1、内容特点
“构建”一词，是从英文Construct翻译过来的，有构筑、建造的意思。就是构筑建造良好的心理结构。构建不是单方面进行的，而是综合发育的：从知识角度讲是多学科综合构建（仅就数学言，则是算术、几何、代数的综合），从生理角度讲是多器官综合构建（与视、听、触等感觉分析器相联结的手与言语运动中枢神经之联合结构），从教学过程角度讲多手段综合使用（实物教具、学具、符号格局、图像的综合），从心理素质角度讲是多因素的综合构建（智能、意志、情感三类结构）。“新体制”既坚持教育者（受教育者发展的外因）的主导作用，又坚持学生自己主动操作活动（受教育者发展的内因）的动力、基础作用，更强调把外因转化为内因，把社会要求内化为个体的心理素质。“新体制”的教学目标是一层层心理结构的构建生成，它既不是把外因作用推向极端的“填鸭式”，也不是片面强调内因作用的“自由式”，它要求在规范与自主辩证统一的教学中使学生的素质全面提高。
这个“新体制”具有以下三个显著特点：
(1)从教学手段上看，它打破了传统教学单纯依靠语言，忽视学生主体实践活动的旧习惯，在教学过程中，时刻注意以直观教（学）具、符号格局、肢体动作、言语活动这四个要素紧密配合，形成一整套严密的操作方式，这就使从具体到抽象的认识飞跃建立在学生亲身实践（操作）的基础上。
(2)从教材内容系统的编排上看，它打破了统编教材分块组织内容和过分强调反复练习、进度过慢的安排，真正抓住算术、代数、几何三者的内在联系，以代数方法指导四则运算教学，以方程模式（两岸阵）和比例模式（四方阵）指导解应用题，以质因数连乘积形式（质因积）指导学生掌握不同数学领域的内在贯通性，以透彻消化数学知识。因此现行小学六学年教材在“新体制”里可以在两年半内教完。
(3)从教学目标上看，它不满足于统编教材关于掌握数和形，会进行四则运算、培养逻辑思维能力和空间观念的一般性提法，而是进一步提出使学生在数学学习和技能训练相统一的基础上，培养收敛式思维和发散性思维、逻辑思维和直觉思维的种种能力，达到智能结构、意志结构和情感结构的全面构建。
2、设计依据
“新体制”设计所依据的主要理论是他们在实验过程中总结出的一种名为“构建生成”的学习理论，这个理论把教学过程分为五个阶段。
第一阶段：有言语伴随的实物操作活动。这个阶段着重以肢体动作操作教具、学具，在问题情景中建立新的数量关系的层次，这是最为基础的。同时伴随有符号和教学双方的言语活动，形成操作与言语的镶嵌结构。
第二阶段：面对符号序列进行有手势表演伴随的阅读讲说。这个阶段通过言语活动把感性的实物操作内容同理性的符号序列形式联系起来，要朗读，更要讲解，这就使符号在学生那里不仅代表某种语音形式，而且充满着意义。
第三阶段：对符号序列加以变换，寻找变换规律。这时进行的操作不再是感性的而是理性的了，如加减或乘除算式中的调牌、翻牌、变换算式，然后引导学生发现操作中的规律性动作，总结出转换变化的形式运算规律。
第四阶段：面对图像在理性操作统率下用语言组织起想象中的一整套实物操作。这一阶段似乎是回到了感性层次，其实不同。第一阶段是以外部动作的方式呈现出来的，而这一阶段却是以心智活动方式隐蔽在言语背后，口说也不再是一般的语言，而是数学算式。这时，是把有关某一组数量关系的成套操作凝炼化，以规范化形式（语言的和动作的）出现，在学生头脑中形成清晰的表象结构。
