一道简单的难题

jerryhao · 发表于 2005-8-16 00:01:24

<font color="#cc3300">张胖子的这段比较好笑,该君想当然的得到了一个结果,然后就以此为依据,来笑话书剑子和中国的教育,可惜呀，不管后面说的是否有道理，因为它的前提错了，从逻辑上讲，他后面所推论的都无意义。

引用:<　　从书剑子《小学作业越来越让人看不懂》谈我国的教育　　张胖子　　书剑子先生一家面对一道小学数学题大伤脑筋，既不奇怪又很奇怪。为什么呢？后面再说。先说说这道题该怎么做。　　【题目：生活数学：用一块面积为80平方米的铁皮，制作一个无盖的长方体盒子，请问怎么做盒子的体积最大？】　　其实这是一道很简单的应用题。　　估计您五年级的侄子的课本上讲了“表面积一样的长方体中正方体体积最大”，因此出题人打算考一下做题的人是否记得很牢：　　因为表面积一定的长方体中正方体体积最大，因此得做个正方的盒子。　　又因为是正方体所以6个面的面积都相等　　又因为盒子没盖，所以只有5面，　　80除以5等于16　　小学生没学过开平方，但知道4乘4等于16　　答：做成一个边长为4米的正方盒子面积最大。　　为什么要没盖呢？因为出题人觉得如果有盖，太直接。至于这块铁皮为什么没有形状呢？因为出题人觉得你知道要做成一个什么样的东西就行了，实际上怎么做，出题人不管。　　您和您的硕士女友被这道题难住一点也不奇怪，因为你们的思路是按照正常人的思路在想，估计您的高等数学是用在了已知表面积什么样的立方体体积最大上了。您后来提出【PS：用高等数学做还有漏洞：原题表述为“用一块80平方米的铁皮”，而不是“制成表面积为80平方米的无盖盒子”，所以铁皮的形状也是约束条件之一，要这么考虑还是拓扑约束，形状稍稍复杂一些，此问题就是很高深的优化问题了。】更是一点也不奇怪，因为您不会想到这块铁皮会七十二变——您想让它是什么形状它就是什么形状！　　您有硕士学历为什么会做不出这道题呢？是因为您没有理解“出题人的思路”！——而这正是我国考试一个最为变态的特点！　　随便GOOGLE一下“出题人的思路”，内容多多：　　【结合自己的实际开动脑筋，对题目反复思考，体会出题人的思路”】　　【管理，管理无对错，怎么办，重要的是你一定要按照出题人的思路来，你自己的一套也许是对的，但考试时你得不了分，切记这一点。】　　【就是你看懂文章的大意，却没有看懂出题者的本意和他所制定的答题规则，有时候不见得就是你错，但是谁叫它是出题人，只能按照它的思维去答题啊，所以如何把握出题人的思路就成了关键，这些其实也是任何考试的关键！】　　……　　看到题目，就要猜出出题人想要考什么——这虽然很搞笑，但却是我国的现实。本人小的时候有点小聪明，又喜欢问几个为什么，因此在这些方面吃亏不小。我经常是动不动就举手跟老师说：“老师，这道题没法做。”而老师的回答一律是：“用心看题，不许矫情！”　　任何考试题逻辑上都需要严谨，尤其是数学题。而我国的教育的现状，让出题的大爷们不必考虑这个问题——“我说对就是对，不对也对；说不对就不对，对也不对”——你得不了分是因为你不知道我是怎么想的！　　前一段闹得沸沸扬扬的高考错题事件也是如此：出题人光想着要考考生哪些知识点，因此在出题的时候没有考虑到其他方面，四个备选答案都是错的，因而导致坑害了众多考生。　　根据我国的现实，即使考场上当时有人提出质疑，也不会有任何用处。而这种问题一旦发生，就没有任何解决办法：都给分或都不给分都会便宜了本来就不会做的，对明白人不公平，更何况有些逻辑严谨、概念清晰的考生在这道题上很可能浪费了大量的时间，甚至把脑子给搞乱了，大大影响了后面的考试，反而是那些应试教育培养出来的蠢材或者是根本看不出四个备选答案都是错误的人稀里糊涂的得了分！既然没办法补救，有关部门当然死扛着绝对不承认题出错了，要不怎么面对愤怒的考生！　　官场上，善于“揣摩上意”的一定步步高升，我国的考场上也是一样——问题的正确答案是什么根本不重要，而在于你是否知道考官想得到什么样的答案！这样的考试，这样的学风，我国的教育很难培养出真正的人才也就不难理解了。长此以往，只能培养出一群群只会跟着别人思路走的奴才！　　我之所以觉得书剑子先生一家面对一道小学数学题大伤脑筋不奇怪，是因为题目本身有问题，而不是书剑子先生一家的智力和学问有问题；　　我之所以觉得书剑子先生一家面对一道小学数学题大伤脑筋很奇怪，是因书剑子先生的姐姐和爸爸都是小学教师，应该很熟悉这一套。

