小学系统知识

风之舞曲

小学系统知识（一）   
一、代数初步知识


一、用字母表示数

1 用字母表示数的意义和作用
* 用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。
2用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式
（1）常见的数量关系
- 路程用s表示，速度v用表示，时间用t表示，三者之间的关系：
- s=vt
- v=s/t
- t=s/v
- 总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，三者之间的关系:
- a=bc
- b=a/c
- c=a/b
（2）运算定律和性质
- 加法交换律：a+b=b+a
- 加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c)
- 乘法交换律：ab=ba
- 乘法结合律：（ab)c=a(bc)
- 乘法分配律：（a+b)c=ac+bc
- 减法的性质：a-(b+c) =a-b-c
（3）用字母表示几何形体的公式
- 长方形的长用a表示，宽用b表示，周长用c表示，面积用s表示。
- c=2(a+b)
- s=ab
- 正方形的边长a用表示，周长用c表示，面积用s表示。
- c=4a
- s=a²
- 平行四边形的底a用表示，高用h表示，面积用s表示。
- s=ah
- 三角形的底用a表示，高用h表示，面积用s表示。
- s=ah/2
- 梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位线用m表示，面积用s表示。
- s=(a+b)h/2
- s=mh
- 圆的半径用r表示，直径用d表示，周长用c表示，面积用s表示。
- c=∏d=2∏r
- s=∏ r²
- 扇形的半径用r表示，n表示圆心角的度数，面积用s表示。
- s=∏ nr²/360
- 长方体的长用a表示，宽用b表示，高用h表示，表面积用s表示，体积用v表示。
- v=sh
- s=2(ab+ah+bh)
- v=abh
- 正方体的棱长用a表示，底面周长c用表示，底面积用s表示， 体积用v表示.
- s=6a²
- v=a³
- 圆柱的高用h表示，底面周长用c表示，底面积用s表示， 体积用v表示.
- s侧=ch
- s表=s侧+2s底
- v=sh
- 圆锥的高用h表示，底面积用s表示， 体积用v表示.
- v=sh/3
3 用字母表示数的写法
- 数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。
- 当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。
- 在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。
- 用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。
4将数值代入式子求值
* 把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。
* 同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。


二、简易方程
（一）方程和方程的解
1方程：含有未知数的等式叫做方程。
- 注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。
- 方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立 。
2 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。


三、解方程
解方程，求方程的解的过程叫做解方程。


四、列方程解应用题
1 列方程解应用题的意义
* 用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。
2 列方程解答应用题的步骤
* 弄清题意，确定未知数并用x表示；
* 找出题中的数量之间的相等关系；
* 列方程，解方程；
* 检查或验算，写出答案。
3列方程解应用题的方法
* 综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。
* 分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。
4列方程解应用题的范围
小学范围内常用方程解的应用题：
a一般应用题；
b和倍、差倍问题；
c几何形体的周长、面积、体积计算；
d 分数、百分数应用题；
e 比和比例应用题。


五 比和比例
1比的意义和性质
（1） 比的意义
- 两个数相除又叫做两个数的比。
- “：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
- 同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。
- 比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。
- 比的后项不能是零。
根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。
（2）比的性质
- 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。
（3） 求比值和化简比
- 求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。
- 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。
（4）比例尺
- 图上距离：实际距离=比例尺
- 要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。
- 线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。
（5）按比例分配
- 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。
- 方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。
2 比例的意义和性质
（1） 比例的意义
- 表示两个比相等的式子叫做比例。
- 组成比例的四个数，叫做比例的项。
- 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
（2）比例的性质
- 在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。
（3）解比例
- 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。
3 正比例和反比例
（1） 成正比例的量
- 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。
- 用字母表示y/x=k(一定）
（2）成反比例的量
- 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
- 用字母表示x×y=k(一定)

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二、几何的初步知识


一 线和角
（1）线
* 直线
- 直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。
* 射线
- 射线只有一个端点；长度无限。
* 线段
- 线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。
* 平行线
- 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
- 两条平行线之间的垂线长度都相等。
* 垂线
- 两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。
- 从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。
（2）角
（1）- 从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
（2）角的分类
- 锐角：小于90°的角叫做锐角。
- 直角：等于90°的角叫做直角。
- 钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
- 平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。
- 周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。


