[格林·杜曼(美)] 如何教宝宝数学

木糖醇

　《孙子算经》中给出这类问题的解法：“三三数之剩二，则置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五，一百六以上，以一百五减之，即得。”用现代语言说明这个解法就是：

　　首先找出能被5与7整除而被3除余1的数70，被3与7整除而被5除余1的数21，被3与5整除而被7除余1的数15。

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　所求数被3除余2，则取数70×2＝140，140是被5与7整除而被3除余2的数。

　　所求数被5除余3，则取数21×3＝63，63是被3与7整除而被5除余3的数。

　　所求数被7除余2，则取数15×2=30，30是被3与5整除而被7除余2的数。

　　又，140＋63＋30=233，由于63与30都能被3整除，故233与140这两数被3除的余数相同，都是余2，同理233与63这两数被5除的余数相同，都是3，233与30被7除的余数相同，都是2。所以233是满足题目要求的一个数。

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　而3、5、7的最小公倍数是105，故233加减105的整数倍后被3、5、7除的余数不会变，从而所得的数都能满足题目的要求。由于所求仅是一小队士兵的人数，这意味着人数不超过100，所以用233减去105的2倍得23即是所求。

　　这个算法在我国有许多名称，如“韩信点兵”，“鬼谷算”，“隔墙算”，“剪管术”，“神奇妙算”等等，题目与解法都载于我国古代重要的数学著作《孙子算经》中。一般认为这是三国或晋时的著作，比刘邦生活的年代要晚近五百年，算法口诀诗则载于明朝程大位的《算法统宗》，诗中数字隐含的口诀前面已经解释了。宋朝的数学家秦九韶把这个问题推广，并把解法称之为“大衍求一术”，这个解法传到西方后，被称为“孙子定理”或“中国剩余定理”。而韩信，则终于被刘邦的妻子吕后诛杀于未央宫。

　　请你试一试，用刚才的方法解下面这题：

　　一个数在200与400之间，它被3除余2，被7除余3，被8除余5，求该数。

　　（解：112×2＋120×3＋105×5＋168k，取k＝-5得该数为269。）

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　口吃者

　　在初中数学中学过一元一次和一元二次方程的代数解法。一般的一元三次方程有没有代数解法呢？

　　公元1535年，在威尼斯任数学教授的意大利数学家塔塔里亚（Tartaglia，约1499－1557）与另一位数学家菲奥进行算术比赛，双方各出三十个三次方程的问题，限三十日交卷，约定谁解出的题目多就获胜。塔塔里亚在参赛前八天，就已经掌握了所有特殊三次方程的解法，所以只花了两小时就解完对方的题目，而菲奥却一题也做不出来。塔塔里亚获胜后，进一步热心于研究三次方程的解法，誉满意大利全国。

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　意大利米兰城有个学者卡丹（Cardano）听说塔塔里亚会解三次方程，急于了解其中底细。他多次向塔塔里亚恳求，保证严守秘密，不告诉别人，塔塔里亚就把这个方法告诉了他。哪知卡丹不守信约，竟把这个解法附在他写的一本书里，公开印行了。塔塔里亚为这事气得几乎发狂，没有办法，就把他发现这一解法的过程详细地写成书，让大家都知道这件事。

　　塔塔里亚幼时，家境贫寒，靠父亲当邮差微少收入，维持一家生活。十六世纪的意大利，是一个分裂的国家，1494年，法国入侵意大利。两国战争断断续续进行了六十多年。1512年，他的家乡被法军攻陷，父亲惨遭杀害。塔塔里亚躲进一座天主教堂，但仍未幸免，头部挨了法国兵的三刀，上下颔都被砍伤，以致后来讲话口吃。按照意大利语，“口吃者”这个词的发音就是“塔塔里亚”。于是，人们以后就称他叫“塔塔里亚”了。

　　父亲去世后，家里生活靠妈妈帮人家做苦活，赚一点钱扶养塔塔里亚，并勉强把他送进学校读书。塔塔里亚幼年时就天资聪颖，勤奋刻苦。他学习很用功，也很懂事。家里穷得没钱买纸，他就在课后跑到荒郊墓地，在碑石上练习解题。

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　塔塔里亚对三次方程的发现，推动了数学家们对高次方程的研究。四次方程的解法终为卡丹的学生数学家弗尔拉里所完成。此后两三个世纪，推求五次及五次以上高次方程解法的人不胜枚举，但都没有结果。直到十八世纪，挪威青年数学家阿贝尔（Abel，1802－1829）和法国数学家伽罗华才完全证明了五次及五次以上的方程，都不可能有一般的根求解。

　　时至今日，人们对塔塔里亚和卡丹之间那场激烈争论已渐渐忘却。可是，他对高次方程研究所做出的努力和贡献，将永远载入代数学史册。

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米兰芬算灯

　　李汝珍，清代人，是个“学无所不窥”的才子，可能是学问钻研多了，所以官场上却甚不得意。他写了好几本书，《镜花缘》是流传最广的一本。此书中描写了一位精通算学的才女“矶花仙子”名叫米兰芬。

　　米兰芬和众姐妹在宗伯府聚会，来到小鳌山楼上观灯。楼上的灯形状有两种，一种灯是上面三个大球，下缀六个小球，一种灯是上面三个大球下面十八个小球。楼下的灯也有两种，一种是一个大球缀二个小球，一种是一大球缀四个小球。知道楼上有大灯球396个，小灯球1440个，楼下有大灯球360个，小灯球1200个。

　　才女们要米兰芬计算，楼上楼下的四种灯各有多少盏？

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　米兰芬说：“以楼下论，将小灯球数折半，得600，减去大灯球数360，即得缀四个小灯球的灯数为240，用360减240得120，即得缀二个小灯球的灯数为120。此用‘鸡兔同笼’之法。”用同样的方法算楼上灯数：“以1440折半，得720，720－396=324，324÷6＝54。得缀十八个小灯球的灯数为54。用396－54×3＝234，234÷3＝78。即缀六个小灯球的灯数为78

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　　这里说的“鸡兔同笼”法，是指的我国古代的一种类型题目，比如在一个笼中关有鸡与兔，数头有100个，数脚有240只。问鸡、兔各有多少？

　　对此题，有一个简单巧妙的算法，就是：如果让鸡都缩起一只脚，“金鸡独立”站着；让兔子全部抬起二只前腿，只用二只后腿站着，这时，再数脚数，就应是240除以2，得120只脚。

　　如笼中全是鸡，由于此时数鸡时，每只鸡都是一头一脚（另一脚缩起来了）。故100只鸡应只有100只脚，现在却有120只脚，多的20只脚是那儿来的呢？原来每只兔子都要多数1只脚，这就说明兔子数是20，而鸡数则是80。

木糖醇

现在你明白了米兰芬的算法了吧！比如说楼下的灯，一大球下缀二小球，就相当于“一只鸡有二只脚”，一大球下缀四小球就相当于“一只兔有四只脚”。所以，用“鸡兔同笼”之法就算清楚了。

　　至于楼上的灯，小球数折半，就相当于把灯改制成“每灯三个大球，下缀三个小球”和“每灯三个大球，下缀九个小球”这两种。如果都是前一种灯，则大小灯球数应相等。现小球数为720（=1440÷2），大球数396，多出324个小球。是因为每盏第二种灯小灯球多出6个的原因，从而用324÷6＝54，即其中有54盏第二种灯，第二种灯共用大灯球162个，故第一种灯用大灯球234个，除以3得78，就是第一种灯数了。

　　朋友，如果换了你来解决这道题，你又会怎么做呢？