一道简单的难题

jerryhao · 发表于 2005-8-14 23:47:22

今日看到很多人争论一个帖子,是一道关于数学问题和小学教育的,先转载原贴和听听论坛上各位父母的意见,稍后我把一些回应的帖子以及我的评论贴出来,供大家一起讨论

引用:<　　小学作业越来越让人看不懂　　书剑子　　最近，小学的教育越来越让人看不懂。我暑假在家辅导上小学5年级的侄子做暑假作业，发现我居然辅导不了他，不仅仅在《语文》上我显示出惊人的无知外，《数学》我都做不好。在下虽然不才，可是当年高中也是所有功课全部优秀，高考语文全校最高，全县前三。所以做不出小学题还确实让我郁闷。语文题我通过搬出《辞海》、《成语词典》以及大量使用GOOGLE，总算弥补了我在地理、历史、考古等方面的无知，但是数学我实在没有办法。有一道数学题，反正我不用高等数学做不出来，特在此请教高手。　　来源：兰州大学出版社出版的小学生暑假作业，五年级数学　　题目：生活数学：用一块面积为80平方米的铁皮，制作一个无盖的长方体盒子，请问怎么做盒子的体积最大？　　这道题目真的好“生活”啊！我不知道编者自己会不会做这道如此“生活”的题。这道题就是放到研究生台入学考试的数学卷子上去，估计也会有人不会。虽然条件极值问题的拉格朗日乘子法本科都学过，但是这道题求解的具体过程中还是有点技巧。至少我女朋友和我两个硕士现场都只列出方程而解不出来。动了会脑筋才求出答案。所以我敢说就是放到考研试题中，得分率也不会很高。　　现在征求高手，能用小学五年级能听懂的方法给出个答案。退一步说，用小学教师（我侄子的老师是师范中专学校毕业）能听懂的方法——初等数学方法解出答案也行。这本暑假作业的总编先生也不妨试试。　　PS：用高等数学做还有漏洞：原题表述为“用一块80平方米的铁皮”，而不是“制成表面积为80平方米的无盖盒子”，所以铁皮的形状也是约束条件之一，要这么考虑还是拓扑约束，形状稍稍复杂一些，此问题就是很高深的优化问题了。真不知道猪头编者怎么出的题。这样的题给小学生做，除了让他们对自己，对老师，对教材失去信心外还能得到什么。　　为此我很生气，要求我侄子停止做这个作业，而看我给他买的课外书。可是他哭了：“做不完老师要打，不但要做完，而且做完一遍后再用作业本抄下题目然后再做一遍！”　　无语！　　不明白我们的小学教育现在是怎么了。我（硕士），我女友（硕士），我姐姐（小学教师），我爸爸（小学高级教师）四个人被小学五年级的暑假作业伤透脑筋。

此帖由 jerryhao 在 2005-08-15 09:34 进行编辑...

jjhs · 发表于 2005-8-15 08:29:20

灌一滴盒子做的再好，也是铁匠哦有些事情可以不必做，有些新闻可以不必知道。。。

hq1966 · 发表于 2005-8-15 09:27:18

答：由最会做的那1个人做。　　文字部分是生活答案，1是数学答案，合起来是生活数学的答案。　　再答：题目没有指定其他条件，我们假设提供原料的猪编可以提供任意理想形状的80平米的铁皮。　　根据生活经验（请注意是生活经验，出处不详，不准刨根问底），同样面积的东西做成立方体体积最大，所以，得出如下公式：　　5X2＝80　　解得X＝4　　4就是数学部分的答案，合起来是生活数学的答案。　　题目是jerryhao找来的，所以请jerryhao找一找生活经验的出处，或者找出推理过程。

东方地 · 发表于 2005-8-15 09:27:20

64立方米吧

jerryhao · 发表于 2005-8-15 11:18:15

HQ1966所说的：同样面积的东西做成立方体体积最大，确实应该是解决这道题所用的基础定理，而且小学课本里确实有，那个结论…………，还可以再想想看。所以我说是个简单的复杂问题，之所以简单，是因为据小学的能力，基本可以解决，而不是像首贴所说的，研究生考试都嫌难，但也有其复杂性，其原因是因为种种因素导致的。

aaaqwe · 发表于 2005-8-15 11:52:12

题目：生活数学：用一块面积为80平方米的铁皮，制作一个无盖的长方体盒子，请问怎么做盒子的体积最大？题目有歧义，用完铁皮吗？小学生要完成的题目是否应该是一张铁皮剪去四角，围成一个无盖的长方体盒，使体积最大？

jerryhao · 发表于 2005-8-15 13:05:59

aaaqwe+2005-08-15 11:52-->引用:aaaqwe @ 2005-08-15 11:52 题目：生活数学：用一块面积为80平方米的铁皮，制作一个无盖的长方体盒子，请问怎么做盒子的体积最大？题目有歧义，用完铁皮吗？小学生要完成的题目是否应该是一张铁皮剪去四角，围成一个无盖的长方体盒，使体积最大？

