整理的：从 来 不 相 信 刻 苦 学 习 hxy007

朵儿2007

从
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        001===自己发明算法hxy007

　　儿子读三年级了，最近在学“一位数乘多位数”的乘法。不由想起当年自己学相似内容的一段经历，这段经历使我对今天教孩子学数学的方法充满了怀疑。
　　那时的数学课本很简单，老师也只教过我们一种“一位数乘多位数”的算法，那就是列竖式计算。如：
　　　　9 9
　　　×     2
          -----------
             1 9 8
　　就在老师教我们这种算法时，我的脑子里突然灵光一闪：99×2其实是就是100个2减去一个2，也就是198.我把这道题写成：99×2=100×2-1×2=200－2=198。这个发现让我兴奋不已，并且把我引向了一个妙不可言的数学世界。老师要我们用竖式计算42×8，我却想着怎么把42×8变成一个不必列竖式也能计算的有趣算式：
　　42×8=（40＋2）×（10－2）
　　那时我还小，想到这一步就碰到了困难。老师发现之后，用非常欣赏的语气表扬了我，同时要求我先按老师教的方法计算这道题。老师说，我想出的方法到初中的时候老师才会教。这话非但没有吓住我，反而刺激着我进一步钻研。回到家里，我继续思考，终于解出那道题目：
　　42×8
　　=42×（10－2）
　　=42×10－42×2
　　=（40＋2）×10-（40＋2）×2
　　=（40×10＋2×10）-（40×2＋2×2）
　　=（400＋20）-（80＋4）
　　=420-84
　　=336
　　那时我大概9岁吧，靠着自己的独立钻研，发现了一种算法，解决了老师说的一个只有初中生才能解决的数学问题，是很有成就感的。更重要的是，这段经历让我突然窥见了数学的奥秘，领悟到数学中许多有趣的东西。从此，我迷上了数学，从小学到大学，钻研数学问题从来不觉得累，乐此不疲，沉迷其中。
　　遗憾的是，今天我们的孩子很难有机会体会到数学的这种内在魅力了。因为课本里已经直接告诉我们孩子这种计算方法（第16页），老师在课堂里一定也会训练孩子反复使用这种方法，直至精熟。今天，孩子他妈还特意在这方面做了拓展性的辅导，使孩子迅速地了解了当年我经过很长时间才琢磨出来的上述解题方法。我不知道孩子是不是真正懂了，但我心里清楚，孩子就算是懂了，他也不可能像我当年那样迷上乘法，迷上数学。因为我们剥夺了孩子从容探究、逐渐体会到数学内在魅力的机会。
　　今天的许多老师和家长更加关心是孩子如何迅速地掌握算法并且运用算法快速而准确地做习题、试题，大量的练习就在所难免。长此以往，数学在孩子脑子里就会变成一种非常僵硬、无聊的东西。很少体会到数学的奥妙和乐趣的成年人，真不该过多地辅导孩子学数学。急于求成，容不得孩子慢慢来，恨不得孩子一下了掌握所有的东西；为了精熟，孩子在催促中，苦恼着、叹息着、流着泪，反反复复地做着那些难度相同、处于同等心智水平的习题。熟练是熟练了，但也练呆了，练傻了，练腻了，练得对数学没有感觉、没有兴趣了，作孽哟！


       ====3# wangwenge
如果你真有心思，就把孩子的数学好好弄一下，要相信兴趣是和经验有关的。你当初对数学有兴趣，和你的数学成绩相对较好有关

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====4#ccpaging   没有学过奥数
   
        个人也是反对题海战术的，这个在我过去的学习中是经过证明的。从小学到高中，一直只做教科书的练习。从小学三年级的寒假开始，是自己做下学期的教科书的练习，真正上课的时候，每周再把下一周要学习的内容先做一遍。一直到高中一年级，才选了第一本数学的课外练习，好像是天津出的。
       就这样，高二的时候参加奥数比赛。我所在的城市虽说也是省城，可跟上海比算是小城市了。考试前根本就没有学习过奥数，卷子发下来居然有一半的题没任何反应。没办法，把能做的题目反反复复的搞清楚，最后居然得了市里的优胜奖（第30名），就因为这个奖顺利进入了数学系。
       高中跟我一个班的同学里边，有几个是玩题海的，也有做奥数的，平时的数学成绩并不好，甚至连参考的机会也没有，高中毕业也没考上好的大学。
我的看法是做的多不如做的精，通过研究和思考让数学的东西沁入骨髓。
     楼主这道题，我跟儿子讲了一个暑假，用了很多道具，围棋子、毛豆、画方格，现在看也还没有完全吃透，有点开窍了。

