教儿子认识数

simpley

儿子上五年级,刚学完循环小数.
父:1和0.999.......哪个大?
子:1大.
1除以3再乘3等几?
1
1除以3等几?
0.333......
0.333......乘3等几?
0.999.......
1除以3再乘3到底等几?
儿子思考.

父:这两个答案都对,但1除以3再乘3只能有一个答案.说明1和0.999.....是相等的.你认为这有道理吗
子:有道理.
可是儿子又发现了新的问题.
儿:有很多数都会有这种特点.比如2除以9乘9,2除以9等0.222.....,再乘以9等1.999......8
父:循环小数没有最后一位,所以不存在8
子:那就是1.999......等2
父:这是对的,因为0.999......=1,所以1.999......等2

simpley

从2M^2=N^2这个方程的讨论，儿子得出这么一个结论：不可能有一个数的平方等于2
“从古希腊人也是这么认为的，但现代数学认为可以有。”
“那么是几？”
“我们可以随便给这个数起个名字，比如叫它”温儿“。
”这是赖皮。这个数必须用阿拉伯数字表示。“
”阿拉伯数字说到底也是人起的名字。为什么一个数只能叫123----，不能叫”温儿“
”因为”温儿“这个名字大家都不知道。“
”你的意思是大家都知道，就可以了。事实上现代人确实给它起了名字，不过不叫”温儿“，叫根号2。”
“我还是和古希腊人的意见一致。”

儿子虽然不能接受根号2，但他却很自然地接受了pai（圆周率）这个概念。这是因为pai是老师作为既定概念灌输进去的，而对2开方则是他自己对具体问题经过思考达到的一个问题节点，如果在初中老师讲到根号2，他必不会有任何疑虑。

现代数学的一些概念虽然看上去很简单，但都是人类经过千百年的思考得出的。通过灌输方式接受，自然体会不到它的深刻意义

simpley

最近我又和儿子讲无理数的问题，不过我开始觉得这个问题对于思维的培养也许是无关紧要的了。只是作为一种闲谈吧。
“如果一个圆的周长除以它的直径得到的值，是无限不循环小数，那么怎么证明周长和直径没有共度线段？”
儿子用我讲过的方法说了一下。
“古希腊人认为世界上的线段都存在共度线段，你认为呢？”
“周长和直径就没有。”
“何以见得？”
儿子又把证明大致说了一下。
“可是这个证明是建立在圆周率是无限不循环小数的基础上的，所以这是无法说服古希腊人的。”
“我觉得你的这个问题真的很无聊。”

simpley

以此类推，如果把这张纸当作整个圆柱的表面积的话，圆柱的体积最大是C/6根号（2c/3pai)（C是面积）
就是说，如果用一个1平方米的面做个圆桶（包括上下底），当侧面积等于上下底面积的两倍时，这个圆桶的体积取最大值0.077立方米.不过这个过程没有上边的简单，已不适合讲给小学生了

[ 本帖最后由 simpley 于 2013-3-12 10:52 编辑 ]

simpley

孩子学了圆柱，我在看它的作业时突然想到一个有趣的问题：一个指甲盖那么大面积的一块纸，拿它作圆柱的侧面积，可以让这个圆柱的体积装下一个地。
设侧面积是C=A*B，以b作底面周长。
（B/2*3。14）^2*3.14*a=(a*b/2*3.14)*b，所以，体积的大小完全取决于b
一个针尖大的面积可以装下宇宙，而整个地球的面积却装不下一个针尖。

jiangying

有一点点看不懂了，还是顶一下

simpley

我给儿子画了一个图形,问是不是梯形
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这是我偶尔想起的一个问题,最后,他经过翻书,知道这也是梯形.
"假如你不知道它是不是梯形,你怎么计算它的面积?"
"按两个三角形计算."
"对,用三角形计算,你可以看到它的面积计算和梯形一样,所以,你即使不看书,仍然可以断定它是梯形."(注:这个逻辑是有问题的,但我在此着重说明解决问题的不同方法,不追求逻辑的严密)
"如果三角形面积公式我也不知道呢?)
"三角形面积怎么来的?"
"根据平行四边形推导"
那就算平行四边形."
"可如果平行四边形公式我也忘了呢"
那就算长方形.
可长方形我也忘了呢
那就没办法了

"不过,实际上长方形的面积也是可以推导的,不过这是非常深奥的问题."
"我知道,把长方形分成好多小正方形."
"这只是个粗略的方法,有漏洞."
"有什么漏洞?"
我试图向他说明这个问题,可当我正说着的时候,他突然说:"
这个问题你跟我说过!"
我明白他记起了我以前说过的不可公度问题.虽然我原来不准备再和他提这个问题了

儿子自觉地把这个问题和不可公度即无理数问题联系起来了
原来我向它讲解无理数问题时,只是一种纯理论的讲解,他可能觉得很空洞;现在他自己为这个"空洞"的概念找到了现实中的对象.

接下去,就是他对这个概念的不信任:"不可能有这种情况出现."

不过,至少他对这个概念已经理解了.这是个意外的结果.

simpley

我给儿子画了一个图形,问是不是梯形
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这是我偶尔想起的一个问题,最后,他经过翻书,知道这也是梯形.
"假如你不知道它是不是梯形,你怎么计算它的面积?"
"按两个三角形计算."
"对,用三角形计算,你可以看到它的面积计算和梯形一样,所以,你即使不看书,仍然可以断定它是梯形."(注:这个逻辑是有问题的,但我在此着重说明解决问题的不同方法,不追求逻辑的严密)
"如果三角形面积公式我也不知道呢?)
"三角形面积怎么来的?"
"根据平行四边形推导"
那就算平行四边形."
"可如果平行四边形公式我也忘了呢"
那就算长方形.
可长方形我也忘了呢
那就没办法了

"不过,实际上长方形的面积也是可以推导的,不过这是非常深奥的问题."
"我知道,把长方形分成好多小正方形."
"这只是个粗略的方法,有漏洞."
"有什么漏洞?"
我试图向他说明这个问题,可当我正说着的时候,他突然说:"
这个问题你跟我说过!"
我明白他记起了我以前说过的不可公度问题.虽然我原来不准备再和他提这个问题了

儿子自觉地把这个问题和不可公度即无理数问题联系起来了
原来我向它讲解无理数问题时,只是一种纯理论的讲解,他可能觉得很空洞;现在他自己为这个"空洞"的概念找到了现实中的对象.

接下去,就是他对这个概念的不信任:"不可能有这种情况出现."

不过,至少他对这个概念已经理解了.这是个意外的结果.

simpley

给儿子四个等腰直角三角形,让他以此为道具证明勾股定理,很快证明出来了.
但在向他说明直角边和斜边不可共度时,遇到了障碍.
结论:他现在这个年龄还不能理解这个概念,只有停止

simpley

可能是几何原本中第一次出现了辗转相除法.
实际上我开始认识无理数也是始自几何原本,虽然这本书从来没有提到无理数
很多书上说古希腊人拒绝承认无理数,我认为这种说法是不严谨的,实际上是他们没有建立无理数的概念.而这正体现了古希腊人的思维严密.
几何原本凡是涉及面积的证明都很繁琐,我初看时搞不懂为什么本来很简单的证明要复杂化,但是当我经过这本书的训练有了一点逻辑思维后,我才明白他们要通过这种方式绕过无理数这个概念.

几何原本最大的特点就是让人要追根究底,长方形面积为什么是长乘宽?这是一个看过这本书后才会产生的问题,我在网上查了一下,都不是正确答案.只找到一篇文章似乎要正确地回答它,但它要注册收费,太麻烦了,我只好放弃.