三四年级：探索路程、时间、速度

ccpaging

我们先来看看一道应用题：
原题是这样：
小英步行的速度是65米/分，小华步行的速度比小英每分钟快10米，小华9分钟行多少千米？

我改成了这样：
小英步行的速度是65米/分，小华步行的速度比小英每10分钟快100米，小华9分钟行多少千米？

小明是这样做的：
65 + 100 = 165 米/分
165 x 9 = 1485 米
1485米 ＝ 1.485千米

答：9分钟行1.485千米

请同学们看看小明的做法对吗？

先绕个弯子－－单位
速度公式很难
速度公式看似简单，只有速度、路程、时间三个变量（以小三的话来说，应该是数字吧），但实际上远不像看起来那么简单。纵观整个小学数学，速度是个难点，很多所谓的难题都出在速度公式上。例如，一道应用题只讲一个人或者物体的移动是简单的，三个数字，以小三的聪明凑也能凑出来，可是如果应用题讲的是2个人呢，那就有6个数字，2个人在各分为两个段，就有12个数字，可怕哇，这时候要想凑个答案出来，绝对是不可想象的。所以，学习速度一定不能单纯地从公式到习题，而要从最根本的概念出发，刨根究底，全面地理解速度的基本含义，真正搞清楚速度的来龙去脉。

从日常生活开始－－量词
在“我不知道”亲子数学社中，我和hxy007以及小三、小四们尝试了一种新的有关速度的学习方法，与各位小三小四分享。一开始，我们并没有急于去研究速度，而是绕了一个大圈子。
妈妈问小四：“你们今天不是要研究速度吗？现在在研究什么啦？”
小四回答曰：“我不知道啊在研究什么，看不出跟速度有关系啊？！”

原来hxy007先从中文与英语的区别开始，中文有量词（一“条”狗、一“个”苹果），英文则只有a、an、the，引导大家轮流说出我们知道的量词。一开始，大家说的还是日常用的量词，如只、条、个、碗、包、间等，后来逐渐地说出数学中的“量”，如克、千克、厘米、米等，这时，hxy007理解对小三小四们做了强调：“这些新的量词跟前面所说的量词有什么关系？”
有人说：“前面的量词都是不精确的，数学的量词都是精确的。”
hxy007说：“是啊，我分给你一碗饭，分给他一碗饭，说起来好像都一样，实际上，可能一个是大碗，一个是小碗。”
这句话很重要，它把数学研究问题的方式与日常生活的体验联系了起来，同时有点出了数学和生活的重要区别。

生活到数学，无序到有序
接下来，大家慢慢地开始把眼光集中在数学单位上，有重量单位（克、千克、吨）、长度单位（mm, cm, dm, m, km），开始比较乱，随着已经说出来的单位越来越多，要找出新的单位就越来越困难。自然地，小三小四们不自觉地对已经说出的单位进行了分类，并且开始按照单位的大小规律去进行有序思考。这是一个值得大声肯定的进步，从无序走向有序是数学的历史发展规律之一。

变态的面积单位
顺利地过渡到单位分类的时候，大家发现在以前学过的这些单位中，面积单位是一个特殊的单位，有别于长度和重量单位。
简单地说，长度单位和重量单位是一种基本单位，它是可以直接测量的。例如，当我们测量一根铅笔的长度时，我们会先用分米做单位测量，剩下不足1分米的，换用小一点的单位厘米测量，剩下不足1厘米的，再用更小的单位毫米测量，如此可以知道铅笔的长度。
而面积虽然与长度有关，却无法用长度尺测量。开始我们实验时，hxy007是选用的一个标准的长方形，这时小三小四还试图用（长X宽）来测量面积，后来我干脆撕去了长方形的一个角，使其变成不规则图形，这时小三小四只能根据测量长度的步骤：先做一个标准的1分米见方的正方形去测量，剩下不足1分米见方的，换用小一点的单位1厘米见方测量，剩下不足1厘米见方的，再用更小的单位1毫米见方测量。于是，我们开始得到三个面积测量单元，即1分米见方、1厘米见方、1毫米见方，这就是面积的基本单位1dm小2，1cm小2，1mm小2，标准的说法是1平方分米、1平方厘米、1平方毫米。
这产生了一个新的问题，既然面积单位跟长度单位是不同的单位，为什么它不像重量单位那样，重新设计另一个单位名称呢？这可不是一个无聊的问题哦，历史上有关平面确实存在过其它的单位，如亩、英亩、坪，或者模糊的单位如块（砖）等。原因就在于面积与长度虽然不同，但跟长度是密切相关的，正是这个联系使我们认识到，不需要为面积另设单位。
另外，中国人历史上有很多说法是不分长度和面积的，如一寸山河一寸血、寸土必争等，这里的寸是长度单位，表达的意思却指得是面积，具体的含义要根据上下文去体会理解，这不够方便、容易混淆。
面积的单位即不必要另设，又不能直接用长度单位代替，这就有点让人为难了。
所以，最后有人提出了平方分米的概念。既然面积就是一个个不同边长的正方形方块，如1平方分米＝1分米x1分米，那我们索性把面积的单位表示成（分米x分米），换成更简单的一种表达方式就是分米（小2），读成平方分米。这样可以表达出长度与面积单位的关系，又不用另造新的单位，岂不是两全其美了吗!

