整理的：从 来 不 相 信 刻 苦 学 习 hxy007

朵儿2007

103#ccpaging   试算法也是数学里边的一种方法

          数学的历史就是在一次次的运算中，逐渐积累经验，再逐步抽象、升华，行进到纯抽象的数学思维领域。不过自二次大战开始，很多数学家又开始返回到具体的应用领域，从而发展出许多新的应用数学分支，现在的通讯（包括网络、无线、有线）领域、空间探测、甚至一些超大型项目的组织，都活跃着很多的数学家。也就是说，数学的抽象思维不是数学的终点，也不是数学的唯一目标。

          如果按老教材的教学思维，都是先给出抽象的定理、定义、模型，仅仅把那些生活中的东西按教材的要求进行加工，以这些加工后的所谓题目来辅助学生学习数学，这样做的结果，实际上使数学与生活越来越脱离，使数学失去了应用的土壤，一不能吸收到营养，不能生根，二是真正碰到生活中的数学问题，对不上号，解决不了，更不用谈什么创造力了！
       所以，新教材强调从生活推导出数学，使孩子们知道数学是从哪里来的，不断地进行从生活抽象到数学的实践过程，这样才能真正地在将来的工作和生活中找到数学问题并解决之。
        例题：小树林里有一群鸟和一群松鼠，共有6个头，18条腿，请问：鸟有多少只？松鼠有多少只？
       方程式应该是：     假设鸟的数量为x
       2 * X + 4 * (6 - X) = 18
=> 24 - 2 * X = 18       => 2 * X = 6      => X = 3

    对于二年级来说，这就非常复杂了。但聪明的小朋友会用试算法，很快就可以解决，试试看？

=====104#hxy007   回复 103#ccpaging 的帖子
          明白了。原来，我家孩子的方法和思路代表的居然是现代应用数学发展的新方向。俺的数学观念落伍了。要不断学习啊！

==== 105#ccpaging 个人浅见供参考。
        定理也好，模型也好都是死的。就这道题而言，如果孩子能拿出笔来，从儿子一岁开始，逐个的试算，已经是找到一个解决办法了。碰上被定理熏陶出来孩子，可能打破脑子也找不到一个合适的定理来套，只能是双手一摊了，根本不知道从何入手。
            当然，如果孩子在推导出来的基础上，能够发现一些随年龄增长或减少的规律，那就更进一步了。

  ======  106#ccpaging      儿子几岁时，船长的岁数是儿子的1倍 咱们再引申一下：
    儿子1岁时，船长25岁，是儿子的25倍；
　　儿子2岁时，船长26岁，是儿子的13倍；
　　儿子3岁时，船长27岁，是儿子的9倍；
　　儿子4岁时，船长28岁，是儿子的7倍；
　　儿子6岁时，船长30岁，是儿子的5倍；
　　儿子8岁时，船长32岁，是儿子的4倍。
        根据这表格可以看出来，随着儿子越来越大，船长的倍数越来越小。那么船长的倍数会不会变成一倍呢？如果能，儿子那时几岁？如果不能，为什么？
       子：这个船长会不会活很久啊？
       父：这个船长就是杰克-斯帕罗，他是永远不会死的，他的儿子也不会死。

          =====107#YANGXIMI    这个现象我也早就发现了，现在网络上写小说写得好的人，百分之八十是理科生，我还一直很郁闷地跟同学讲：“看来文科生是差啊，文科生多半是理科读得不太好的，而理科生却可以把文科也读得这么好，真让有胸闷！”
          我一直觉得自己数学是个白痴，但现在回头想想，大概人的脑袋是有差别，我喜欢解应用题，喜欢几何，但是一碰到代数我就犯愁。感觉就是很难把形象思维转换成抽象思维，更难把抽象思维总结成逻辑思维。
      一个很好的读理科的朋友说其实代数就是一层纸，捅破了，很简单。但问题是这层纸对我而言就象是牛皮做的，我都捅了几十年了，还是没破！！！以至于这几十年来，我一直在做一场关于数学高考的噩梦，而即使在梦里，我照样知道自己只能对着它一筹莫展。
       但愿小蕃茄不要象我吧，但愿我们一起捅个几年，就可以把这层牛皮纸给捅破了吧，唉。很喜欢你们编的题目，天天上来找更新，回家烤蕃茄，呵呵。
        
108#hxy007   我们都还有希望　回复 107#YANGXIMI 的帖子
　
      　数学上开了窍，中小学那点浅薄的数学就不在话下了。俺比较幸运，自从学乘法时突然悟到数学的妙处之后。钻研数学就成了一件乐事，成了最有趣的娱乐。记得中学时，老师布置的数学作业不多，时常觉得不过瘾，就一题多解（如一个题目同时用代数、三角函数、解析几何去解），交上去的作业惹得老师直夸俺是个好学生。老师批阅、发放作业之后，俺也时常给自己的作业写上“精彩”、“妙”、“马虎”之类的评语。总之，钻研数学题确有一种特殊的满足感。
　　    大学读的是文科，不过大一时有“高等数学”课，大开眼界，才知道中小学那点数学在整个数学体系中不过是沧海一粟。遗憾的是大二不上高等数学了。  80年代的大学生活都闲得很，闲得慌了俺就去图书馆找数学书，做微积分难题。每做出一道题，都开心得不得了。正是这样的经历，使我不相信刻苦学习，而信奉快乐学习。 我坚信，数学家们当年并不是因为数学有用而刻苦学习数学，相反，他们一定像我一样是因为发现和体会到了数学太有意思了，而沉迷其中，乐在其中，欲罢不能，一不小心成了数学家。
　　    当然，人和人不同。有的人在数学上开窍得晚，有的直到中学毕业也没有真正开窍，不过通过刻苦学习，也是基本能够对付中小学这点数学的。但是，让这种人去教授、辅导小学生的数学，那孩子就会非常惨，很可能越学越呆，越学越没劲。
　　    俺的太太在数学上好像是一根筋，但是，在辅导孩子过程中，也逐渐找到了数学的感觉。可见，只要像孩子一样天真、好奇，不断学习，在学习中寻找内在乐趣，那么，即使是到了成年阶段也是有可能捅破那层纸的（开窍）。可怕的是，有的人从来不相信数学本身竟然会十分有趣，而相信刻苦学习是捷径——“我是靠刻苦学习、多做苦做题目考上大学的，所以你们（学生或孩子）也得刻苦学习，多做、多练、苦练”。
　　  俺一直顶着这个帖子，不让它沉下去，除了想与各位BBMM分享育儿经验之外，还有一个奢望——但愿小学的数学老师们也像俺这样看数学，把数学教得有趣些。
        
     109#小龙爸     这个话题探讨得真好，儿子也有自己关于数学的一些计算技巧的方法
        比方，13-6=7，他的总结出的方法是先用6减3然后再用10去减，排出的算式是：10-（6-3）      这样的方法我从来是没有想到过，经他一点每个大人都能想通，但从来只会有死记的方法来记，数学的奥秘就在个中。
        
          =====110#胖土豆他爹    俺倒觉得再聪明也要刻苦学习的吧。老实说，现在的孩子都比我们小时候聪明，LZ举的例子我想现在一般孩子都会这么做的，如果要更上一层楼需要则更多的钻研和花费精力，我不相信有什么天才（至少在身边）……
     
     ======= 111#ccpaging   学习数学可以快乐地
       不存在什么天才，像爱因斯坦这种脑子几百年才出一个。一般我们说到“刻苦学习”，都好像意味着说：
       学数学是件苦差事，要强迫孩子去学习，BBMM们稍不留神，孩子就不愿意学数学了。
      上面讨论这么多，其实都是在针对这种“刻苦学习”，如果孩子们发现了数学的乐趣，那他就愿意花更多地时间去学习、思考，也不会觉得苦了。而且数学本身并不是真正枯燥的东西，只是我们没有去深入挖掘罢了。
      无论对BBMM们还是对老师而言，希望都能跟孩子们共享这一段美好的时光，大家都从中得到乐趣、感动，也就不枉然了。

=====112#    hxy007    俺也转述两段话　回复 28#ccpaging 的帖子

       彭加勒在《科学与方法》中写道：“科学家研究自然，并非因为它有用处；他研究它，是因为他喜欢它，他之所以喜欢它，是因为它是美的。如果自然不美，它就不值得了解；如果自然不值得了解，生活也就毫无意义。当然，我在这里所说的美，不是给我们感官以印象的美，也不是质地美和表观美。并非我小看上述那种美，完全不是，而是这种美与科学无关。我的意思是说那种比较深奥的美，这种美在于各部分的和谐秩序，并且纯粹的理智能够把握它。正是这种美使物体，也可以说使结构具有让我们感官满意的彩虹般的外表。而没有这种支持，这些倏忽即逝的梦幻之美只能是不完美的，因为它的模糊的，总是短暂的。相反地，理智美可以充分达到其自身，科学家之所以投身于长期而艰巨的劳动，也许为理智美甚于为人类未来的福利。”

　　王小波在《我的精神家园》中曾经回忆大学时代自己的数学教授在第一堂数学课上说的一段话：“我现在所讲的数学，你们也许一辈子都用不到。但我还要教，因为这些知识是好的，应该让你们知道。”
        深刻感知到数学和科学中内在的“美”与“好”的人，肯定会比常人花更多的时间、精力去学习、钻研、探索，但他不会觉得“苦”。以此为乐的人，怎么会觉得苦呢？唉，俺好像在说废话。因为，对此有体会的人来说，根本无需要多言；对此没有这种体会的人来说，这些话等于白说。

