幻方题－－先从洛书开始

qdylz

神奇的幻方--洛书

相传在大禹治水的年代里，陕西的洛水常常泛滥成灾．河水泛滥时，又常有一只大乌龟背负着一张神秘的图浮出洛水．
人们经过留心观察，发现乌龟壳分为9块，横3行，竖3列，每小块乌龟壳有几个小点点，正好凑成从1到9这9个数字．可是，谁也弄不懂这些小点点究竟是什么意思．
有一年，这只大乌龟又浮出水面来了，忽然，一个看热闹的小孩大声惊叫起来：“大家看啦，多么有趣啊，这些小点点横着加是15，竖着加也是15，斜着加还是15！”人们想，大概河神要的祭品每样都是15份吧，于是，赶紧抬来15头猪，15头牛和15只羊献给河神，……，果然，河水从此再也不泛滥了．

这个神奇的故事流传很广，乌龟壳上的 些点点，后来被称作“洛书”．我们撇开那些迷信色彩不谈，“洛书”确实有它吸引人的魅力．
确实，1～9这9个平平常常的自然数，经过一番巧妙的排列，就把它们每3个数相加的和是15的8算式，全部包含在一个图案中，真是妙不可言．
在数学上，像这样具有奇妙性质的图案叫做“幻方”．“洛书”有3行3列，所以叫3阶幻方．它是世界上最古老的一个幻方．
下面就是这种3幻方（洛方）：

它的三行横的、三列竖的、二列对角钱的三个数之和都等于15．
                  
                                        4  9  2
                                        3  5  7
                                        8  1  6

古今中外的很多数学家都研究过幻方，最先把幻方当作数学问题来研究的人，是我国宋朝著名数学家杨辉．他深入探索各类幻方的奥秘，总结出构造幻方的简单法则，还动手构造了许多极为有趣的幻方，有名的“攒九图”就是他用前33个自然数构造而成的．攒九图有哪些性质呢？请动手算一算，每个圆圈上的数加起来是多少？每条直径上的数加起来又是多少？

    包括大数学家欧拉在内的许多著名数学家也对幻方产生过浓郁的兴趣．
    过去，幻方纯碎是一种数学游戏．后来人们在研究中发现了它在许多场合得到了实际应用，并且蕴含着许多深刻的数学原理．数学家进一步深入研究，终于使其成为一门内容极其丰富的新数学分支——组合数学．
    但是，幻方也并不神秘．下面请同学们每人自己动手构造一个3阶幻方．请将－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，这9个数分别填入下图方阵的9个空格中，使得横、竖、斜对角线的所有3个数相加，其和为0．并把这8个等于0的算式写出来．

[ 本帖最后由 qdylz 于 2009-1-16 13:24 编辑 ]

lotus1999

原帖由 qdylz 于 2009-1-14 15:42 发表


相传在大禹治水的年代里，陕西的洛水常常泛滥成灾．河水泛滥时，又常有一只大乌龟背负着一张神秘的图浮出洛水．
人们经过留心观察，发现乌龟壳分为9块，横3行，竖3列，每小块乌龟壳有几个小点点，正好凑成 ...

这学期小子也学了幻方，不过没做过有负数的，回去让小子试试。

博涛

幻方是奥数里学的内容吗?

qdylz

4	9	2
3	5	7
8	1	6

奥数中有许多幻方题，我自己上学的时候没有做过，正好前段时间接触了一点《易经》知识，知道最古老的幻方就是上图中的洛书，只不过洛书是以点来表示数量。我研究幻方，就是从上图开始的。

这个幻方有如下特点：
1、将上下行互换或是左右行互换，幻方仍然成立。

8	1	6		2	9	4		6	1	8
3	5	7		7	5	3		7	5	3
4	9	2		6	1	8		2	9	4

当然也可以将幻方转动一个方向，如将上图中最后一个幻方逆时针转动90度，可以形成

8	3	4
1	5	9
6	7	2

但是所有转换出来的幻方只能称为幻方，洛书只有一种，就是下图的形式，其中的道理恐怕只有读懂了《易经》才能明白，但是学数学又能增长一点《易经》知识，何乐而不为呢？另外，从《易经》开始学习幻方，是不是很有趣呢？

4	9	2
3	5	7
8	1	6

2、幻方的中间行不可与其他行互换，中间列也不可与其他列互换。如果中间行（列）与其他行（列）互换，将使幻方不再成立，例如将洛书中的第一二行互换，尽管可以保证每行、每列之和都是15，但是对角线之和就变成了18和24，从这里可以引伸出幻方的第三个特点。

4	9	2		3	5	7
3	5	7		4	9	2
8	1	6		8	1	6

3、对于洛书和1-9等9个连续自然数组成三阶幻方来说，最中间的数字一定是5，对于其他三阶幻方最中间的方格中的数字，一定是所有数字的中间数。四阶幻方、五阶幻方不一定要中间数字排在中间，但是应该说中间数字放在中间，应该是最规范的排列法。例如下面左图将1放在中间，对角线的和不能满足要求，下面右图将2放在中间就行了。

1	2	3		2	3	1
3	1	2		1	2	3
2	3	1		3	1	2

[ 本帖最后由 qdylz 于 2009-1-16 14:23 编辑 ]

博涛

版主
幻方要几年级会学到?

happy_99

呵呵，今天看版主的这些图和洛方的故事，猛然想起以前有人在鼠版发的智商测试题，最后有几道题，当时一点答题方向都没有，现在想来说不定应该按照幻方的思路来。

有时间再回去看看。

qdylz

好了，开始做题了，先来个简单的

将下图中的数重新排列，使得每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等。

22	30	26
22	30	26
22	30	26

这道题幻和是22+26+30＝78，78/3＝26，因此26这个数应该放在中间，将三个26放在一条对角线上，22、30往两边分别填写，确保其余的行、列（对角线）都有22、26、30三个不同的数。

26	30	22		30	22	26
22	26	30		22	26	30
30	22	26		26	30	22

再来一个

图中所示的三阶幻方的幻和是18，请把这个三阶幻方填完整。

		9
10	6

这道题也很简单，幻和等于18，即每行、每列及对角线之和都等于18，第一步可以把中间行和一条对角线补充完整

		9
10	6	2
3

第二步可以补充左右两条边列

5		9
10	6	2
3		7

第三步填充完中间列

5	4	9
10	6	2
3	8	7

qdylz

做个稍微难一些的


在下图的每个空格中填入小于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。

8

这道题只填了一个数，已知了幻和21，中间数很显然是7，对角线很容易填充完整。

8
	7
		6

往后好像有点难度，似乎有点找不到头绪。剩下的数字随便填写吗？显然不行。还是继续观察洛书中的那个幻方吧，角上4个数都是偶数，中间5个数都是奇数，即4个角上数字的奇偶性是相同的，已经有了两个角8和6了，把右上角先假定为10看看。

8		10
	7
		6

问题好像迎刃而解，假设是正确的。

8	3	10
9	7	5
4	11	6

博涛

第二个例子的幻方之和是怎么算出来的?

qdylz

那是题目给定的条件，见题目中红色部分