成人【守擂】一道智力题

qdylz

请bucy擂主自己决定吧，两种选择都行，如果宣布下一期继续守擂，我将在置顶帖子里更新，转入下一期。

bucy

我过两天公布答案，不影响宣布吧？

bucy

QQ能否指出3：5：8型的错误之处？谢谢！

qqyou

我认为3：5：8型，本身没问题，这种型的最终一定也能推断出来。他的问题在于，这种型的不会在第六次论断的时候推断出来，需要更多的次数。

wyxhsf

太厉害了，我是一看到这题就晕的，从来数学就不是太好，过来捧捧场，呵呵

jymm222

原帖由 bucy 于 2009-7-2 11:09 发表
    这道题的基础是“三个聪明的学生”，否则不可能有答案（2个聪明都不行）。（每个人的推理除了眼前所看到的2个数字，其他的推理前提都是根据别人的“推理"所做出的推理）
    所以一个人推理其他人的推理时 ...

我知道我错在哪里了，错在没有弄清充分必要条件 。

“2倍”能推理出来，36和108是“2倍”的唯一解，但能推理出来的不一定只有“2倍”，因此36和108不一定是题目的唯一解。

不知道模型是怎么找的？我绕了很多圈才找到“2倍”。怎么想到3：5：8和1：3：4，我对这个技巧很有兴趣，学一招多一招，多多益善。

qqyou

其实你早就答对了，我仅仅是对这个题目，提出了更高的要求而已。

不过看了你们的回答我都十分的佩服，你和Bucy都是一等一的高手哇，我自己是搞不出来的。

[ 本帖最后由 qqyou 于 2009-7-2 19:41 编辑 ]

qdylz

在qqyou的点拨下，看了jymm222和bucy的思路，整理了一下。尤其钦佩jymm222一看到题目就有了结果，比那三个学生还要聪明许多。


设甲数＝x，乙数＝y，丙数＝z。

jymm222已经证明了，x、y、z是三个互不相等正整数。

“其中的两个数相加等于第三个数。”x+y＝z或y+z＝x或x+z＝y这三个等式只能有一个成立。

已知z＝144，对于丙看到的情况只有一种，要么x<y，要么x>y。

一、可否通过分析确定x、y、z的大小？
1、先假设x<y,那么不能确定y和z哪个更大，也不能确定x和z哪个更大，x、y大于z和小于z都有可能。

现在看第一轮情况

甲：看到y、z，不能确定自己的数x。x＝±（z-y）即有三种情况x+y＝z和x+z=y或x＝y+z。因此甲不能确定。
乙：看到x、z，不能确定自己的数y。x+y＝z或x+z=y或x＝y+z。因此乙也不能确定。
丙：看到x、y，不能确定自己的数z。x+y＝z或x+z＝y。因此丙也不能确定。

再看第二轮情况

对于甲来说，他已经看到了y和z哪个数大，哪个数小，但是他由于不知道自己的数x和y、z相比是大是小，所以第二轮仍然不能判断。假如他了解了x<y，会毫不犹豫地做出判断。

对于乙来说，他已经看到了x和z哪个数大，哪个数小。
他会考虑甲不能断定地原因有两种情况。
⑴假如x>z，x+z=y或x＝y+z。不能断定。
⑵假如x<z，那么还是有x+y＝z或x+z=y两种情况不能断定。
对于乙来说，他是明显地看到了x和z的大小，因此上述⑴⑵两种情况只存在一种。乙也做不出选择。

对于丙来说，尽管可以想到乙的考虑过程，不能确定y和z哪个更大，也不能确定x和z哪个更大，是不可能做出判断的。

2、同理，假设丙看到的情况是x>y，仍然不能断定x、y、z的大小。

3、通过一、二的分析，丙不可能通过分析大小的方法得出x+y＝z或y+z＝x或x+z＝y这三个等式中哪一个等式成立。那么丙既然能够在第二轮最后得出结论，只能有一种情况，丙看到了甲乙二人数字的特殊性，并根据数字的特殊性得出了结论。

二、数字特殊性分析。在x+y＝z或y+z＝x或x+z＝y这三个等式中，对于后二种等式y+z＝x或x+z＝y可以简化成z＝|x－y|。那么并可以判断要么z＝x+y，要么z＝|x－y|。可以猜想丙是通过x、y的倍数关系来推测的。

