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yanziwang1209

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悖论在三次数学危机中的作用

王子珺
（数学科学学院 统计学系 0510162）
1 什么是悖论
有一种命题，你无法证明它究竟是真还是假，这种命题，就叫做悖论。悖论——paradox
来自希腊语“para+dokein”,意思是“多想一想”。 悖论不是诡辩，它是完美无缺的，经得
起推敲的命题，你既不能证明它是真，也不能证明它是假；或者说，你既可以证明它是真，
也可以证明它是假。《辞海》中说，悖论就是逻辑学和数学中的一种“矛盾命题”。即如果你
假定一个命题是真的，那么经过一系列正确的推导可以得出该命题是假的；反之如果假定命
题为假，则又能同样合理地推出命题为真。这一系列的“真真假假”，吸引了古今中外无数
人对于逻辑和数学精密性的兴趣和思考，其中包括众多科学家、思想家以及无数爱好者。每
一个著名悖论的提出，往往都标志着一个新理论的开始；每一次解决悖论的过程，都在将这
个新理论向前推进。随着悖论不断地被提出和解决，众多学科得以快速发展前进。

悖论当然也具有非常重要的数学意义。从古希腊的希伯斯提出的悖论开始，一直到罗
素的关于集合论的悖论，很多悖论的提出都震撼了数学的基础，由此也对数学理论的发展起
了巨大的推动作用。这里特别需要指出的是悖论在三次数学危机中的巨大作用，是它们造成
了这三次危机，而每一次危机的化解都使得数学这棵大树的根基更加稳固。

2 希伯斯悖论——第一次数学危机

公元前六世纪，古希腊有个著名的学派叫做毕达哥拉斯学派，其创始人毕达哥拉斯
（Pythagoras）是当时著名数学家与哲学家。在此学派的兴盛期，毕达哥拉斯的思想是绝对
权威的真理。由他本人提出的著名命题“万物皆数”（这里的数指整数）是该学派的重要基
石，他们的信仰是：世界上的一切都可归结为整数或整数之比，而且这一思想也被当时的人
们所普遍接受。这个学派后来又发现了毕达哥拉斯定理（即勾股定理）。然而，正是这个在
当时令众多人兴奋不已的定理，在毕达哥拉斯学派的基石上砸出了裂缝。

毕达哥拉斯定理提出后不久，其学派中的一个成员希伯斯（Hippasus）发现了一个问
题：边长为1的正方形其对角线长度L不能用整数或整数之比来表示（即2为无理数的证
明）。这在当时就造成了矛盾，其悖论性在于：当时人们认为一切数都可表示为整数或整数
之比，L是一个数，则L也可以被这样表示出来，但由勾股定理以及一系列定理可以得出L不
可以被整数或其比所表示，这是违背了人们的普遍认知的，被认为是由正确的推理得出的“错
误”结论。

这一重大发现使得希伯斯受到毕达哥拉斯忠实门徒的追杀，直至他惨遭毒手，被扔进
地中海。尽管他本人被杀害，但这个发现还是被许多人知道了。希伯斯的问题导致了数学史
上第一个无理数2的诞生。它的出现在当时的数学界乃至整个社会掀起了一场巨大风暴，
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，是对“万物皆数”的反驳。实际上，这一伟大发
现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲
击，从而导致了第一次数学危机。

在这个问题的推动下，更多的数学家开始研究数的基础理论。为解决这一问题，人们
把证明引入了数学，数学逐渐从经验科学变为演绎科学。直到十九世纪下半叶，现在意义上
的实数理论建立起来后，无理数的本质才被彻底搞清。它在数学中合法地位的确立，一方面
使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危
机。

无理数的发现，推动了除四则运算外的其他运算方法的使用。这次危机也使得人们感
到几何应占有特殊地位，几何越来越受重视，欧氏几何学直至笛卡尔(Descartes)解析几何
应运而生。著名的《几何原本》也是在这时诞生的。同时，人们明白了直觉和经验不一定靠
得住，而步骤严谨的推理证明才是可靠的。由此，严密的逻辑推理证明成为今后解决数学以
及其他各门学科问题的重要方法并沿用至今，古典逻辑也由此而生。而且，在解决这一问题
的过程中，必然涉及到无限、极限和连续，而这些概念恰恰又是现代数学分析的基础。因此
可以说，正是希伯斯悖论的解决，“万物皆数”理论的崩溃，才隐约显现出现代数学分析的
萌芽，希腊数学也成为了现代数学的始祖。

在无理数引进后，人们越来越觉得还有其它形式的数存在，随着数学与其它学科的不
断发展，又逐步引入了虚数、负数、无穷小、无穷远点等。这些量的引入也曾一度引发了不


小的混乱，尤其无穷小量的使用，更是掀起了轩然大波，激起了众多人的怀疑与批判，甚至
引发了第二次数学危机。

3 贝克莱悖论——第二次数学危机

在牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）创立微积分学的时期，尽管它的成果丰硕, 但
其理论基础相当薄弱，出现了越来越多的悖论，常常有不能自圆其说的情况。更由于十八世
纪时的西方数学观念主要渊源于古希腊文化，如上所说，此时的科学家已非常注重推理逻辑
的严密性；但是微积分学中对于无穷小量的应用却是完全建立在使用的有效性之上，更多人
是将无穷小量作为一种解题技巧来使用而不去研究其严密性。因此，微积分学中的逻辑严密
性遭到了当时不少人的猛烈抨击，如贝克莱（Berkeley）、格兰弟（Grandi）以及芝诺(Zeno)
等人。

