完成这项工程一共花了15天。
5、有A、B两项工作，王师傅独做A项工作要9天完成，独做B项工作要12天完成；李师傅独做A项工作要3天完成，独做B项工作要15天完成。如果两人合作完成这两项工作，最少需要多少天？
分析：
              独做A项工作天数
工效
独做B项工作天数
工效

   王师傅         9 天              1/9                12 天             1/12
   李师傅         3 天              1/3                15 天             1/15

      如果按两人先共同做完A项工作，再共同去完成B项工作，那么，完成这两项工作的天数是
               1÷(1/9＋1/3 )＋1÷(1/12＋1/15 )

              ＝1÷4/9 ＋1÷9/60

＝（2+1/4）＋（6+2/3）
              ＝8+11/12(天)
    而题目要求最少需要多少天，上面所求天数是最少的吗？否，从分析中我们看到，做A项工作李师傅工效高，做B项工作王师傅工效高。要想时间最少，必须发挥各人的特长，选择最佳分配方法。这就让李师傅单独去做3天完成A项工作，王师傅先单独做B项工作，3天后，待李师傅完成了A项工作，再两人共同做B项工作剩下的部分。
      解： ( 1－1/12 ×3 )÷( 1/12 + 1/15 ) + 3

＝3/4 ÷ 9/60 + 3
           ＝5+3
           ＝8 (天)
                    答：完成这两项工作最少需要8天。

lotus1999

今天才看到这个帖子，谢谢楼主了！
牛顿，流水、相遇、追及等问题还没学到，准备寒假把鸡兔同笼、盈亏问题帮小子巩固一下，当时学的时候会了，过一阵子会有点忘，原理没完全弄懂。

freesunny99

经典！好好学习学习！

verygood00

谢谢,thank

verygood00

谢谢楼主分享，thank you

傻丫头

楼主真是好心人，帮了我们省了不少时间和精力，太谢谢你了。