1、
假设x＝y，丙考虑到z＝|x－y|＝0不可能，会在第一轮报出z＝x+y＝2x，x＝y＝z/2。不合题意，应舍掉。
2、
假设y＝2x，那么丙考虑z＝x+y＝3x和z＝y－x＝x两种可能。但如果z＝x，乙会在第一轮报出y＝2x。第一轮既然乙没有报，说明乙所看到的不是z＝x，而是z＝3x。丙会在第一轮报出z＝x+y＝3x，x＝z/3，y＝2z/3。不合题意，应舍掉。
3、
假设y＝3x，那么丙考虑z＝x+y＝4x和z＝y－x＝2x两种可能。但如果z＝2x，乙会考虑两种可能①y＝2x-x＝x，那么丙会在第一轮报出z＝x+x＝2x；②y＝2x+x＝3x，那么乙会在第二轮报出。既然乙第一轮、第二轮都没有报，说明乙所看到的不是z＝2x，而是z＝4x。丙会在第二轮报出z＝x+y＝4x，x＝z/4，y＝3z/3。合乎题意，是正解之一。
4、
假设y＝4x，那么z＝x+y＝5x＝144，将使甲乙的数字不是正整数，不合题意，应舍掉。
5、
假设y＝5x，那么丙考虑z＝x+y＝6x和z＝y－x＝4x两种可能。假设乙看到z＝4x，根据3，而且若y＝3x，丙会在第二轮猜出结果。但如果在第二轮结束，丙无法断定，乙会首先在第三轮猜到y＝5x。
6、
假设y＝6x，那么z＝x+y＝7x＝144，将使甲乙的数字不是正整数，不合题意，应舍掉。
7、
假设y＝7x，那么丙考虑z＝x+y＝8x和z＝y－x＝6x两种可能。假设乙看到z＝6x，根据5，而且若z＝6x，乙会在第三轮猜出结果y＝5x。但如果在第三轮乙无法断定，丙会猜到在第三轮乙认为z＝6x不能成立，因此第三轮丙会报出z＝8x。
8、
其余y＝8x、y＝11x、y＝15x、y＝17x……直到y＝143x的情况，假如甲、乙、丙三人有计算机一样的电脑，是可以在一定的情况下根据前面推测情况报出结果的，不过是在第三轮以后的好多轮了。
另外，bucy提出了一个ax＝by的模型5x＝3y，y＝nx是ax＝by的特例。Y＝x即a＝b＝1，y＝2x即a＝2，b＝1……像我质疑jymm222的x＝35，y＝109情况，也是可以推测的，假如甲、乙、丙三人有计算机一样的电脑，是可以在一定的情况下根据前面推测情况报出结果的，不过也是在好多轮以后了。

[ 本帖最后由 qdylz 于 2009-7-6 14:46 编辑 ]

人生有几何

进来学习了，这个问题看起来简单做起来难。

qqyou

前面大家分析的都很好，这楼应该属于jymm222 攻擂成功。

至于后面我提到的问题，我自己也不能研究得很清楚，搞懂这个问题，其实还需要一些博弈论的知识

我给一个参考的答案，供大家一起不断的研究。

已知条件的整理：
1. 有分别戴在甲乙丙头上的三个正整数a，b，c；其中的c=144，甲乙丙都不知道自己的数值
2. 由于a，b，c是分别戴在甲乙丙头上的数，因此a，b，c是具有只读属性的数
3. 在 a，b，c这一组数当中，其中一个数是另两个数之和
4. 甲和乙对于老师的两轮4次的提问，全部都是回答：不知道
5. 丙在被第1次（总次序是3）提问的时候，回答的是：不知道
6. 丙在被第2次（总次序是6）提问的时候，回答的是：144
7. 丙从第1次被提问时候的，不知道答案的状态，转变到了第2次被提问时候的已知答案是144的状态（这当中，除了老师的提问次数递增之外，其它的任何的外部条件都没有发生改变）

证明：
为了避免在接下来的代数分析当中，出现| |这个绝对值符号，我们根据已知条件（4.），（5.）可得a≠b；a≠c；b≠c；因而，我们可以设：a＜b＜c（如此假设的唯一副作用，是有可能会使得最后所得结果存在-号）

以甲乙丙的视角观察，自己待求的数值与自己可以直接看到的对方戴在头上的数字之间，存在着如下的关系：
甲：p=b+c或者q= c-b
乙：m=a+c或者n= c-a
丙：u=a+b或者v= b-a
依此，我们会发现甲乙丙头上的数字的（p，m ，u）与（q，n ，v）这六种可能性的设想之间，其中所蕴含的（a，b，c）是完全相等的，唯一差别只在于（+）号于（-）之间的差别。
再根据已知条件（3.）可得，当c=144时，甲的数值a与乙的数值b的可能组合只有：
一.（q ，n），其中q= c-b，n=c-a
二.（q ，m），其中q=c-b，m=a+c
三.（p ，n），其中p=b+c，n=c-a
观察全部的让丙得到c=144的可能组合（一.）（二.）（三.），可以发现如下的特征：
（一.）表明，按照此组合得到的（a，b，c）当中， c是最大数
（二.）表明，按照此组合得到的（a，b，c）当中， b是最大数
（三.）表明，按照此组合得到的（a，b，c）当中， a是最大数
又因为，丙的已知条件只有他所能看到的（a，b）这两个具有只读属性的数（即已知条件1.），再加已知条件（3.）。因此，丙只能将他看得见的a与b用来相减或者是相加，以便得出数值c
再根据以上的三个特征，可以得到丙推得c地唯一途经为：
当丙观察到甲和乙的假设（p，q）和（m，n）与丙看得见地甲和乙头上的数值存在矛盾。就可以排除掉自己的两种可能性，u和v当中的一个。
亦即：
当丙的假设u=a+b为真时，必有甲和乙的p和m假设为假。因为丙看得见甲和乙的数值，因此，c=a+b（这个推论会得到结果的验证）
当丙的假设v= b-a为真时，必有甲和乙的q和n假设为假。因此，c= b-a