其中著名的唯心主义哲学家贝克莱主教提出的悖论，是对基础有缺陷的微积分学最强
有力的批评。贝克莱不仅是一位哲学家，而且他精通数学，为了维护宗教利益，他挑出了当
时牛顿、莱布尼茨理论中一些不严格的地方大肆攻击，并曾在他的著作《分析学者》一书中
专门批评了牛顿的求导过程不正确。…………
贝克莱所谓的“消失了的量的鬼魂”，显然是过分之词。但不得不承认，他提出的问题
准确地抓住了当时的微积分理论概念不清晰、运算缺乏严密逻辑基础的弊病，正对准了微积
分学最薄弱的地方。他坚持：微积分学的发展包含了偷换假设的逻辑错误。尽管当时的很多
科学家都曾试图解决这个悖论所提出的问题，但由于微积分学的理论基础实在太薄弱了，大
多数人都没有很大的进展。于是后来的更多科学家不顾基础的严密与否，而是转向研究微积
分学的上层分支，并且也得到了一系列重要成果。
与贝克莱同一时期，意大利修道士格兰弟对级数的收敛、发散含糊不清的情况提出的
悖论“从虚无创造万有”，即无穷级数x=1-1+1-1+…的求和问题，也是第二次数学危机的主
要导火线。一方面，无穷级数x=(1-1)+(1-1)+…=0；另一方面，x=1-(1-1)-(1-1)-…=1。
由上可以得出0=1，在等式两边同乘任何数，就得到0=任何数，于是格兰弟称从虚无(0)创
造万有(任何数)。第二次数学危机的另一导火线当然还包括著名的古希腊诡辩家芝诺提出的
四大悖论，它们是对于微积分中连续与离散以及无穷小的逻辑意义提出的问题，在此就不一
一列举了。

经过多年无数杰出学者的努力，特别是著名数学家柯西(Cauchy)的出现，重建微积分
学的严密逻辑基础这项重要而困难的工作终于基本完成了。极限的ε-δ方法、建立在实数
理论之上的极限理论，康托尔集合论的创立，宣布了第二次数学危机的基本解决。微积分的
确立，清楚地表明了代数运算的优越性及其解决当时的科学问题的有效性和广泛性，并使得
人们最终接受了微积分提供的思维意义上的概念和计算方法。随着微积分的建立，也给数学
带来一个巨大的繁荣，逐渐建立起了常微分方程、偏微分方程、变分学、积分方程、无穷级
数、复变函数与复分析、泛函分析等数学分支。可以说：微积分，带给了数学世界一个辉煌
的时代，而对诸多悖论的研究，带给了微积分坚实的基础。

但令人遗憾的是，无论是微积分学还是非欧几何的真理性，都被归结于实数理论的无
矛盾性。这是第二次数学危机遗留下的一个尾巴。从某个方面讲，这也为第三次数学危机留
下了隐患。

4 罗素悖论——第三次数学危机
1874年，德国数学家康托尔(Cantor)创立了一门崭新的数学分支——集合论，它可以
算是最基础的数学学科。说得大一点，它不仅是一切数学的基础，而且还是其它科学的基础。
但集合论的严密性受到了一部分数学家的怀疑，其中包括一位英国哲学家罗素(Russell)。
他苦思冥想了三年，终于找到了一个证明自己观点的简单明确的表达方式——罗素悖论。
罗素悖论也称罗素——策墨罗(Zermelo)悖论，因为策墨罗也曾同时独立的发现了它。
它基于康托尔集合论中的定义：一个元素要么属于某集，要么不属于它。罗素悖论叙述如下：
集合可分为两种：一种是本身分子集的（自谓的），比如“一切集合组成的集合”也是一个
集合，所以它必为该集合自身的一个元素，所以是一个本身分子集；第二种是非本身分子集，
比如自然数集绝不是某个自然数，既非自谓的。这样一来任给一个集合，它不是本身分子集
就是非本身分子集，二者必居其一。现在设A是一切非本身分子集之集，试问A是哪一种集
合？事实上，若假设A是一个本身分子集，则A为自身的一个元素，而A中每一个元素皆为
非本身分子集，故A亦为一个非本身分子集。与假设矛盾。若假设A是一个非本身分子集，
则由A的定义知A∈A，故这恰符合本身分子集的定义，所以A又是一本身分子集。又与假
设矛盾。总之，这与“A应该二者必居其一”矛盾。

不幸的事情再次发生，历史重演，犹如第二次数学危机时发生的事情一样，数学理论
基础的严密性再次受到威胁。这个悖论以其意义简单明确揭开了当时的数学基础康托尔集合
论本身的矛盾重重的盖子，震惊了整个数学界。罗素悖论引起了数学王国的一场大地震，动
摇了整个数学的基础，使当时号称“天衣无缝”、“绝对正确”的数学陷入了自己自相矛盾的
境地，于是引发了第三次数学危机。

从罗素悖论提出之日起一直到今天许多数学家都试图解决悖论。这次数学危机使数学
家们意识到，应当建立某种公里系统来对集合论做出必要的规定，以排除罗素悖论及其它相
关悖论。于是很快便出现了很多解决它的公理系统。如弗兰克(Fraenkel)改进策墨罗的Z
…………

尽管第三次数学危机并未得到圆满解决，但罗素悖论能引发人们什么样的思考已经比
解决它更重要。现在已经再没有人敢声称数学已经达到“天衣无缝”了。不过从另一方面看，
这也未必不是一件好事。因为数学是无限的科学，它还远未达到完全的严密，我们便可以一
直在探索数学根基这条路上走下去。

5 研究悖论的重要作用

可以肯定地说，几乎每个人都曾经遭受过悖论的“折磨”。在绞尽脑汁、搜肠刮肚的苦
苦思索之后，对很多人来说，悖论带来的还是那种“似是而非，似非而是”的感觉。因而，
在那些喜欢玩弄狡计的诡辩者手中，悖论成为战无不胜的利剑；而在那些喜欢挑战智慧的真
正思想者眼中，悖论便是一团团必须走出的迷雾。我们已经无法看到古希腊诡辩者在设下一
个个智慧的陷阱之后嘴角残留的那一抹得意的微笑了，但由此而结出的硕果，现代人正大把
大把地采摘着。
……

考察人类历史中出现的种种悖论，在某种程度上是对人类思想史和科学史的一种解读。
现在已经出现的悖论中，许多还没得到令人满意的答案，而且可以预见，科学探索的不断前
进还会带来更多更令人困惑的悖论。但这并不可怕，每一个令人愁肠百结、夜不能寐的悖论
带来的都不是终结，而是令人眼界大开的柳暗花明。

yanziwang1209

浅议三大数学流派的差异

——对数学基础的考察与反思


曹文斌
（数学科学学院 基础数学 0510049）



摘 要:罗素的集合论悖论直接导致第三次数学危机，并引发了数学史上一场对
数学基础的博弈，其中占据主导地位的有三大数学流派-----逻辑主义、直觉主义、
形式主义。笔者通过对这三大数学流派的历史渊源、主要代表人物及其基本观点
的考察与反思，形成对这段历史的一些初浅认识，进而在理性层面上更加体验到
了数学的优美和谐。