小结
这个弯子绕的不小啊，我们的目的明明是速度，却要从生活的量词开始，再长度、重量单位，然后还要重新复习面积单位，难怪妈妈要发出疑问了！
老实说，刚开始活动时，妈妈不解，同学不解，我也不解。待全部活动完了，我细细体会时才发现，这个弯子实在是绕的很恰当，很值。
1、hxy007设计了一个很巧妙的阶梯，从最简单、最生活的问题出发，使小三小四和其它BBMM比较容易地进入研究的情景。
2、小三小四在课堂上已经学习了很多单位，他们从课外书中看到了更多的单位，但这些知识是孤立的，从数学的角度看，甚至是混乱的。现在对这些孤立的知识点进行总结正是时候。
3、通过对已学单位的复习、分类、清理，使大家学到数学思维的一些基本要点，如模糊与精确、无序与有序。
4、使小三小四学到了如何从一个系统的角度观察、分析、思考问题的方法，掌握了这种方法不仅仅是复习，更为以后其它单位的学习打下了基础，使他们在将来的学习中有可能变被动为主动。
5、使小三小四真正明白单位是从生活中来的，每个单位的设定都有其道理，而学习数学就是要搞清楚这些道理。

参考资料
基本单位
http://baike.baidu.com/view/576750.htm

速度与战争
你第一次使用“速度”这个词是什么时候？
11同学回答说：“我比他跑的快。”
Alex回答：“我发现走路比较慢。”
J同学认真地想了一会，鼓起勇气说道：“我忘了。”

所有的回答都有一个共同的特征，那就是我们知道速度并不是在学习速度公式之后，从很小的时候就已经有了速度的体验。我们知道：
1、在同样的时间内，谁走的路更长，谁的速度就快。
2、走同样的路程，谁用的时间少，速度就快，像奥运会的百米飞人大赛就是这样比赛速度的。
3、出发起点要一样，否则不公平。
当然，这种速度的体验是模糊的，不精确的。

为什么要研究速度？
因为速度很重要。在历史上，速度曾经决定了战争的胜负，决定了国家民族的存亡。
蒙古人凭借速度征服了欧洲，他们的军队主要是骑兵，主要的武器是弓箭。那时候，别的军队主要是步兵，打仗的时候，步兵一般借助城市、堡垒、营寨、天险来击退侵略者。可是蒙古人根本不去攻击对方的步兵，而是骑马绕过敌人的军队，直接攻击敌人的后方，把敌人的粮草抢了烧了，前方的步兵没得吃没得穿，蒙古人便不战而胜。他们为了保持军队的速度，每个士兵通常骑一匹马，带1－2匹马。
德国军队在二次大战中使用的主要战术就是“闪电战”，他们真的像闪电一样，能够突然击中敌人后方最薄弱的环节。“闪电战”依靠的也是机械化部队，这些部队使用汽车、摩托、装甲（日本军队甚至使用过自行车）来装载士兵，使他们拥有更快地移动速度。当法国军队还在马其诺防线上等待德国军队冲锋时，德国军队已经传过从防线边上的森林，涌入了防线的后方，在法国的腹地横冲直撞，一举击败了法国军队。