根据以上分析，可得c相对于丙是一个未知量，相反a与b却是丙的已知量。
可是c相对于答题者来说，却是一个已知量c=144。
而甲乙的数值（a，b）这两个已知量，又变成了答题者的未知量（x，y）

如果忽略掉5个“不知道”的因素，来求解（a，b）
那么，我们面对的就只有144=x+y，y =x+144，x=y+144三个等式
根据已知条件（1.）有144=x+y不包含大于144的解
所以，144=x+y解的数量最少。为：等差数列（1，143），（2，142）（3，141）……（72，72 ）；总共解的数量为：71组
因此，如果忽略五个“不知道”的影响，甲和乙的数值最少有71种可能组合
所以，五个“不知道”是使这个题目有唯一解的必要条件，不容忽略。

根据最简单的信息技术的知识即可得知：五个“不知道”最大只有5比特（比特是信息不可再分解的最小单位）的信息容量，而丙所接受的信息为4比特（因为另1比特是由丙自己所发出的信息）
所以，能用4比特信息就可以找出最大数的（a，b）这个解的组合，在最少有71种可能解的组合当中，一定有显著的特征。否则，这个题目没有唯一解
因此，（a，b）这个解的组合的辨识信息，要小于或者等于4比特
依此条件衡量，144=x+y解的等差数列的最后一项（72，72 ）虽然符合辨识信息小于或等于4比特的要求。但是显然不符合题意。因为前面已证：a≠b；a≠c；b≠c；
受（72，72 ）只需要2比特信息即可被辨识的启示。可发现（72，72 ）的最大数与最小数之比为：2:1
根据2进制数的第（n）位与第（n+1）位，有2的n次方的倍率关系可得，在剩下来的70个组合中，符合小于或等于4比特辨识信息的组合，唯有最大数与最小数之比为4:1的组合
又根据已知条件（3.）有144=x+y，y =x+144，x=y+144三个等式当中，后两个等式都需要额外的信息来辨识y与x的最大值。
可是，这又是为由甲和乙分别所发出的各自只有2比特的信息，所无力承担的要求。
因为，这仅有的2比特信息量，需要用来分别排除与确定丙的u与v，以达到对u与v二择一
所以，u与v二者，只剩下u=a+b才符合辨识信息要小于或等于4比特的要求
因此，得丙为最大数c=144，c=4a，b=144-a
所以，求得题目要求的另两个数分别为：36，108

将（36，108，144）代入（a，b，c）已后，的确可以发现u=144与甲的p=252的假设和乙的m=180的假设之矛盾的间存。而这个矛盾丙却可用他看到的36和108直接排除掉。
这样就印证了前面所推导出来的——[当丙的假设u=a+b为真时]——的推论。
根据前面的分析，求解数值，用排除或者是确定自己是最大数的方法，对于信息量的需求最少。这表明运用这个途经的分析难度也会相应的变低。
由于受到一个数是另两个数之和的制约。所以，当自己是最大数的时候，另两个数就必定是非最大数。因此，就可以通过观察另两个同学最大数假设与他们头上数字之间的矛盾，来使自己的最大数假设得到确认。
但是，每个人所推测出来的另两个同学最大数假设，都要比另两个同学自己直接推测出来的数目多了一个。
比如甲，在他以自己是36为基础来推测乙和丙最大数的假设的时候，是和乙和丙自己的m=180，u=144相同的；可是，当他以自己是252为基础来推测的时候，得到的却是m2=396，u2=360
依此，我们可以把甲乙丙各自以自己两个假设为基础，所推测出来的另两个同学的最大数假设罗列出：
甲眼里的乙的非最大数设想为（108），最大数设想为（180，396）
甲眼里的丙的非最大数设想为（72，144），最大数设想为（144，360）
乙眼里的甲的非最大数设想为（36，），甲的最大数设想为（252，324）
乙眼里的丙的非最大数设想为（72，144），丙的最大数设想为（144，216）
丙眼里的甲的非最大数设想为（36），甲的最大数设想为（180，216）
丙眼里的乙的非最大数设想为（108），乙的最大数设想为（108，180）
通过观察上面的数值，我们会有俩个奇妙的发现。那就是，甲和乙的对于丙的非最大数设想都包含了72这个数字，另一个是丙对于甲和乙最大数设想又都包含了180这个数字。
这就是甲乙丙之所以会进行信息互动的动力所在！