关键词:逻辑主义；罗素；直觉主义；布劳威尔；形式主义；希尔伯特


引 言

数学的奇妙之处不仅体现在自身结构的优美和谐、在自然科学中广泛而深刻的应用，以
及引发的哲学思考，而且其自身的发展也是一个引人注目的领域。古往今来，数学的发展并
非一帆风顺，它在一步步走向完备、走向现代的进程中，是历尽艰难险阻的。但在成长中，
这些艰难险阻并没有扼杀数学的旺盛活力，反而刺激了它的进一步完备化、科学化，从而更
加丰富、更加优美和谐。而罗素集合论悖论的提出，及其引发的深刻思考和最终解决，便是
其中最为璀璨的几颗明珠，它们每一次出现，都要引起一场深刻的数学变革。二十世纪初，
康托尔集合论的创立，似乎给数学带来了崭新的曙光，数学家们纷纷采取集合论简明优美的
语言来给自己的数学寻根。然而罗素集合论悖论的出现，直接使作为数学基石的集合论遭到
重创，进而波及到几乎所有的数学分支，使数学的真理性受到强烈的质疑。面对危机，数学
家们当然需要重新思索集合论的问题，乃至一些带有根本性的问题。就在这种艰难的局面中，
诞生了一门新的数学分支——数学基础。数学家们在对数学基础的严密考察中，起初并没有
明显的分歧，尔后因多种意识的碰撞，逐渐发展成不同的流派，可谓二十世纪数学界百家争
鸣的壮观场面。这里最具代表性的是三大流派——逻辑主义、直觉主义、形式主义。

1 逻辑主义流派的历史渊源、主要人物及基本观点

自从亚历士多德创立了逻辑三段论之后，西方后世的思想便深受其影响，在方法论上形
成了西方特有的、注重逻辑推理和演绎的思想。笛卡尔的“我思故我在”，更是将存在的主
体、意识及存在等同起来。逻辑学作为一种纯理性演绎推理的工具被数学家所重视，并试图
将数学归于逻辑便有了其历史的必然性。逻辑主义的形成，究其本源可以追溯到莱布尼兹时
代，他把逻辑学想象成一门普遍的科学，这种科学包括构成其它所有科学的基础性原则，这
种逻辑学也先于一切科学的观点，即是逻辑主义思想原则的萌芽。但遗憾的是，他并未能进


一步开展这方面的工作，而到了十九世纪，戴德金、弗雷格和皮亚诺等人继承莱氏先志，逐
步发扬光大，最终都取得了显著的成就。

逻辑主义流派的主要代表人物是英国著名的数学家、哲学家和逻辑学家罗素。1913年，
他与怀特海完成了逻辑主义流派的经典代表作——《数学原理》。作者试图从这本数学巨著
中向人们说明：数学的全部，可以从一个逻辑公理系统严格推导出来，也就是说可以从逻辑
概念出发，用明显的定义导出数学概念；从逻辑命题开始，用纯逻辑的演绎推得数学定理，
进而使全部数学可以从基本的逻辑概念和逻辑规则中推导出来。这样，就可以把数学看成是
逻辑学的延伸或分支。因此，罗素说：“逻辑学是数学的青年时代，而数学是逻辑学的壮年
时代”、“数学即逻辑”。

罗素在他的《数理哲学导论》一书中进一步阐述了自己的观点：“通过分析来达到越来
越大的抽象性和逻辑简单性，……要研究我们能否找到更为一般的思想原则，以这些思想和
原则出发，能使现在作为出发点的东西得以被定义和演绎出来”。那是什么样的思想原则呢？
罗素接着说：“应当从一些已被普遍承认了的逻辑的前提出发，再经过演绎而达到那些明显
的属于数学的结果。”他把数学化归于逻辑，这也是他的基本观点。

2 直觉主义流派的历史渊源、主要人物及基本观点

直觉主义流派的思想可以追溯到亚里士多德时期，亚里士多德是历史上第一位反对实无
穷，只承认潜无穷的哲学家。直觉主义流派的哲学观点，是直接来源于康德的自然数源于“原
始直觉”的观点，即康德的“自然数是从时间的直觉推演出来”的主张。康德在他的《纯粹
理性批判》一书中集中探讨了数学何以可能、科学何以可能、哲学何以可能的问题，试图理
清它们的适用范围和方法论意义。他相信现象界和客观世界是截然不同的存在，相信数学综
合判断的先验性和人们基于现象界对客观世界的直觉认识。十九世纪的克罗内克强调能行
性，说当时许多定理都只是符号游戏，没有实际意义。他认为“上帝创造了自然数，别的都
是人造的。而整数在直观上是清楚的，故可以接受，其他则是可疑。”其意是说，只有自然
数是真实存在的，其余都是人为做出的一些文字符号而已。他还主张在自然数的基础上构造
整个数学。到了二十世纪初，庞加莱亦持自然数为最基本的直观及潜无穷的主张，而其他如
包瑞尔、勒贝格、鲁金等半直觉主义者或法国经验主义者亦强调能行性的观念。他们公开否
认选择公理，认为根据选择公理而做出的集合，根本没有能行性，不能承认其存在。他们提
出了能行性的概念，对没有能行性的，便不承认其存在。他们都是直觉主义流派的先驱。

所有这一切，不论从哲学上还是数学上都为布劳威尔的直觉主义提供了直接的前提，布
劳威尔集其先驱们之大成，系统的提出了直觉主义流派的主张：

2.1 布劳威尔对数学对象的观点。他提出一个著名的口号：“存在即是被构造。”他认为，
人们对数学的认识不依赖于逻辑和语言经验，而是“原始直觉”（即人人皆有的一种能力），
纯粹数学是“心智的数学构造自身”，是“反身的构造”，它“开始于自然数”，而不是集
合论。这种数学构造之所以成为构造，与构造物的性质无关，与其本身是否独立于人们的知