jerryhao · 发表于 2005-8-16 00:05:47

<font color="#cc66cc">Sun Sam的这段论述，简单明了的讲述了本题的思维过程，其实，skywalker00前面已经表述过了，这道题说简单，就是如此简单，可惜我们成年人已经丧失了想象力

引用:<对书剑子的一道小学五年级作业题的解答Sun Sam这道题目,因为是小学数学题,最好还是不要用什么方程和极值的思考.对于小学生来说,解这道题要有很好的想像力和灵活的思路才行,而这恰恰是素质教育一直提倡的.很可惜的是,我们这些受过高等教育的分子们,仅仅由于自己思路的僵涩,就去指责出题者把题目出的太难,这究竟是我们自己的错,还是我们已经接受的教育的错?当笔者看到这个题目的时候,第一反应也是:这个题目太难了,不应该是小学生该做的.但是,笔者的初中数学老师有一个信念,"任何问题都有一个简单明了的解法".当然,这个论断犯了绝对化的错误,但作为一种思考问题时的哲学意义上的指导,还是很有意义的.所以,笔者就不去想用变量、方程这些抽象的东西来解这个题，而是思考如何能把这个问题用常识来解决。题目：生活数学：用一块面积为80平方米的铁皮，制作一个无盖的长方体盒子，请问怎么做盒子的体积最大？已知的小学知识：一个立方体在表面积确定的情况下，正立方体的体积最大。那么，如何将这个问题转化到已知的知识点上呢？已知的知识点要求这个立方体要有六个面，但这个题目要求的盒子只是五个面。如何把这一差异补上呢？对了，做两个一模一样的盒子，把其中一个反扣在另一个上面。这样，就是一个六个面的立方体了。这个立方体的表面积是给定的160平方米，而它的体积最大时，题目要求的盒子的体积也是最大的。我之所以不厌其烦地将这个思考过程写出来，就是为了让大家看到，这个思考过程，同样可以适用于将一个人类扔到外星环境里，这个人类如何思考生存之道。如果我们的小学教育，甚至中学大学教育，真地能让一半的学生能自主产生这样的思维能力，我们的素质教育可能早就成功了。

jerryhao · 发表于 2005-8-16 00:10:50

<font color="#cc6600">这段是书剑子的结语，其实中有可贵之处，他认识到了skywalker00、sun sam解法的简易性，但也有可悲之处，那就是他不愿正面自己的错误，又想出各种方法以证明这道提出在小学课本上是多么的不合适。为了掩盖自己的一个小错误，他不惜在错误的道路上走得更远。呵呵，中国人，就是死不认错，包括你我这些做父母的，全是这个德行。