朵儿2007

=====113#hxy007    有多少人被“刻苦学习”所误？
        引用:原帖由 胖土豆他爹 于 2008-11-12 17:40 发表 :俺倒觉得再聪明也要刻苦学习的吧。老实说，现在的孩子都比我们小时候聪明，LZ举的例子我想现在一般孩子都会这么做的，如果要更上一层楼需要则更多的钻研和花费精力，我不相信有什么天才（至少在身边）……
　　   
        这位兄台说得对，俺举的许多例子现在的一般孩子都会做（俺的孩子除外，如果不花上个把小时和孩子一起探讨上述每个难题，他是不会真正懂的，更不会乐在其中的），比我说的更难的题目（如奥数）也有不少孩子会做。可是，本帖讨论的不是会不会做的问题，而是喜欢不喜欢做的问题、主动不主动探索的问题。俺注意到的事实是：十级、九级琴童恨钢琴，上大学之后再不碰钢琴，甚至不让别人知道自己会弹钢琴；有好多年了，上海奥数比赛优胜者鲜有报考数学系的。（ccpaging是个例外，奥数拿过奖，竟然还不厌恶数学，居然读了数学系，真是个奇迹啊！）苦干、蛮干固然能够取得一些即时的效果，却严重地损害学习者的学习动机、兴趣，从长远来说是得不偿失的。俺可不希望自己的孩子“会”做却不情愿做。
　     　俺的经历（见1楼和108楼）表明，对数学有内在兴趣的人，钻研数学所花的心思和精力会比常人更多，但这种人不会以此为苦，而以此为乐。ccpaging的经历（见4楼）表明，猛做、傻做奥数题的人不如巧学数学的人。他的那几个做奥数的同学没有拿奥数奖、没有考上大学，其实不冤。中国有句古话：“书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”。前半句话勉励人勤奋学习，并不过分；后半句话让人虐待自己也虐待他人，不知误了多少人，毁了多少学子！学海无涯，以“苦”作舟，是渡不到成功的彼岸的。人有趋利避害、趋乐避苦的天性，故意找苦头吃的人一定很不正常。刻苦学习是难以为继的，能够坚持刻苦学习12年乃至更长时间的孩子，其心灵一定被扭曲得一踏糊涂。唯有体会到学习内在乐趣的人，才能长期坚持学习。而知识本身就存在一种不因为别的就因为它自身而令人流连、着迷、废寝忘食的特征，即令人快乐的特质。把握这种特质的人，才会快乐学习，主动学习，长期坚持学习。因此，那句古话应该改为：
　　               书山有路勤为径  　学海无涯乐作舟
     
  114#dolldance 回复 113#hxy007 的帖子

           真是太感谢你这个模范爸爸了。对孩子的数学学习如此下功夫。看来得让LG好好象你们这些牛爸爸们学习一下。我女儿小二，奥数方面正在学习，我会一直关注你们的贴子，同时也希望在我们这些BBMM的共同努力下，能够真正激发起孩子们学习数学的乐趣和兴趣。任重道远啊！！
        
=====115#洋葱头妈 好贴，顶！
     
         小儿大班，算术很不咋的，十以内的加法还要掰手指，其他同学都100以内加减随便玩。幼儿园老师已经严正警告我们多次，这样是跟不上小学进度的。我和他爸郁闷的，两理科生怎么就遗传了这样的结果。
          自我检讨了半天，开始让他背加法表，从头到尾背的挺快，可是发现3+1脱口而出4， 3+4就想半天，还要用手指。和LG研究后发现，他要从3+1开始默背3+2，3+3，再到3+4才能说出结果。看来机械记忆也不是办法。
         我只能开始出乱招，从1+1，2+1，3+1，问到9+1，是不是+1就是顺序往后数一个呀。是。那数数总会吧。嗯。操练几番后，小屁孩乐不颠地找爷爷，出多大的数+1 我都会，125+1? 张口就来126，于是他很享受自己的算术能力终于突破100大关。嘿嘿，我只能偷笑。
         再教+2，小子不耐烦了，不就是往后数两个吗，我会。于是顺利完成+2。+3，+4。。。如法炮制。
         再后，3+7，往后数7太累了，那么引进加法交换率概念，从实物过渡到抽象，终于开始按7+3往后数3了。
           减法，依旧如法炮制，往前倒数数。
           目前总算完成了10以内的加减，不用手指了。现在操练N+M=10的题，准备采用6+7=6+4+3=10+3的法子逐步让他跨越到10以上数字。反正他很满意自己会算10+9，20+3等类的题，还有20+30，400+200（按2+3加上十位教、4+2加上百位数，还夹七夹八地讲了些倍数之类的）等。
         平时还给他搞搞，大床睡2人，小床睡1人，宝宝和BBMM有几种睡法这类的。也不知道自己的路子对不对，好歹小子不再看到算术题就是苦瓜脸了。
        
116#点宝妈妈    好贴！奥数不熬，讲的就是这个理儿了，兴趣是最好的老师
46楼有个小小笔误，AB直线围出来三角形后，后面依次是AD、AE...去围三角形，不是BD、BE...，呵呵！

=========119#duoreimi
   
      低年级的数学是可以玩得很乐趣的，年级上去了，如果你仅仅把数学当作乐趣那就会很乐趣，如果你要和别人竞赛，随着难度的增加，如果没有各种题型的磨练，是很难脱颖而出的，这个时候如果你还是能在全部的操练过程当中得到纯粹的乐趣，那就是一种真正的爱好了。
       关于兴趣楼上都说得很清楚了，兴趣就是兴趣，自己能乐在其中，这就是人生的一种自得其乐，不要太拿世俗的比较来衡量。不过人生有很多错位的，某方面有天赋的人未必他就喜欢这个某方面，反而另一个未必有天赋的他偏偏喜欢这个某方面。所以人生常常要面对的选择，要在某个时点来抉择自己所要面对的学习、工作和生活的方向，有时真的很难。
      比方说怎么对待不喜欢的学科，怎么对待日益升温的奥数，怎么对待现行教育体制下的升学问题…… 当现实和理想冲突时，到底该放弃什么？是维护孩子的快乐退出现实的竞争，还是鼓励孩子坚持作现实的博弈？反观我们大多数人，又有多少人真正在做着喜欢的事情呢？所以现实就是现实，当我们逃避不了现实，如何积极地面对，这个真是对家长的严峻考验呀。
        
========121#火车是运茶的 引用:原帖由 hxy007  发表
儿子一年级学完20以内加减法之后，老师出一了道数学题：

　　○＋△＋□=17 ……………①
　　○＋△=10  …………………②
　　△＋□=12 …………………③
　　○=（　　）　△=（　　）　□=（　　）
这是一个好帖，要顶起！

     上面这道题我觉得还可以用小朋友更感兴趣的方式来教。我把题目改造一下：
       妈妈买了一只苹果、一只梨、一个哈密瓜，总共花了17元。小明想知道每只水果的价钱但是妈妈不告诉他，只说苹果和梨加起来是10元，梨和哈密瓜加起来是12元。小明思考了好久，算出了答案。现在请小朋友们也算一算。
         这里用水果代替抽象的符号，便于孩子们理解题目。为了同样的目的，用水果的个数取代重量。家长辅导孩子的时候可以使用实物，例如把三个水果一摆，价钱是17元。然后再拿掉哈密瓜，剩下苹果和梨，价钱是10元，这就可以引导小孩算出哈密瓜的价钱。
      等小朋友们明白之后，可以再把题目抽象化，或者让小朋友们自己出一些类似的题目。

朵儿2007

======124#sanmum 路过的，看了半天，确实是好贴！顺便说说我的解法
引用:原帖由 hxy007 于 2008-11-3 17:28 发表
　
（一）小学一年级时，为了帮助孩子理解 ...
       船长和儿子的年龄问题，我的看法是，岁数无论怎么变，父子俩人的年龄差是不变的，都是24。从这点出发，船长的岁数是儿子三倍，就意味着，假设儿子的岁数是1份，船长的岁数就是3份，两人的差就是2份，那么24÷2=12，一份就是12，所以儿子12岁时，船长的年龄是儿子的3倍。同理，船长的岁数是儿子四倍，两人差就变成了3份，24÷3=8，一份就是8，所以儿子8岁时，船长的年龄是儿子的四倍。
感觉这样应该好理解，不过我也没试过孩子能不能理解，回家尝试一下再说。
        
======125#sanmum 原帖由 ccpaging 发表 试算法也是数学里边的一种方法。

        例题：小树林里有一群鸟和一群松鼠，共有6个头，18条腿，请问：鸟有多少只？松鼠有多少只？............
        我有个好办法，也是看来的，可以用来解类似的题目，小孩子应该一教就会的，很形象，呵呵。就是让小松鼠把“手手”举起来，请孩子算算这时有几条腿？这时松鼠和小鸟都只有2条腿了吧，很好算，6个头，就有12条腿。那么还有6条腿（18-12=6）哪儿去了呢，哈哈，小松鼠举着呢，那么有几只小松鼠呢？6只“手手”当然是3只小松鼠了，还有剩下的3个头当然就是小鸟了。
        
127#火车是运茶的回复 124#sanmum 的帖子

      你这是标准的算术解法，比前面那些更抽象一些，也就是说难度高一些，需要熟练掌握倍数，还要能发现年龄差不变的事实。
        如果让孩子用画线段图的手段自己去发现这个解法，也是一个很好的启发手段，也很有趣的。
        
128#sanmum
        如果让孩子用画线段图的手段自己去发现这个解法，也是一个很好的启发手段，也很有趣的。 赞同！让孩子自己去尝试和探索，才能让他体会其中的乐趣。
        
131#ccpaging       最厉害的教练也没法教孩子如何走路

      相对而言，我更愿意孩子们在草稿上写写画画，做射线也好，画老鼠也好，从这些看是很笨的方法里边，寻找到数学的妙处，所谓大乐必简，大工不巧。
         这里的题，我个人并不认为存在一个最优化的解题方法或者说最好的方法。就像孩子们学走路，可能这个世界上最厉害的教练，也无法把怎么走路描述给孩子们听，到最后还是要孩子们跌跌撞撞，自己去体会，学会走路。数学也是这样，如果孩子们不会做或者会做这些题，并不表示这个孩子聪明或者不聪明，重要的是他能迈出第一步，不管这一步走有多难看，重要的是他能从中享受到各种乐趣，探索、冒险、冥思苦想、灵光一现。

134#ccpaging  今天给儿子出了一道题：
        “用四舍五入进行估算的得出结果，与计算结果相比，最大差多少？最小差多少？”  要求举例证明。
        
        ====135#ccpaging 通则不痛   引用:原帖由 hxy007 于  发表
       　这位兄台说得对，俺举的许多例子现在的一般孩子都会做（俺的孩子除外，如果不花上个把小时和孩子一起探讨上述每个难题，他是不会真正懂的，更不会乐在其中的），比我说的更难的题目（如奥数）也有不少孩子会 .......
   