识无关，与人们所持的哲学观点也无关。构造物应该怎样就怎样，数学判断应该是永恒的真
理。因此，布劳威尔不承认有客观存在的、封闭的和已完成的实无穷体系。

实无穷论者认为，“自然数全体”就是指自然数集{1，2，3……}，这是个确实存在的、
完成了的集合，应该作为数学研究的对象。潜无穷论者否认实无穷，认为无穷只是潜在的，
并不是已完成了的封闭实体，只是就其发展来说是无穷的。在他们看来，自然数1，2，3……，
只能是永远处于不断被构造和生成的过程，而不是完成了的、封闭的实体。所以，诸如“自
然数全体”这样的概念是没有意义的。

2.2 布劳威尔对数学所用的逻辑观点。他对数学对象的观点直接导出了他对数学所用的逻辑
观点，认为“逻辑不是发现真理的绝对可靠的工具”，并认为在真正的数学证明中不能使用
排中律。因排中律和其他经典逻辑规律是从有穷集抽象出来的规律，不能无限制的使用到无
穷集上去，也不能使用反证法。

3 形式主义流派的历史渊源、主要人物及基本观点

一般认为，形式主义流派的奠基人是希尔伯特，人们把希尔伯特的数学观和数学基础称
为“形式主义”，罗素和布劳威尔称希尔伯特为形式主义的代表人物，但他们是指希尔伯特
奠定数学基础的形式化方法，不一定是指他的某种主张。而希尔伯特本人并不自命为形式主
义者，他的学生贝尔奈斯也不认为希尔伯特是形式主义者。

1926年，希尔伯特曾说，数学思维的对象就是符号本身，符号就是本质，他们并不代
表理想的物理对象。公式可能蕴含着直观上有意义的叙述，但这些涵义并不属于数学。

希尔伯特的上述观点具有明显的形式主义色彩，其主要观点：

3.1承认实无限。认为古典数学中那些包含着绝对无穷（即实无穷）概念的命题确实是
“超越人们直观性证据之外”的东西，是实实在在的东西。

3.2既承认实无限，也就承认超穷集合概念，承认自然数集是一个完成了的无穷集合，
进而承认排中律的普遍有效性。

3.3主张使古典数学成为形式公理化的理论。所谓数学理论的形式公理化，就是要纯化
掉数学对象的一切与形式无关的内容和解释，使整个数学能从一组公理出发，构成一个纯形
式的演绎体系，这一想法也成为希尔伯特计划。

3.4认为验证形式公理化理论的相容性所需要的模型，不能取自感性世界或物理世界。
提出以“命题证明法”作为研究对象的一门数学，来直接处理公理化的相容性问题。这门数
学后来叫做“元数学”或“证明论”。但在对形式系统的讨论中规定采用构造论方法，也就
是对推理规则限定使用有限方法，不得牵涉无穷的集合的概念。

4 三大流派观点的简要比较

首先，形式主义和逻辑主义一样，都是从公理系统出发。不同点是：当逻辑主义者接近
到逻辑公理系统时，不再持原来对公理体系的观点，而要求逻辑公理系统具有内容，还想方
设法探求逻辑规律的真理性究竟体现在什么地方；形式主义者则不然，他们认为，数学的公
理系统或逻辑的公理系统，其基本概念是没有意义的，公理只是一行行的符号，无所谓真假，


只要能够证明该公理系统是相容的、不互相矛盾的，该公理系统便得到承认，它便代表某一
方面的真理。此外，连逻辑公理系统也认为是没有内容的，不能由内容方面保证其真理性，
于是只留下“相容性”，即“不自相矛盾性”作为真理所在了。

其次，与逻辑主义者和形式主义者不同，直觉主义者认为排中律和其它经典逻辑规律，
是从有穷集抽象出来的规律，其否认实无穷。直觉主义者进一步认为：这些规律不能无限制
的使用到无穷集中去，同样不能使用反证法。

最后，对逻辑主义、直觉主义、形式主义这三大流派的成败，笔者作如下评述：

在《数学原理》中，罗素和怀特海曾通过纯逻辑的途径，加上集合论的选择公理和无穷
公理把当时的数学严格推导出来，获得了成功。但事实并非如此，罗素从一个逻辑系统推导
数学时使用了集合论的选择公理和无穷公理，这是不可缺的，否则不能完成。不用无穷公理
则自然数系统就无法构造，更不要说全部数学了。所以，罗素并没有将数学化归为逻辑，而
是化归为集合论。要从逻辑推导出全部数学，就必须发展集合论，而集合论是自相矛盾的，
没有相容性。在逻辑系统中是不允许有矛盾的，必须排除悖论。可后来罗素与怀特海所做的
工作并没有很好的解决这个问题，进而遭遇了不少困难。数学基础学家一般都不接受“数学
就是逻辑”的观点，同样也不能接受“一切数学思维都是逻辑思维”的说法。尽管如此，罗
素与怀特海合著的《数学原理》一书在二十世纪科学技术发展中影响很大，它以当时最严格
的形式化符号语言来陈述作者建立的逻辑体系、定义和定理，从而标志着符号逻辑方法的成
功，显示了数学逻辑基础研究的重要意义和现代逻辑的科学意义，使《数学原理》一书成为
数学名著。尽管逻辑主义的主张不能实现，逻辑主义的数学观不能为数学基础学者所广泛接
受，但此书在方法论上的重要意义是不可忽视的。他们相当成功的把古典数学纳入一个统一
的公理系统，使之能从几个逻辑概念和公理出发，再加上集合论的无穷公理推出康托集合论、
一般算术和大部分数学来，把逻辑推理发展到前所未有的高度。使人们看到，在数理逻辑演
算的基础上能够推演出许多数学内容来，形成了集合论公理系统的逻辑体系，这在逻辑史上
是一件大事，对数理逻辑后来的发展起到了决定性的作用，是近代公理方法的一个重要起点。