引用:<　　关于《小学作业越来越让人看不懂》给Sun Sam的答复　　书剑子　　首先十分感谢大家对我提出的问题的热忱参与。不少朋友给了十分巧妙的解法，譬如浙江大学的其其、skywalker00、sun sam等。　　首先肯定的是：这道题的出题者肯定认为答案就是边长为4的立方体——因为答案是整数且想当然地用了个小学学过的定理。而正确的答案用到开方，小学没有学过开方。所以我想一定是出题的人想当然所致。　　但是我也该检讨我确实没有认真地思考（我已经被各种题折磨几天了。很多题是用超过小学的方法思考，再转化为小学能解的过程：譬如他们刚刚学过一元一次方程。二元一次方程作为稍稍提到的内容，但是一道题我却是用三元一次才做出来，然后消去一个未知数，再慢慢给消元得到的二元一次方程找出数学意义。直接列二元一次方程实在太困难了，况且二元一次方程他们也是超纲的，所以看到这个题居然过分到是用高等数学我实在是忍无可忍了！）我需要检讨一下自己，以后做人做事需要冷静一些，不能想当然（我批判编者想当然其实我自己也犯了想当然的错误，但是我并没有断言初等方法不可解，所以贴上来征求解答）。　　虽然我高度同意您所说的思维能力的训练，我自己以前做家教的时候就注意训练学生的思维能力，训练其做数学题就训练严谨的思维、转化未知为已知的能力、建立实际模型的能力等，训练其物理思维时则训练其对自然的好奇心、身边的物理现象的观察与解释、物理直觉和数学方法并重、思想实验和动手能力等等。但是无论如何这道题远远超过了小学生的难度。我不排除可能有天才的小学生能做出来，就象欧拉一样聪明。但是我们的教育不是培养天才的，而是培养人才的。不能为了一两个天才的诞生去摧残大量的人才。小学的作业过难只能让他们对自己产生怀疑，而他们去问老师，这么难的题老师可能短时间也难以回答，于是还能导致他们怀疑老师和怀疑教材。最终，造成信仰的崩溃。他的老师让他们把做过的作业重新抄写题目再做一遍。我觉得是浪费时间，建议他停止做这样的体力劳动，他居然委屈得哭了：一边是“研究生”的叔叔的建议，一边是老师的要求，他既信任叔叔也信任老师。于是不知道该如何去办！我生气更主要的是因为他打击学生的自信并让他们怀疑自己和怀疑老师（如果老师不会做）！甚至转而怀疑教材！而这是很致命的！　　训练学生的思维能力也要逐步进行，也要有启发地进行。而不是一开始就给学生一个数学猜想去证明吧？这个问题的求解确实很有意思，但是绝非适合小学生做。放到初中去也是竞赛难度（用skywalker00、sun sam的方法初中生学过，思维技巧太高，用不等式则是高中内容，不属于教学大纲）。所以我不知道sun sam 所说的“对于小学生来说，解这道题要有很好的想像力和灵活的思路才行。而这恰恰是素质教育一直提倡的。很可惜的是，我们这些受过高等教育的分子们，仅仅由于自己思路的僵涩，就去指责出题者把题目出的太难。这究竟是我们自己的错还是我们已经接受的教育的错?”从何说起。难道你认为这是道优秀的小学暑假作业题吗？　　如果这道题出在初中的数学竞赛上，可能能算是个好题，出在小学暑假作业上绝非好题，并且我怀疑出题者可能根本就没有如此深入地去考虑，十之八九是以为答案为边长为4的正方体（小学没有学过开方，只有这样做才恰好是整数，我不能不怀疑这个恰好是特意的凑整数——张胖子所说的样子。至于边长为4的立方体是错误答案，简单运用一下数学思维就可以证明是错误的：小学生都知道“表面积相等的长方体立方体体积最大”，但是不会证明理解也不会太深刻。但是出题者对“坐标轮换对称性”应该是很熟悉的，高中生应该也懂得这个道理。这显然是坐标轮换对称的结果。对于本题由于没有盖子，坐标不再是轮转对称的了，所以由于条件变了这个定理的结论就不再成立了。但是长和宽依然具有坐标对称性。所以可以肯定的是：长和宽的比例一定是1：1，也就是说底面一定是正方形，但是侧面却一定不是正方形）。　　基于此我才十分恼怒地批判这道题的，有何不妥？　　对于您所说的：“如果我们的小学教育，甚至中学大学教育，真地能让一半的学生能自主产生这样的思维能力，我们的素质教育可能早就成功了。”本人也不敢苟同。难道把这样的题放到小学生的暑假作业上，马上我们的小学生们就“自主产生这样的思维能力”啦？如果要是一半的小学生都会做“自主产生这样的思维能力”，“自主攻克这个盒子问题”，那就不是素质教育的问题了，那中国天才数学家都满天飞了！我不相信也不指望中国会有这么多神童，只希望中国能多一些基本功扎实，有创新精神的建设者！