[转贴]小学数学难题选解

qdylz

抽屉原则

抽屉原则的常见形式

一，把n+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有两个物体。

二，把mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有m+1个物体。

三，把m1+m2+…+mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，那么后在一个抽屉里至少放入了m1+1个物体，或在第二个抽屉里至少放入了m2+1个物体，……，或在第n个抽屉里至少放入了mn+1个物体

四，把m个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，有两种情况：①当n|m时（n|m表示n整除m），一定存在一个抽屉中至少放入了m/n物体；②当n不能整除m时，一定存在一个抽屉中至少放入了m/n+1个物体（[x]表示不超过x的最大整数）

五，把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素。

注：背下来上面的几种形式没有必要，但应当清楚这些形式虽然不同，却都表示的一个意思。理解它们的含义最重要。在各种竞赛题中，往往抽屉原则考得不少，但一般不会很明显的让人看出来，构造抽屉才是抽屉原则中最难的东西。一般来说，题目中一旦出现了“总有”“至少有”“总存在”之类的词，就暗示着我们：要构造抽屉了。

qdylz

试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案 。一群学生参加考试。结果是对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同。问参加考试的学生最多有多少人？

当参加考试的人数=9时可以实现任何三人都有一个题目的答案互不相同。
假设每题的选择答案是a,b,c
   人   1    2    3    4    5    6    7    8    9
题
1       a    a    a    b    b    b    c    c    c
2       a    b    c    a    b    c    a    b    c
3       a    b    c    c    a    b    b    c    a
4       a    b    c    b    c    a    c    a    b
当参加考试的人数=10时,我们先看第一题，肯定有一个答案的人数小于等于3，
也就是说肯定有7个以上的人，他们第一道题的答案不超过两种。再来看这7个
人和第二道题，肯定有一个答案的人数小于等于2，也就是说肯定有5个以上的人，
他们第二道题的答案不超过两种。也就是说肯定有5个以上的人第一道和第二道
题的答案都不超过两种。再来看这5个人和第三道题，肯定有一个答案的人数小
于等于1，也就是说肯定有4个以上的人，他们第三道题的答案不超过两种。也就
是说肯定有4个以上的人第一道题、第二道题和第三道题的答案都不超过两种。
最后再看这4个人和第四道题，肯定有一个答案的人数小于等于1，也就是说肯定
有3个以上的人，他们第四道题的答案不超过两种。也就是说肯定有3个以上的人
第一道题、第二道题、第三道题和第四道题的答案都不超过两种。这就跟题目的
要求矛盾了。

qdylz

8个学生角8道题目
⑴若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被这两个学生中的一个解出。
⑵如果每道题只有4个学生解出，那么⑴的结论一般不成立。试构造一个例子说明这点。

若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被这两个学生中的一个解出。
我们可分4种情况讨论一下：
1.假设解题最多的人A解出8道题
  这是我们可以选他和任意一个人都能满足题目要求。
2.解题最多的人A解出7道题
  A没有解出的那道题至少有五个人解出，我们任选一个和A能满足题目要求。
3.解题最多的人A解出6道题
  A没有解出的那两道题每道题有五个人解出，共有10个人次解出，但只有7个人，肯定有一个人全部解出了这两道题。
  我们就选他和A能满足题目要求。
4.解题最多的人A解出5道题
  也就是说每人都解出了5道题。我们任选一个人设为A,A没有解出的那三道题每道题有五个人解出，共有15个人次解出，
  但只有7个人，肯定有一个人解出了三道题。我们就选他和A能满足题目要求。

qdylz

原帖由 qdylz 于 2009-3-20 09:28 发表
试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案 。一群学生参加考试。结果是对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同。问参加考试的学生最多有多少人？

当参加考试的人数=9时可以实现任何三人都有一个题 ...

这是直接贴过来学习的，我看了半天，假如有10个人，必然会有1道题目的答案相同。

刘日东

dddddddddddddddddddddd

tiantian1972

挺好的，楼主真用心，谢谢了。

tiantian1972

楼主，你太用心了，万分感谢。

cxsyl

家有学子，真好可以学，谢谢！

我还是落花流水

晕啊   俺小时候一数鸡腿兔腿头就大

sunxian128

一定要仔细地看看，尤其是盈亏问题，是我的弱项啊！