[格林·杜曼(美)] 如何教宝宝数学

木糖醇

　　只知道距离是不够的蜜蜂在舞蹈时还利用太阳的角度来指示方向。“太阳角”就是以蜂巢为角的顶点，它相当于极坐标中的O点；向太阳方向的射线相当于极轴ox；向花丛方向的射线相当于OP。这时太阳方向与花丛方向就构成一个角（相当于a），这个角就标志着花丛的方向。如果蜜蜂在舞蹈时，头朝上，从下往上跑直线，这就是说要向着太阳这个方向飞才能找到花丛，按照上述传递信息的方法，蜜蜂就可以根据指定的方向和距离，顺利地找到花丛。

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　　花砖铺设问题

　　随着人们生活水平的提高，许多人喜欢用装饰用的花砖来铺设地面，这在数学里是一门学问，叫做平面花砖铺设问题，也叫做镶嵌图案问题，即采用单一闭合图形拼合在一起来覆盖一个平面，而图形间没有空隙，也没有重叠。什么样的图形能够满足这样的条件？

　　我们先来研究正多边形。先看看正方形，这是大家熟悉的图形。很明显，正方形是可以覆盖一个平面的。

　　再来看看正三角形，正三角形也是可以覆盖一个平面的。

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　正六边形也是可以覆盖一个平面，这不仅早在古希腊时就为人们所确认，而且昆虫中的蜜蜂就是用正六边形来建造蜂巢的。

　　为什么正方形、正三角形、正六边形能够覆盖一个平面？因为过每一个正方形公共顶点的正方形有四个，每个正方形的每个内角为90°， 4个90°正好是360°。过每一个正三角形顶点可安排六个正三角形，每个内角60°，共为360°。同样，过每个正六边形顶点有三个正六边形，每个内角为120°，三个内角正好为360°，由此可知，要使正多边形能覆盖平面，必须要求这个正多边形的内角度数能整除360°。

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　正五边形的每一个内角为108°，108°不能整除360°，所以正五边形不能覆盖平面，不难看出，超出六边的正多边形的每一个内角大于120°，小于180°，都不能整除360°，因此，都不可能覆盖平面。这样看来，能覆盖平面的正多边形只有正方形、正三角形、正六边形三种。

　　现在，我们来看看不规则的多边形能不能覆盖平面。事实上，任何不规则的三角形和四边形都可以覆盖一个平面（如图）。

　　那么，其它怎样的凸多边形才能覆盖平面呢？1918年，法兰克福大学一位研究生卡尔·莱因哈特曾研究过这个问题。后来发表了论文，确定五种可以拼成平面的凸多边形。例如，他提出如果五边形ABCDE的各边分别为a、b、c、d、e，且c、e两边所对的角C、E满足 C＋E＝180°，又a＝C，那么这个五边形就能覆盖平面。

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　1975年，美国人马丁·加德纳在《科学美国人》这本杂志上开辟了关于镶嵌图案的数学游戏专栏，许多数学家和业余数学爱好者都参加了讨论。其中有一位名叫玛乔里·赖斯的家庭妇女是最热情的参予者之一。赖斯是五个孩子的妈妈，1939年中学毕业前只学过一点简单的数学，没有受过正规的数学专业教育。她除了研究正多边形的拼镶问题以外，还研究了一般五边形。她独立地发现了一种五边形，并且向加德纳报告了这一发现：“我认为两条边长为黄金分割的一种封闭五边形可以构成令人满意的布局。”加德纳充分肯定了赖斯的研究成果，并把她介绍给一位对数学与艺术的和谐具有职业兴趣的数学家多里斯·沙特斯奈德。在沙特斯奈德的鼓励下，赖斯又发现了解决拼镶问题的另外几种五边形，而使这样的五边形达到13种。

　　赖斯的家务很忙，但这没有影响她研究的热情。她对人说：“在繁忙的圣诞节，家务占踞了我大量的时间，但只要一有空，我便去研究拼镶问题。没人时，我就在厨房灶台上画起图案来。一有人来，我就急忙地把图案盖上。因为我不愿意让别人知道我在研究什么。”

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纸折曲线
　　“你会用纸折小船吗？”

　　“会！”

　　“你还会折些什么呢？”

　　“我会折的东西多啦，飞机、亭子、鸟、衣服，……，我能折好几十种东西呢。我还会用花纸折成小三角，再拼成许多立体图形，菠罗呀什么的。”

　　“那你真可以叫折纸专家了。不过我想问你：你能折出一条抛物线来吗？”

　　“……?!”

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　那么，请你取一张纸，靠底折一条横线L，再竖着对折一条竖线MN，在WN上取一点F，只要F不是MN与L的交点就行。

　　下面你就开始折纸了。当你把纸折过来，让F落到L上时，就得到一条折痕。就这样不断地改变点F落在L上的位置，于是就得到一系列的折痕，当折痕足够密的时候，你再打开纸仔细看看！

　　哈，一条抛物线跃然纸上。

　　这是什么缘故呢？

　　大家知道，抛物线是二次函数y＝ax2＋bx＋C（a≠0）的图形。不过抛物线还有一个悖性：抛物线上任何一点到一定点F及一定直线L的距离相等，这是解析几何中抛物线的定义。可以证明，满足这个条件的点组成的图形在适当的坐标系里正是二次函数的图形。这里L叫抛物线的准线，F叫抛物线的焦点。

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　下面我们就用这个特性来说明这个问题：

　　设点F与L上的点P重合时，得到的折痕为直线n。

　　作PT⊥L交直线n于T。由于直线n是FP的垂直平分线，故FT＝PT，而FT是T与点F的距离，PT是点T与l的距离，于是可知T点在以l为准线F为焦点的抛物线上，当改变P的位置时，点T就画出一条抛物线来了。

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　而对于直线n上异于T的点T′，作T′P′⊥l，就有FT′＝T′P＞T′P′。这就是说，直线n上异于T的点都在这条抛物线外。（就是说，直线n与抛物线切于点T）所以，这条抛物线实际上是用这些切线“围”出来的。“化直为曲”，一系列的直线围出了一条曲线。数学里有个专门名词，称抛物线是这一系列直线（直线族）的“包络”。

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　　再来看一种包络抛物线：大家知道，高射炮弹在空中飞行的轨迹（在理论上，不计空气阻力时）是一条抛物线。高射炮炮管的仰角不同，就可以得到不同的抛物线。所有这些抛物线（抛物线族）有一条“包络”。这条包络也是抛物线，只要飞机在这包络之外飞行，就不会被高射炮击中。因此，这条包络又称为“安全抛物线”。

　　上面讲的是用折纸的办法得到一条抛物线。其实还可用折纸的办法得到一个椭圆。这只要先画（或剪）一个圆O，在圆内任取一点F，（F不与O重合）。然后就开始折纸。每次都让点F与圆周上的不同点重合，而得到不同的折痕，当折痕足够多时，你就可以发现，这些折痕就围出了一个椭圆。