上述的四个阶段的成果是操作完形的建立。操作是完形的外在基础，而完形则是操作的内化结果。
第五阶段：从规范化的符号结构中看出合乎当前目的的转换方式。这一阶段从操作完形上升到理性直观。理性直观的建立包含两部分内容，一是建立规范化的符号结构形式（如“两岸阵”，“四方阵”）。二是建立这种形式与先前操作或算式之间的转换方式（如摆阵规则、解阵要领）。有了这两个主要内容就可以做到用特定的转换方式达到特定的问题情景所提出的特定目的。理性直观是比操作完形更为精炼直观的符号格局，它有更为简便的解题规则，是对操作完形的超越。
“新体制”学习理论的五个阶段，以操作完形为基础，以理性直观为构形的教与学，在解应用题的课题中让学生在现实面前充分地施展了自由。
3、教学手段1——操作完形
这里所讲的操作完形，指在加减数量关系教学中对一组数量关系的完整的操作模式，内含感性、理性、互逆、互换四种要素。感生操作是摆弄实物的操作，理性操作是摆弄符号的操作，互逆是指加与减互为逆运算，互换是说算式中的项在一定条件下可以互相交换位置。下面，介绍一个加减操作完形的教学过程。
课题：3的操作完形
在学生掌握了3的组成分解之后，进入加减感性操作。
教师、学生双方同时摆弄实物教具和学具，把两只小白兔图贴在绒板上。教师问：“这是几只？”学生答：“两只”。再加贴一只小白兔图，教师又问：“加几只？”学生答：“加1只”。于是教师手指3只小白兔图划一大圈再问：“等于几？”学生答：“等于3”。这以后，教师再指着3只小白兔图问学生：“这里几只？”当学生回答“3只”后，教师从绒板上取下1只小白兔图，问道：“减几？”，学生答：“减1”。教师指着绒板上剩下的小白兔图问：“等于几？”，学生便答：“等于2”。这种操作的教学，用算盘拨珠形式重演一遍。经过了前面的实物操作后，算式才出现，教师板书：2+1=3，3-1=2。加减算式上下并列。随后指着加式里的2说“原来有这么多”，又指加式里的“+1”说：“加上它”后指加式里的“3”说“就变成那么多了”。接着指减式里的“3”说“从那么多里”，又指减式里的“-1”说：“减去它”，后指减式里的“2”说：“就又变回这么多了”。用“这么多”、“那么多”、“它”这样的词来代替具体的数字，它们的作用是促进代数思考。学生跟着教师的词语在想象中进行的操作，已属“代数水平的感性操作”。
接着，教师拿出五块小牌，每块上写有一个数字或记号（其中一块牌一面写“+”，另一面写“-”），教师把五块小牌组成2+1=3这一算式，然后问：“谁能把这个算式（指五块牌组成的加式）变成那个算式？”（指板书上3-1式），让一个个学生到黑板前来调牌、翻牌。这是“尝试水平的理性操作”，在连续有几个学生做对后，要求学生讲自己的想法，引导学生在叙述中把“2”和“3”换成“前头的”和“末尾的”，以摆脱数字的具体含义而注意其所在的位置，即再次引导学生从算术观念上升到代数现念。至此，便可以启发学生总结出规律性的句子，并教给学生以下模式的操作、言语活动：第一个动作是“两手伸出，手掌向黑板，左手挨近左端的牌，右手挨近右端的牌”，口说：“头尾”；第二个动作是“两臂交叉”，口说：“对调”；第三个动作是“右手挨近‘十’或‘一’，手掌向牌”，口说：“加减”；第四个动作是“右手手掌翻掌”，口说“改号”。这句伴随手势的歌谣还得按下列节奏来边念边演：