直觉主义对二十世纪数学的发展产生了很大的影响。本世纪30年代以后，由于歌德尔的努
力，许多数学家开始重视直觉主义。数学家们纷纷尝试用构造法建立实数理论、数学分析以
至全部数学，得出不少精辟的结论、形成不少创新的成果。至此，构造性数学已经成为数学
科学中一个重要的数学学科群体，并与计算机科学密切相关。而希尔伯特原来设想，数学的
相容性证明可以限于有穷的构造性方法范围之内。经研究表明， 这个范围应当加以扩充。
哥德尔的不完备性定理说，证明一门数学的无矛盾性不可能在本门数学内做出，必须在一门
较之更强的数学中才可能做出。这个定理说明希尔伯特的原计划是不可能成功的。但是希尔
伯特的数学基础思想却发展了元数学，这就把形式心理学向前推进了一步，促进了数学的发
展。现在，元数学（证明论）已发展成为数理逻辑的四大分支之一，也标志着数学的发展进
入了一个研究形式系统的新阶段。

yanziwang1209

数学文化的观念及现实意义



姜君

（历史学院 世界历史专业 0512249）



摘 要：近年来，数学作为一种文化现象已越来越受到国内外学者的重视。本文
将首先从数学文化的源流考察，阐述其发展进程，进而探究数学文化的基本观念
与现实意义，展现数学文化的丰富内涵及其对现代社会的重要作用。

关键词：数学文化；历史发展；文化观；现实意义



数学文化是现代文明的重要组成部分，在培养一个民族的理论修养、科学态度、理性思
维和综合素质等方面起着独特的作用。数学既是人类认识自然的中介,也是一种创造与发现
活动,它可以促进人类的不断进步,促进人类文明不断迈向更高阶段。因此，全面认识数学文
化是很必要的。

1 数学文化的历史发展

数学与现实世界的关系是数学观发展进程中的核心问题，它制约着对数学哲学的两个基
本问题的回答：一是数学研究的对象是否反映真实的客观存在，或是人脑思维的自由创造？
二是数学理论的真理性是否仅仅是逻辑内容，或是必须付诸实践？纵观数学发展史，不难发
现对上述问题的回答是与数学发展的特定历史阶段相联系的。本文将以非欧几何的诞生和基
础研究的深入作为数学发展的两个转折点，将数学的发展史分成三个特定阶段。

1.1从“万物皆数”到牛顿力学——数学是宇宙的真谛

数学起源于土地丈量，天象观察和实物计数等人类早期活动。作为一个独立的知识体系
的数学则肇始于古希腊。希腊人对人类理性思维的杰出贡献是确立了推理的作用。凭借大胆
的猜测和天赋的直觉，毕达哥拉斯学派提出了“万物皆数”的信条。他们发现定性研究的种
种现象都表现出相同的数学本质，即数学性质是所有现象的本质。因此他们推想，宇宙是按
数学方式设计的，数字是数学的本源和秩序。


“万物皆数”的信念经过了希腊罗马时期以及漫长黑暗的中世纪，直到文艺复兴时期，
这一信念延续到了它的集大成者牛顿。继开普勒的行星运动三定律和笛卡尔对解析几何的创
立，牛顿最终创立了积分和微分学，强化了宇宙是按数学设计的这一信念。

1.2以非欧几何为标志的近代数学的兴起——数学确定性的丧失

到19世纪，毕达哥拉斯推崇的数学观终因非欧几何的发现和四元数的诞生再加上分析
严密化运动而遭废弃。原来一直以为欧式几何是物理空间唯一正确的描述而今却必须在多种
不同的几何体系中作出选择，这就从根本上动摇了欧氏几何是关于物理空间绝对真理的地
位。同时，非欧几何的诞生还向人们表明，一个系统的公理未必是基于人们经验的不证自明
的思想规定，他们完全可以是一组逻辑上相容的推理出发点的命题假设。与非欧几何相媲美
的还有哈密尔顿创立的四元数。他们完全突破了毕达哥拉斯注意的框架，它们不再是真实现
象的准确描述，也不是研究自然界的需要而引进的抽象结构，他们更多的是人类思维的创造
物，是完全脱离经验的“任意”结构。数学摆脱了与经验直接对照的束缚，获得了独立发展
与超前发展的能力。

1.3基础研究的深入——重新将经验注入数学

20世纪的前三十年，基础研究中的三大学派：逻辑主义、直觉主义、形式主义，分别
提出了他们不同的规划和纲领。但是三大学派对永恒基础的追求都归于失败，使一度热闹的
数学哲学相对沉寂下来。一批注重应用的数学家开始呼吁为纯数学重新注入经验，数学哲学
中的经验论开始复兴。随着计算机的出现和“数字技术”的广泛流行，数学重新走到了自然
科学和人类一切生活领域的前台。21世纪则被人们称为“数学时代”。

数学的历史发展进程是曲折的，但是更多的是前进与创新。正是在这样的不断发展中，
数学得到了其最丰富的内涵和最广泛的应用。

2 数学文化的基本观念

对数学文化概念的认识和理解是建立数学文化理论体系的一个基础和前提。概括起来,
数学文化研究所要表达的是一种广泛意义下的数学观念, 即不仅超越把数学视为一门科学
知识和理论体系的单纯的科学主义观念, 特别是从对数学的单纯的科学性( 特别是其自然
科学性) 理解中摆脱出来, 而且超越把数学作为以本体论、认识论、方法论为主线的数学哲
学观念,而把数学置身于其真实的历史情境、文本语境、数学共同体以及迅猛变革的现实社
会文化背景之中, 超越数学分支过度的专业化藩篱, 从更为广阔的视角去透视数学, 领悟
数学的社会意义和文化含义, 从宏观角度探讨数学自身作为人类整体文化有机组成部分的
内在本质和发展规律, 进而考察数学与其他文化的相互关系及其作用形式。

数学是人类文化特有的、同时也是普遍的表现形式。数学文化这一概念能够概括与数学
有关的人类活动的不同层次和不同层面。其作为现代文化的基石，具有确定性、简单性、抽
象性、探索性等特征。

2.1确定性

所谓确定性,即数学追求一种完全确定、完全可靠的知识。数学所探讨的不是转瞬即逝


的现象,而是某种永恒不变的规律。数学的研究对象、研究方法、推理规则及结论必须是明
确无误的。这种方法成为人类认识方法的一个典范，也成为人在认识宇宙和人类自己时必须
持有的客观态度的一个标准。

2.2简单性

所谓简单性,是指数学不断追求最简单的也是最深层次的、超出人类感官所及的宇宙的
根本规则。所有这些研究都是在极抽象的形式下进行的,也是一种化繁为简以求统一的过程。
数学研究的信念是：世界是合理的、简单的，因而是可以理解的。