=====6#ccpaging    闭着眼睛能算出来的题
     二年级上周末有这样的题目： 5X3 + 12 = ?
      儿子按部就班的计算：5X3 + 12 = 15 + 12 = 27
      我观察到，10道这样的题，有9道题是可以分解以后再加的，最典型的是这道题：   9X10 - 9 = ?
        通过孩子做题的方式，我发现儿子并没有达到教科书的要求，从具象到抽象的理解乘法，具象的说，乘法有2个典型应用：排队点人数和计算面积。
     1、让儿子拿出围棋子来，5X3就是小朋友们先排好了方阵，新来了12个小朋友，要排到方队里边去哦？
     2、儿子先按5人一列排，他发现无论如何无法排成方阵，怎么都多2个？想想也对，12个小朋友，无法排整齐的，儿子玩了很久都不得其法。
    3、我心里着急啊（不应该，事后认为要让儿子多玩一会），后来我提示，你们老师平时站在哪里？你换个位置试试？
    4、儿子排出来了。
   
   9X10-9的时候，儿子又回老路了。于是，我让儿子闭上眼睛，
   问：“10个9减去一个9等于多少？”
  答：“9个9”    问：“9个9是多少？”   答：“81”
       整个学习过程用了整整一个晚上。由此反思，对照小数之家老师们的说法，我认为儿子在课堂的学习实际上并没有达到教材要求的标准。看来，最近儿子上课注意力有点不集中，要好好敲打一下了。

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======7#ccpaging     先有鸡还是先有蛋
      
       你当初对数学有兴趣，和你的数学成绩相对较好有关。 对这个说法不以为然，这是个先有鸡还是先有蛋的问题，是一个可以always talk until death的问题。      体验到乐趣，就像打开了一个“水壶”，这样就可灌好水进去了。特别是小学，即使把小学能做的题全部做完，如果仅仅就会做题而论，其实是没任何价值的，因为那连古典数学的边都没摸着，充其量只能算是原始数学。一辈子很长，如果他喜欢，他可以研究一辈子。如果他不喜欢，就算学完中学，那点数学知识也无法解决现实中的数学问题。
       有次做个吧台，木匠怎么也画不出一个漂亮的弧度，这就是一个典型的几何学问题。   吧台的高度多少，宽度多少，深度多少，怎么才能漂亮，这是个黄金数的问题，而黄金数是大学一年级的课程。中国的木匠做木匠活所需要的知识，是以口诀的形式，口口相传的形式传下来的。木匠可以不学数学，知道口诀就做很漂亮的凳子。不过，这里可能没有一个BBMM会愿意孩子接受十几年的现代教育，仅仅达到木匠的水平吧。
      而让孩子大量的做题，忽视了兴趣，忽视了拓展和思考，那么最好的结果可能就是个题匠。

  ===== 8#有你乐无穷\原帖
         你教孩子的方法真是很好，值得我学习，很多时候都有同样的感触。可是我也有一个疑问，哪里来的那么多时间？况且还有语文，英语，没有一门是轻松简单的，量多进度又快，常会觉得孩子就是在囫囵吞枣。真要象我们期望的那样每个知识点都能够举一反三，掌握精髓，那孩子每天就根本没有娱乐玩耍的时间了。。。矛盾中。。。......
   9#有你乐无穷    楼主的话太偏激，这样不好。如果你真有心思，就把孩子的数学好好弄一下，要相信兴趣是和经验有关的。你当初对数学有兴趣，和你的数学成绩相对较好有关。 我也不赞同这种说法。如果真是这样的话，那为什么现在有那么多钢琴考到八级，十级的孩子对钢琴恨之入骨呢？这么丰富的经验为什么反而扼杀了兴趣？而不练钢琴，不学乐器的也一样可以是音乐爱好者呀。

====10#ccpaging 学习不过是一种玩耍的方式
         换个角度想想，如果咱们能把学习变成“玩耍”，变得比别的“玩耍”还有趣，时间的问题是不是就解决了呢。
    像跟儿子摆一晚上的围棋子，不知道儿子会认为这是“玩耍”还是“学习”，今天我回去问问。
     语文和英语，我只抓了一件事，朗读。特别是语文，大声的朗读，学着像录音里边的老师那样，带感情的朗读。一篇好的文章，能让儿子一时掩嘴偷笑，一时汗毛林立。