××｜××0｜××｜××0‖
头尾?? 对调?? 加减? 改号
这八字歌谣叫“变换算式的歌谣”，其实也是口诀，运用口诀来进行变换式子的操作，就达到了“熟虑水平的理性操作”。这是用代数观念来进行算式之间的推导运算。这时，要求每个学生都到黑板前，先带动作按节奏说出口诀，再实际调牌、翻牌。这是一组互逆操作。还有另一组，即1+2=3，3-2=1，同样用上述八字歌谣进行操作。接下来，教师在黑板左右各板书两组算式：
左边：2+1=3?? 右边：???? 3-1=2
1+2=3??????????????????? 3-2=1
仿照教第一句歌谣的程序，以手做动作和口说词句相配合，教师继续教第二、第三句歌谣：
××｜××0｜××｜××0‖
加号? 前后，? 可以?? 对调。
×××｜×××｜××｜××0‖
减号后，等号后，可以? 对调。
当然，念第二、三句歌谣时，手的动作是各不相同的。
综上所述，整个教学过程是这样的：通过实物的感性操作（感性层）和朗读、书写（向理性过渡的准备），接着对算式动手变换，并学习带手势朗诵三句变换算式的歌谣（理性层）：(1)头尾对调，加减改号（互逆性），(2)加号前后，可以对调（互换性在加式中），(3)减号后，等号后，可以对调（互换性在减式中）。由三句歌谣统率四个算式组成一套心理活动，就是一个操作完形。这三句歌谣就是以主体动作进入学生智能结构中的代数知识，就是能够统率并组织大量算术知识的代数推理规则。最初建立操作完形时，又摆弄实物，又表演动作，似乎慢了点，但一旦操作完形建立了，孩子们凭借这一模式，学习新知识就带有浓厚的复习意味，他们能看着一张张点子图（上面画有不同色彩的圆点）主动构筑大批加减算式，从不出错，从而进度大大加快。
传统数学教学是按部就班安排的，先算术（小学）后代数（中学），这就在事实上造成了感性材料与理性形式分割的局面。小学阶段仅有感性材料堆积而不提出理性形式的要求，而到了中学则又用理性形式排斥感性材料，这对形成学生良好的智能结构非常不利。“新体制”避免了这两者的弊端，以感性操作来积累算术知识，以理性操作来培养代数运算能力，形成了算术与代数交融、知识与智能同步发展的局面。从心理学方面考察，“操作完形”的概念是分别吸取了格式塔心理学派和皮亚杰的观点而又予以改造后提出来的。皮亚杰强调儿童学数学要摆弄具体物体，认为儿童动手做并在动作中理解比用语言更为重要。皮亚杰是在生物学水平上谈动作构式(scheme)的，他忽视了操作和动作在根本性质上的区别，忽视了心理结构的人类学水平与生物学水平之间的分界线。“新体制”吸取了皮亚杰关于操作的思想，进一步提出了超生物水平的构式——符号操作统率下的工具操作。格式塔学派提出了“完形”概念，进而认为学习不是对个别刺激作个别的反应，而是对整个情景作有组织的整体反应，也就是“顿悟”。“新体制”赞同格式塔学派重视整体的观点而不赞成他们把学习能力看成是先验具有的思想，认为整体把握的能力是必须通过有组织的操作构建生成的。“新体制”把“操作”与“完形”结合起来，把感性与理性联系在一起，形成了学生以主体实践带动构筑知识的主动的认识能力，其心理机制是在感觉的同时有操作表象作为补充的知觉——动力完形，这就不同于格式塔学派讲的那种本能的、被动的、自然形成的知觉完形。