      数学的各种概念之间要“通”，各种学科如语文、英语、数学、课外阅读之间也要有“通”道。更重要的是数学要和生活体验之间建立“通”道。
     昨天儿子在看恐龙的书，告诉我最长的恐龙是24米，我跟儿子晚上一起出去散步的时候，就跟儿子步量了24米，儿子由此感叹：“原来24米这么长啊”。
     当然，这个通道无一定之规，也不必有意为之，BBMM们可以留心抓住这种可能，不要错过机会。

         136#hxy007    比数学更重要的是生活经验及语文水平　
        回复 135#ccpaging 的帖子,小学那点数学，就数学本身而言，简单很，有中等偏下的智力完全可掌握。    孩子做不出某道题或做错了，经常性的原因是不理解题意或曲解了题意。影响孩子对题意的理解，主要有两方面的原因：看不懂文字；缺乏生活常识。前者跟语文水平有关，因此，在我看来，小学生语文好（真正的好）比数学好更重要。 后者跟生活经验有关，因此，让孩子广泛地接触自然和社会是非常必要的。
　
    　昨晚看孩子的数学周末作业。有一道题， 要求填写单位：　一块橡皮擦长20（　　）。
    　儿子填写的答案是“cm”。他妈妈让他查错，他反反复复检查，就是查不出来，瞪着作业直流泪。也许，在儿子的眼里，相对于km, m, dm，cm是一个非常小的长度单位了，所以觉得填在这里非常合适。在这种思维定势下，无论他怎么检查，都不会想到是这一题做错了。
　　我问他：20cm的橡皮擦到底有多长？
　　他看了一眼自己的直尺，那张拉长的苦瓜脸突然笑开了花：哪里有这么长的橡皮擦？正确的单位是什么？  毫米（mm）.
          老师是教过km,m,dm, cm, mm以及它们之间的换算，孩子也记住了，而且确实会换算（从纯粹数学的角度来说是掌握了）。但事到临头，儿子还是做错上述题目。这是儿子数学差吗？让孩子从数学的角度检查自己的作业，他能检查出作业中这种差错吗？答案是否定的。
　         　就这个题目来说，孩子的数学没有问题。问题在于他缺乏生活常识，他脑子里并没有建立cm到底有多长的生活概念。这道题表面上是一道数学题，实际是一道生活常识题（数学习题和试题中存在大量类似题目）。孩子需要补的不是多做几次这种题目，而是要让他多接触真实的生活，逐渐具备生活常识和经验。
         正如ccpaging所言，这方面的教育并不需要刻意为之。机会时时处处都有，问题在于父母是否善于利用。当然，我们也一直希望老师们不要那么急，那么狠，别把我们孩子自由活动的时间几乎全给占住了，让俺们也像幸福的ccpaging父子那样，可以经常在充满温馨和诗意的黄昏下漫步，有一搭没一搭地闲聊。
        
        ====137#ccpaging    车轮也可以当尺子用
             学公里的时候我给儿子出过一道题：“想个办法，计算七宝到莘庄的距离是多少公里？”  因为没学速度，所以时间X速度不行，儿子不会考虑。提示：可以先找个圆的东西，滚滚看。

140#ccpaging   John加一泡屎

      “32个人，每条船坐6个人，需要几条船？”小二学余数后又出了这道题。原来学乘法的时候做过，本以为十拿九稳，结果又出妖了。儿子是这么做的：
32 / 6 = 5 (条)... 2        2 + 1 = 3(条)   共需要3条船。
     问：2 + 1是怎么来的？     答：2人加一条船。
     问：那你作图计算吧。
     答：（画出图），应该是6条船。
            问：你知道问题出在哪里了吗？
            答：应该是2人加一条船这句话写出的算式不对。可是”2人加一条船“不就是2 + 1吗？为什么不对   （脑子别筋了，只能继续举例说明了）
         
        问：John早上拉了一泡屎，也就是John加一泡屎。按你的算法，那就是：1+1=2。如果结果是2泡屎，那么反算回来 John = 一泡屎；如果是2个John，那么反算回来 一泡屎 = John。
        答：  ”John加一泡屎“还是”John加一泡屎“。
        问：   ”2人加一条船“还是”2人加一条船“。
        答：  我想把”2人加一条船“写成算式的，所以错了。
       问：写算式不能硬来的，搞野蛮操作不行啊，否则，你立刻就变成”一泡屎“了。
      答：正确答案应该是：
                32 / 6 = 5 (条)... 2(人)     余2人需要增加一条船
5 + 1 = 6(条)         共需要6条船。

       分析：原来做乘法的时候，是用具体的事物来想象，没有出错。这次出错的关键在于，儿子尝试用数学公式来表达思想时，出错了。
       “2人加一条船” 不等于 “2 + 1”，这个问题前面已经讨论过很多次。不过这是具象到抽象的关键点，一个人如果想把数学学到骨子里，必须要突破这一点。看来还要搞很多次，经常搞才行。

========143#ccpaging      爸爸和孩子之间不可告人的黑话. BB跟儿子的语言，嘿嘿。MM们肯定要变化一下啦。防止懒妈妈照本宣科。 再解释一下：BB跟儿子的为什么要专门的语言？
       儿子降生下来以后，一直是MM和MM的MM们抱着。那时我在想，孩子还不能说话，正是“有奶就是娘的时候”，有什么办法能让孩子认识到，他其实还有一个BB在边上呢？后来在摇篮网上跟其它的BB交流，大家想出一个办法，MM都是面对面抱儿子，儿子看到是他们的MM，BB就反其道而行之，让孩子坐在BB的手臂上，面朝外，斜靠在爸爸的身上，这个时候儿子看到的是一个世界。于是只要BB抱儿子，儿子立刻就能感觉到不同，意识到BB的存在。等到了一岁多两岁的时候，儿子就可以骑坐在爸爸的脖颈上，坐在爸爸的肩膀上，他看到的是一个更广阔的世界，这个时候儿子总是特别兴奋，有点害怕，紧紧的抱住BB的头，同时有充满好奇的四处张望。
          现在儿子长大了，但是又还没有长的足够大，大到可以独立地面对这个世界。在我们家，MM总是让儿子感觉到那些世界上好的东西，博爱、感动、对美的追求，而BB则是让儿子感觉到这个世界上，还存在着自私、理智、冷酷、还有粗俗。    带儿子累啊!如果是个女儿，可能也就是从一个家庭带到另一个家庭，儿子则是从家庭走到外面的世界，爸爸的担心是：“儿子，你准备好了吗？”

朵儿2007

===== 146#hxy007  不小心把数学弄脏了
　　          俺也俗人一个，有时会跟儿子说屎呀尿的。除了有类似ccpaging的考虑之外，还有更深层的原因。
　　     孩子对屎尿感兴趣，反映的是潜意识里对性的兴趣。按照精神分析学派的理论，儿童的性心理会经历一个从“口腔期”到“肛门期”到“性蕾期”到“潜伏期”到“生殖期”的发展过程。   对屎尿感兴趣，是“肛门期”的典型特征。     如果不加抑制，这种兴趣在过了“肛门期”之后还会不时出现。在文明社会，由于各种文雅习俗的调节，孩子的这种兴趣会逐渐消退。但是，如果孩子对屎尿的有兴趣时，用各种方法不断地让他为此感到羞愧的话，他就会在心里埋下“性和快感是肮脏的、可耻的”阴影，拼命地压抑自己。“超我”就是以类似的方式形成的。
　　    尼尔在《夏山学校》里说得非常精彩：    自由的儿童对大便的兴趣，会随着年龄的增长、兴趣的转移而逐渐消退；不自由的儿童虽然口头上不说大便了，但满脑子都是“大便”（脏东西）。  因此，如果孩子想说大便之类的话，不要阻止他，让他说个够，甚至和他一起说，直到一天他会白你一眼“你怎么还在说大便？”这个时候，孩子就摆脱了“肛门期”的情结，而且他因为未受过度压抑而不会觉得大便、肛门、性、快感是肮脏的、可耻的东西。
　    　俺受到文明的压抑，所以会觉得别人的大便脏。好在俺不会觉得自己孩子的大便脏，甚至不会觉得别人家孩子的大便脏，俺的孩子也不觉得大便是脏的。所以，俺觉得自己可以和孩子谈论“屎尿”。
　　  有一回，儿子跟几个小朋友又在偷偷地拿大便的话题取乐，不知什么原因还议论起什么叫“最倒霉”。俺就跟他们说了一个我中学时在公厕里听来的恶俗笑话：一天，有个人解完大便，擦屁股时不小心把纸弄破了，手指碰到了大便。他赶紧一甩手，那只碰了大便的手指狠狠甩在墙上，痛得他直咧嘴。他赶紧把碰痛的手指塞进嘴里，含了起来……这就叫“倒霉”，而且是“最倒霉”！孩子们听了笑倒在地。
　　   这个笑话在这个情境中使用有许多功能：第一，生动地解释了“倒霉”；第二，孩子会觉得可以和老爸无话不谈；第三，见老爸也说大便，孩子就能够释然，不再在这个话题上有羞耻感、罪恶感。
　　   哎哟，这是个数学帖。怎么谈起大便来了，弄脏了这庄严、神圣、纯洁的数学。罪过！罪过！！

=========148#ccpaging 永生的船长和他的儿子遇到了问题
引用:原帖由 ccpaging 于 2008-11-4 20:28 发表 咱们再引申一下：

　　儿子1岁时，船长25岁，是儿子的25倍；
　　儿子2岁时，船长26岁，是儿子的13倍；
　　儿子3岁时，船长27岁，是儿子的9倍；
　　儿子4岁时，船长28岁，是儿子的7倍；
　　儿子6岁时，船长30岁，是儿子的5倍；
　　儿子8岁时，船长32岁，是儿子的4倍。