题目确实有歧义，先这么理解吧，铁皮不会浪费，形状合适于任何方式的裁剪

jjhs · 发表于 2005-8-15 17:33:57

题目说简单了就象脑筋急转弯，说复杂了就象1+1为什么=2其实此题目应该有小学解法，作为家长看，理解出题用意是为难学生还是启发思维是关键。

jerryhao · 发表于 2005-8-15 23:28:14

好啦,我要贴后面的一些回答了,以下是浙大其其提供的初等数学解法和Yush提供的高等数学解法。这两位老兄果然是搞学问的,可惜文不对题,人家要的是小学生能解的方案,他们却列出方程式或者搞什么拉格朗日乘数法.Jerry评曰:这等人学问搞多了,思维固定了,已经没有能力拓展其想象空间了。可悲呀，虽然解出来了，我也要给他们0分。但他们的结果却可以用来验证其它解法的正确性。方舟子先生，已经给出比较接近的答案了，那道题的标准答案应该是4米，楼上Hq1966和东方地也是这个答案。但可惜那个答案是错误的。但方舟子先生也犯了一个错误，就是他断言：“该题解法已超出小学数学的范围。”其实他已经提到了skywalker00的想法，但却没重视。

引用:<（方舟子按：有许多读者来稿解答这个问题，都根据“表面积相等的长方体，正方体的体积最大”的定理，而得出答案为长4米，体积64立方米。（设正方体的边长是a，没有盖子，只需要5个面，5*a^2=80, a=4）虽然这很可能是出题者的“标准答案”，但是却是错误的。“表面积相等的长方体，正方体的体积最大”不能直接应用于没有盖子的情况。该题解法已超出小学数学的范围。下面为浙大其其提供的初等数学解法和Yush提供的高等数学解法。又，skywalker00认为可以这么看：用两份同样的材料，做出两个长方体，合在一起面积最大时是正方体，所以高是宽的一半。）对书剑子的一道小学五年级作业题的解答浙大其其书剑子《小学作业越来越让人看不懂》一文（XYS20050811）提到其侄子的小学暑假作业中有一道数学题难以用初等数学求解，我这里给出一法。书剑子的题目如下：　　来源：兰州大学出版社出版的小学生暑假作业，五年级数学　　题目：生活数学：用一块面积为80平方米的铁皮，制作一个无盖的长方体盒子，请问怎么做盒子的体积最大？这道题属于求有约束的极值问题，这类问题的一般性解法是利用高等数学的拉格朗日乘子法。但是应该注意到：不少特殊的极值问题倒的确可以利用初等数学（利用绝对不等式）解决。按照中国的教学大纲，以上这道题难度属于初中数学竞赛水平，也属于高一数学普通习题水平。出现在小学五年级暑假作业中，并被冠之“生活数学”，说明这道题属于附加题性质，不属于教学大纲要求，相当于供尖子生啃啃的趣味题，无学有余力的普通学生姑妄读之、姑妄试之，可做可不做。下面是“能用小学五年级能听懂的方法”所得到的解答：设无盖盒子的长、宽、高分别是x、y、z，那么其表面积（无盖）是 80=2zy+2zx+xy，（1）盒子体积为V=xyz。利用V=xyz，（1）式可以化为 80=2V/x+2V/y+V/z （2）利用绝对不等式（高一数学） a+b+c 》3（abc）^(1/3) (3)[说明：(3)式中》表示‘大于、等于号’，^(1/3)表示开三次方]从（2）式便可以得到不等式 80=2V/x+2V/y+V/z 》3（4V^3/xyz）^(1/3)，由于V=xyz，那么4V^3/xyz=4V^2，于是 80》3（4V^2）^(1/3)，从而V的最大值是 V=（1/2）（80/3）^(3/2)，当且仅当2V/x=2V/y=V/z时，以上极值才能被取到，所以当无盖盒子体积最大时，盒子的长、宽、高分别是：x=y=（80/3）^(1/2), z=(1/2) （80/3）^(1/2). 以上结果与用高等数学的拉格朗日乘子法得到的结果一致（此时拉格朗日乘子为（-1/4）（80/3）^(1/2)）。注：对于脑瓜子灵的学生而言，会发现以上问题中x与y的地位对称，它们谁也不比谁特殊，那么最后结果必然含x=y，预先利用这一关系式，可以大大简化以上计算。由于绝对不等式（3）是高一数学内容，所以这道题对于初中与小学高年级学生而言的确是很难的。但是经过简单的培训，他们中的一些学有余力的学生是可以掌握这些不等式并作运用的。我们以前读初中时参加数学竞赛辅导，就遇到过这些不等式。附：Yush提供的拉格朗日乘数法证明设面积为S，长、宽、高分别为a、b、c，则目标函数为f = abc - k(ab+2ac+2bc-S)其中k为拉格朗日乘数。求f对a、b、c的偏导并设为0，得到(1) df/da = bc - k(b+2c) =0(2) df/db = ac - k(a+2c) =0(3) df/db = ab - k(2a+2b)=0稍微一观察便可看出，在a、b、c、k非零的前提下，显然a=b=2c。如果信不过“观察”，可由(1)、(2)联立得到a = b = 2kc/(k+c)，由(2)、(3)联立得到a = 2c = 2kb/(2k+b)

jerryhao · 发表于 2005-8-15 23:32:58

wangyu的解法很可贵，之所显得以这么复杂,是因为他要连"具有相等表面积的长方体以正方体的体积为最大"这个定理一起证明了,从这个意义上,真是数学竞赛题的难度了,应该不是出题者的本意,但这个解题过程值得一看

