成年组[守擂]——高数/数学分析习题

bucy

    n为自然数，f(x)在[0，n]上为连续函数，且f(0)=f(n).试证明至少存在n对不同的u,v∈[0,n](u<v),使得f(u)=f(v),且v-u为整数.

jiangying

好久没做数学分析证明题了,不会做了

bucy

这道题是我当年复习时碰到的。之所以拿出来，是妙在这道题出现在讲导数的内容之前。虽然可以用后面的积分定理证明，但无疑出题者是考察学生的初等数学的能力。这有点象如今的有些小学生的题目，用后面学的知识容易做，但用小学生学的知识做却不容易一样。

lingling0921

我现在看高数的题目,晕晕,,,,,怕怕,,,,,呵,,,,,

bucy

如果中学生（高中生）把“连续函数”理解成没有断点的函数（虽然不严格），这道题也是可以做出来的。

bucy

再多说一句，虽然这道题可以用中学的知识做出来（不纠缠连续的概念），但话说回来，能那样做出来的人“数学能力”确实是不一般的（不是说我，我当时没做出来），而且是数学基本功比较扎实的那种人爱用那样的方法（暂时保密）。

小米爸爸

本题作图一看就知是什么回事了，但表达上感觉有点麻烦。

小米爸爸

花了10多分钟，用图做不出，泄气，作图只对特殊情况成立，数学归纳法可解决本问题。

经验证，数学归纳法的确可证本题，
n=0不用说了

如果假设n=k时成立，则有f(0)=f(k)条件下有至少K对满足 V-U是整数了

则n=k+1时，条件是f(0)=f(k+1)，而f(0)=f(k)（上面假设），故f（k+1）跟f(0)或f(k)起码构成一对，故至少k+1对了。证明完成


数学符号打起来特烦，过程写得不是很清楚严格，飘过，我不守擂也不攻擂，孩子还没到学奥数的年龄，怕了，快跑，保命为先，继续修行去。


还是建议简单点，让大家都参与吧。

[ 本帖最后由 小米爸爸 于 2009-6-24 01:00 编辑 ]

zhf_liu77

太难了，想了半天还是没作出来。放弃

bucy

这种证法是有问题的哟。
N=K+1,不一定有f(0)=f(K)=f(k+1)哟。
你这种是特殊的情况，f(x)=C一条平行与X轴的直线。

[ 本帖最后由 小米爸爸 于 2009-6-24 09:51 编辑 ]