4、教学手段2——理性直观“四方阵”
小学数学课，解应用题历来是个难点，学生经常因为从字面上难以把握好各种数量关系而出错。“新体制”创设了“两岸阵”、“四方阵”这些解应用题的模式，取得了显著效果。“两岸阵”实质上是以方程的思想来解加减应用题，它要求“河”两岸的量相等。如果河的一岸只有X一项，则X等于它对岸的加它对岸的；如果河的一岸除了X还有别的数，则X等于它对岸的减它本岸的。掌握这些规则，学生在一年级上学期就能解加减的六种应用题和含负数的加减应用题。
“四方阵”实质上是按比例数量关系构成的，它是乘除应用题的审题、解题模式。审题时要求将应用题中的数摆成四方阵势，从每个数和1的方位关系这一感性知觉，可以直观地把握抽象的数量关系以及各数之间相互推算的逻辑关系，这不仅使学生能从整体上把握数量关系的结构，而且能一瞬间就断定解法。“四方阵”是早在乘除操作完形的教学中就作为背景引入的。第一批操作完形建立之后，把“四方阵”从背景拉到前台，明确地建立有关概念。教学过程分为三步：第一步，明确“四方阵”的摆阵规则。第二步，掌握“四方阵”的解法（列式）规则。第三步，进行应用题的审题（摆阵）、解题练习。
第一步，通过实例说明摆阵规则。
黑板上挂一图，如图：
摆阵规则是“同名竖对，对应横对”，即一筒和三筒都是“简”，所以要竖里对齐；而一筒和五颗，三筒和十五颗，都是同一事物的两个方面，有对应关系，一定要横里对齐。三个基础概念是：单量跟1横对，份数跟1竖对，总量跟1斜顶角。
第二步便是通过复习乘除操作来发现、掌握解阵要领。
第一个操作，教师在一个筒里装上五颗球，出示卡片eq \x(5颗/筒)，接着在另外两个筒里也分别装进五颗球，出示卡片eq \x(3筒)，然后，教师在黑板上画十字框架，让学生把已知的数量关系按方位摆好，根据问题情景边动手边说，如下图：
这时，空的一方便是要求的未知数(X)，学生据此列出算式：
X=5颗/筒×3筒=15颗。
总量=单量×份数
这是乘操作的复习。
第二个操作，教师把15颗球摆出来，出示卡片eq \x(15颗)，接着把这15颗球平均装到3个筒里，出示卡片eq \x(3筒)，然后，又让学生摆阵，如下图：这时，空的一方便是要求的未知数(X)，学生据此列出算式：
X=15颗÷3=5颗/筒
单量=总量=份数
这是等分除的复习。
第三个操作，教师摆出15颗球，出示卡片eq \x(15颗)，接着把每5颗球装进一个筒里，出示卡片eq \x(5颗/筒)，然后，又让学生摆阵，如下图：
这时，空的一方便是要求的未知数(X)，学生据此列出算式：
X=15颗÷5颗/筒=3筒
份数=总量÷单量
这是包含除的复习。
接着，再进一步引导学生在“四方阵”上观察，X的斜顶角方是不是1，跟列式用乘还是除，两者有什么关系。学生能发现，如果X的斜顶角方是1，必定用乘法；如果X的斜顶角方不是1而是别的数，必定用除法，那数定当除数。这既是思维收敛所得的抽象规则，又把深层的数量关系整体浅显而简约地展示在学生眼前。
当学生掌握了解阵规则后，就可以进行第三步，即应用题的审题、解题练习了。每道题的做法要经历六个步骤：
(1)让某学生读题。