引用:<　　“盒子体积最大制作”一题的纯小学解法　　wangyu　　浙大其其网友提供的初等数学解法用到了高中的绝对不等式，对小学生来说很难理解；skywalker00网友的解法确实巧妙，但是用到了一个前提：具有相等表面积的长方体以正方体的体积为最大，这本身就需要证明。　　我尝试用“纯粹”小学数学关于长方体体积的计算来解此题（尽管在以下的解法中用到了微分的朴素思想，小学生中的聪明者应该能够理解）。不管怎么说，此题应该是竞赛题的难度了，对大多数小学五年级的学生来说确实有点勉为其难。　　已知铁皮面积共80平方米，问怎样制作一个最大体积的无盖盒子。　　因为有三个变量，分别是盒子的长、宽、高，只有一个约束条件（铁皮面积共80平方米），所以小学生考虑此问题时应首先考虑简单情形，即假设固定高度，如何制作一个最大体积的盒子。　　假设高度为h，长宽分别为a和b，并且假设a>b（不失一般性）。　　考虑制作一个盒子后还剩一点点铁皮，需要把它在做到盒子上去，那么考虑到高度一定的情形有两种方案：第一是增加盒子的短边；第二是增加盒子的长边。　　第一种方案：假设增加的短边为w，那么增加的体积V1＝a×h×w; 增加的铁皮面积＝（a+2h）×w　　第二种方案：假设增加的长边为z，所以增加的盒子体积V2＝b×h×z，增加的铁皮面积＝（b+2h）×z；　　因为两种方案增加的铁皮面积不变，所以（a+2h）×w＝（b+2h）×z，由于a>b，显然w>z，可以化简得a×w－b×z=2h×（z-w）>0　　考虑两种方案增加体积的大小，　　因为V1－V2＝a×h×w－b×h×z＝h×（a×w－b×z）>0　　说明在高度一定时，增加短边永远可以得到较大的盒子体积，也就是说盒子底面是正方形时有最大值。根据这个原则，我们首先确定要制作底面是正方形的盒子。　　再考虑高度不定时如何使得制作的盒子体积最大。　　同理假设制作一个底面是正方形的盒子后还剩一点点铁皮，需要把它在做到盒子上去，那么考虑到不改变底面是正方形的情形也有两种方案：第一是增加盒子的高；第二是增加盒子的底面正方形边长。　　第一种方案：假设增加的高度为x，那么增加的体积V1＝a×a×x; 增加的铁皮面积＝4a×x　　第二种方案：假设增加的底面边长为y，　　所以增加的铁皮面积＝（a+y）×（a+y）－a×a+4（a+y）×h－4a×h　　=2a×y+y×y+4y×h；　　增加的盒子体积V2＝（a+y）×（a+y）×h－a×a ×h=（2a×y+y×y）×h；　　因为两种方案增加的铁皮面积不变，所以4a×x＝2a×y+y×y+4y×h，　　现在考虑V1－V2的情形，并用到4a×x＝2a×y+y×y+4y×h的关系，　　V1－V2＝a×a×x－h×（2a×y+y×y）　　＝y（0.5a×a－a×h+0.25y－h×y）=y（a（0.5a－h）+0.25y－h×y）　　要判断上式大于或小于0，因为y大于0，只要判断括号内的项就可以。小学生会想到y是一个很小的值（因为就剩一点点铁皮了），所以关键是0.5a－h的正负如何，直接决定了V1－V2的正负。　　若0.5a－h为正，h<0.5a，V1－V2>0，说明必须增加盒子的高度；　　反之，若0.5a－h为负，h>0.5a，V1－V2<0，说明必须增加盒子底面的边长。根据以上，我们确定当盒子高度是底面边长的一半时盒子具有最大的体积。　　综合以上两个步骤的考虑，当盒子的底面是正方形并且高度是底面边长的一半时，盒子具有最大的体积。现在来求体积就容易了：　　假设底面边长为a，高度为h，那么根据题意有：　　4a×h+a×a=80　　h=0.5a　　两式联合解得3a×a=80　　然后可以轻易求得体积为：15的平方根×160/9，约等于68.85立方米。

此帖由 jerryhao 在 2005-08-15 23:36 进行编辑...

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