成年组[守擂]——高数/数学分析习题

bucy

    n为自然数，f(x)在[0，n]上为连续函数，且f(0)=f(n).试证明至少存在n对不同的u,v∈[0,n](u<v),使得f(u)=f(v),且v-u为整数.

bucy

设F(x)=|f(x)-f(0)|.F(0)=F(n)=0 F(x)>=0;


令G(x)=F(x+k)-F(x) (0<=x<=n-k,k=1,2,……,n)
有G(0)=F(k)>0，G(n-k)=-F(n-k)<0
（如果F(k)=0,也即f(k)=f(0)，也产生一对u=0,v=k,使得条件成立）

于是在(0,n-k)中必有G(u)=0，即F(u+k)-F(u)=0，令u+k=v

当k分别等于1,2,……,n时有这样的n对u，v使F(u)=F(v)即f(u)=f(v)且v-u=k为整数  

bucy

把命题改变一下：若f在[a,b]上连续，b-a=n,f(a)=f(b)，则存在n个那样的点对。
归纳法，n=1时显然。
n>=2时，在[a+1,b]上令g(x)=f(x)-f(x-1)，则
g(a+1)+g(a+2)+...+g(b)=f(b)-f(a)=0，
所以存在x使得g(x0)=0即f(x0)=f(x0-1)
现在我们把区间[x0-1,x0]截掉，也就是令
h(x)=f(x)(x<=x0-1),h(x)=f(x+1)(x0-1<x<=b-1)
则h在[a,b-1]上连续h(a)=f(a)=f(b)=h(b-1)，
由归纳假设，存在n-1个点对(u,v)满足
h(u)=h(v)，v-u为整数，又h(u)=f(u')，h(v)=f(v')，
其中u'-u=0或1，v'-v=0或1，所以v'-u'也是整数，
所以能找到(n-1)满足题意的点对，加上(x0-1,x0)，总共n对。  

qdylz

有点太绕了，还是想看简单的，期待中。。。

bucy

    我知道三种答案，为了给大家思考消化的时间，我想一天公布一种。
依照个人认为越好的放在越后的原则。好的标准是简单。数学一个很大
特性就是简单美。

    好了，下面是第一种证法。

    不妨把函数f(x)的定义域想成是 R/nZ，长为n的圆圈。
考虑 G_k(x)=f(x)-f(x+k),  k=1,2, ... , n－1
当 k < n/2
claim:  存在（u1,v1) 和 （u2,v2)， 使得 u1<>u2, v1<>v2, 并且
     v1-u1=v2-u2=k （注意，这里的运算都是在 R/nZ 中的 )
同时 f(u1)-f(v1)=f(u2)-f(v2)=0
事实上：由
G_k(0) + G_k(1) + G_k(2) + ... + G_k(n-1) = 0
分两种情况：
1）如果上式每一项都是0， 显然可以找到u1,v1,u2,v2
2）如果有一项不等于0，那么在0,1, ... , n-1 这些点中，一定
有两点，i 和j ，使得 G_k(i) 和 G_k(j) 异号。 注意到连接 i 和 j
的线段有两段，分别在每一段上用中值定理，可以找到 u1<>u2, 使得
G_k(u1)=G_k(u2)=0, 取 v1=u1+k, v2=u2+k 即可。
注意到 k< n/2, 所以不可能出现 u1=v2, v1=u2 的情形，不然
0＝(v1-u1)+(v2-u2) = 2k (mod n) 矛盾
这一点也就是说，如果还原到[0,n], 作为集合，{u1,v1}和{u2,v2}
是不同的。又显然，对不同的k，找到的{u,v}也是不同的。
所以对每个 k< n/2 可以找到两组满足要求的数对。
如果 k=n/2， 重复上面的结果，一点可以找到一对满足要求的数对。
综合一下，可以找出 n-1 对数对。另外 {0,n} 也符合要求，
所以总共 n 对。      

bucy

    有时候证明题比解答题好做，因为对于我们考试来说（不是搞研究），都可以默认题目是对的，并且报以很大的信心。这样我们证明过程中可以大胆（这很重要）地以命题成立为基础反推回来得到一些线索。数学题的求解有时候本身就是正向思维（“凑”）和逆向思维（反推）之一或两者结合的运用。

    拿这道题来说，我们发现尝试了几种凑的方法不管用时，就要试试逆向的思维。因为不需要判断命题真伪，直接当真的用。这时既可以拿它当出发点，又可以反过来在重新凑的过程中构造有联系的函数（函数可以大胆地向结论靠拢——因为命题成立，这样的构造是很有可能成立的）。
    这样的思路但愿对各位有所启发。

bucy

试试构造一个函数来解决问题？

rilaline

我还是适合做小学生的题目
全还给老师了，不知老师收到没有。

jymm222

把前面的想法整理一下,你们说的对,思路过程应该保留,可以反思和对比.

由于求证的是一个相对距离,所以坐标定在哪里无关紧要.原点坐标定在f(0)处.

这条连续的曲线和x轴的交点至少为2个,这样,由曲线和x轴组成多个封闭的图形.平移复制后,有没有交点,和每个分割图形的形状无关,和与x轴的交点位置的关系有关.因此图形可以简化为第二个图.



每个封闭图形平移复制后,与原图至少有一个交点.符合题目要求的个数,为(x1取整)+(x2-x1取整)+(x3-x2取整)+...........,不大于n个(甚至可能为0).

其余符合要求的点,在两个不同封闭图形中.到这里,思路断了.
举例:x1~x2曲线平移（整数）k后,和x5~x6曲线有交点的条件是:
x1在x5~x6之间,x2在x5~x6之外;或者x2在x5~x6之间,x1在x5~x6之外;或者至少一个端点重合.

这里个数怎么算,迷路了。顺路走下去？还是改道？大家帮忙哪。

如果x1，x2-x1，x3-x2，...............都大于1，好象可以证明至少有n个，但不能用如果来证明。

[ 本帖最后由 jymm222 于 2009-6-28 16:11 编辑 ]

qdylz

评分分数: 威望 +2  / 金钱 +2
操作理由: 如果图形都在y=f(0)的同侧呢

如果那样，应该更简单。假设在形式为图中〔0，m〕段表示的那样，最大值为f(0)，最小值为A。G(x)＝v－u的值域为〔0，n〕，且为连续函数，因此必有n个整数。