再来一道奥数题

oye妈妈

再来一道奥数题和大家讨论一下，看看怎么解最简单？

200名同学编为1至200号面向南站成一排.第1次全体同学向右转 (转后所有的同学面朝西):第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转;……;第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有

名.

qdylz

这个好像要用到200以内质数。

面朝西的只有一个，就是1号？
面朝北的有200以内的质数个（具体是几个记不清了）？

面朝东的就是200以内的质数与质数乘积的个数？


但是这样好像还不完整，

因为转了5次、6次、7次的也分别朝西、朝北、朝东

因此朝西、朝北、朝东的分别转了（1次+5次）、（2次+6次）和（3次+7次）的。

8次以上的还没有想好

例如192＝1×2×2×2×2×2×2×3

1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、64、96、192共转了14次

[ 本帖最后由 qdylz 于 2010-11-21 11:24 编辑 ]

qdylz

1-100质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个
101-200质数有19个
转2次的25+19＝44个，即朝北的一部分。


转3次的有：
1、质数的平方数：4、9、25、49、121、169共6个；
2、2与其余24个100以内质数的乘积共24个；
3、3与5-61间质数的乘积共16个；
4、5与7-37间质数的乘积共9个；
5、7与11-23间质数的乘积共4个；
6、11与13和17的乘积共2个。

转3次的有6+24+16+9+4+2＝61个。

qdylz

转7次和转11次的也是面朝东，但计算比较复杂。

最简单的办法是找200个计算好的学生，实际演练一下，10分钟搞定。

jiangying

只有转3次的才行，没有转7次的数
转7次的最小的数为2X3X4X5X6,远大于200，
基于这样的考虑，只需要判断转3次的就可以了

转3次的数只有3个约数，那么包括他自己和1，以外只有有一个约数
这个数只能是质数的完全平方数，
它们是：4，9，25，49，121，169
一共6个

jymm222

题目：
200名同学编为1至200号面向南站成一排。第1次全体同学向右转 (转后所有的同学面朝西)；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；……；第200次编号为200的倍数的同学向右转。这时，面向东的同学有多少名？

思路：
N=axb，N为1～200的自然数，a,b为N的约数。
a不等于b时，N同学转2次；a等于b时，N同学只能转1次。

如总共转偶数次，则最后不能面向东，因此平方数（2的平方～14的平方）才可能最后面向东。

平方数N＝axa。
a为质数时，总共转3次：1，a，N。最后面向东。这些数为：2平方，3平方，5平方，7平方，11平方，13平方。6个。

a为合数时：（省略号后面的约数不必计算，与前面的对应就是）
4平方的约数：1，2，(4)...
6平方的约数：1，2，3，4，(6)...
8平方的约数：1，2，4，(8)...
9平方的约数：1，3，(9)...
10平方的约数：1，2，4，5，(10)...
12平方的约数：1，2，3，4，6，8，(12)......
14平方的约数：1，2，4，7，(14)................
在此范围内，总共转7次和转15次的同学，最后面向东。这些数为：8平方，12平方。2个

这样，总共8个。

[ 本帖最后由 jymm222 于 2010-11-26 08:22 编辑 ]

jiangying

不对，约数为7的数还有其他的，我再想想？

jiangying

5楼的做法有问题
新的思路：这个是个求约数个数的问题，约数个数在4n-1的数符合条件
根据约数个数公式计算
约数个数为3时，质数的平方数，共6个
约数个数为7时，必然只有一个质因数，且次数为6，因此只能是2的6次方
约数个数为11时，必然只有一个质因数，且次数为10，无满足条件的数
约数个数为15时，只有一个质因数时，次数为1，无满足条件的数，两个质因数时，一个次数为3，一个为5，只能是144。

jymm222 答案中的有一步没看懂

jymm222

解释一下这句：
N=axb，N为1～200的自然数，a,b为N的约数。
a不等于b时，N同学转2次；a等于b时，N同学只能转1次。

转2次指在a和b时各一次，如果a=b，就只有一次，不是总次数，只是其中一个环节。

jiangying

没明白为啥只有平方数才能是奇数次？