二 平面图形
1长方形
（1）特征
- 对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。
（2）计算公式
- c=2(a+b)
- s=ab
2正方形
（1）特征：
- 四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。
（2）计算公式
- c=4a
- s=a²
3三角形
（1）特征
- 由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。
（2）计算公式
- s=ah/2
（3） 分类
- 按角分
- 锐角三角形 ：三个角都是锐角。
- 直角三角形 ：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。
- 钝角三角形：有一个角是钝角。
- 按边分
- 不等边三角形：三条边长度不相等。
- 等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。
- 等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。
4平行四边形
（1） 特征
- 两组对边分别平行的四边形。
- 相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。
（2） 计算公式
- s=ah
5 梯形
（1）特征
- 只有一组对边平行的四边形。
- 中位线等于上下底和的一半。
- 等腰梯形有一条对称轴。
（2） 公式
- s=(a+b)h/2=mh
6 圆
（1） 圆的认识
- 平面上的一种曲线图形。
- 圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。
- 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。
- 在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。
- 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。
- 同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。
- 同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。
- 圆的大小由半径决定。 - 圆有无数条对称轴。
（2）圆的画法
- 把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；
- 把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上；
- 把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。
（3） 圆的周长
- 围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
- 把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母∏表示。
（4） 圆的面积
- 圆所占平面的大小叫做圆的面积。
（5）计算公式
- d=2r
- r=d/2
- c=∏d
- c=2∏r
- s=∏r²
7扇形
（1） 扇形的认识
- 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
- 圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。
- 顶点在圆心的角叫做圆心角。
- 在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。
- 扇形有一条对称轴。
(2) 计算公式
- s=n∏r²/360
8环形
(1) 特征
- 由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。
(2) 计算公式
- s=∏(R²-r²）
9轴对称图形
(1) 特征
- 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
- 正方形有4条对称轴， 长方形有2条对称轴。
- 等腰三角形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴。
- 等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴。
- 菱形有4条对称轴，扇形有一条对称轴。


三 立体图形
（一）长方体
1 特征
- 六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。
- 相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。
- 有8个顶点。
- 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。
- 两个面相交的边叫做棱。
- 三条棱相交的点叫做顶点。
- 把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。
- 长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
2 计算公式
- s=2(ab+ah+bh)
- V=sh
- V=abh
（二）正方体
1 特征
- 六个面都是正方形
- 六个面的面积相等
- 12条棱，棱长都相等
- 有8个顶点
- 正方体可以看作特殊的长方体
2 计算公式
- S表=6a²
- v=a³
（三）圆柱
1圆柱的认识
- 圆柱的上下两个面叫做底面。
- 圆柱有一个曲面叫做侧面。
- 圆柱两个底面之间的距离叫做高 。
- 进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。

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三、度量衡
一长度
(一) 什么是长度
长度是一维空间的度量。
(二) 长度常用单位
* 公里(km)
* 米(m)
* 分米(dm)
* 厘米(cm)
* 毫米(mm)
* 微米(um)
(三) 单位之间的换算
* 1毫米 ＝1000微米
* 1厘米 ＝10 毫米
* 1分米 ＝10 厘米
* 1米 ＝1000 毫米
* 1千米 ＝1000 米
二 面积
（一）什么是面积
面积，就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。
（二）常用的面积单位
* 平方毫米
* 平方厘米
* 平方分米
* 平方米
* 平方千米
（三）面积单位的换算
* 1平方厘米 ＝100 平方毫米
* 1平方分米=100平方厘米
* 1平方米 ＝100 平方分米
* 1公倾 ＝10000 平方米
* 1平方公里 ＝100 公顷
三 体积和容积
（一）什么是体积、容积
体积，就是物体所占空间的大小。
容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
（二）常用单位
1 - 体积单位
* 立方米
* 立方分米
* 立方厘米
2 容积单位
* 升
* 毫升
（三）单位换算
1 体积单位
* 1立方米=1000立方分米
* 1立方分米=1000立方厘米
2 容积单位
* 1升=1000毫升
* 1升=1立方米
* 1毫升=1立方厘米
四 质量
（一）什么是质量
质量，就是表示表示物体有多重。
（二）常用单位
* 吨 t
* 千克 kg
* 克 g
（三）常用换算
* 一吨=1000千克
* 1千克=1000克
五 时间
（一）什么是时间
是指有起点和终点的一段时间
（二）常用单位
* 世纪
* 年
* 月
* 日
* 时
* 分
* 秒
（三）单位换算
* 1世纪=100年
* 1年=365天 平年
* 一年=366天 闰年
* 一、三、五、七、八、十、十二是大月 大月有31 天
* 四、六、九、十一是小月小月 小月有30天
* 平年2月有28天 闰年2月有29天
* 1天= 24小时
* 1小时=60分
* 一分=60秒
六 货币
（一）什么是货币
货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币是价值的一般代表，可以购买任何别的商品。
（二）常用单位
* 元
* 角
* 分
（三）单位换算
* 1元=10角
* 1角=10分