       根据这个表格可以看出来，随着儿子越来越大，船长的倍数越来越小。那么船长的倍数会不会变成一倍呢？如果能，儿子那时几岁？如果不能，为什么？

子：这个船长会不会活很久啊？
父：这个船长就是杰克-斯帕罗，他是永远不会死的，他的儿子也不会死。
       这道题的答案是船长岁数对儿子的倍数，不断趋近于1，但是永远也不可能等于1。
       从这个方向要证明这个答案很难，需要大学的知识。但是如果我们能用反证法，一切就变得简单了。
       如果船长岁数对儿子的倍数会变成一倍，那就是说船长的岁数＝儿子的岁数了，这样就跟爸爸和儿子的条件矛盾了。

         反证法是一种逆向思维的方法，正式的讲这种方法，我记得好像是高中学立体几何的时候。但是，根据现在的教材设计原则，可以考虑在孩子能接受的情况下逐步引入。
      
    =========149#hxy007  问个高深一些的数学问题以弥补亵渎数学之罪　兼回复 148#ccpaging 的帖子
　　
       俺的数学半吊子也没有，学来那点也生疏了 ，问兄台一个问题 ：如下一题解得对不对？
　　（∞+24）÷∞
    =（∞÷∞）+（24÷∞)
　 =1+0
    =1
或者
     设当小明x岁时，船长的岁数是他的1倍（即同岁），依题意得
　　（x+24)/x=1
  　如何解这个方程？有解吗？不会24=1吧？抑或（x+24)/x=1根本就不成立？
　　
=====151#火车是运茶的    149#hxy007 的帖子  一倍就是同岁，这是不可能的。         ∞÷∞是没有定义的，或者说可以是任意数字。∞+24还是∞。

152#ccpaging   
        24÷∞ ＝ 0，是没错的。 ∞÷∞ ＝ 1，这是不对的。同样是趋近于无穷大的2个数相除，要看他们趋近的速度是什么关系。
        例如：A->∞时，(A * A) / A 仍然等于 A，其结果还是趋近于∞。
      正确的解法应该是楼上的第二种情况写法，即：
（x+24)/x
= 1 + 24/x
因为，24/x在x趋近于无穷大时，趋近于0
所以，1 + 24/x趋近于1+0，即1

   ======153#hxy007人 父子成兄弟：生活事实与数学证明　　
       发完上个帖（第149楼）向数学老爹ccpaging请教后，俺就启程出差了。一路之上俺在想，如果数学上不能证明（x+24)/x=1成立的话，那数学就有缺陷，数学就不够完美。

　　儿子1岁时，船长25岁，是儿子的25倍；
　　儿子2岁时，船长26岁，是儿子的13倍；
　　儿子3岁时，船长27岁，是儿子的9倍；
　　儿子4岁时，船长28岁，是儿子的7倍；
　　儿子6岁时，船长30岁，是儿子的5倍；
　　儿子8岁时，船长32岁，是儿子的4倍；
　　儿子12岁时，船长36岁，是儿子的3倍；
　　儿子24岁时，船长48岁，是儿子的2倍。

　　问：儿子几岁时，船长的岁数是儿子1倍（即岁数一样）？
    对于俺来说，这不仅是一个数学问题，也是一个生活问题。
　　
　　当孩子呱呱落地时，我其实远不只是他的父亲，
　　面对这个新生命，我就像一个从无始的宇宙走来、历经沧桑的不死生灵；
　　当孩子1岁时，我就像是他的25世曾祖；
　　当孩子2岁时，我就像是他的13世曾祖；
　　当孩子3岁时，我就像是他的9世曾祖；
　　当孩子4岁时，我就像是他的7世曾祖；
　　当孩子6岁时，我就像是他的5世曾祖；
　　当孩子8岁时，我就像是他的曾祖父；
　　当孩子12岁时，我就像是他的祖父；
　　当孩子24岁时，我才是他的父亲。
　　从孩子25岁开始，我就成了大他24岁的兄长；
　　父子便成兄弟；
　　孩子年纪越大，我们的成熟距离越小，越像兄弟；如果能够长生不死，我们俩便在走向无终的宇宙，在永生中成了同龄的兄弟。

　　这不是浪漫的幻想，而是生活的真理。数学能够证明这个真理吗？
　　 ccpaging给出了证明：

　　（x+24)/x = 1+24/x
   　当x趋近∞时，24/x趋近于0，1+24/x 趋近于1
  　 即x趋近∞时，（x+24)/x 趋近于1.

　     　数学竟能与生活完全吻合，真是令人叹为观止！对于1岁的孩子来说，父亲大自己24岁，那是巨大的差距；对于24岁的孩子来说，这个差距也得承认。但是对于一个60岁的孩子来说，84岁的父亲大自己24岁，那是兄弟般的年龄差距了。这个差距可以逐渐忽略不计，就是说，不必真地把他当父亲看了。同理，对于精工行业来说，1mm的误差也许是巨大的误差；对于一个普通木匠来说，仅有1mm误差那就算相当精确了；对于大型建筑工程来说，1mm的误差完全可以忽略不计；对于航天工程来说，航天器实际着落地如果与设计着落点相差1~2km，那就算精确着落了……
　　    数学能够解释这种在经验上得到证明的现象。数学不仅非常完美，而且非常有力量。

朵儿2007

======155#hxy007 充满诗意的数学引用:
　　 不过，你不觉得数学中不仅充满哲理，也充满诗意吗？数学有着
　　——彭加勒所说的那种“让我们感官满意的彩虹般的”结构
　　　　——彼得斯所说的那种“让我们运用自身力量、技能、判断力、敏感性、分寸感提供无穷机会”的理智美
　　　　　——张景中所说的那种“让你发现自己越来越自由，有一种解放感，一种震撼人心的力量感和美感”。
        　数学家和哲学家经常有这种“怪论”。他们自己有这种体会，但又不具体说是什么，只顾自己偷着乐。他们太自私了。

159#wfc7302  引用:原帖由 ccpaging发表
      
      我儿子是小学二年级，学校目前的数学题不多，儿子也是班里做题速度最快的，虽然错误也多。不过我还是希望在快的基础上准，在将来有很多好处。
关键是大人要花很多时间，如我前面几贴所说，现在花心思是合算的。
... 3不太懂,能在解释下吗?谢谢!

         ===== 160#ccpaging     把少数题目做精做透做到位，胜过同一类型地题目做上个十遍八遍3、不需要均匀用力，在有意思的问题上多引申。抓住一件事，把思维打开就好，所谓一法通百法通，所谓通窍，关键还是抓住那个法，那个窍。
        有些问题本身不是很有趣，有些问题的解决可能不是一时之功，需要持之以恒。所以，不追求同一类型地题目做上个十遍八遍，而是在培养、挖掘孩子兴趣上，把题目做的精，要想办法把孩子的思路打开。


161#ccpaging    难 道这就是关于永生的“三位一体”？引用:
　　      儿子1岁时，船长25岁，是儿子的25倍；
　 ... hxy007的这个帖子让我想起圣经里边关于“三位一体”的说法，会不会当时有人发现，“永恒存在”有某种矛盾隐含其中。

=======162#hxy007 hxy007     回复 161#ccpaging 的帖子　　
   
       在有限的时空中，父就是父，子就是子。父慈子孝，是伦常纲要，是人道天理。父不父，子不子，或父子不分，就是乱伦，就是违背人道天理。可是，在无边无际、无始无终的宇宙中，父子之间那点年龄差距又算得了什么呢？
　　 生命是宇宙的奇迹，短暂而美丽。一个人纵然长命百岁，百年人生除以无始无终的时间，数学结果依然是零。但是，我们生儿育女，使我们的基因得以复制，我们的意志精神、志趣抱负得以继承。我们的生命（肉体的和精神的生命）就这样在我们的儿女及世代儿女中得以不断延续，直至永生。从这个意义上说，永生的父子及其精神是一体的。
　　 基督教“圣父、圣子、圣灵三位一体”的教义是非常有道理的，但是说得过于神秘、玄奥，也显得有些狭隘。其实，对于世俗世界之中的任何一个人来说，“我”、“我儿”、“我们的精神”也是三位一体的。

                     163#    hxy007    儿童的数学启蒙

（一）：别急着学数学
                 原帖由 洋葱头妈  发表   小儿大班，算术很不咋的，十以内的加法还要掰手指，其他同学都100以内加减随便玩。幼儿园老师已经严正警告我们多次，这样是跟不上小学进度的。我和他爸郁闷的，两理科生怎么就遗传了这样的结果。.........　　
          我家孩子也有类似的经历，上小学之前没有正式学过数学。幼儿阶段提前学习小学数学，固然可以让孩子有一个更高的起点（所谓“不输在起跑线上”是也），还可能减轻孩子小学低年级的学习负担。但这样做也贻害无穷，例如：

　    　第一，损害孩子的学习兴趣。 提前学习虽然可以使孩子早早掌握地四则运算，但孩子毕竟年幼，这种学习毕竟难度大。方法不当，大量训练，其结果往往使孩子对数学早早生厌。“我会但我讨厌”、“学一个烦一个”、“学得多恨得多”——这是急功近利的早期教育最悲哀的结果。
　   　第二，把学校生活变得索然无味。  虽然孩子提前学过小学一二年级的数学内容，但老师又不能不教。如此炒冷饭，老师的工作没有挑战性，孩子的学习也没有挑战性，自然没劲得很，乏味得很。让孩子在小学的最初两年时里听讲他学过的东西，简直可以说是折磨和虐待，残忍之至！想一想：我们的孩子上学之前是那么的聪明、可爱，几乎每天都可以感受到他的进步，他也能够充分享受成长的快乐。可是，这么充满灵气的孩子，就是在小学一二年级这种炒冷饭、几无智力挑战的环境中，变得越来越平庸。这两年，你好像看不到他有什么实质性的进步。可是，到了第三年，你又突然发现，他非但没有什么进步，反而长出了一身恶习。
　　第三，不利于孩子进入小学之后养成专心听课、认真完成作业、虚心求教等学习习惯和品质。幼儿阶段学得越多的孩子，入学之后学习就越轻松。轻松到——即使不听老师讲课，也懂老师教的内容；即使不认真做作业甚至不做练习，也能考出高分甚至经常100分。这样的孩子一般可以在课堂上混上两年，不认真听讲，做小动作，招惹其他小朋友。由于有老本可吃，测验考试成绩优异，这些不良的行为往往不会引起家长和老师的高度重视。即使注意到了，孩子本人也不会有紧迫感。“我没有听课，照样做对作业，照样考100分。”他还以为他聪明！可是，老本总有一天会吃光的。到了三年级，不专心听课、不认真完成作业的孩子，就要吃大夸了。由于这是长期形成的恶习，改正过来非常麻烦，并且需要非常长的时间。这就要耽误和影响学习了！许多孩子到三年级出现所谓“学习上的拐点”（一二年级学习轻松、成绩优异，到三年级学习负担重、成绩大步下滑），除了学习内容本身复杂、要求提高的原因之外，是不是也有这方面的原因呢？