速度的数学意义
hxy007给同学出了一个难题：“假定我朝明强小学方向走了1500米，J同学朝七宝外国语小学方向走了1000米。然后问大家：我跟J同学哪个走得快？”
同学们立即说：“不知道？你又没有说你们俩各走了多长时间？”
hxy007梗着脖子说：“我走了1500米，J同学走了1000米，我走的路程更远，当然是我走得快了。这跟时间有什么关系？”
同学们不屑：“你又没有说你们走了同样多的时间，不好比谁走得更快。”
hxy007总算释然了：“你们是说，要比速度的话，就不但要知道走了多长的路程，还要知道用了多少时间。我必须告诉你们时间，是不是？”
同学们齐声答道：“是的。”
hxy007：“那好，我告诉你们，我走1500米用了30分钟，J同学走1000米用了20分钟。请问谁走得更快一些？”
同学们没吭声，纷纷拿起笔和纸，开始计算。
hxy007大声道：“这个还要笔算吗？1500*30肯定大于1000*20……”
同学们诧异了：“不对啊，不能用乘法计算速度。”
hxy007再出个妖蛾子：“那我就用加法，1500+30也大于1000+20……”
同学们笑了：“不对，不能用加法算速度。”
hxy007又道：“那我就用减法，1500-30大于1000-20，还是我更快。”
同学们慌忙应道：“不行不行，计算速度要用除法，行程除以时间才是速度。”
hxy007说：“你凭什么说一定要用除法来计算速度？谁能说说这么算的道理是什么？”

同学们茫然了，就没碰见过这么轴的爸爸。Alex开始作图，画出hxy007的行程。他把一条线段分成30份，一份表示1分钟走的路程，算下来hxy007在1分种的时间里边走了50米，把hxy007的速度表示为50米/分。
J同学也图出了自己的行程，他把一条线段分成20份，一份表示1分钟走的路程。J同学计算出了自己的速度，也是1分钟走了50米。
这时，大家不约而同地笑了起来，原来hxy007和J同学的速度是一样，根本不存在谁快谁慢的问题。

hxy007紧接着问道：“为什么前面不能比两人的速度？为什么现在就可以比较两个的快慢了？”
11回答道：“因为两人走的路程不一样，用的时间不一样，所以不能直接比。等我们算出一格子一分钟两人的走路程之后，就可以比出谁快谁慢。”
ccpaging和hxy00这两个笨爸爸总算明白了：“换句话说，你们用了同样的单位，就能够比较谁快谁慢了。你们用一格表示一分钟的路程，其实是在规定一种速度单位，也就是“米/分”。我这样说对不对？”
11回答道：“对的，‘米/分’就是一个速度单位，还有‘米/时’、‘米/秒’、‘千米/时’……”
hxy007说：“那么，你们看看速度单位和面积单位有什么相同和不同的地方呢？”
同学们一脸惘然，不明白什么意思。
hxy007解释道：“你们看，面积公式是“长*宽”，所以面积单位是“米*米”，是两个长度单位组成的。那么，速度单位呢？”
同学们回答道：“速度公式是‘行程/时间’，所以速度单位是‘米/分’，是长度单位和时间单位组成的。”
hxy007笑道：“呵呵，面积单位里有乘法，速度单位里有除法。它们都是复合单位，但是好像速度单位比面积单位还变态哟。”

模拟战斗
法国军队与德国军队打仗，同时在早上8点出发相向而行，两只军队相距180公里路程。法军的速度为30公里/小时（读作30公里每小时），德军的速度为60公里/小时，问他们在何时何地相遇？

就把这道题留给同学们自由讨论吧！

（未完待续）

ccpaging

效率主义者的批评
估计我们这么干会被现在的效率主义者笑死：我们几分钟可以搞定的问题，你们却把简单问题复杂化，真是浪费时间呀！

实际操作中，确实非常费时间。例如面积，至少集中讨论了7、8次，每次差不多2－3个小时，依次讨论了以下问题：
分田地，小明妈妈比较布的大小，引出面积问题。
长方形和正方形面积。
三角形、梯形面积。
Piza店的优惠，讨论圆的面积。在hxy007的带领下，一群小三小四，计算出了圆的面积。这个相当厉害了，他们用的是积分方法。

看起来确实非常浪费时间，他们研究的大部分内容恐怕在小学阶段都不会考的，如果我们以（效率＝考试成绩/时间）这样的公式来计算的话，肯定是不划算的。

在讨论三角形面积时，Alex还没学面积，我们也不知道如何去引导孩子学会切割、填补等计算面积基本方法。到了三年级上，Alex在做习题时自己发现了这些方法，我适时提醒他进行了总结。他根据这些总结，自己发现了计算平行四边形面积的方法，还有其它计算面积的好方法。据此推断，面积问题研究到这个程度，整个小学、初中都不需要我们BBMM再讲了，因为他们自己已经能根据所掌握的面积概念去发现和总结相关的问题。

