六年级：有理数的复习与探究－证明√2不是有理数

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缘起

经过开始的一小段复习，有同学说：“除了无限不循环小数都是有理数。”显然，这是一个排他性的命题。在六年级所认知的数的类型看，这个命题是对的。但对于学过复数的高年级同学来说，这样说就不对了。如何能让六年级同学认识到这个问题呢？

说起要复习，同学们都有些萎顿，总觉得没意思，还不如挑战难题。好吧，我们今天就尝试一种新的复习方式，边复习边探究。探究的问题是：请证明√2 不是有理数？

问：没学过√2 啊？

答：我们确实没有学过开根号。但是，我们学过平方啊，例如：1x1=1，2x2=4,...√2 x √2=2 。

问：听说√2 是无理数，什么是无理数，我们也不知道啊？

答：所以，没有让同学们证明√2 是无理数，而是证明√2 不是有理数。

问：我们只知道哪些数是有理数？

答：要学懂一个数学概念，如有理数，只知道哪些数是有理数是不够的，还要知道哪些数不是有理数。甚至知道都还不够，还要解释或者证明，因为别人未必接受。

最后再激励一下同学们，这是一道老师们曾经在高中接触到的证明题。对于六年级的学生来说，任何一个人都很难单独挑战这个难题，我们现在是以一个小组－－四个同学加上老师来一起做，也许仍然不能成功。不管结果如何都不必担心，数学就是在挑战、失败、再挑战、再失败、再挑战、漂亮的失败中学习的。


同学们终于为证明这个问题做好了心理准备，但是从哪里做起呢？有理数可以分成整数和分数，那我们就从证明√2 不是整数开始做起吧。

（未完待续）

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√2 不是整数

对六年级的同学来说，这仍然是难以证明的，毕竟同学们刚从小学升上来，还熟悉了证明是怎么一回事儿。好在这是一个探究小组，有人大胆的猜想：√2 <3。开方吗？似乎总是越来越小。又有人拿出了计算器，计算出√2 =1.414 ... 七嘴八舌过后，我们总结出：1<√2 <2。当然，这是一个猜想，同学们还要证明它：

因为 1x1<√2 x√2 <2x2
所以 1<√2 <2
而 1和2之间不存在其它的整数，
所以 √2 不是整数。

这就好了吗？没有。笛卡尔说，要进行仔细全面的检查确保没有遗漏。这个证明里边还有“一小块骨头”：

如果 a^2 > b^2，a>0, b>0，那么，a > b。

备注：
实际上，在类似的基础问题的证明中最常见的错误是，把自己的主观认识惨杂其中造成循环论证，或者把有理数范围的性质、规律盲目扩展到未知的无理数的范围，这就要依赖老师在探究之前进行仔细的研究。例如“证明√2 不是有理数”这个命题将运算限制在同学们熟悉的有理数范围内，可以确保不会犯这样的错误。

（未完待续）

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如果 a^2 > b^2，a>0, b>0，那么，a > b

最容易起步的方法是用数形结合的方法，即用正方形边长和面积来“证明”这个命题。



课后，另外找了两个代数证明方法。

反正法
假设命题不成立，即 a < b，则 ab < b^2，而且 a^2 < ab，由此推论 a^2 < ab < b^2，与条件矛盾。
故 a ≥ b。但 a ≠ b，所以 a> b。

用分数性质证明
因为 a^2 > b^2，a>0, b>0
所以 (a/b)^2 > 1
故，a/b > 1
所以，a>b

以上三种方法都应作为探究课堂的备案，实际上在课堂上，应当由同学们提出各自的想法，老师则利用自己的知识和技能帮助或引导同学们自己去实现。这样才能鼓励同学们自由思想，并让同学们感受到被尊重。

（未完待续）

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什么是反证法

王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍。一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动。等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”

这是历史上著名的“道旁苦李”的故事。在数学上，我们把“道旁的李子是好吃的”看成是一个有待证明的命题。一般的思路是摘下李子尝一尝，如果李子的味道是甜的，命题成立，李子是苦的，命题不成立。为了证明无误，可能还要多尝一些李子。