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一、盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。
- 解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。
- 解题规律：总差额÷每人差额=人数
- 总差额的求法可以分为以下四种情况：
- 第一次多余，第二次不足，总差额=多余+ 不足
- 第一次正好，第二次多余或不足 ，总差额=多余或不足
- 第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余
- 第一次不足，第二次也不足， 总差额= 大不足-小不足
例 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组 10 人，则多 25 支，如果小组有 12 人，色笔多余 5 支。求每人分得几支？共有多少支色铅笔？
分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有 12 人，比 10 人多 2 人，而色笔多出了（ 25-5 ） =20 支 ， 2 个人多出 20 支，一个人分得 10 支。列式为（ 25-5 ）÷（ 12-10 ） =10 （支） 10 × 12+5=125 （支）。

二、年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。
- 解题关键：年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。
例 父亲 48 岁，儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍？
分析：父子的年龄差为 48-21=27 （岁）。由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍，可知父子年龄的倍数差是（ 4-1 ）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍。列式为： 21- （ 48-21 ）÷（ 4-1 ） =12 （年）

三、鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题
- 解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。
- 解题规律：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数
- 兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2
- 如果假设全是兔子，可以有下面的式子：
- 鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2
- 兔的头数=总头数-鸡的只数
例 鸡兔同笼共 50 个头， 170 条腿。问鸡兔各有多少只？
兔子只数 （ 170-2 × 50 ）÷ 2 =35 （只）
鸡的只数 50-35=15 （只）


四、分数和百分数的应用
1 分数加减法应用题：
- 分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解题方法基本相同，所不同的只是在已知数或未知数中含有分数。
2分数乘法应用题：
- 是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题。
- 特征：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。
- 解题关键：准确判断单位“1”的量。找准要求问题所对应的分率，然后根据一个数乘分数的意义正确列式。
3 分数除法应用题：
- 求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少。
- 特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量。求分率或百分率，也就是求他们的倍数关系。
- 解题关键：从问题入手，搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位一”，谁和单位一的量作比较，谁就作被除数。
- 甲是乙的几分之几（百分之几）:甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙。
- 甲比乙多（或少）几分之几（百分之几）：甲减乙比乙多（或少几分之几）或（百分之几）。关系式（甲数减乙数）/乙数或（甲数减乙数）/甲数。
- 已知一个数的几分之几（或百分之几 ) ,求这个数。
- 特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量。
- 解题关键：准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际
数量。
五、 出勤率
发芽率=发芽种子数/试验种子数×100%
小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量×100%
产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100%
职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100%
六、工程问题：
- 是分数应用题的特例，它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。
- 解题关键：把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。
- 数量关系式：
- 工作总量=工作效率×工作时间
- 工作效率=工作总量÷工作时间
- 工作时间=工作总量÷工作效率
- 工作总量÷工作效率和=合作时间
七、 纳税
- 纳税就是把根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
- 缴纳的税款叫应纳税款。
- 应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额 ……）的比率叫做税率。
* 利息
存入银行的钱叫做本金。
取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息与本金的比值叫做利率。
利息=本金×利率×时间

tinge86

谢谢！人品太高了！
十分感谢！

tinge86

谢谢你了，人品不是一般的高！

tinge86

人品真是高，谢谢了！！

tinge86

十分感谢！
很好的总结！

wangwj2000

真的好详细，已经保存留着备用。呵呵！谢谢！

wangwj2000

真是太强了，已经保存，留着备用。谢谢啦！