　　       正是出于多方面的考虑，我们在孩子上学之前没有正式教过孩子数学方面的知识。记得幼儿园大班时，老师教过孩子学识字、拼音、算术，但不到一个月就被上海市教委叫停了。幸运的是，我家孩子上的是公办幼儿园，教委不让提前教，幼儿园就不教。不像一些私立的幼儿园，为了迁就家长的意愿，违背幼童成长规律，揠苗助长，教授小学数学。
　　     孩子刚刚上学时，因为其他同学多数都学过加减法，数学老师的教学进度非常快。我家孩子学得相当吃力，但是，他也因此体会到上课要专心听老师讲课，没有听懂要让老师知道，课后一定要认真完成作业，不懂的一定要及时问爸爸妈妈，否则就会跟不上，考不好。一二年级时孩子的数学成绩一般般，人家能够考100分的卷子，他总是会因为不够熟练或粗心大意而失去若干分数，但很少因为不懂而失分。也就是说，孩子没有提前学，照样能够跟上，尽管不优秀。
　　   
        可贵的是，孩子的学习习惯好，课堂学习效率高。三年级以来，几位老师异口同声地赞扬我家孩子上课专心致志。那双纯净、明亮的大眼睛，盯着黑板，盯着老师，那份专注和投入，不但会使孩子从课堂上受益多多，也让教课的老师受到鼓舞。试问：有哪个老师不关注、不喜爱认真听课的孩子？有哪个老师不是以认真听课的孩子为坐标来调整教学的难度和进度？
　　        许多人信奉“赢在起跑线”主义，让孩子不断地提前学习，这个方面我家孩子是“输”了，你家孩子好像也“慢”了。但我们竭力呵护孩子的学习兴趣，培养孩子良好的学习习惯，让他的“途中跑”充满力量，让他的“冲刺”充满后劲。    从入小学到高考，有整整12年时光。那可不是百米短跑，而是一个漫长的赛程。起跑慢一些，加速迟一些，又何妨？路还长着呢！分谁赢谁输还早着呢！！“起跑线”上赢了算不得什么，“终点线”上赢了才是真正的赢！！！

朵儿2007

====164#洋葱头妈      回复163#hxy007 的帖子-----提前学习的           
                                            恶果我自己是深有体会的。
         
         我爸非常聪明，因家境贫寒无奈初中毕业上了中专，通过自己不懈的努力很早评了高工，后来又拿国家专家津贴。他无法容忍我姐的文科脑袋，对我进行了提前教育，我中班时即能加减乘除，小一就被要求跟着广播学英语。结果，我上学根本没兴趣，因为我都懂，都学过，最后不过是一个中游的理科生，而老姐的成就倒在我之上。
         老爸一直不能理解，因为我不仅提前学习，而且智商测试结果也很高，我只能对他苦笑“如果当年你不逼我做算术卡片，可能我还是个上进青年。”
就是因为这个，我从来没要小儿刻意去学英语、算术、识字之类的，倒是大力支持他玩围棋、轮滑、游泳。
         可严峻的升学、择校还是逼得我不得不作些妥协。    常常慨叹，现在的家长真难当，想父母辈当初只要操心我们的衣食，学习好不好是老师的事，还记得小学班主任把差生带在身边管吃管住管补课，还对那个大老粗家长说你孩子是有希望的，带好他是我的责任。到我们这辈却不得不成了老师的半个助理。扯远了，还是祝愿所有的孩子童年快乐吧！

======== 165#  hxy007    我们不是老师的助理　回复 164#洋葱头妈 的帖子　　
       这位MM搞错了。我们不是孩子老师的助理。
　　   孩子在家不但要做大量复习性质的习题，而且要做预习性质的作业。不是不该预习，但那个预习的广度和深度令人怀疑：孩子到学校还有什么新鲜事可学、可做？不就剩下检查和为了熟练的大量练习了吗？
　　    如果只是辅导孩子复习性质的作业，我们也许只是孩子老师的助理。如果孩子大量的预习和准备工作，以及学习中最难的部分，都由家长来辅导、督促、搞定，那就意味着家长越俎代庖，教了孩子次日老师该教的内容。你说，我们还是孩子老师的助理吗？
          =======166#火车是运茶的      由于淘汰式的选拔制度，国内的教学没法灵活。如果能够视孩子的实际水平实行错班上课也不错的。

=======167#  hxy007    儿童的数学启蒙

                 （二）： 快乐游戏，顺便学点数学

        我只能开始出乱招，从1+1，2+1，3+1，问到9+1，是不是+1就是顺序往后数一个呀。是。   那数数总会吧。嗯。操练几番后，小屁孩乐不颠地找爷爷，出多大的数+1 我都会，125+1? 张口就来126，于是他很享受自己的算术能力终于突破100大关。嘿嘿，我只能偷笑。
        再教+2，小子不耐烦了，不就是往后数两个吗，我会。于是顺利完成+2。
+3，+4。。。如法炮制。
       再后，3+7，往后数7太累了，那么引进加法交换率概念，从实物过渡到抽象，终于开始按7+3往后数3了。
减法，依旧如法炮制，往前倒数数。
          目前总算完成了10以内的加减，不用手指了。现在操练N+M=10的题，准备采用6+7=6+4+3=10+3的法子逐步让他跨越到10以上数字。反正他很满意自己会算10+9，20+3等类的题，还有20+30，400+200（按2+3加上十位教、4+2加上百位数，还夹七夹八地讲了些倍数之类的）等。
          平时还给他搞搞，大床睡2人，小床睡1人，宝宝和BBMM有几种睡法这类的。也不知道自己的路子对不对，好歹小子不再看到算术题就是苦瓜脸了。　　
         上周六，遇着一位育才中学的校友。人们都说他优秀，我则对他津津乐道的中学生活和工作生涯印象颇深。他在一个投资咨询公司任职，还在新东方兼职做英语教员。在公司里是个骨干，在学校里是个优秀教员，深受学生爱戴。课上得轻松活泼，效果特好。他说：最好的教育，是“声东击西”的教育。他的执教理念是：来Happy一下，顺便学点英语。他的这种教育理念来自中学生活的感悟，他说：他在育才中学快快乐乐地玩了三年，结识了一批朋友，顺便学了一点语数英理化生。看来，成功人士似乎都有一种玩的心态——学习是玩，工作也是玩。玩得轻松，乐在其中，因而能够玩出花样，玩出水平，玩出境界。
　　   幼童的学习，更应如此。数学启蒙，切忌过于正经，过于正式，过于正规。儿童的天职不是学习，而是游戏，在快乐的游戏中顺便学点知识，学点常识。“大床睡2人，小床睡1人，宝宝和BBMM三个人有几种睡法？”便是玩中学的一个典型。此外，还有更原始、更简单的启蒙方法。依稀记得我家孩子是这样开始学数学的：

　　父：宝宝想吃几只香蕉呀？
　　子：一只。
　　母：爸爸也想吃一只，妈妈也想吃一只。宝宝去拿香蕉，给大家吃。
　　     儿子来到果盘前，一个一个拿香蕉，还念念有词：宝宝吃这只，妈妈吃这只，爸爸吃这只。
　　   儿子用笨拙的双手，艰难地抱来三只香蕉。
　　母：宝宝真能干，拿来这么多香蕉。你有几只香蕉呀？我们来数一数。
　　母子：一，二，三。一共三只。
　　母：宝宝要分香蕉了啰！
　　儿子边分香蕉边说：宝宝吃一只，妈妈吃一只，爸爸吃一只。
　　母：宝宝，你的三只香蕉是不是分好了？
　　子：是呀，分好了。宝宝、妈妈、爸爸都有一只香蕉。

　　   孩子在这种游戏中既是在学数一二三，也是在学加法（取苹果时“宝宝吃这只，妈妈吃这只，爸爸吃这只”即“1+1+1=3”），还是在学除法（分苹果时“宝宝吃一只，妈妈吃一只，爸爸吃一只”即“3/3=1”）。在现实的生活中，在简单的数学关系中学数数，才不会沦为机械练习。

　　幼儿从认识数字1~3及其关系，到认识10以内数字及其关系，有一个艰难的过渡。从数10以内的自然数，到数100以内的自然数，又是一个艰难的过渡。记得初上幼儿园时，我和孩子经常在一路上数路旁的电线杆，一根根数过去。有一段时间，去幼儿园要数，回家也要数。我都陪烦了，孩子还乐此不疲。
　　 有一回，我注意到每根电线杆都有编号。就在这上面做文章，把游戏改为猜编号。孩子对我能够猜出下一根电线杆的编号，感到十分惊讶。等他发现了其中的奥秘（数字的递进关系）之后，也加入到猜编号游戏中。
　　
       我猜第一根是92号，儿子上前一看果真是92号；儿子接着猜下一根是93号，我上前一看故作惊讶状“果真是93号”……
　　有的时候，我故意猜错编号，孩子查看对照之后发现我说错了，会非常得意。
　　渐渐地，孩子不用查看编号，就能够判断我是不是猜错了。
　　
       于是，我们又把游戏改为隔一根电线杆猜一次编号。去幼儿园猜92、94、96……，回家则反过来猜181、179、177……
　　隔一根猜编号的游戏玩熟了，就改为隔两根猜编号……隔三根……隔四根……隔十根。
　       　断断续续玩了将近一年，孩子的数学启蒙就基本搞定了。那段日子，从家里到幼儿园那段近1公里的路程上，撒满了一对父子的欢笑声。孩子自由地玩耍，快乐地游戏，顺便学了一点数学。