====11#  jx1115  原帖由 ccpaging 发表
         换个角度想想，如果咱们能把学习变成“玩耍”，变得比别的“玩耍”还有趣，时间的问题是不是就解决了呢。像跟儿子摆一晚上的围棋子，不知道儿子会认为这是“玩耍”还是“学习”，今天我回去问问。语文和英语 ..。。。。。。
     赞同，学习一定要培养出兴趣，只有能达到自己钻研才是学习的真正目的。

=====12#有你乐无穷  是的，有道理。
         不过即使在他兴致盎然地和我们讨论完一道数学题或者一首古诗以后，如果没有留出足够的时间让他在体力上疯狂一把，或者自由自在地蘑菇一会，他还是会哭丧着脸上床睡觉的。我也总会因此不爽。

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=====16# hxy007      孩子发明的“代入法”：兼论数学探究在今天有多奢侈　　
      ccpaging 辅导孩子数学的方法表明此君深得数学之妙处，俺也试着用类似的方法辅导孩子。但我觉得这类方法在今天太奢侈，难以坚持，可行性很成问题。下面的例子（这是两年前的一篇育儿日记），可以说明我何以明明自己对数学的趣味有深度体验，却难以引导孩子体验其中乐趣。

　　儿子一年级学完20以内加减法之后，老师出一了道数学题：

　　○＋△＋□=17 ……………①
　　○＋△=10  …………………②
　　△＋□=12 …………………③
　　○=（　　）　△=（　　）　□=（　　）

　　儿子不会做，拿来问我。这是一个三元一次方程题，到初中自然会做。我觉得，让小学一年级的孩子做这种题，大可不必。我告诉孩子：这是爸爸初中才会做的题目，你现在做不出来很正常。孩子的自信心得到了保护，但他还是坚持现在就要学会。理由是：老师布置了，就表示小学生也应该会做。
　　没办法，我只好启发他：你把②式中的○＋△=10代进①式中，是不是可以算出□等于多少了？
　　孩子问：为什么要代进去？
　　我说：你把○＋△当作一个数（比如◎）, ○＋△＋□=17不就变成了◎＋□=17？
　　孩子不解：○和△明明是两个数，为什么要变成一个数？
　　孩子还没有开窍，我只好另想办法，问：假定①式“○＋△＋□=17”中的□=0，那么，○和△是多少？有几种情况？
　　这个孩子会。他说：○=0时，△=17；○=1时，△=16……
　　我用一张纸写下孩子说出的答案：
　　0＋17＋0=17         1＋16＋0=17      　2＋15＋0=17
　　3＋14＋0=17       4＋13＋0=17      　 5＋12＋0=17
　　6＋11＋0=17     　7＋10＋0=17    　   8＋9＋0=17
　　9＋8＋0=17     　10＋7＋0=17     　   11＋6＋0=17
　　12＋5＋0=17    　13＋4＋0=17   　  14＋3＋0=17
　　15＋2＋0=17      16＋1＋0=17      17＋0＋0=17
　　列出这么多算式，孩子很有成就感。他还惊奇地发现：当○变得越来越大时，△就会变得越来越小。我问：这里面有你想要的答案吗？
　　孩子找出了5＋12＋0=17，但他发现：这个答案虽然满足○＋△＋□=17和△＋□=12，但不满足○＋△=10。
　
  　我说：看来，□=0的假定不成立。有可能□=1吗?
　　孩子来劲了，他学着我的样子把①式所有的可能都列在另一张纸上：
　　0＋16＋1=17    1＋15＋1=17    2＋14＋1=17   3＋13＋1=17 ……
　　儿子从中找出5＋11＋1=17，同样发现:这个答案虽然满足○＋△＋□=17和△＋□=12，但不满足○＋△=10。
　　他的结论是：□=1的假定也不成立。
　　
   我问：那么，有可能□=2吗?
　　儿子又想如法炮制，列出□=2时○＋△＋□=17各种可能的算式。刚要动笔写，他突然停住了，说：不对，□不可能等于2。
　　我问：为什么□不可能等于2？
　　儿曰：因为□=2的话，○＋△就不会等于10.
　　我说：如果○＋△＋□=17里的○＋△一定要等于10的话，那么，□应该是多少呢？
　　儿子非常肯定说：□等于7，一定等于7，只能等于7.
　　我问：你是怎么算出□=7来的？
　　儿子说：□等于17减10。
　　我追问：你怎么想到□=17－10？
　　儿曰：因为○＋△＋□=17，如果把○＋△当作一个数，□就等于17减去这个数，这个数是10，所以□=17－10=7.
　　我由衷地赞叹：儿子，这个想法很对头。你真聪明，爸爸到读初中时才能做出来的题目，你现在就想办法做出来了。
　　接下来的一切对儿子来说就十分简单了。他根据□=7和△＋□=12，算出了△=5；进而根据△=5和○＋△=10，算出○=5.

