教儿子认识数

simpley

原帖由 bucy 于 2011-10-23 13:27 发表


jiangying的意思是：你这句推理的理论基础就是他说的其中一条算术规则：


如果没有这个基础存在，就不应该成立。

这个问题我是这么看的:
所有的推理都必须有一个不需要证明的前提,在这个前提下通过推理形成了一个系统.而这个前提(或者说公理)则是人定的.
三角形的内角和为什么是180,你可以说它是推导出来的.但我也可以说这是上帝的安排,没有道理.
说它是推导出来的,是因为人类把平行公理作为前提;但我同样可以把内角和是180作为前提,而把平行公理作为推导的结果.
学习数学,既要学习系统内的数学(即人类建筑好的数学系统),同时也要认清这些数学并不是天经地义的.

jiangying

认识无理数还是要从根号开始

当然分数的基础知识得知道

如果知道第一次数学危机的故事，了解无理数就是顺理成章的事情了。

jiangying

原帖由 simpley 于 2011-10-23 19:39 发表


这个问题我是这么看的:
所有的推理都必须有一个不需要证明的前提,在这个前提下通过推理形成了一个系统.而这个前提(或者说公理)则是人定的.
三角形的内角和为什么是180,你可以说它是推导出来的.但我也可以 ...

现在的数学家也认为数学是人为的
其实科学家也人为科学是人为的。

这样理解没错

simpley

一条线段9.6厘米,一条4.5厘米.
如果用棋子来表示这两条线段,每条线段最少要用几枚棋子(一个棋子代表的长度可以任意规定)

我经过几次尝试,终于找到了孩子可以理解的"共度线段"概念的表达方式.

simpley

经过一段时间,我现在基本厘清了讲解无理数的思路:
1.明确共度线段的概念
2.用辗转相除法求共度线段
3.证明正方形情形下的勾股定理(直接用图形证明而不必涉及几何知识)
4.证明边和对角线不可共度

后面再逐步把几何转化为数字，但我始终不会提到无理数这个名词。
这个学习的预期目标就是使孩子对无理数的现象感到有点不可思议。一如我的感觉。

我在以前的一个贴子里说过，我对无理数感觉就是它很“没有道理”。当然，我知道，现代数学已经能够让它有道理了，但这已在我的知识范围之外了。

simpley

今天熟悉辗转相除法.两条线段a,b,用短b的去量长的a,量9次后有剩余c,再用c量b,量8次后剩余d,再用d量c,量7次正好量完.用两个数来表示a,b的长度.

儿子想了40多分钟,说出一个答案,是错误的;随后又想了几分钟,得出520,57
他能用40多分钟的时间思考一道题,其间我多次要他不要再想了(我认为长时间思考往往效果不好),可他仍然坚持.这种表现我很高兴

jiangying

是几何原本中的命题？

simpley

可能是几何原本中第一次出现了辗转相除法.
实际上我开始认识无理数也是始自几何原本,虽然这本书从来没有提到无理数
很多书上说古希腊人拒绝承认无理数,我认为这种说法是不严谨的,实际上是他们没有建立无理数的概念.而这正体现了古希腊人的思维严密.
几何原本凡是涉及面积的证明都很繁琐,我初看时搞不懂为什么本来很简单的证明要复杂化,但是当我经过这本书的训练有了一点逻辑思维后,我才明白他们要通过这种方式绕过无理数这个概念.

几何原本最大的特点就是让人要追根究底,长方形面积为什么是长乘宽?这是一个看过这本书后才会产生的问题,我在网上查了一下,都不是正确答案.只找到一篇文章似乎要正确地回答它,但它要注册收费,太麻烦了,我只好放弃.

simpley

给儿子四个等腰直角三角形,让他以此为道具证明勾股定理,很快证明出来了.
但在向他说明直角边和斜边不可共度时,遇到了障碍.
结论:他现在这个年龄还不能理解这个概念,只有停止

simpley

我给儿子画了一个图形,问是不是梯形
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这是我偶尔想起的一个问题,最后,他经过翻书,知道这也是梯形.
"假如你不知道它是不是梯形,你怎么计算它的面积?"
"按两个三角形计算."
"对,用三角形计算,你可以看到它的面积计算和梯形一样,所以,你即使不看书,仍然可以断定它是梯形."(注:这个逻辑是有问题的,但我在此着重说明解决问题的不同方法,不追求逻辑的严密)
"如果三角形面积公式我也不知道呢?)
"三角形面积怎么来的?"
"根据平行四边形推导"
那就算平行四边形."
"可如果平行四边形公式我也忘了呢"
那就算长方形.
可长方形我也忘了呢
那就没办法了

"不过,实际上长方形的面积也是可以推导的,不过这是非常深奥的问题."
"我知道,把长方形分成好多小正方形."
"这只是个粗略的方法,有漏洞."
"有什么漏洞?"
我试图向他说明这个问题,可当我正说着的时候,他突然说:"
这个问题你跟我说过!"
我明白他记起了我以前说过的不可公度问题.虽然我原来不准备再和他提这个问题了

儿子自觉地把这个问题和不可公度即无理数问题联系起来了
原来我向它讲解无理数问题时,只是一种纯理论的讲解,他可能觉得很空洞;现在他自己为这个"空洞"的概念找到了现实中的对象.

接下去,就是他对这个概念的不信任:"不可能有这种情况出现."

不过,至少他对这个概念已经理解了.这是个意外的结果.