四五年级：数学辩论－－直线的定义

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辩论的背景
这场辩论发生在下学期快结束的时候，参加辩论的一共有六位同学，多数是四年级的，少数是五年级的。在上海，小学六年级要进入初中学习，算初中生了。所以，这批同学可以说都是小升初的年级，11-12岁，数学上正处于萌芽期数学到古典数学的过渡期。

据说这是某初中的小升初试题。请画一条直线将下列的多边形分成两个三角形（附加题，10分）：


同学们第一次进行辩论还是关于数学的，有些新鲜，很兴奋。纷纷拿出纸、笔、尺，开始画了起来。很快，同学们沮丧地发现，此题无解。但是，有一个同学做出来了，像这样：


同学们一看到这个解法就唧唧喳喳讨论起来。有的同学赞赏这种解法，有的同学后悔自己没想到，有的同学则直斥其非，说，“耍赖！这不是直线。”

有同学说：直线无粗细，这当然是直线了。
持反对意见的也说：直线无粗细，这当然不是直线了。
老师也纳闷了，都说“直线无粗细”，却得出了相反的结论，奇怪哉？

这种讨论的气氛正是辩论课所需要的。

课后反思：
曾经尝试把这道题放在六年级学过《几何原本》关于直线的定义之后去讨论，同学们已经有了先入为主的数学概念，争论的焦点也就往往不是数学本身而是一种学术道德的争论，仍然还有意义。毕竟小升初的考试中10分的附加题可能会改变一个学生的人生轨迹。我们是坚持对“真理”的追求，还是做出“小”的妥协呢，这是个问题。

（未完待续）

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辩论纪律
此次辩论不以输赢计分，所以，不以说服对方为目的。辩论结束后将进行专门的讲评，届时以发表的有价值观点数来计分。
1、使用印第安发言棒规则。这时同学们经常在讨论事务时使用的规则，以一支笔为发言棒。拿到发言棒的才有发言权。
2、正反双方轮流发言。一方发言时，推选出一位发言代表，由代表发言。发言最长不超过5分钟。
3、发言完毕后，将发言棒交给主持人。由主持人对发言的关键意见进行总结性表达。（这是事后总结的，很关键。）

辩论过程
先以手心手背的方式选出第一个发言的一方。
正方观点：直线是无粗细的，所以这是直线的。
反方观点：直线是无粗细的，所以这 不 是直线的。
主持人糊涂了，问：为什么一模一样的理由，结论却不同呢？
正方解释：我们说的无粗细，是不管粗细的，粗线是直线，细线也是直线。
反方解释：我们说的无粗细，是没有粗细，直线是没有宽度的。

于是，辩论就这么展开了 ....... 直到出现了意外。
反方观点：正方定义的粗直线里包括了许多的细线，需要要涂抹，而且涂抹以后，颜色不均匀。
正方同学立即去想办法，包括把铅笔磨出斜面来画粗直线，用粉笔画线，把铅笔粉粘在手指上用手指画线，以此证明正方定义的直线不用涂抹。
但反方对正方的实验均有质疑，不予接受。
正方急了，抛出新的观点：你们反方也没有能力画出没有宽度的线。

于是，数学定义之争，逐渐地演变成能力之争，最后导致了人身攻击。
辩论中断，等问题解决以后，继续 ......

反方通过画图研究，提出了新的观点：请问，如何正方区分出长方形和直线？

.......

整个辩论进行了一个小时。辩论结束后，正反双方都还沉浸在一定的情绪中。于是留下一周的时间让同学们回味思考。

（未完待续、、、总结更精彩，请不要走开哦！）

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辩论总结
一周以后，参加辩论的同学重新聚在了一起。

首先对上次辩论中出现的不幸的人身攻击事件做反思和总结。
同学们认为，辩论的后半段比较激烈，唇枪舌剑，忘了印第安棒规则。当然，老师们也有责任，检讨之。
那么，如果在辩论中不使用印第安棒规则，将遇到了哪些问题呢？
“听不清楚。”几个人同时说话，而不是耐心等待别人把话说完，自己再说。
“秩序乱。”
“偏题。”这跟四五年级孩子的表达能力有限相关。因此，建议以后在辩论中一方说完，将印第安棒交给主持人（老师），由主持人进行先归纳同学的发言。
“争吵。”