(2)让第二个学生说出题目里讲到了哪些单位名称，教师则在十字框架的横线上跨写单位名称。
(3)让第三个学生到黑板前摆阵，先按“同名”、“对应”关系选择方位，后用“单量”、“份数”、“总量”概念来核对每个数跟1的方位关系，教师按学生的意见把数字和X填入阵内。
(4)让第四个学生到黑板前点方位说出抽象的解阵公式，如“跟1……的X等于它的……方……”
(5)让第五个学生到黑板前说出具体的算式，教师在黑板上写出这个算式。
(6)让第六个学生说出得数、单位名称和答句，教师照他所说的写。
可以看到，程序的(1)、(2)是从应用题的语句这个表层结构出发，而到程序的(3)、(4)时，就摆脱了语句文字的束缚而进到数量关系的深层结构，程序(5)、(6)则又回到了表层，但这已不是问题情景的表层而是得到解答的表层了。
通过对“四方阵”审题、解题过程的观察，可以看到：经过学生主体涉及对象外观的操作，言语活动按规律形式的多次重复，会建立起一种心理结构，这个心理结构使主体有能力在对象外观的形式中看到自己操作的形式，在对于对象外观的直观知觉中加进自己的理性行为。这种水平的直观，称为“理性直观”。
理性直观的摆阵解题在思维训练方面的特点是“死”与“活”的辩证统一，是收敛式思维和发散式思维的有机统一。“四方阵”的十字框架是“死”的，摆阵规则和解阵规则分别讲来的也是“死”的，因为它们所涉及的数量关系是有规律的、必然的：只能按方位关系摆上去，当然也只能按照反映数量关系逻辑去推演、去解题，从题目的表层到数量关系的深层，又从深层返回到解题的表层，这些都是必经的历程。这些，正说明了“四方阵”这样的理性直观反映着事物之间的规律性，具有普遍意义，是一种经过操作后总结出来的、可以通过外现直接把握的理性内容（摆阵、解阵规则），这是一种收敛。然而，“死”的阵上所展示的已知量与未知量之间的势态却是“活”的。在深层结构内部，X与1的方位关系是活的，在一个四方阵上，X可能出现在三个不同的位置，可能有三种解法，也就是说，摆阵和解阵两套部件之间的“接口”是活的。当几个“四方阵”扣结起来或把“两岸阵”同“四方阵”联结起来形成多方联阵时，接口就更是灵活多变了。按照传统的教法，解多步应用题可有综合法与分析法。综合法要求从两个已知量推想一个未知量，分析法则要求从一个未知量追寻两个已知量（或可能预知量），这是两个思路，两个方向。然而无论是综合法还是分析法本身并不能告诉人们应当采取加、减、乘、除中的哪一种算法来组织那两项进行计算。“四方阵”既兼容了综合法和分析法，还弥补了两者的不足。当阵势摆开，各量的方位确定后，两种思路可以自由选择，既可以由已知求未知，也可从未知寻已知，都行得通，还可以同时确定应选用的计算方法。这是一种发散。由于建立了理性直观，主体具有转换能力，能从纷繁的表层现象中清晰地抓住深层本质，从而具有能动性，有更大的普遍适应性，能以更大的容量去吸收更多的知识。总之，理性直观具有培养生动活泼的发散式思维的功能。
1986年10月，在育民小学的一次全区性汇报会上，实验班学生当场
个，剩下的两个准备给小伙伴红红和征征，问妈妈一共买了多少个梨？学生运用“两岸、四方联阵”解题，先摆阵（阵势见下图）
于是，按比例解阵规则：给的数斜顶角定要相乘，X的斜顶角方定当除数。这样X可以有九种解法：
附随有：
????
