三四年级：我们发现了分数加法

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“我不知道数学社”论文－－我们发现了分数加法
作者：Alex

提出问题

今天正好是J同学的生日（ccpaging注：也是“我不知道”数学社成立以来的第一次一起过生日），我（ccpaging注：Alex）、J同学、11和11的爸爸妈妈都非常高兴，一起唱着生日歌。然后，J同学拿出了他带来的生日蛋糕，11的妈妈把蛋糕分成了六份，大家便吃了起来。这时，爸爸提出了一个问题：
1/2 + 1/3 = ?
11同学说：“也就是半个蛋糕，加上三块小蛋糕！”
11的爸爸说：“那么等于几呢？”
我们都摇了摇头。

探究时间

吃完蛋糕以后，我们每人拿了一张纸（不包括11的妈妈），可是，我不知道该从哪里画起，瞄了瞄11同学作的图：


我问他：“哪一块是1/2 + 1/3 ？”
11回答：“蓝色的部分是1/2，紫色的部分是1/3，把这两块加起来就是 1/2+1/3 。”
突然，11的爸爸叫道：“你们看，我发现黄色部分正好是1/6 ！”


ccpaging注：
其实从11同学的第一张图到发现剩下的部分正好是1/6，经历了一个过程，并不像Alex说的这么简单，这也不符合“我不知道”亲子数学社的一贯原则，即“我不知道”。可能是活动过后没能及时总结（正好碰到期末考试），Alex忘了，我来把这一段补上。
11同学画饼图的时候，先用圆规画一个圆，然后画一条过圆心的直线，正好把一个圆分成两半，1/2就被画出来了。这时11碰到困难了，1/3应该怎么画呢？11这时大叫了起来：“我要量角器。”这句话提醒了大家，于是大家纷纷寻找量角器，好像为了争夺有限的量角器还差点打了起来。最后只好用剪刀石头布来解决，这也是“我不知道”数学社通常用来解决无理争端的有效方法。
“360度的1/3就是120度、、、”11一边计算着一边在 1/2 边上画出了 1/3 ，其他成员也在手忙脚乱的画着。
1/2 + 1/3 已经被画好了，结果已经在图上，可是，它究竟是多少呢？大家陷入了沉思。
后来，11同学在作图中发现，一块蛋糕被吃掉1/2+1/3后，剩下的那一块正好是1/6，于是他打破了沉寂，宣告自己发现了一个神奇的数字（Magic Number）――“6”，因为6是2和3的倍数，如果我们把一个圆等分成6份的话，我们就可以把无法相加的1/2和1/3找到一个共同的单位1/6。

Alex的爸爸(ccpaging注：实际上是边写边说。)说：“1/2 ＝ 3个1/6， 1/3 = 2个1/6，那么1/2 + 1/3 ＝ 2x(1/6) + 3x(1/6)，也就是说 1/2 + 1/3 = 5/6！”

ccpaging注：
11同学明白了1/2 + 1/3的方法后，就开始不停的在纸上写到。
1/2 + 1/3 = 2/6 + 3/6 = 5/6
= 6/12 + 4/12 = 10/12
= 9/18 + 6/18 = 15/18
=12/24 + 8/24 = 20/24
=18/36 + 12/36 = 30/36
看到11同学发现了这么多可以帮助计算的分母，很自然地，我们的话题开始转向。我对大家说：“为什么只有6才能用于计算，而不是5或者7？”
11同学立刻反驳：“我找到很多数字可以用啊！”
我说：“那么他们有什么规律吗？好像不是随便找个数学就可以用来作计算哦。”

总结
我们又讨论了一会儿，发现了一个有趣的数字――“6”。Alex的爸爸画了一张图：


Alex的爸爸说：“兔子和松鼠跳树桩过沼泽地，兔子一下跳3个树桩，松鼠一下跳2个树桩，问哪一个树桩上既有兔子又有松鼠的脚印？”
J同学看着图说：“6、12、18，下面是24、、、”
Alex的爸爸说：“这些数字有什么规律吗？”
11同学说：“每两个数字之间都相差6！”
J想了一会儿，说：“还有一个更加简便的规律，1x6、2x6、3x6、4x6、5x6、、、”

（ 我忘了后面的。）

反思
过了几天，我和爸爸在吃牛肉面的时候，又重新讨论了这个问题。
“上次J同学发现的那个数列都是6的倍数，最后其实还发现了n x 6！”爸爸说。
“这么说，6是2的倍数，6是3的倍数，所以我们把6称作2和3的公倍数，也就是公共的倍数。我记起来了，你和11的爸爸把这句话下来了。”
“还有一句话当时也被写下来了，6是2和3的公倍数里边最小的。”
我一听，问道：“0是吗？”
爸爸说：“0是所有数的公倍数，这样就没什么意思了！而且0还不能做除数，至少在计算分数时，0这个最小公倍数没有什么意义。所以，严格地说，6是除0以外，2和3的最小公倍数。”
爸爸过了一会儿，又问：“n x 6是什么意思？”
我说：“就是随便一个数 x 6！”
爸爸说：“不完全是这样，在J同学的数列6、12、18、24、30中，n有特别的意义？！”
我想了一会回答到：“n是第几个数！”
爸爸说：“是啊，那么nx6的下一个数是多少呢？”
“是 (n+1)x6 ！”我大声说道。
“对了。其实当时11同学跟J同学关于这个数列的规律是有争议的，11认为相邻的两个数相差6，J同学认为是nx6，他们都认为自己的规律更简单。后来我们怎么说服11的呢？”
我说：“如果让11计算第10个数是什么，他要从第一个数 6 开始，一个个加下去，要算10次，J同学只要算一次就可以了―― 10x6 = 60。”

等到我们搞明白了，爸爸问道：“1/4 + 1/3 = ?”我们便开始做了起来。
我想，得先吧分母变成一样才能计算，我写到：
1/4 + 1/3
= 3/12 + 4/12
= 7/12
         
这时，大家也都写完了，都得出了一个结果：7/12
11爸爸写得跟我们不一样：
1/4 +1/3
= 1x3/(4x3) + 1x4/(3x4)                        <＝ 写得更清楚
＝3/12 + 4/12
=7/12

爸爸又问了一个新的问题：“为什么分母乘了一个数，分子也要乘同一个数呢？”
这就是我们下一次要研究的内容吧？

（全文完）

紫竹林

好喜欢，要再多点

ccmbrr

这知识含量挺大的，涉及面广。