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我最初直接教孩子：把○＋△当作一个数，然后把○＋△=10代进○＋△＋□=17，就可以算出□的得数。孩子不理解，不接受。可是，通过一个多小时的探索，孩子竟然自动把○＋△当作一个数，然后根据○＋△=10和○＋△＋□=17求出□的得数。
　　在这个过程中，孩子的收获远不止于解决了一道数学题。当孩子把○＋△当作一个数来处理时，他对数字和符号的概念进化到了一种新的境界；当孩子严谨而有序地列举○＋△＋1=17各种可能的算式时，排列组合的数学思想开始蒙发了；当孩子惊奇地发现“○变得越来越大时，△就会变得越来越小”的规律时，说不定也像我当年一样，朦胧之中感受到数学里那种令人赞叹的美，那种无法言喻的妙；此外，他在感受数学的妙趣的同时，保持着学数学的信心……
　　这不是奇迹，不是我孩子聪明，也不是我的办法巧妙，而是我和孩子花了一个多小时去探讨这道数学题。问题就在于，孩子的作业太多了，在校的学习进度太快了，容不得孩子花这么多时间在一个题目上，不允许我带着孩子如此从容地“玩”数学。不知ccpaging用棋子和孩子从容“玩”数学的机会有多少？这是我们最无奈的地方。
　　“玩”数学的孩子成不了数学家，也会成为数学迷的。迷上数学的孩子，是不需要催促他做数学的。可是，我们的孩子却是在实实在在地、扎扎实实地“做”数学。“做”数学的孩子是辛苦的数字“工人”，顶多是精确的“计算机”。

  ===17#ccpaging  在学校里吃正餐，课外吃小菜
      我儿子是小学二年级，学校目前的数学题不多，儿子也是班里做题速度最快的，虽然错误也多。不过我还是希望在快的基础上准，在将来有很多好处。
关键是大人要花很多时间，如我前面几贴所说，现在花心思是合算的。
      教孩子这一点，因为我本人是数学系毕业，基本上对孩子将来会学什么，有一个思路。所以具体在某件事上，有以下几个原则：
       1、没有限制，孩子能理解多少就教多少，能走多远就走多远。无穷大，无穷小都讲过，八进制也讲过，没所谓啦，一个故事而已。
      2、日常的学习还是依赖学校的，毕竟孩子在学校里边的时间更多，这一点个人认为比较重要。
     3、不需要均匀用力，在有意思的问题上多引申。抓住一件事，把思维打开就好，所谓一法通百法通，所谓通窍，关键还是抓住那个法，那个窍。

       如兄台所述的方法很好，很有典型性。如果孩子能从这一道题里边学到的，就不要重复了。有的时候，BBMM和老师只能埋下一粒种子，却不能保证种子一定能发芽，这也是无可奈荷的事情，同时也说明了数学家不是仅仅靠培训就可以出来了。另外，在很多情况下，种子的发芽也需要时间，不能急，今天教的思维方法，说不定哪天就开窍了，搪啊搪无牢，窃喜吧。
      如果学校的作业实在太多，且不得法，最好跟老师沟通一下。当然，这还有一个做作业的方法问题，想明白再去做，事半功倍。原来高中的时候，每天踢足球，我就守门，一边守门，一边把立几做完了，回到教室，最多十分钟搞定。
       还有一种办法，如果BBMM对数学很有把握，不妨在暑假和寒假，把下学期的课程重点拿出来看看，先跟孩子玩过。个人浅见，请根据自己情况斟酌。

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====21#ccpaging   “蒙”难道就是自然归纳法吗？        
        引用:原帖由 hxy007 于 自己对数学的趣味有深度体验却难以引导孩子体验其中乐趣，原因何在？
       再次仔细阅读了hxy007的帖子，其实这位BB的方法是正确的，应该对自己有信心。
     这道题（代入法那道题）的解法粗看起来很笨，其实这是数学的起源，叫“自然归纳法”。自然归纳法不仅仅是数学的基础，而且是西方科学哲学的基础，他解决了“世界是不是可知的”这个根本问题。换成我们熟悉的说法，就是“实事求是”。
     从小学生的角度去理解，那就是说：所有的数学公式都不是天上掉下来的，是人们在一次次用这种笨办法，不断摸索总结出来的，古人可以动脑筋想出来的东西，今天的小学生同样可以想出来，同样可以发明算式。