2.3抽象性

所谓抽象性,即在数学抽象中,保留事物量的关系和空间形式而舍弃其他一切。符号把数
学概念浓缩成了处理的形式,这是数学抽象的具体表现。数学本身几乎完全周旋于抽象概念
及其相互关系之中。不仅数学的概念是抽象的,而且数学方法也是抽象的。由于数学对各种
具体文化的高度抽象性,因此决定了数学结论具有逻辑严密性。

2.4探索性

所谓探索性,即数学不仅研究宇宙的规律,而且也研究它自身的规律。在发挥自己力量的
同时,又研究自己的局限性,不断反思、批判自己，并且以此开辟自己前进的道路。它不断致
力于分析自己的概念,分析自己的逻辑结构;它不断地反思自己的概念、方法能走多远。

数学文化的这种宏观概念及其独树一帜的特征，使其成为现代文化领域中的基础之一，
同时也是其广泛应用的重要前提。数学观念的丰富内涵注定了其重要的现实意义。

3 数学文化的现实意义

3.1数学文化的教育意义

首先, 数学作为传播人类思想的一种基本方式, 本身就具有鲜明的传承人类数学思想
和知识的功能。作为数学文化传播的一种载体, 数学语言发挥着十分重要的作用。

其次，随着数学认识的深化, 数学的抽象化、严谨性和形式化水平越来越高, 数学研究
领域的不断扩展, 数学因而被赋予层次更为多样的统一性。数学模式与模型成为连接抽象理
论与现实世界的桥梁。数学知识的上述特征为数学课程的持续改革提供了一个基本的方向和
思路, 进而为数学教育的改革与发展提供了必要的理论基础。

第三, 数学具有科学与人文的双重学科性质和精神价值. 数学除了在整个科学体系中
的科学典范地位之外, 还具有超越科学范畴的本体论意义和认识论价值。这种超出科学精神
内涵的, 或者说无法完全用科学精神涵盖的价值取向就是更为广泛的数学的社会文化价值.

第四, 数学是一个以理性认识为主体的具有强烈认识功能的思想方法结构。从思维科学
的角度看, 数学思维是以理性思维为核心的包含多种思维类型在内的完整的思维空间.数学
是孕育理性主义思想的一个摇篮.数学作为理性主义的典范, 其思维活动体现了理性思维的
精髓。

第五, 数学具有强烈的艺术性特征与美学特征.数学不仅是一门科学, 还是一种艺术.
数学美学作为研究数学自身独特的美学特征、功能与结构的交叉学科, 将成为美学园地的一


朵奇葩. 数学的美作为科学美的有机组成部分和典范, 开创了科学美研究的新维度.数学的
美是一种理性的美、形式的美、结构的美.

3.2数学文化的人文价值

第一,数学文化具有培养科学精神的价值。科学精神是由科学本性所要求的对真理的无
私追求并为之奋斗的精神

第二,数学文化具有完善自我的人力价值。从人类本性与生存发展方式上说,承认数学的
人文价值,其实质是承认人类主体本性的现实性,承认人类精神生活的丰富性与自我发展的
能力,承认人类生存方式与目标的全面性与完全性。人是一种有精神生活的生命,这种精神生
活的本性与方式之一,就是有“求真求知”的理性需要与能力。

第三,数学文化具有健全自我人格的价值。数学文化雄深博大的精神使人的心胸远大。
数学问题不乏精雕细刻,但更重要的是它的研究对象浩大深远,理论博大精深,结论广泛适用,
这些都是激励人的心智、拓宽人的视野、拓展人的情怀的因素。

第四,数学文化具有提升人类审美水平的价值。从人类价值追求的目标来看,数学不再仅
仅是手段。它不仅以求真为其使命,而且以臻善、达美为其成果和意境。数学既负有为人类
功利与道德之善提供服务的责任,它的求实、严谨与执著等品质与风格,也代表着人类的一种
基本美德。

3.3数学文化的科学价值

数学作为一门单独的学科，其科学价值同样不容小觑。前面提到了数学作为一种文化现
象，它的宏观意义。然而数学的微观意义同样重要。数学拥有其独特的语言，是所有学科都
要使用的高级语言，是描绘世界的工具,也是储存和交流信息的工具。同时作为一个学科的
数学，它的每一个定理每一个公式，都是有其科学价值的，这些数学发展不仅促使数学向更
高层次迈进，同时也促进了整个科学领域的发展前进，促进了人类的进步。

数学文化向人们展示了数学极富魅力的一面。它不是以往数学课上的定理、公式、计算
和题海,而是数学的思想、精神和方法。它让我们用美学的眼光来看待数学,让我们体会到数
学中浓郁的人文主义精神。认识数学的科学价值和人文价值,培养数学的意识,崇尚数学思考
的理性精神,欣赏数学的美丽,知道数学应用的门径。这是现代人和文化人所应具备的素质。
是时代对我们的要求,也是我们学生学习努力的方向。在未来的世界里，数学文化必将继续
发展，它的历史将继续谱写，它的内涵将继续丰富，它的作用将更加令人瞩目！

yanziwang1209

数学好玩

方菲

（经济学院 国际经济贸易专业 0411762）



摘 要：数学的研究对象是数和形，数的美，形的美，随处可见。数学，不仅内
涵存在着纯净美、灵性美、和谐美，表现形式存在着严谨美、简洁美、对称美，
甚至数学的本身也存在着趣味美、形象美、线条美。本文用抒情兼议论的手法描
写了数学中蕴含的美。

关键字：美；纯净；和谐；灵性；严谨；简洁；对称；趣味；形象；线条



“数学好玩非常好玩”，数学大师陈省身先生如是说。我能想象到老先生说这话时心里
充满的幸福，那是一种挚爱的喜悦。

今天又读到一段话，也是陈老说的，“数学没有诺贝尔奖是一件幸事。这是一片安静的
天地，没有大奖，也是一个平等的世界。数学上有很多简单而困难的问题，这些问题使人废
寝忘食，经年不决。一旦发现了光明，其快乐是无法形容的。”临终时，他还表达了他的留
恋：“天堂里，一定也有数学之美。”