四方阵”引导解题思路这种智力操作的功能是令人惊奇的。调查事实表明，用“四方阵”不仅能解整数乘除应用题，而且能解分数、百分数、小数乘除应用题。
理性直观作为教育心理学的一个新概念提出来，理论上是有开拓意义的。在以往的教育学中，从来都只强调培养学生的逻辑思维能力，要求学生学会建立概念，形成判断，进行推理，一步一步地推导、前进，而不赞成学生在思考问题时假设、猜测，不赞成跳跃式的思考。于是培养出来的学生受必然体系的束缚，亦步亦趋，缺乏生气，更缺乏想象力和创造力。然而，只要翻开科学技术发明的历史就可以看到，大量新的科学原理、定律、公式和新的技术设计正是在直觉思维——跳跃式、顿悟式、灵感式的思考中萌发、涌现的。推理与直觉是两种互补的思维。直觉是长期推理思考的凝聚，是渐进性的“中断”，而逻辑推理则是直觉的铺陈，是证明程序的条理化，是新的渐进。因此，我们在提出培养目标时，应当在培养推理思维能力的同时培养直觉思维能力。“新体制”的理性直观，正是在培养这两种能力方面有独特功能。从解“四方阵”的六个程序我们可以看到，学生面对应用题的语句这个表层结构，首先考虑的不是无根据的猜测和试算，而是思考数量之间的关系这个深层结构，在摆阵时要想清楚如何安排才符合数量的逻辑关系，而且面对一题多解还要加以选择，然后再回到表层结构（列式计算），这正是逻辑思维的训练过程。而学生面对着完整的符号格局的外观，从整体把握中马上可以断定解法，学生只要注意“X”与“1”的方位关系，如果“X”与“1”斜顶角，必定是乘；如果“X”与“1”横对或竖对，必定是除。这正是对直觉思维能力的培养。
5、教学手段3——质因积记数模式
“新体制”安排一年级下学期不但学到乘除，而且学到高位数、分数、小数的有关内容，不仅在理论上是成立的，而且在教学上也是可行的。因为“新体制”创造了一种记数的结构模式，这个结构模式如同一个信息转换站，能沟通不同数学知识领域的内容，因而使小学一年级学生可以自然而轻松地掌握通常要到四、五年级才学的知识。这个结构模式便是质因积形式。质因积是质因数的连乘积，它本来是五年级的一项传统教学内容，但现在要求孩子们从一年级起就像记十进制一样把它作为常用的记数形式来熟记。当乘除操作完形和小九九的教学开始后，马上引入质因积形式。伴随着小九九口诀，把每个口诀里的乘操作表现为质因数的连乘积。即把乘操作所含的因素分解为质因数，每个质因数都是乘操作的细胞，由此便可以建立大量的连乘积。例如“六六三十六”，前面的6×6，可以分解为2·3·2·3（小圆点表示乘），而“四九三十六”，前面的4×9也可以分解为2·2·3·3。这样，两句口诀就以一种共同的结构沟通了。许多句口诀中共同的东西借助因积显示了出来，形成信息中转站。乘操作细胞保留在符号形式之中，直接展现在儿童面前，这同样是一种理性直观。仿此，还可以把“八九七十二”中的8×9理解为2·2·2·3·3，即两个“36”；把“二九一十八”理解为2·3·3，这是36的一半，这里面还包含有“二三得六”(2·3)“三三得九”(3·3)“三六一十八(3·2·3)等口诀。质因积的学习是随着小九九口诀的学习扩展出来的，口诀带出了大量的质因积，而质因积反过来让学生透彻地消化了口诀。
应当指出的是乘除操作完形对于质因积形式的奠基作用：①5×2=10，②2×5=10，③10÷5=2，10÷2=5。从①②式可以找出两个质因积形式：5·2和2·5。根据乘法交换律、结合律，质因积具有如下基本性质：质因数排列任意可变，一种组合与一个积唯一不二地互相对应。从③④式可以转译为质因积除式：③10÷5=2，改写为④
单位，它体现了除数，而原来不是倒子的数，如“2”、“5”，则称为“顺子”。从③、④式转译为⑤、⑥式时，用“甩掉除号，顺子改倒”
们熟练地掌握质因积与十进制的互译关系。