也多一些对教材编写认真负责的教育者！　　确实，如果让一个高中生做这个题可能首先想到的就是不等式的方法（高中求极值的问题就只有不等式这一个工具），而我是学建筑结构的，并且我的研究方向还跟优化有点关系，用的全是现代的优化算法。我大学本科的时候喜欢数学建模，而数学建模主要用的也是高等数学的思想。所以思维有些局限在高等数学上确实是我的一个缺点。一般情况下，大部分人在学过更高级的工具后容易忘记以前学过的简单工具。　　其次，对于剪裁问题我要说两句，不是我较真，而是数学必须讲究严谨。原题表述为“用一块80平方米的铁皮”而不是“制成表面积为80平方米的无盖子”，这两个的差别是显著的。“因为您不会想到这块铁皮会七十二变——您想让它是什么形状它就是什么形状！”，这应该是张胖子讽刺性地模仿出题者的思维。虽然这个题远远超过小学生的难度，但是这个题提出的背景是很实际的背景。对于工程实际问题必须考虑到剪裁的方法（边角料是不可避免的），对于一个大型的结构工程，下料也是个数学问题，必须考虑怎么下料才出现最少的边角料。拓扑优化是优化里面最高深的内容之一。我曾经帮一个同学为一个企业做了一个下料的优化模型：建立数据库，统计分析各种尺寸、形状的边角料被再次使用的概率，然后根据此对一个新的工程在库里选择适宜大小与形状的材料，使得一个新的玻璃被反复剪裁以后边角料最小。在做的过程中就会发现形状（拓扑约束条件）比其他约束条件难处理得多，并且我并不是严格地用拓扑优化理论去做的——这种理论对我来说也几乎是看天书！　　至此，如果把题目的表述修改的严谨一些，有如下四种解法：　　一、大家学过高等数学的都想到的拉格朗日乘子法，答案自然是最严谨的（因为是经过严格证明的），但是这个显然是没有受过高等教育的人无法接受的（拉格朗日乘子法的思想精髓可能不是每个学高等数学的人都掌握的，甚至拉格朗日乘子法的证明可能也不是每个人都懂的）。　　二、其其等给的不等式解法。这个方法是高中生最可能给的解法，数学基础可靠，过程简单。我对他的解法进一步简化：三个数连加为常数，那么此三个数的乘积在三个数相等的时候取最大值：　　即：（a+b+c 》3（abc）^(1/3) 在a=b=c 时取最值　　[说明：(3)式中》表示‘大于、等于号’，^(1/3)表示开三次方]）　　所以，当2zy=2zx=xy时，也即长宽高的比例为2：2：1时，2zy*2zx*xy=4(xyz)^2=4v^2取最大值,且由　　80 》3（4v^2）^(1/3) 推出　　最值为V=（1/2）（80/3）^(3/2)　　三、最巧妙的不过是sun sam、skywalker00的答案：体现了转化未知问题为已知问题：用两块这样的铁皮制作两个这样的没有盖子的盒子口对口合在一起就是一个“有盖子”的盒子。那么假设两个这样的铁皮在一起，分别做一个盒子，那么显然两个盒子都体积最大的时候，它两组成的盒子体积才最大（解的存在性是显然的，解的唯一性也是很容易证明的。前提是两个盒子一样！否则没有这个推理就不正确！），这个思维过程是严谨的。这样就把没有盖子的问题转化为已知问题：表面积相等的情况下，立方体体积最大，所以每个盒子的高都是长的一半也是宽的一半。进一步体积是半个大盒子的体积。这个思维过程是小学生能接受的。并且具有启发作用！　　四、Wangyu用增量的思维方式（带有原始的导数的朴素思想），找出了搜索方向（其实你的这个方法类似于其他数值算法中的梯度法），然后首先得出了长与宽相等的结论（其实这个结论由坐标轮换对称是可以一下子给出来的，我在前面已经说过了），但是然后在下面用了挺繁杂的讨论和类似无穷小分析的思想。这个看似简单，实际很不简单。　　虽然小学生聪明的能听半懂，但是小学生是绝对不可能如此聪明到自己会这样做的，因为我们是学习过高等数学的人才会如此思考，如果小学生如此聪明的话，那将来的成就一定超过牛顿、欧拉、拉格朗日、伯努力、希尔伯特等人！我猜测如果没有错的话，Wangyu先生应该是数学的科班出身的。　　现在这个问题应该是尘埃落定了，确实，从讨论中可以受到不少启发。特别是skywalker00、SUN的解法。这个解题的思维我在做优化和微积分的时候也用过不少次（通过增删使得对称性增加，你这个方法的本质是通过增加新的部分使得其坐标轮换性增加一个维度，从而转化为已知的结论）。　　向其其、skywalker00、sun sam等人表示衷心的感谢！