朵儿2007

=====172#hxy007  把辅导孩子当作娱乐和休息
引用:原帖由 ccpaging 发表
        “抱抱这位MM，老理解的。常常在外奔波一天，受一肚皮冤枉气。”这个认同，后面的想改改——“回家可以跟我的儿子一起玩了！儿子大一点了，还可以跟我一起看《我们的地球》” 　　看来，男女真是不一样。
　　    男人有了孩子，尤其是有了儿子，心中不免暗喜：“终于有了一个玩伴，终于有了可以理直气壮地玩下去的借口。”于是，BB就会自动降级，变回孩子，和自己的孩子没大没小地厮混，重温顽皮、淘气、疯狂玩耍的乐趣。
　　女人则不同。多年前去看望一位怀孕的大学同学，她以非常凝重的语气对我们说：一想到那是一条生命，要对他一生负责，心里就害怕。女人有了孩子，就会一下子成熟、懂事，变得坚强、果敢、有主见。于是，MM自动升级，不但要做孩子的母亲，还要做丈夫、父亲、公公的母亲。
　　MM们家庭责任心更强，所以容易感受到养育儿女的责任和义务。BB们自私得多，把养儿育女、陪孩子玩、辅导孩子功课，当作是一种娱乐和休息的方式。

     =========176#hxy007  儿童的数学启蒙

（三）：生活和游戏中时时处处有数学引用:   
          原帖由 洋葱头妈  发表   您的孩子真幸福，有这样一位耐心聪慧且深谙儿童心理的父亲陪伴左右。我和先生都混得不咋样，7点到7点披星戴月地奔波，回家后便懒得花心思寓教于乐。看来还是要向您好好学习，让孩子更快乐地体验学习的乐趣。。。。。。。。。。。。。。 　　
       寓教于乐，并不需要特别去花心思。只要和孩子有真正的生活，有真正的游戏，那么，生活和游戏中时时处处皆有寓教于乐的数学启蒙机会。且举数例说明之。

　  1.枕头大战中的数学
　　孩子小的时候，我们家不时会玩打“枕头大战”。打中对方一下，记1分；谁得分多，算谁赢。孩子可计较了，为了刺激他识数、算数，我也跟他计较得分。记分不就是在学加法吗？比较谁得分多，不就是在做减法吗？
　　有时，我还会故意多抢几个枕头、沙发垫，孩子不答应，要求平分武器。怎么平分武器，不就是个除法问题吗？

　　2.围棋中的数学
　　大班时一次偶然的机会，孩子迷上了围棋。从此，差不多每周都要陪孩子下一两盘围棋。通常，我在前半盘会把孩子的棋杀得惨不忍睹，但同时留下许多破绽，让孩子去发现，去攻击。这样，到后半盘，他就能一点一点扳回来。如果到了官子阶段，黑白相差悬殊，我就故意装精粗心，让孩子杀掉一块又一块，直到无法目测盘面上的胜负。孩子因为能够与老爸“棋”鼓相当而大感过瘾，喜形于色；老爸则为自己能够平衡棋局的胜负而暗自得意，自得其乐。
　　
        目测不出胜负，就得数子。起初的方法是，把各自的地盘填满棋子，然后数出黑白棋子各自的数目，分出胜负。这不就是在学数数吗？孩子一口气数一百几十个棋子难免会出差错，我就给他出主意：先十个一堆十个一堆地数好，然后数有几堆，还多出几个，最后算总数。这不就是在学十进位、学加法、学乘法吗？
　       　后来，我们不黑白棋子都数了。因为孩子发现，数出黑棋有多少之后，只要用361减去黑棋子数，就是白棋的子数。那时，老师还没有教减法的竖式计算方法，但孩子已经完全能够理解和使用这种方法，进行三位数减三位数的运算了。事关输赢，孩子学得可快了！
　　       现在，我们不数子，而直接在棋盘上数空（即数目）了。这种数法，会更多地用到乘法（如一行6个空一列5个空，那么这块棋就是30个空）和加法。孩子已经学过乘法了，所以能够理解这种方法的方便之处。他还能够解释为什么围棋的棋盘可以摆361个子了（经纬19条线交织成19*19=361个点）。
　　下完棋就数子数目，甚至边下边暗中计算胜负，不就是玩中学吗？

        3 。零花钱管理和使用中的数学    　
         孩子他妈从孩子二年级起每月给他二十元零花钱，还不时让孩子去买东西。最初我还不以为然，但很快就体会到此举的妙处。这不仅仅是理财的启蒙，也是许多数学基础知识的启蒙和应用。孩子在盘算自己花了多少钱还剩多少钱时，他不仅仅是在练习学过的加减法，而且把元、角、分及其换算，还有各种面值的钞票之间的关系和组合弄得门儿清，顺便还切实地体会了一把十进位制的现实意义。

　　4.生日中的数学   　类似的机会随处可见，随时可得。
　    　前天晚上，孩子又在提他的生日聚会。他说：今年的生日是星期六，可以请小朋友来参加生日Party了。     我就问他：明年还可以这样聚会吗？明年你的生日是星期几？不查日历，你能推算出来吗？
　   　这个跟他关系密切问题，他愿意去想。他是这么解决的：明年是2009年。2009不可以用4整除，所以不是闰年，所以明年2月份没有29日。从今年生日到明年生日，一共有365天。一个星期有7天，365除以7，得52余数是1。就是说，今年过完生日，再过52周零1天，就是明年的生日。今年生日是星期6，明年生日就一定是星期7，也就是星期天。所以，明年也可以像今年这样搞生日Party。
　　他妈妈让他查日历，看看算得对不对。一查，果真如此！  　这么有意思的生活题目里是不是包含着许多数学知识和生活常识？你看啊——闰年、除法、余数、七进位制、30进位制、365进位制，一下子全都用到了、学到了。

        =========177#hxy007     将反对刻苦学习进行到底引用:

  原帖由 yiyilaoba 于 2008-11-26 11:09 发表
          好帖，LZ很有思想，学习了。不过，有些观点不赞同，比如排斥题海战术、机械训练，甚至否定刻苦学习。希望能多看到LZ对数学思想的感悟。 　　兄台真是谬赞！。。。。。。。。。。。。。
　    　正因为我等对数学有诸如楼上所述之种种经历和感悟，才会旗帜鲜明地反对题海战术，反对机械训练，反对刻苦学习。具体理由见113楼《有多少人被“刻苦学习”所误》，从中你可以知道，快乐学习的人在数学上用的时间和精力，并不比刻苦学习的人少；但学习的质量截然不同。
　　    如果有人想采取题海战术，对自己的孩子搞机械训练，让自己的孩子刻苦学习，我没有意见。那是他自己的选择，我无权干预。但是，如果这种数学观、学习观成为一种共识，影响到老师的教学策略的选择，让我的孩子也为此付出厌学的代价，那我就不能坐视不管。由于我的孩子深受刻苦学习风气的恶劣影响，依靠个人的力量，我已无力挽救孩子日益衰竭的学习热情。所以，我要不停地顶这个帖子，不断地唤醒人们从孩提时代就有的那种原始而朴素的内在学习动机，以改变令人愤怒、令人悲哀的教育现状。也许我自不量力，但我至少要让那些相信刻苦学习的人感到不安。各位BBMM及老师，如果你们有和我相似的感受、想法，就和我一起努力吧！
  
=========178#xiaoximama  真是个好帖子，写的太棒了！
     我读书时候数学不差，可是实际运用极差，根本就没懂得很多数学的奥妙。
譬如，3×9可以解释为3个9或者9个3相加，都是很大了才明白过来。
        儿子小一，有天告诉我同学都会背九九表了，我回答：“你不要背，还不到时候呢”，顺便告诉了一下他，乘法实际是加法的变化，万一有点自卑，就偷偷心里算一下吧

朵儿2007

==========179#hxy007 引用:原帖由 sanmum 于 2008-11-13 15:49 发表
小树林里有一群鸟和一群松鼠，共有6个头，18条腿，请问：鸟有多少只？松鼠有多少只？         我有个好办法，也是看来的，可以用来解类似的题目，小孩子应该一教就会的，很形象，呵呵。就是让小松鼠把“手手”举起来，请孩子算算这时有几条腿？这时松鼠和小鸟都只有2条腿了吧，很好算，6个头，就有12条腿。那么还有6条腿（18-12=6）哪儿去了呢？哈哈，小松鼠举着呢，那么有几只小松鼠呢？6只“手手”当然是3只小松鼠了，还有剩下的3个头当然就是小鸟了。将孩子气与巧妙的初等数学解法天衣无缝地结合起来了。高明！精彩！！有创意！！！可视为经典的快乐数学。

   ====180#yiyilaoba   原帖由 hxy007 发表
      
      兄台真是谬赞！正因为我等对数学有诸如楼上所述之种种经历和感悟，才会旗帜鲜明地反对题海战术，反对机械训练，反对刻苦学习。具体理由见113楼《有多少人被“刻苦学习”所误》，从中你可以知道，快乐学 ... 。。。。。。。。。。。
             理解。正因为人有趋利避害、趋乐避苦的天性，所以，刻苦踏实，铁杵磨成针的精神才难能可贵。  我以为刻苦学习和快乐学习都需要。两者之所以会被对立起来，我想可能主要有两个原因。
第一：不知道问题的学习常常是件苦差事
           我们的教育常常是结论讲得太多，问题讲得太少。学生不知道问题，往往就很难理解为什么是这样而不是那样，最后只能靠死记硬背，于是死记硬背变成了贬义词，学生也失去了兴趣。而且，长久以往，学生习惯了单向的吸收，也问不出“为什么”了。
         在现行教育下出来的学生，刻苦学的也好，快乐学的也好，恐怕很少会有小孩问大人：为什么我要学数学？为什么要学数？为什么我要学加法？为什么我要背乘法口诀？为什么考试时不能用计算器？为什么？........
第二：没有用处的学习也常常是件苦差事。
        学习的乐趣，大部分要到用的时候才能感受到。但我们的学习，除了做试卷夺个名次，满足下虚荣心，还有什么用处？
        为什么有人不是趋利避害、趋乐避苦？因为他们有足够的动力。学了东西没有用处，哪来动力。没有动力，当然也就成了苦差事。如果学习能带着问题学，学了以后能有机会学以致用，那学习再苦也是快乐的。

