植树问题的总结——小学奥数三年级

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植树问题的总结——小学奥数三年级
对于植树问题最主要的是把握三要素：
1.总路线长
2.间距长（株距长）
3.棵数
植树问题大部分就是围绕这三个要素来出题，知其二，能求另外一个。
关于植树路线有两种：封闭路线与不封闭路线
下面我们就分别来分析这两种路线：
一：不封闭路线
（1）题目中要求在植树的线路两端都植树，则这样就是棵树比段数多一。
具体的全长，棵数，株距（段数）之间的关系：
棵数=段数+1=全长/株距+1       (由于论坛上打不出来除号和乘号，所以除号只能用/和*代替了  ）
全长=株距*（棵数-1）
株距=全长/（棵数-1）
例如：1   1   1   1   1 （基本图形） （1代表树，之间是间距）间距是5厘米
     棵数是5=段数4+1
     株距5*（棵数5-1）=全长20
     全长20/（棵数5-1）=株距4
应用：这一类型的问题通常与路程，速度问题联系：
例如：笔直的马路的一边每隔9米栽有一颗柳树。张军乘汽车分钟空看到501棵数，问汽车每小时行多少千米？
分析：先看这个题属于植树问题的类型，然后想基本图形。显然是不封闭路线两端都植树的类型
9米—株距
501—棵数
全长=株距*（棵数-1）
解：9*（501-1）=4500（米）  （五分钟汽车走了4500米）
    4500/5=900(米）         
（即每分钟走五百米，后面就是单位的转换了，这里就不做 详解了）
（2）若题目中要求在路线的一端植树，则棵树就比在两端植树时的棵数少一，
即：基本图形  1   1   1   1   
    棵数=段数
    全长=株距*棵数
    株距=全长/棵数
    棵数=全长/株距
二：封闭的路线（其实对于封闭的路线就可以看做是一（2）型，因为我们可以将没有树的一端与有树的最开始的那段连接起来，这样就是封闭的路线了）
在圆，正方形，长方形，闭合曲线等上面植树。因为头尾重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数：
即：棵数=段数=周长/株距
（1） 圆形封闭路线：
例如：一个圆形池塘，周长是150米，每隔三米栽一棵树，共需多少棵？
分析：典型的圆封闭路线栽树问题
      棵数=全长/株距
      150/3=50(棵）
（2） 正方形封闭路线：
对于这类问题同学们比较容易出错哦！
例如：有一个正方形操场，每边都栽种17棵树，四角各有树一棵，问共有多少棵数？
分析：对于这类正方形封闭问题我们可以有几种方法来解，主要就是要注意四角都有树。
方法一：拆段法
        将正四边形拆成四个边长且棵数相等的四段，那么每段的基本图形就是一（2） 型，末端没有树，所以每段的棵数是17-1=16（棵）
        16*4=64（棵）
方法二：直接应用公式法
        这里就需要注意的是题目中给出每边的棵数由于有重合，所以不能直接乘四，也就是说棵数是不诚实的，那么由于公式是：棵数=段数，段数不会有重合，所以我们直接看每段的段数是多少就可以了：
由于现在每段是一（1）型，段数=棵数-1=17-1=16
所以每边是16段
16*4=64
即总共有64棵
方法三：去角树法
        我们可以将四角的树都去掉最后再加上，那么每段的棵数是17-2=15（棵）
        15*4=60
        60+4=64（棵）
这样将每道题的基本类型都找出，然后按照类型不同套用不同的公式，那么问题就迎刃而解了。这样我们可以用这个方法来讨论一个比较综合且有些难度的题
例如：在一根长100厘米的木棍上，从左到右每隔6厘米点一个红点，从右到左每隔5厘米点一个红点，在两个红点之间长为4厘米的间距有几段？
分析：这个题隐含的信息很多是一道上述几个类型的综合题型，这样我们就不要着急，慢慢的一步一步的将它的基本类型都总结出来，然后加上自己的分析。
每隔6厘米点一个红点：显然是一个类似一（2）型，最后剩余4厘米
                    红点数是17个，前十六段每段间隔六厘米
每隔5厘米点一个红点：是一个一（1）型
                    红点数21个，每段间隔五厘米
由于5与6的最小公倍数是30，所以可以想象从左至右在0厘米，30厘米，60厘米，90厘米处红点重合，这个时候我们不妨假设两个红点重合变为绿点。
那么绿点的基本类型：一（2）型，最后一段10厘米
                   绿点数4个，前三段间隔30厘米
这样问题就归结为：1.0-30厘米之间间隔四厘米的红点有几段？
                 2.0-10厘米之间间隔四厘米的红点有几段？
                 3.1-100之间有三个0-30厘米的段，一个0-10厘米的段。
那么分析1，2：可以作图，也可以直接算出。我们采用比较直接的方法：
0 5 6 10 12 15 18 20 24 25 30
可以看出在0-10厘米之间间隔四厘米的有一端
0-30之间间隔四厘米的有2段
所以 2*3+1=7（段）

jinbu

学习中，谢谢！

liuli51

实在是太感谢了!

liuli51

实在是太感谢了