特别值得提出来讨论的是：像高位数和小数这些以往小学中年级学生做起来也不轻松的内容为什么现在一年级学生也毫无困难？答案是：关键之处就是由于质因积、面积图、十底幂三者互相配合的综合构建。
“新体制”的十进制位名教学大体如下：第一段，教万以内位名。上课之前挂好一张面积图
然后在挂图右边写出数式：
讲课方式是指图与指式交替进行，手指与口说配合进行，在教师操作、言语活动带领下，学生内心操作、视、听、说有机结合。
教师先指图右下角的最小的五个小正方形说：“这里有五个小方块，每块代表1，五块代表5，随即指第一行等式等号前的“5”字。接着指图的右下角说：“五个小方块拼成一个短细条，它仍然代表——（让学生说“5”）两个短细条就代表两个5，它们合起来就是10”。随即指第一行等号前的“2·5”和右端的“十”字，让全体同学齐声说“两个5，等于10”。按此程序，教师继续教“两条短细条合起来是一个长细条，五个长细条合起来是一个长方形，即五十，这个正方形是两个长方形合起来的，它是一百，两个五十，等于百”。再指图指式教学生逐步认识并说出“两个五百，等于千”，“两个五千，等于万”，然后教师带领学生有节奏地重复“两个×，等于×”。到这时为止，一直是略过了十底幂形式的，接着就用质因积解释了十底幂，把它当作“几段2·5”的简便写法来看待。在教学生读“十底×次幂”以后，引入对数观念，指第一行等号后的“101”里的指数“1”，说“1是”手指右端的“十”字说“十的”，手指又回指“101”里的指数“1”说“对数”。依照这种形式陆续教学生说：“2是百的对数，”“3是千的对数”，“4是万的对数”。另外教“100”说“十底零次幂，甩尽留1，等于1，零是1的对数”。这是第一段位名教学。第二段教从万到亿的数，还是用同第一段教学相仿的一张大挂图，但图题写着：“从高楼上往下看到的”，图里的数字相应写为104，5×104,105,5×105,106,5×106,107，5×107，质因积形式和位名也相应改变。第三段教从亿到兆的位名，又一张相仿的大挂图，图题为“从飞机上往下看的”，图上数字改为108，5×108,109,5×109,10-10,5×1010,1011，5×1011,质因积形式和位名也相应改变。
在质因积中，“倒子”具有多重身份。第一，在十进制除式转译为质因积除式时“倒子”相当于除数，（见前述③、④与⑤、⑥例），而译写规则“甩掉除号，顺子改倒”则已孕伏着分数除法运算规则。第二，
(2)通分也很容易，只要按“倒子凑平，同数顺倒一齐接”即可，如
算大为简化，第一批分数乘除题可以放到一年级下学期。第四，两段到2·5相当于百分号，有利于分数与百分数互化，例如
就为十底负几次幂的引入作了充分准备，而且倒2·5的段数就相当于
也就很容易为学生所接受了。小数教学是在高位数教完后进行的，从小数点后一位到小数点后四位，也还是同样挂一张相仿的大挂图，图题名为“透过放大镜看到的”，图里数字改为10-4,5×10-4,10-3,5×10-3,10-2，5×10-2,10-1,5×10-1，质因积形式是几段倒2·5，右端写着十分之一，百分之一，千分之一，万分之一。
从“新体制”的高位数和小数的教学过程，可以看到综合构建思想的典型显现。
(1)从数学学科上看，它是算术、几何、代数的交融贯通。面积图的作用是借助几何图象的直观比例感来为位名概念的数量级逻辑关系提供感性模型，描述面积的词语（两个五等于十，两个五十等于百，二分之一的五分之一是十分之一，等等），可以写成若干段顺2·5或者倒2·5的质因积长串形式。这样，在面积图（几何因素）与质因积（算术操作因素）的双重引导下，小学一年级学生就能扎扎实实地掌握十底幂（代数因素）。十底幂的引入无非是把长串形式的质因积加以简化压缩，指数画龙点睛地点明了2·5的段数（倒2·5的段数写成负指数），这就与对数挂起钩来了。在教学中，以面积图为感性背景，以十进制位名序列为脊梁，以质因积为信息交换站，质因积在这三足鼎立的结构中以“2·5”这种细胞联结贯通全体，顺倒2·5段数的多少，一方面与面积比例相对应，另方面又与指数对应，综合构建发挥了奇异功能。