  =======181#火车是运茶的         支持楼主如果把数学比做一个精密、巧妙、庞杂的迷宫，那么数学的乐趣就在于不断发现迷宫中的通道，进而能在部分区域自由来往，甚至能够发现前人未能发现的通道，开辟新的天地。题海战术、机械训练就是在早已经烂熟的通道上不断反复走动，希望走得更快一些。

===== 182#ccpaging  使我们身心愉快是不是数学的一种用途？
      回复 180#楼 yiyilaoba  
     第一：不知道问题的 ... 关于数学的用途有几句话想说
          数学的定理和定义，以及专业数学研究出来的结论，在实际生活中确实没有用。  高中和大学的数学知识我只用到过2次，一次是给自己的吧台转角画2条切线，木匠不会画，第二次是给公司里边的一个专利产品做数学模型，这次用到的是大学四年级的知识。所以说，如果我们把学习数学看成是背或者说理解那几个定理的话，那么数学只要学到初中就可以了。可是为什么还要学到高中学到大学呢？
          如前面hxy007所说，一道不起眼的数学题，其思想向上可以一直延伸到神学、哲学，向下可以延伸到父与子的关系。    数学还包括数学思维，数学的历史，文化等等非常多的内容。一个受过严格数学训练的人，对他所看到的所有事情，都会用一种数学的眼光去看待，去思考    。记得我上大学时，穿牛仔裤在学校里边还是个不得了的事情，一般的学生都还不是太敢，而我们的数学老师是学校里边第一个穿牛仔裤的老师。同学们很好奇，包括我们自己对数学老师的想象都是古板、严肃的，后来这个老师给我们讲了一段故事来解释他的想法：
===
          爱丽斯最喜欢吃妈妈炖的牛肉，但是在跟妈妈学习如何炖牛肉的过程中，她发现，妈妈每次都是买5磅牛肉，然后切一半，分2次炖。  爱丽斯问道：“妈妈，你为什么要分2次而不是一次把牛肉炖完呢？”
        妈妈回答：“我跟你外祖母学炖牛肉的时候就是这样做的。”
       于是爱丽斯打电话问了外祖母同样的问题。
       外祖母给了同样的回答：“我的妈妈是这样做的。”
       于是爱丽斯打电话问了曾外祖母同样的问题。  曾外祖母说：“教我女儿炖牛肉的时候，找不到大锅。我只好切一半，分2次炖的。”

          谈回大家关心的小学数学，如估算，就是一篇大文章，教改后的教科书把估算作为贯穿始终的学习点，但是并不是每个老师都认识到估算的重要性，不少老师仅仅是把估算作为一种辅助计算方法来学习，老师如此，学生从估算的里边学到的东西就更加少了，儿子当时就问：“我已经学了精算了，估算学来干嘛用？”。就我个人理解，估算有以下几个作用：
          1、真实世界中的计算从来都不是精确的，已有的事务有误差，未来的事务是模糊的。从这个意义上说，估算甚至比精算还要实用。
          2、BBMM们回想一下自己的第一次见面的情形，一个女孩子坐在公园长椅上，男孩子坎坷不安地逐渐向女孩子走过去，这个男孩子对女孩子的了解过程，用数学的语言来描述，其实就是一个从估算到精算的过程。也就是说，我们对一个人对一件事的理解过程，都是由全局到局部，由框架到细节的过程。所以，估算的教学目的是要培养孩子的大局观，希望孩子们在面临未知的问题时，能先有对全局的、模糊的把握，再逐步研究其精确的细节。
         儿子一年级下学期有一个数学代课老师，第一堂课就提出了这个问题：“你们认为数学是什么？”。我想,这个问题同样也适用于BBMM们。

朵儿2007

==========183#yiyilaoba 原帖由 ccpaging  发表
         关于数学的用途有几句话想说
         数学的定理和定义，以及专业数学研究出来的结论，在实际生活中确实没有用。高中和大学的数学知识我只用到过2次，一次是给自己的吧台转角画2条切线，木匠不会画，第二次是给公司里 。。。。。。。。。
         数学是很有用的，无论是作为工具，还是数学的思想，比如非专业课程中，我就觉得数学分析和概率论的受益最大。
        记得大学里刚学数学分析时，老师布置的两道题，一帮同学往往花了几天的时间都理解不了；我相信肯定有天生聪颖的人可以不必象我们这般苦闷，但我也相信，我们这帮同学的智商应该在平均之上，我们未必每个人是各省市的状元，但TOP几总归排得上的。
        我们做不到在迷宫里游刃有余，但我们有笨办法，我们会题海战术，我们会机械训练，我们搞懂数学分析的方法很简单，就是把图书馆里能找到的数学分析例题做一个遍，迄今我还保留着厚厚的一摞笔记，都是一道道抄写下来的例题和解法。等到一层纸捅穿了，数学分析也就这么回事，好像辛苦了一个学期也没什么有意义的回报，无非就是考个100分，满足一下虚荣心。
          现在数学分析都忘得差不多了，但当自己面临工作的难题、时间的压力时，我常常就会不由自主想起当年和同学们去图书馆的情形。

=======184#ccpaging     考试分数 不等于 智力
        其实分数代表不了智力水平，前面有妈妈帖子提到过，说奥数老师一张考卷，或者给孩子辅导1、2个星期就能看出来这个孩子是否聪明，是否能学奥数。对这一点个人是很不以为然的。因为就个人的经历而言，在大学三年级以前，只要你老师讲出来的东西，依葫芦画瓢的做题总还是可以的，也许画的不好，但是总还能理解老师讲的是什么。而到了三年级以后，开始真正学现代数学的专业知识时，课堂上经常会出现这样的情景：老师站在上面讲的唾沫横飞，而下面就1-2同学听的喜不自禁，大多数同学都是一脸茫然的时候，根本不知道老师在讲什么，那时我们这部分同学才知道，才尽矣。
        鲁班是木匠这个专业里边的宗师，可是我们几乎看不到鲁班亲手做的任何东西，就赵公桥是不是鲁班建的，也还要存疑。而古玩市场上推崇的明清家具非常漂亮，我们看到这些家具绝对能肯定这个木匠是非常优秀的，但绝大多数家具都不知道是由那个木匠是谁。这就是宗师和匠的区别，一个制定规则，发明规则，而另一个只是去理解规则，熟练地应用规则而已。
        也许有BBMM会说，我没打算孩子成为数学的宗师，甚至他都不会成为数学的匠。如果你真是这么打算的，那么，从另一角度想想，既然孩子不吃数学这碗饭，那何不想办法让孩子们把不得不做的”木匠活“做的愉快一些呢？否则，孩子岂不是要受到加倍的伤害 = 大量做 X 自己不喜欢的事情 X 将来还用不上。

        =====185#yiyilaoba    可能存在争议  小女的很多数学概念，是在扑克牌游戏中建立起来的；最近学校里教了角，我就打算在和她打桌球的时候讲讲入射角和反射角。
         但我从来不认为这是学习，也从小教育小孩：游戏、消遣、休闲也能学到东西，但这些不是学习，小孩子最主要的任务还是学习，刻苦的学习。
         学习的快乐只有自己才能体会到，这种快乐，是在经过刻苦学习后取得进步和收获成果时感受到的，这种快乐，比游戏、休闲和消遣带来的快乐要大的多，持久的多，深刻的多。但在外人看来，学习肯定是苦的，而且，这种苦，有时候也不是所有人都能承受的，或者都有必要承受的。
          聪明的孩子，学校里教的这些可能喂不饱，学有余力可以通过其他途径多学些。有条件可以请到好的老师，或者家长自己就有能力，可以深入浅出的引导小孩，培养小孩在某些方面的兴趣。这些都是好事。但是，因此而否定刻苦学习，似乎矫枉过正了。

       187#ccpaging        大妈们的智慧大学毕业以后，被分配到工厂里，受上海1986的那次影响，全体下基层，再下到车间。车间当时不好办啊，数学系毕业，那就去包装组数电解电容吧，500课一袋，当时就晕倒了。还好，包装组的几个师傅大妈蛮好的，平时大家一起吹吹牛，工作的时候，我就在观察他们是怎么把小小的电容按500颗一组分装的。

         首先先数500颗出来，然后用小天平称出重量，连续操作2－3次，这样我们就能得到一组数据，取平均数，选择做靠近这个平均数的500颗电容，加上包装，作为基准。
         然后按此基准开始分装电容，当天平趋于平衡的时候，多加一颗。这样就能快速地把一天的工作量完成的。师傅大妈们聪明吧！

192#hxy007     “快乐学习论”兼驳“刻苦学习论”
      