王戎却反其道而行之。他先假设命题正确，然后再根据“假如李子不苦的话，早被路人摘光了”这个道理，发现了与事实－－“一棵树上结满了李子”的矛盾，从而证明了命题不成立。这样，他既免除了品尝苦李的痛苦了，又证明了命题是错误的。

我们可以不用反证法吗？
在“道旁苦李”的故事中，我们可以同时运用一般的证明方法和反证法，那么，证明“√2不是有理数”可以用一般方法吗？探究小组的同学做了尝试。

首先要知道√2是什么，于是，我们用试算法试图把√2化成小数。
1、试算 1.1 -- 1.9 的平方，确定√2在1.4与1.5之间。
2、试算 1.41 -- 1.49 的平方，确定√2在1.41与1.42之间。
3、试算 1.411 -- 1.419 的平方，确定√2在1.414与1.415之间。
...
最后我们计算出：1.41427 x 1.41427 = 2.0001596329。这已经超出了同学们手里的计算器的极限了，但是仍然没有发现任何循环的迹象，我们的运气不好？无论如何，我们只能放弃试算法，更可悲的是我们还想不出其它的一般证明方法。

备注：
南朝 宋 刘义庆 《世说新语·雅量》：“ 王戎 七岁，尝与诸小儿游，看道边李树多子折枝，诸儿竞走取之，唯 戎 不动。人问之，答曰：‘树在道边而多子，此必苦李。’取之信然。”后以喻庸才，无用之才。
宋 姜夔 《永遇乐·次韵辛克清》词：“云霄直上，诸公衮衮，乃作道边苦李。”
清 和邦额 《夜谭随录·阮龙光》：“不意鷽鳩伎俩，决飞祇抢榆枋，白髮青衫，竟作道旁苦李。”

（未完待续）

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前面已经证明了1<√2<2，√2不是整数，根据有理数的定义，有理数只包含整数和分数，那么接下来证明√2不是分数。同样使用反证法。

假设√2=n/m，且n与m均为正整数，m≠n ，而且n/m 为最简分数，即无公因数或称n 与m 互质。

那么(√2)^2=n^2/m^2，即n^2=2m^2，n^2是个偶数。

根据列表：
奇数        平方        偶数        平方
1        1        2        4
3        9        4        16
5        25        6        36
...                        


我们猜想一个正整数的平方是偶数，那么这个正整数也是偶数，而且是4 的倍数。接下来证明这个猜想。

正整数分为奇数和偶数，奇数的代数表达式为2k+1，其中k≥0；偶数的代数表达式为2k，其中k>0 。k 均为整数。

假设n 是偶数，则n=2k，n^2=(2k)^2=4k^2，n^2为偶数。

再假设n是奇数，则n=2k+1，n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1，n^2为奇数。

猜想得到了证明。

因为n^2=2m^2，正整数n的平方是偶数，所以n 是偶数且是4 的倍数。我们可以假设n=2k ，则m^2=n^2/2=2k^2 ，即m^2 是偶数。正整数m 的平方是偶数，m 也是偶数。

于是，n 和m 都是偶数，这就与n/m 为最简分数矛盾了。

所以，√2=n/m 的假设不成立。

√2 不是分数也不是整数，√2 不是有理数。

证毕。

显然，在这个证明中，m 可以为1 ，所以可以代替证明√2 不是整数的过程。但作为循序渐进、由简到繁的数学认知过程，在数学教育中，证明√2 不是整数却是必须的。这就是数学教育与数学学术研究的区别。

（完）

紫竹林

看贴下来，证明我的数学现在低于小学六年级水平 ，我已经晕了

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紫竹林 发表于 2013-7-6 18:56
看贴下来，证明我的数学现在低于小学六年级水平 ，我已经晕了

解决这个问题的办法之一是在小学逐渐地引导孩子自学。

紫竹林

ccpaging 发表于 2013-7-8 13:29
解决这个问题的办法之一是在小学逐渐地引导孩子自学。

向着这个目标努力

yangran2002

学习了，每天进步一点点

爱海

ccpaging 发表于 2013-7-8 13:29
解决这个问题的办法之一是在小学逐渐地引导孩子自学。

确实，孩子已经完全自学，当妈的已经全部放手。