(2)从教育心理学上看，它体现了教学过程调动视、听和手、口等器官互相配合的功能，有利于理性认识器官的构建。学生看着面积这种几何直观，随着教师的手指动作（指面积图时从小到大，指质因积形式2·5段数的增多和十底幂指数的增加），其内心同样在进行着感性操作和符号操作。在操作过程中，言语活动中的视、听与之紧密相伴，协同活动，这必然在大脑皮层留下从感性向理性飞跃的相应结构，从而促进手与言语运动中枢神经元联合结构的形成与巩固。同时，四张面积图的使用，在手势和语言的引导下，学生从“在教室里看到的”过渡到“从高楼上往下看到的”“从飞机上往下看的”，又反过来“透过放大镜看到的”，这在心理能力上的直接效果就是想象力的培养和把握力的锻炼。
(3)从教育哲学上看，这个教学过程正说明了综合构建这一根本思想。一方面是数学学科本身几何、算术、代数三者的综合构建，另方面是学生视觉、听觉与肢体动作、言语器官活动模式的综合构建，两方面结合，相辅相成，造成学生主体知识与智力技能同步发展，构建起良好的智能结构。
6、教具与学具
“新体制”教学使用的教具、学具中，一个极为重要的工具就是算盘。它是在加减操作完形建立过程中出现的。学生面对点子图组织想象中的操作，说出四个算式。如①4＋1=5，②5-1=4，③1＋4=5，④5-4=1。用珠算口诀做第一式，应是“一下五去四”。“加一”是想象拇指的操作，而“下五去四”则是实物性操作，这就是坚持了第一阶段的外部动作，又是第四阶段想象中的操作。从①式转为②式，就要运用第三阶段理性操作的歌谣：“头尾对调，加减改号”，然后又用珠算口诀做此式“一上四去五”，“减一”也是想象中的操作，“上四去五”才是实际操作。在做题时，联想到①、②式这些符号序列，用语言（珠算口诀）把感性操作和符号序列联系起来，这属于第二阶段的内容。在运用口诀时，手指拔珠动作的规律性和灵活性也形成一种贯穿理性思维的直观性活动。同时，③、④式珠算口诀“四下五去一，四上一去五”的运用也体现了五个阶段的有机契合。
在加减操作完形的教学中，珠算教学起着训练动作思维、辩证思维和程序思维的独特作用。首先，算盘珠子，既是实物，但又不是确定的某种实物。根据位置的不同，一颗珠子可以是一、五、十、百、千、万……，它是带有符号假定性的实物。儿童在学习加减操作完形时以算盘为工具，坚持了动手操作的基本出发点，然而口念的珠算口诀，却又正是一种系统化了的心智思维活动。其次，在珠算运算中，口诀常包含互逆因素，加用减做，减用加做，尤其是“新体制”突出强调拇指与食指拨珠数目的互补关系，1、4互补，2、3互补，形成了新的系统。加的思路是“先想拇指，后转食指”，减的思路反之，这些都是抽象化了的、概括化了的辩证思维的表现。第三，“新体制”设计了“加1至4”，“减1至4”，“加6至9”，“减6至9”这样四套不同的珠算基本练习，并编排成为四个程序框图，还能帮助学生把珠算选口诀的思路从偶然上升到严密的程序，从而开始了程序化、科学化的思维训练，为计算机教学做了铺垫。“新体制”不赞成“珠算过时，应予废弃”的观点，也不认为“珠算胜过计算机”，它用新的观点，把它们统一起来，既训练计算技能，又发展辩证思维、程序思维。操作完形使珠算口诀系统化，而珠算操作则使完形坚实、牢固。算盘这一中国传统的古老工具，在“新体制”数学教学中起着崭新的作用。
这是荔湾广雅小学网站上的一篇文章中的一些文字，那篇文章网址：
http://gy.lwedu.com/showArticle.aspx?id=65 |
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狗仔卡
发表于 2009-5-6 21:40:27
楼主
发表于 2009-5-7 09:15:04