          （一）：对待人性的态度　　读了大家写的那么多帖子，感触良多。本来想写一组“儿童的数学启蒙”方面的小帖，和各位老师及BBMM探讨、分享，以便让小学数学变得妙趣横生，让我们的孩子在数学天地里流连忘返。不曾想，居然有数学系毕业的BB也主张刻苦学习。面对这种挑战，我陷入了沉思，以致于错过了昨天深夜以来两位数学老爹精彩的论争。相信“刻苦学习派”和“快乐学习派”之间的争论还会继续下去，也相信以理性为基础的自由辩论，有助于我们的思想和行动逐渐接近真实，接近真理。
　       　我一向以为，人有趋利避害、趋乐避苦的天性，没有人会故意自讨苦吃。如果有人没把数学教得或学得有趣味，那是因为此人要么没有发现数学的妙趣，要么没有找到恰当的办法使数学学习变得有趣。现在，我不得不修正自己的看法，不得不承认世上还真有人故意自讨苦吃。他们未必不知道数学（及其它学科知识）有趣，也未必不知道世上有种种让数学变得有趣的办法，他们是有意让数学变得枯燥乏味，或者说，甘于让数学的教和学维持无趣的状态。绝不能因此说他们恶毒。事实上，他们和我们一样都是善良之辈，和我们一样都希望自己的孩子学习好，数学成绩优良。他们和我们的分歧，不是学和教具体方法或态度的不同，而是对人性的一般看法和态度截然相反。
　      　他们和我们一样会承认，人有趋利避害、趋乐避苦的天性。所不同的是，我们试图立足于这种事实，顺乎天然，率性而为，让自己和孩子快乐学习，愉快工作，幸福生活一辈子；他们则试图超越这种事实，抵抗天然，逆性而为，让自己和孩子刻苦学习，辛勤耕耘，含辛茹苦地过一辈子。“正因为人有趋利避害、趋乐避苦的天性，所以，刻苦学习的精神才难能可贵。”在他们看，这是人生至理；在我们看来，这简直不可理喻——数学本来很有趣，学习本来很开心，并且我们因为快乐学习、乐在其中，花在学习上的时间和心思并不比别人少，取得的成就并不比别人低，凭什么要我们仇视快乐、放弃快乐而“刻苦学习”？
　　     他们往往有崇高的理想，远大的目标，神圣的追求。他们以极其傲慢的语气质问和教训我们这些“天性和本能的奴隶”：尔等贪图学习的乐趣，不明学习有严肃的主题。比起学习所要服务的严肃主题来，学习的乐趣算得了什么！尔等贪图享乐，学习一旦枯燥乏味就抱怨，是何等的低级、庸俗、懒惰、懦弱！为什么有的人就不趋利避害，就不趋乐避苦？孟子曰：“天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能。”有远大抱负的人都是意志如钢心如铁石的冷血超人，他们故意找苦吃，主动找罪受；正因为他们有远大的抱负，所以有足够的动力，能够忍受学习上的万般苦难。可是，在我们看来，这种傲慢充满偏见。卑视“趋利避害、趋乐避苦之人性”的人，是异化的人，异化到一定程度就成了没有人性的受虐狂兼虐待狂。他们自虐，我们管不着。但他们要求别人自虐，甚至设法在学习上折磨别人，那我们就不能不反对。
　　     他们极其务实，崇尚学以致用，不能容忍学习没有用的东西，也不能容忍学了东西不去使用。他们非常自信地断言：学了东西没有用处，哪来动力？没有动力，学习当然也就成了苦差事。我们非常理解，他们为什么会这么想、这么说。不，与其说是理解，不如说是同情。因为仇视快乐、失去人之本性的人当然体会不到学习的内在乐趣，即使体会到了，也会像苦修的僧侣那样，尽量克制自己的享乐冲动。如此，他们只能求助于学习的外在结果，并将这种外部结果与他们野心勃勃的远大抱负联系起来，从中寻找支持他们刻苦学习下去的“强大”动力。我们则容易多了，就算学习的东西一时没有用或永远用不上，也能够从学习本身的乐趣中自然地获得坚持学习的动力。我们甚至都不需要刻意地坚持学习，因为数学之类的知识太有意思了，让我们忍不住地学习她，探索她，欣赏她，赞美她。
　        　他们太自信了，竟敢担当愚笨孩子的代言人，说这类孩子比聪明孩子更需要刻苦学习。他们甚至断言，我们设法让自己的愚笨孩子在生活和游戏中顺便学点数学的启蒙活动不是“学习”。理由大概是，这种活动有太多的快乐因素，不够纯正，不够庄严，不够神圣。在他们看来，孩子只有上学，只有坐在课室里，只有捧着课本，只有聆听老师非常正式、正规、正经的教导，才算得上是“学习”。假使老师也寓教于乐，那对学孩子来说，也不是“学习”。他们非常严肃地告诫孩子：玩就是玩，学习就是学习，你别指望学习变成玩！在我们看来，这是多么可笑啊！那些想尽办法让学习变得无趣的人，竟然不顾健全的常识了，就更不用说顾及资质平平孩子刻苦学习的感受了。殊不知，这类孩子才比聪明孩子更需要快乐学习；殊不知，近代以来几乎所有促进快乐学习的方法，都是从他们身上找到的。这些教育方法使学习困难孩子受益，更使聪明孩子受益。现在，怎能颠倒过来，让聪明孩子快乐学习，笨孩子刻苦学习呢？

朵儿2007

=========193#谷子 的帖子           用尺子量！
           看过财务人员，数好同一型号的硬币10枚叠起来，后面的统统不用数了，叠了一样高就是。纸币用相似的方法，只不过要数额更多，比较高低的时候还要用手压一压，用尺子量一量

        =========194#谷子 赞同寓教于乐。从孩子一出生就挖空心思想让她不受应试教育之罪。然而，学识有限，尤其是在数学领域，由于自身知识和能力的限制，很难做到像上面这些数学爸爸这样智慧、灵动地引导孩子学数学，这又该怎么办呢？常常上来学习各位的思想，企图从中得到一些方法一些灵感。恳切地说，确实受益匪浅，但总是杯水车薪，所以一直处于困惑之中，望指点迷津

        ===========195#有你乐无穷       原来数票票还有那么多好办法啊，真没想到，看来的确是数学没学好。家里尺子有好几把呢，现在就等着票票从天而降了！
                 ============196#merry77  回复 192#hxy007 的帖子一早进来学习，这一帖要站出来顶的，因为说到我心里去了。孩子的天性是热爱学习的，因为探索和好奇心是人类与生俱来的品质，但是很多成人不敢相信。

         197#ccpaging  学生会成为我们想要他成为的那种人苏珊是美国某大学教育系的学生，这一年，她刚拿到大学本科的学位，被某中学应聘为高年级班的数学老师。这是苏珊的第一份工作，而且还是高年级班，因此苏珊去学校时有点担心自己能否胜任。
          于是，苏珊在上课前专门去找了校长，希望能在上课前了解班级的情况，校长只是告诉苏珊这个班级很特别（very special），而且要求苏珊尽全力把这个班级带的更好一些。听完校长的话，苏珊的心理更加忐忑，作为一个刚毕业的学生能得到学校这样的信任，把年级里边智商最高的学生交给自己，是一个难得的机会，也是一个挑战。
           当苏珊去上课时发现，这个班级确实很特别。对苏珊的讲课爱搭不理，有的睡觉，有的玩闹。苏珊下课以后对讲课的内容进行了反思，她认为很可能是她讲课的方式不能引起这些高智商孩子的兴趣，讲课的内容也过于机械。于是，苏珊在备课和授课中下了更多的功夫，上第二节课的时候，同学们的情绪高了一些，开始活跃起来。苏珊受到鼓舞，就更加在自己课上下功夫，准备的更加充分。

       就这样一直到期末，苏珊的班级是这个年级里边成绩最好的。在学校的表彰会上，校长颁奖时，特别提到了苏珊的班级，赞扬了苏珊能把这个年级最差的一个班，带成最好的班。当苏珊走上领奖台上时，所有的家长都站了起来，全场爆发出雷鸣般的掌声，这个班级的家长尤为感动，甚至流下了泪水。
       ＝＝＝＝＝＝＝这不是一个故事，原文在英文版《读者文摘》上，很久以前看过了，原文已经忘记了，重新做了加工。

=========== 198#hxy007    我们都是皮格马利翁　回复 197#ccpaging 的帖子　　这是典型的皮格马利翁效应，即教师期望效应。最早是罗森塔尔和雅各布森发现的，所以又叫罗森塔尔效应。这种期望自我实现效应表明：教师是课堂里的皮格马利翁，BBMM则是家里的皮格马利翁。
　　其实，小学那点屁数学，99.9%的学生能够胜任。BBMM和老师都相信这一点的话，那么，我们的积极期望就会自我实现，即99.9%的孩子果真成功学会小学数学。当然，如果有人觉得智力中等生学小学数学会有困难，需要刻苦学习，那么，这种消极预期也会自我实现，结果有许多孩子果真学得艰难，通过刻苦学习，才勉强完成了小学的数学学习任务。

==========199#yiyilaoba  引用:原帖由 hxy007 于 2008-11-28 16:34 发表
　　    其实，小学那点屁数学，99.9%的学生能够胜任。是的，小学里（其实不光是小学里）要学的，更要紧的是学习态度和学习方法。当然，每个人情况不一样。对有些人来说，的确一辈子也不需要刻苦学习，他们一辈子可能都不会面对需要他们刻苦以待的情形；那他们在学校里也的确没有必要接受刻苦学习的教育。
         有个本科同学，当年在学校的时候，以他的资质，不用怎么努力，混个及格是没问题的，事实上，他也是这么渡过他的四年本科的；后来，他去了美国，变得发奋图强，非常非常刻苦。现在，在他的研究领域，全世界的专家里他可以排在前十。我不知道他是开了窍还是受了刺激，或者受环境所逼，但我相信他不会蠢到去做一件会让自己不快乐的事情。
           美国给我留下深刻印象的，其中一个片断，是在一个高速公路的收费站。工作人员和我打招呼，脸上洋溢着那种发自内心的快乐。非常非常HAPPY的一张脸。就他的工作所需要的知识和技能，我想他一辈子都不需要刻苦。我发自内心的爱这张快乐的脸和他的快乐生活，但是，我不会选择过他那样的生活，尽管我深知那也是快乐的。
         每个人有机会选择他/她想要过的生活，争取他/她想要的快乐，这是社会成熟和进步的一种表现。
         我相信LZ是快乐的，但是，我不会选择这种没有刻苦精神的生活，正如LZ不会选择在他眼里“有违人性”的生活。


======  好了，先发到200楼，够大家学一段时间的。------待续