二三年级：等号的秘密

ccpaging

以下内容是以天平为工具探究等号秘密的过程记录，可以算是代数之等式变化的启蒙。内容比较繁杂，可能让人望而生畏。其实，简单的说，就两句话：做一个天平，玩天平。

缘起：工人的智慧
大学毕业以后，被分配到工厂里，再下到车间。车间当时不好办啊，应用数学系毕业，那就去包装组数电解电容吧，500颗一袋，一颗电容也就两颗黄豆大，想想就就晕了。还好，包装组的几个工人跟我蛮谈得来，平时大家一起吹吹牛，工作的时候，也不让我数数。我在一边观察他们是怎么把小小的电容进行分装的。

 首先先数500颗出来，然后用小天平称出重量，连续操作2－3次，这样我们就能得到一组数据，取其平均数，选择做靠近这个平均数的500颗电容，加上包装，作为基准包装。
 然后按此基准开始分装电容，当天平趋于平衡的时候，多加一颗。少一颗是质量事故，要扣奖金的，一颗电容的价格也不到一分钱。

这样就能快速地把一天的工作量完成的。

用天平解题
昨天 - 星期天，跟Alex和他的同学结结实实玩了一把数射线。在玩数射线的过程中，笨爸爸发现小二同学对“=”号的具象意义不是十分清楚，因此准备出几个专题，专门讲讲“=”号。

 原题：
 　　○＋△＋□=17 ……………①
 　　○＋△=10    ………………②
 　　△＋□=12 …………………③


 第一次秤量



 拿走○＋△，红色部分拿走

 
 同学们看，剩下的是什么？
 □ = 7


 拿走△＋□，红色的部分拿走

 
 同学们看，剩下的是什么？
 ○ = 5

 最后一个问题，△是多少？同学们能计算出来吗？


先看看真真的天平




三盒巧克力
 小明今天过生日，妈妈买来了好多巧克力糖。小明吃不完，他把糖分成几包给好朋友们 - 小胖、小鱼、小林。
 ○是用的圆盒子；△，用的是三角形盒子；□，用的是方盒子。

 放在天平上称，天平的左边是三包巧克力，右边是17颗巧克力。如下图：


用a/b/c给盒子编号
 前面已经计算出：
 ○ = 5；△ = 5；□ = 7
 为了方便计算，需要给三包糖编号，如果像往常那样用数字编号，容易混淆编号和包里巧克力的个数，所以我们换种方式，用a、b、c来编号吧。

 
 也就是：
 a = 5； b = 5； c = 7
 a + b + c = 17

减法
 如果我们从左边减掉编号为a的盒子，天平就失去平衡了，用数学式表示：
 (a + b + c) - a < 17
 如何能重新是天平恢复平衡呢？有一种办法就是从右边拿掉与 a 个数相等的巧克力，，用数学式表示：
 (a + b + c) - a = 17 - 5
 换一种角度去看，我们有过两个等式:
 a + b + c = 17
 a = 5
 天平上操作的结果，就是两个等式的两边分别想减，这时，天平已然保持平衡：
 (a + b + c) - a = 17 - 5
 问同学们一个问题，下面这样可以吗？
 (a + b + c) - 5 = 17 - a

加法
 前面我们讲了两个等式可以加在一起，那么减法是不是也可以呢？


 
 现在天平的右边只有编号为 c 的盒子，它里边装了7颗巧克力，所以，天平的右边也要放上7颗糖，天平才是平衡的。表示成数学式：
 c = 7
 前面已知，a 号盒子里边装了 5 颗巧克力，但 a 被放到天平的左边时，天平失去平衡：
 c + a > 7
 要使其恢复平衡，可以在天平的右边再加上 7 颗巧克力，也就是：
 c + a = 7 + 5
 c + a = 12
 有个同学说，a 和 b装的巧克力是一样多的，那我们是不是可以右边加 b？
 因为:
 c = 7
 a = b
 所以：
 c + a = 7 + b
 您认为，这个同学的想法是对的吗？


简单的乘法

 
 每个 c 号盒子里边放了7颗巧克力：
 c = 7
 在左边的托盘里边放了3个 c 号盒子，增加原来的到3倍，要保持天平的平衡，右边的糖也要增加到3倍：
 3 x c = 3 x 7

复杂的乘法

 
 a+b+c = 17
 现在左边的托盘放了2倍的 a + b + c，要保持天平的平衡，右边的糖也是原来的2倍：
 3 x (a+b+c) = 3 x 17
 而且：
 3 x (a+b+c) = 3 x a + 3 x b + 3 x c


天平上的除法
乘法搞明白了，除法也就好办了，把乘法的结果倒推去就可以了。


 3 x (a + b + c) = 51
 把天平的2边都缩小3倍，得到：
 a + b + c = 17

自制天平
材料
 一根比较规则的木条，若干回形别针，棉线，厚薄适中的纸（特快专递纸袋）



小窍门
 我们考虑天平的悬梁孔应该打在木条的重心上（实验证明这不是必要的），而木条不是完全规整的，所以重心不在几何中心上。
 不规则物体重心的确定方法有两个：
1、悬挂法；用绳子把物体吊起来，稳定后沿绳子方向在物体上画一条直线，换个位置再吊一次，稳定后画直线，2条直线相交的点就是物体的重心；
2、杠杆原理；找一支点支撑杠杆，并且使其处于平衡状态，则支点出就是物体重心的位置．
我们用的是悬挂法：

 
加工误差
 由于加工误差，刚做好的天平总是不能达到平衡的状态。
 这时，可以增减别针的数量，或者调整别针的位置，或者用橡皮泥，或者调整托盘的重量，来消除误差。

目的
 自制天平的目的并不是一定要用来称，也许做好了却一次也没用过，这不紧要。重要的是，在制作过程中：
 1、建立起等式的具体意义，使同学们一看到等式，就可以对具体的物的想象。
 2、扩展出一些简单的手工制作知识。
 3、把抽象的数学和有趣的手工结合起来，提高同学学习的兴趣。

hxy007：基本概念问题
　　老兄，基础性工作呀！咱也为孩子到了小三对等号意义的理解大成问题而苦恼。这都是一年级学得太快练得太多而没有给予机会反复玩味体会留下的祸根。
 　　等号如此，加减乘除、差、和、因数、积、商、余数，何尝不是如此？面积公式、速度公式、立方体的平面展开又何尝不是如此？我经常用家乡俚语暗骂：学那么快做什么，赶着去进棺材呀？做那么多题干什么，想成“题匠”吗？
 　　留下的祸患，只好靠平时慢慢消解了。
 　　有人说hxy007不重视基本概念，那真是冤枉，俺可是极其重视孩子心理学意义上的数学基本概念。如果他不懂，我仅仅给他讲最标准的数学基本概念，又有什么用？咱们如此放慢步子，反复折腾，不就是想让孩子体会、掌握数学的基本概念、思维方式，热爱数学，主动探究数学么？

（全文完）

疯狂的小豆子

我喜欢这个系列。

紫竹林

真好，数学、物理、化学，都和生活联系起来才有趣味