jerryhao · 发表于 2005-8-16 00:36:48

我也做个结语，首先要指出张胖子为什么会出现那个错误。这道题，简单的解法就是依据“表面积相等的长方体立方体体积最大”这个定理，张胖子错在，先定位在那个形状应该是正方形上，然后继续做，结果还是一个整数，于是…，可惜的是，如果是正方形，那总表面积是80＋16＝96，但如果不是正方形呢，那加上那块缺少的面，总表面积可能>96，也可能< 96,因此“表面积相等”这个前提已经不存在了，因而也无法取得出那个结论了。另外张胖子犯错误的一个原因，就是被出题者的错误引导到沟里去了。像方舟子所说的一样，出题者的标准答案也是4，因为他们的解题过程和思路和张胖子一样，他们判题，会给张胖子满分，这点张胖子的描述很准确。这道题是否是一道错题呢？部分上说是错题，因为真正的答案出现了平方根，这是小学学生所不能掌握的，这也是我题目叫做简单的难题的原因，那个结果对小学生真是太难了。但他真是一道错题么，不是，从sun sam的解题思路里，已经看出这是一道锻炼孩子思维的好题目。经常有人把这些锻炼孩子想象力的题目称为“偏题”“怪题”，似乎只有模仿书上习题的，采用标准解法的才是“正常的题”。我个人认为这道题绝对是一个好题。好题怎么又变成怪题了呢，可以这么想象，编那本书的人，一定不会自己去“出”那道题的，他一定是从哪里参考来的，为了避免别人说他抄袭，就改了一下数据，可惜呀，这位“猪头编者”自己是不会解这道题的，就按照张胖子的思路想象了一个表面积为80，结果就导致了这道难题。现在我们试着把题目改为题目：生活数学：用一块面积为48平方米的铁皮，制作一个无盖的长方体盒子，请问怎么做盒子的体积最大？看看这是否就是一道好题了，这个对小学生真的很难么！

jjhs · 发表于 2005-8-16 07:55:29

长。。。。。。。。见识楼

jerryhao · 发表于 2005-8-16 11:17:01

哈哈，这么多东西，看起来会有些累，不过每个人都要面临这个问题，不妨耐心看看。

娃娃妈妈 · 发表于 2005-8-17 00:56:13

呵呵,我的理解更离谱, 我以为是像手工折纸一样不做剪切折成一个长方体. 复杂到没法做.

hq1966 · 发表于 2005-8-17 08:40:18

　　原来，不要盖是为了让我掉进去啊。

毛豆 · 发表于 2005-8-17 08:52:54

出这种题的人真是BT

hstsws · 发表于 2005-8-23 17:30:22

哇!恐怖~

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