作为南开大学的学生，我很遗憾陈先生在世的时候没有聆听过他的讲座。我在电视中见
过他，着迷的听他说的话，我能体会数学的快乐，因为曾经感受过一些。当年在学理科时，
最直接的快乐是解题中发现的快乐。最近几个月，一直在复习考研数学，好像能够站在一个
高度上来看待数学，而不是像当初一样不能提纲挈领。每每从一句话里面找到了真正的精髓，
每每在一道题的解答中得到了特别的启发，那种快乐，难以形容。导数积分的组合变化，有
着无穷的惊喜；积分区域的划分，蕴涵丰富的想象；级数的缜密思索，让人为之感叹。后来
读罗素的《哲学 数学 美》的时候，才发现为何受到打动——正是数学之美。


数学是科学的皇后，是一切自然科学的基础。高深和极具挑战性，使数学研究如同自然
界里的珠穆朗玛峰，勇敢者才能攀登到顶峰，他们享受着快乐，赢得了世人的尊敬。

马克思曾经说过，任何科学只有在数学得以成功的应用其中时，才能被认为是完美的科
学。在过去的一个世纪里，数学创造的高度抽象的语言结构和方法，被反复证明，数学是其
它科技领域和社会生产实践中普遍适用的工具。数学对于现代文明和人类进步有着巨大的作
用。上个世纪的七、八十年代，陈景润在哥德巴赫猜想研究中的突破性成就，伴随着徐迟的
报告文学传遍了整个中国。正是从那时起，许多中国的热血青年决定投身到数学研究中去，
跟随陈景润摘取数学皇冠上的明珠。二十多年过去了，中国在世界数学研究领域已经占有了
重要的位置，许多昔日的数学爱好者如今迈上了数学家的最高殿堂。正如国际数学联盟前主
席曼费德所阐述的那样：中国的数学如同由非凡的中国数学家精心种下的树，这棵树上有华
罗庚、陈省身、冯康、吴文俊、谷超豪、廖三涛，以及年轻一代的如丘成桐和田刚等等。陈
省身先生是其中最为杰出的代表之一，他在数学领域的研究登峰造极，使中国离“数学大国”
的梦想更近一步；获得了中国“首届国家最高科学技术奖”的吴文俊先生应邀担任第24届
国际数学家大会的主席，足可见中国数学在世界上的影响力。

2002年国际数学家大会在北京举行，不仅标志着中国数学研究的巨大发展成就，更重
要的是它给中国数学研究带来了一个发展的契机。当法国数学家洛朗.拉佛阁和俄罗斯数学
家弗拉基米尔.沃沃斯基从江泽民主席手中接过“菲尔兹”奖牌的时候，在北京举办的世界
数学家大会掀起了一个小小的高潮。 高深、枯燥的数学，在这两位年轻数学家眼里却是“美
丽的”、“富有乐趣”和“有竞争性”。 洛朗.拉佛阁在回答记者提问时是这样说的：数学
是最聪明人之间的较量，因而更具有挑战性，同时数学的美丽使研究数学成为一种乐趣。作
为数学界最重要的会议，北京数学家大会吸引了来自世界各地最优秀的数学家，霍金、迈
度·苏丹、纳什、陈省身等等，一大批在书本或影视中才能亲近的大师如此自然地走到了中
国人的面前。他们的到来，让我又一次领略了数学震撼人心的魅力。

然而，我们身边不乏这样一些同学，他们视数学如畏途，兴趣淡漠，导致数学成绩一直
在低谷徘徊。这使一些教师、家长以至专家、学者大伤脑筋！

“兴趣是最好的老师。”对任何事物，只有有了兴趣，才能产生学习钻研的动机。兴趣
是打开科学大门的钥匙。对数学不感兴趣的根本原因是没有体会到蕴含于数学之中的奇趣和
美妙。世界数学最高奖——菲尔茨奖获得者洛朗.拉佛阁在回答人民日报记者有关如何从数
学研究中找到乐趣的提问时说，读中学时对数学并不十分有兴趣，以后研究数学取得了一点
成绩就感到高兴，越高兴就越有干劲，出的成绩也就越大。一位美学家说：“美，只要人感
受到它，它就存在，不被人感受到，它就不存在。”对数学的认识也是这样。

在我眼中，数学确实是个最富有魅力、具有高度抽象性的学科。作为自然科学的基础，
它所蕴含的美妙和奇趣，是远在其他任何一门学科之上的。尽管历史的悲壮故事能催人振奋，
语文的优美词藻能令人陶醉，然而，数学的逻辑力量却可以使任何人为之折服，数学的质朴
深沉让人心旷神怡，数学的趣味能使任何年龄的人们为之倾倒！茫茫宇宙，哪一种事物能脱


离数和形而存在？没有数、形的有机结合，就没有这变幻莫测千姿百态的大千世界。数学以
它美的形象，趣的魅力，吸引着古往今来千千万万痴迷的追求者。

数学，包罗万象的美。不仅内涵存在着纯净美、灵性美、和谐美，表现形式存在着严谨
美、简洁美、对称美，甚至数学的本身也存在着趣味美、形象美、线条美。

1 内涵美

数学之美，美在纯净。当有人询问数学大师纳什研究数学问题有何作用的时候，这位《美
丽心灵》的主角坦率地说，有时研究成果并没有什么用。正是这种不带功利性的数学思维，
造就了数学的空灵和纯净。而数学的圣洁又反过来造就了一个个美丽的数学心灵。怀有功利
性的研究是数学乃至任何一门学科的大忌。只有用纯净的心灵，去接近数学，去了解数学，
才能攀登上数学这座高峰。经济学因对纳什博弈理论的成功运用而产生了新的学派，纳什也
因解决了经济学上的难题而获得了诺贝尔经济学奖。

数学之美，灵性绝对不可或缺。或许在你眼中，语文才是最有灵性的学科，他用千变万
化的表达方式为我们描绘世界、书写着生活。然而我却觉得，语文的灵性是远不能与数学相
比的。数学有一种天生的灵性，作为自然学科的基础，它能敏锐的洞察到其他学科的需要，
然后改变自己，为那些学科的发展甘当垫脚石。它有挑战人类智慧极限的问题，当很多痴迷
的人们因为得不到答案而为之疯狂的时候，它总能在适当的时候给人以正确的启示，让人找
到入口，进入桃源。数学的每一个公式、每一个定理，都蕴藏着无穷的灵性，他们彼此紧密
相关，互相为彼此服务。数学对严谨思维的苛求也为他的灵性增添了一抹让人折服的魅力。
数学，确实是最有灵性的一门学科。