====22#春来草自青
      昨天儿子有一道题目和LZ所说的差不多，我就按照以下这个方法引导儿子做的，不知道老师会怎么批的，现在有很多题目，数学老师是一定要强调他教的方法，除此之外，哪怕答案正确都是批错的。  （这道题至少有三中解法）
42×8
　　=42×（10－2）
　　=42×10－42×2
　　=（40＋2）×10-（40＋2）×2
　　=（40×10＋2×10）-（40×2＋2×2）
　　=（400＋20）-（80＋4）
　　=420-84
　　=336

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=====23#wulawula    回复 22#春来草自青 的帖子
         从方法上看，你的孩子非常细心，计算也非常严密．但是这样比较花时间，考试的话可能时间上有点麻烦．
  ====24#ccpaging     楼主的意思是与孩子走过发现方法的全过程，而不是只讲方法本身。重要的是在这个过程中，启迪孩子的思想，共享成功的喜悦。至于具体以后怎么计算，无招胜有招，条条大路通罗马。

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====25#春来草自青

     回复 23#wulawula 的帖子, 是非常花时间的，  但是孩子本身是对数学非常有兴趣，有时候一道题目他用其它的方法演算，答案对的，但是因为过程和老师教的不一样，老师也会批错的。如果42×8会用竖式直接答出答案，为什么还要用横式分解运算？如果一定要用横式分解运算的话也既可以40×8＋2×8，也可以50×8-8×8，为什么只能用老师所教的40×8＋2×8，假设为了推展思维的话，为什么只能用一种方式呢？借用LZ的方法，只是想试一下，老师是打钩还是画叉

  ====26#谷子  回复 21#ccpaging 的帖子
       近2天在看一本关于教育的书，在谈到数学时，也说到这个由具体到抽象的问题，孩子们也许要经历过很多次的具体体验才能到达数学的彼岸。如果忽视了这种经历，那么孩子得到的也许仅仅是靠记忆留下的公式

=======27#hxy007  原帖由 wulawula 发表
      
    从方法上看，你的孩子非常细心，计算也非常严密．但是这样比较花时间，考试的话可能时间上有点麻烦． 唉，要是从时间、效率、考试的角度出发，是不必这样教的。这就是今天老师和家长的普遍想法。这种想法，其境界远不如三十多年前一个山村民办老师，当年他发现我这样做题目时，给我的是无限的赞叹、发现稀世天才般的惊讶表情（尽管他还是要求我用坚式去计算）。

jiangying

有心了

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=====28#ccpaging    【转】张景中院士的一段话记者：您觉得数学的最大的趣味在哪里？

     张景中：按照陈省身的话说就是数学好玩。另外呢，学数学能给人带来力量。就是说你在学一样东西之前，在一个小时之前，很多事情你认为太难了，简直没法做了。可是，学了一个小时的数学你就感到有很多题目轻而易举地就解决了，这当中你发现自己越来越自由了，仿佛什么事情都可以做了，有一种解放感。所以说学数学的趣味就在震撼和力量感，有解放感。这放在一起就是一种美感。

       个人特别喜欢这一段话：“这当中你发现自己越来越自由了，仿佛什么事情都可以做了，有一种解放感。所以说学数学的趣味就在震撼和力量感，有解放感。这放在一起就是一种美感。”

=====29#sunbaby020123 原帖由 hxy007  发表
      ccpaging 辅导孩子数学的方法表明此君深得数学之妙处，俺也试着用类似的方法辅导孩子。但我觉得这类方法在今天太奢侈，难以坚持，可行性很成问题。试以一例说明之（这是两年前的一篇育儿日记）。
   儿子一年级学 学完20以内加减法之后，老师出一了道数学题：
    ○＋△＋□=17 ……………①
　　○＋△=10  …………………②
　　△＋□=12 …………………③
　　○=（　　）　△=（　　）　□=（　　）
  ... 儿子刚上小一，今天下课接他回家的路上把这道题给他做了，只是改为爸爸、妈妈和宝宝一起吃糖的形式，没想他一分钟内就告诉我答案了，心中不免窃喜 。晚上回家，听得LG在对儿子大吼，过去一问，原来儿子对于25+10=？之类的题目反应极慢，下午的窃喜荡然无存