讨论告一段落。老师宣布辩论总结的计分规则如下：
一方若说出另一方的优点，＋1分。
一方若说出本方的缺点，＋1分。


举几个例子让同学们明白以后，按照上次的划分，正反双方坐好，开始正式进行辩论总结。沿用印第安棒规则。

1、正反双方在辩论一开始就给出自己对直线的定义。
这是非常好的辩论行为。有些辩论者参加辩论，带个“大箩筐”，把自己的观点藏在这个“大箩筐”后面，看到对方犀利的好的观点就收到己方的箩筐里，让对方失去观点，辩无可辩，看起来，这样做好像保护了自己赢得辩论。但这是辩论中的懦夫行为，到最后只不过收获了一堆互相矛盾的观点，不能增加彼此对问题的理解。
在辩论中，我们要像一个真正的勇士那样，亮明自己的观点，让正方和反方的观点对撞，从而使我对直线的认识更加清晰。

2、知错必改。
具体的过程，记不得了，好像是反方在给出自己对于直线的定义时，在语言描述和真实意思有差距，即词不达意，反方在辩论中发现以后，勇敢地承认并做出了修改。

3、以数学的方式讨论数学问题。
同学们认为，纠结与直线的涂抹是否均匀、颜色的深浅，这些都与数学上关于直线的定义无关，是非数学的方式。
如果发现对方偏题，出现了非数学的方式，应对的办法一个是“忍”，一是向主持人指出对方的谬误。

4、保持主题，讲数学的道理。
数形结合。讨论直线的定义，要画图，要在图上作研究，不只是“辩”不只是“讲”。

5、一方提出“如何正方区分出长方形和直线？”这样的问题。
这是一个非常犀利的质疑。辩论双方的眼光不再局限于孤立的直线的定义，而是从将其与其它的几何定义联系起来。

6、辩论时，声音要柔和。




（全文完）

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原帖由 pianocrazy 于 2013-5-29 16:32 发表
非常感谢cc老师。

上午用了点时间去图书馆查阅了一点相关文献，了解到以下信息，请老师指正，谢谢。

第一，关于《原本》对“线”的定义问题。汉语版本（陕西人民出版社）是这样说的：“线只有长度而没有宽度”；Heath英译本是这样翻译的：“A line is breadthless length.”资料显示，这个英译定义是直接从希腊原版翻译的。希腊语或者拉丁语俺不懂，只能依靠这两个定义来考量了。文献显示，亚里士多德对这个定义提出过质疑，说这个定义是有毛病的，因为它“divides the genus by negation"，汉语通俗点说就是它“以否定词来描述这个genus——即此处的长度”，这样length既可以是“没有宽度”也可以是“有宽度”，结果length就被分为互相矛盾的两个方面。所以，《原本》对line的定义是有问题的。

第二，关于对line的重新定义。亚里士多德和Proclus都给line重新定义过，这里我仅仅引用一下Proclus的定义如下：“flux of point”，或者直白一点说就是“一个点移动的路径”。Proclus认为，他的这个定义是完美的，就不会产生前述歧义了，更重要的是，他的定义是从“根本原因”上来着手定义的，即用point来定义line，前者是后者的原因。

我不懂数学，只是看了点资料得到以上认识的，错误或不当之处敬请指正。 ...

好问题，好问题。痛快！

《几何原本》最早是由徐光启翻译的。
http://ishare.iask.sina.com.cn/f/11258700.html

原文如下（原文无标点，请鉴之）：

第二界 线有长无广
试如一平面光照之，有光无光之间，不容一物是线也。真平真圆相遇，其相遇处止有一点，行则止有一线。线有曲有直。

徐光启的译文中看出：
1、线是一种边界。
2、线的定义与点的定义有相关性。
3、线的定义可以从动态变化的角度去理解。这一点，跟点的定义有异曲同工之妙。

我更喜欢第二的定义，“flux of point”。从维度上看，点0，线1，面2，体3。时间改变了纬度？

但是在教学中，老师先说了，学生也就只剩下点头称是的份儿。老师应当设计一个过程，包括但不限于辩论，让学生在此过程中慢慢地逐渐领悟，老师则耐心地等待－－时机。

紫竹林

好的老师在哪里