请教 若干个连续自然数的问题

颀颀妈妈

在网上看到一题:

将35分拆成若干连续自然数的和, 一共有多少种不同的方法?
标准答案:35=7*5=5*7   所以有2种拆分法.

颀颀列出: 35＝７＊5＝5＊７　的式子后，
写有三种方法．　

问为什么？
他回答：可以拆分成: 2,3,4,5,6,7,8   5,6,7,8,9  另外还有一种:17,18

我觉得他说的也有道理．
想问问：若干个连续自然数, 二个连续的自然数也能算吗?

qdylz

对于任何大于1的奇数，都可以拆分成两个连续的自然数之和，例如，3＝1+2，2n+1＝n+（n+1）。

若干个是否包括两个，这恐怕只有出题人明白了。
上面说了，把35写成2n+1的形式即2×17+1，必然会写成17+18的形式，出题人如果严密一些可以在题目中再加一个条件：将35分拆成三个以上连续自然数的和。

qdylz

另外对于题目解法有些质疑：
标准答案:35=7*5=5*7   所以有2种拆分法.

要是45呢？用上面的解法就要出问题了。
45＝3×15＝15×3    45＝5×9＝9×5

对于第一个式子，有14、15、16满足条件，但是15个连续自然数平均数是3就不可能了，会出来几个负数。

对于第二个式子，有两列数字满足条件：7、8、9、10、11和1、2、3、4、5、6、7、8、9。

看起来好像是三个解，其实错了。

还有一组5+6+7+8+9+10＝45。

作了一个表格，里面有许多象45这样不能用这种方法解的数字。

[ 本帖最后由 qdylz 于 2009-3-4 09:46 编辑 ]

颀颀妈妈

太感谢你了. 的确孩子没有想到过偶数项数列的情况, 思考不周密,谢谢你指点出来.
刚刚随机出了几个数让他做, 和你给的表对了一下, 已经没有问题了.
能及时地得到坛友的帮助,真是高兴呀.

qdylz

说实在的，刚开始看到这个题目后，首先关注的不是你的问题，而是那种解法是否成立。

感觉解法不能适用于所有的连续自然数，但是又说不好，因此就用excel作了一个表格进行分析。（小学生可以选几个数来试验）

可能是受了鼠版这个帖子的启发，感兴趣的可以看一看。美国老师怎样教数学http://bbs.etjy.com/viewthread.php?tid=144673&extra=page%3D1

颀颀妈妈

今天中午吃饭的时候, 让他试45这个数.他说:　45＝3×15＝15×3    45＝5×9＝9×5
所以有14、15、16
还有7、8、9、10、11和1、2、3、4、5、6、7、8、9
以及22,　23这四种分法．　
看来他注意到了把3放在中间会出现负数的情况．但他没能想出5,6,7,8,9,10这6个数一组的可能．　

问他是不是全了．他说是的．　
再问他，如果项数是偶数呢？
他恍然大悟．心算了一下, 说还有5,6,7,8,9,10这一组．

问他是如何想出来的．　
他说：用45除以一个偶数使得数的小数部分凑0.5
45/6=7.5. 那么就可以分成:5,6,7,8,9,10 这六项.

吃完饭后, 我让他分33, 75这两个数. 他口答后, 我偷懒用你发的那个表对了一下, 是正确的.

最近孩子准备参赛, 我在网上到处找题目来试他. 看他会不会,给他查漏补缺.
如果不是版主提醒. 这类整数拆分成连续自然数的题目我会认为他已经懂了.
实际上我和孩子都没有真正地弄明白呢.

再次感谢你.知道你是爸爸, 所以握握手好啦.    

qdylz

原帖由 颀颀妈妈 于 2009-3-4 17:45 发表
问他是如何想出来的．　
他说：用45除以一个偶数使得数的小数部分凑0.5
45/6=7.5. 那么就可以分成:5,6,7,8,9,10 这六项.

对，颀颀算法简洁明了，速度又快！只要用和除以一个偶数使得小数部分为0.5，马上就可以写出中间两项。
例如上面45/6=7.5.可以确定中间两项是7、8，再在前面填上5、6，后面填上9、10，就把这6个数写全了。

推而广之，对于一个足够大的自然数m，若m＝pn（其中p为奇数，n为自然数），则m＝p/2*2n，m可以写成2n个连续自然数之和，中间两个数之和为p，平均值为p/2。例如，34＝17×2＝8.5×4＝7+8+9+10；55＝5×11＝5.5×10，其中5.5>10/2＝5，因此可以写成55＝5+6+1+2+3+4+7+8+9+10。

让m足够大，是为了避免出现负数的情况。当p/2>n时，可以保证m可以写成2n个连续自然数之和。



颀颀很聪明，祝参赛取得好成绩。

[ 本帖最后由 qdylz 于 2009-3-5 11:14 编辑 ]

笨巧果

这个问题的最终解法是：
45=1×45=3×15=5×9。
共有6个奇因数，6-1=5（种）
减去的1的意思是45一个数不算连续的自然数。

爱海

楼主果然用心！
我是不愿意费脑筋想孩子的数学题了。差距！