就上面的速度而言，我们在活动中实现了或者部分实现了以下几个目的。
1、对已学过的数学单位进行了整理和分类。俗话说，千金难买回头一看。经过这次活动，同学们把前面学过的、零散的各种单位，进行了分类和整理，使自己的知识更加系统有序，这对他们以后运用旧知识、学习新的知识能起到承前启后的作用，在小三进行这个工作特别是时候，小四也不晚。
2、同学们把自己的生活体验和数学知识贯通联合起来了。他们知道，原来数学公式和概念不是某某特别聪明的数学家凭空捏造出来的，而是跟我们的日常生活紧密联系的。而且，同学们已经逐渐开始了解如何把生活体验跟数学联系起来的方法。
3、由于我们的数学活动中是没有老师的，大家都可以进行平等的交流，甚至可以意气用事的互相争吵，同学们开始慢慢体会到如何在这种平等的研讨中去获得对自己有益的知识，如何归纳和提高。我认为，这一点是会影响到同学们未来的重要素质。而在学校里边他们很少会有这样的机会，甚至可能根本没有。
4、可能会令效率论者更加沮丧的是，我们花了这么多时间在速度问题上，可能还只是个开始，最多把同学们领到了速度问题的门口。可是我们并不担心，因为我们根本就没打算“带”孩子们进入到速度问题的门里边。他们在活动中已经获得了进行这种能力，完全可以自己主动去进行进一步的探索。

先总结这么四条吧。好像会让某些BBMM失望，这几天里边没讲到考试，没讲到题目，甚至讲数学而没讲到数字，这能算是讲数学吗？记得在hxy007在“亲子阅读：谈自由阅读的乐趣，斥应试训练”曾经提出过的疑问：“忘了考试和习题，我们还剩下什么？”据说，那些剩下的东西就是“教育”。我想，这次的活动总结也许可以作为注脚。

（全文完）

ccpaging

能否详细说说“不赞成用这种方法大规模系统地教学”的理由？

原帖由 simpley 于 2013-6-1 10:02 发表

绝对正确的教学方法，但不赞成用这种方法大规模系统地教学。
这里所展现的是人如何进行数学思考，学生需要学的是这种思考的方法。

1。基本理论是小学生的逻辑思维还未成熟，不宜于过多地“正式”学习。
2。任何高层次学习都应以“悟”为主，启发次之，灌输又次之。
孔子说“不愤不启，不悱不发”，就是讲的这个道理，即使水平再高的启发，也应有限使用，慎用。
3。应该给孩子很多自己思考的时间，让他们在思考中多走一些“弯路”，再辅之以楼上这种教学，效果更好

疯狂的小豆子

喜欢这个系列的文章。

tea_zzzz

这贴让娃来看

ccpaging

tea_zzzz 发表于 2013-6-18 11:43
这贴让娃来看

写这篇帖子时，不是以同学为对象。这贴是面对那些想辅导孩子小学数学或者孩子需要辅导的家长。

含香

谢谢CC, 还有一种就是平均速度, 总路程 / 总时间. 我家孩子还是要错.错在用两种速度平均, 这又是什么原因呢?

ccpaging

含香 发表于 2013-6-20 22:28
谢谢CC, 还有一种就是平均速度, 总路程 / 总时间. 我家孩子还是要错.错在用两种速度平均, 这又是什么原因呢 ...

在未经学习和实验的基础上有这样的错误认识是正常的。问题在于，我们对这种错误采取什么策略，指出其错误通过讲理和教训使其接受，还是设计出新的问题让其自觉、通过自己的思考再接受，我个人倾向于后者。

试试看。

linda200504

千金难买回头一看！

jing1025

LZ的方法很好！


三四年级的孩子，有一定的阅读理解能力。我作为一个懒妈，可能直接扔一本《可怕的科学之经典数学》给孩子看，有一本就有速度方面的内容，讲得不错，值得反复看。有些换算涉及到英制单位，原理是相通的。如果孩子自己能看明白，就不必过多解释和引导，让他们享受阅读和自己探索的乐趣吧。