数学之美，还在于它的和谐。当有人问到我国的数学家王元先生，数学的魅力在哪里的
时候，他顺口答道，数学之美就在于和谐。在一般人看来，数学的和谐之美或许就在于它那
变幻莫测的图形，立体的，平面的。在数学家那里，数学之美就是一个公式，一个方程，一
个符号甚至一个小小的点。在我看来，数学的和谐之美还有另外一种诠释。数学的分科有几
十种，我们总是觉得他们似乎是不相关联的，然而，数学就是这样一种奇妙的科学，他的各
个分科完美结合，组成了一个和谐的整体。在解答一个分支的问题时，你一定会用到相关分
支的知识。这些知识的运用又是如此的自然，以至于科学家都觉察不到，因为那些分支本来
就是浑然天成的一个整体，我们又怎么能够把它们割裂开来呢？

2 表现形式美

数学之美，还在于它的严谨。严谨性，决定它必须精炼、准确。质数的定义是“只有1
和它本身的两个约数的数”，若丢掉“只”字，便荒谬绝伦。每一个定理公式，必定是经过
缜密的推敲证明，有的甚至推翻重建，还要继续接受后人的检验。没有这种严谨性，数学便
不可能成为自然科学的基础。试想，一个有着那么多漏洞、缺憾，连自己的体系都无法支撑
的学科，又怎么能担当得起自然科学基础的重任呢？

数学之美，在乎简洁性。数学是一门理性的科学，这就决定了它必须用最简洁而又最贴
切的语言描述出它的定义、性质、定理等，多一个字少一个字都是荒谬。数学科学的定义、


规律叙述语言的高度浓缩性，使它的语言精炼到“一字千金”的程度。语言的冗长只会让数
学丧失美感，失去真理的意义。例如线性代数中的矩阵A的伴随矩阵用一个简单的符号A*
表达，充分体现了简洁性和两者之间的关联性。数学中的符号，既节省了大量文字，又反映
了普遍规律，简洁明了，便于记忆，完美诠释了数学语言干练、简洁的特有美感。

数学之美，还在于它的对称。对称是美学的基本法则之一，数学中众多的轴对称、中心
对称图形，方阵以及等量关系都赋予了平衡、协调的对称美。有人说：不对称的才是最美的。
然而我要说，这话在数学中就不适用。数学的对称让它给人赏心悦目、心旷神怡的感觉。数
学概念竟然也是一分为二地成对出现的：奇－偶，曲－直，方－圆，正比例－反比例，导数
—积分……，显得稳定、和谐、协调、平衡，真是奇妙动人。

3 本身美

数学之美，还在于它的趣味。我听过对数学最贴切的形容莫过于：数学是思维的体操。
思维触角的每一次延伸，都开辟了一个新的天地。幻化创新让数学的趣味美表现的淋漓尽致，
而这种变幻是其他学科望尘莫及的。“菲尔兹”奖获得者法国数学家洛朗.拉佛阁一直把数
学视为“富有乐趣”的学科。根据法则、规律，运用严密的逻辑推理演化出的各种奇妙图形、
数学游戏，是数学趣味性的集中体现，显示了数学思维的出神入化、奇趣玄妙，鬼斧神工……
面对这样一些有趣的数学，怎能说枯燥乏味呢？

数学之美，还在于它的形象。黑格尔说：“美只能在形象中出现。”谈到形象美，一些
人便联想到文学、艺术，如影视、雕塑、绘画等立体的、有色彩的事物。似乎数学只是抽象
的孪生兄弟。其实不然。数学是研究数与形的科学，数形的有机结合，组成了万事万物的绚
丽画面。有人对数学的符号美做了这样的阐述：“＝”（等于号）两条同样长短的平行线，
表达了运算结果的唯一性，体现了数学科学的清晰与精确；“≈”（约等于号）是等于号的
变形，表达了两种量间的联系性，体现了数学科学的模糊与朦胧；“>”（大于号）、“<”
（小于号），一个一端收紧，一个一端张开，形象地表明两量之间的大小关系；{[( )]}
（大、中、小括号）形象地表明了内外，先后的区别，体现对称、收放的内涵特征。完美的
诠释了数学美的形象。

数学之美，还在于它的线条和图形。“⊥”（垂直线条）给我们的是挺拔感；“─”（水
平线条）给我们的是沉静感；“～”（曲线线条），给我们的是流动感。几何形体中那些优
美的图形，抑或立体抑或平面，更是令人赏心悦目，给人以无限遐想。我国古代的太极图，
把平面与立体、静止与旋转，数字与图形，更做了高度的概括！

“数学好玩非常好玩”，这是数学大师陈省身先生一生迷恋于数学的最高体悟。数学中
蕴含的美的因素是深广博大的，它贯穿于数学的方方面面。审美需要距离。让我们悄悄地停
下脚步，凝望数学大师那沉思的背影！让我们静静地回味大师平凡的话语，领会数学那纯净
之美、和谐之美、趣味之美吧！

或许有一天，你也会加入数学之美的创造者的行列之中。

yanziwang1209

美中之最上者

——数学文化美学观之我见



左晶

（经济学院 国际经济与贸易系 0411791）



摘 要：数学在普通人的心目中似乎永远是枯燥学科的代名词，正是这种先入为
主的误解阻碍着更多人欣赏其独特宏大的自然学术之美。本文结合美学的相关知
识和作者本人学习数学的心得感受，从理性、简约、确定、基础四个方面，力图
展示数学的独特文化美感，揭示其美中之最上者的学术文化地位。

关键字：数学之美；文化美学



相信在大多数人的眼中，世界上最枯燥的学科非数学莫属。枯燥的数字，枯燥的定理，
枯燥的推演方式，关于数学的一切都枯燥得令人敬畏。学校里，同学们谈数学色变，偶然遇
到一位数学院的同学，且不论其专业课成绩如何，有勇气选择这个充满挑战性的专业本身已
经很值得佩服了。美国的传统韦氏词典对数学的解释是这样的：“Mathematics—the science of
numbers and their operations, interrelations, combinations, generalizations, and abstractions and
of space configurations and their structure, measurement, transformations, and generalizations。”
仅仅从这个定义就不难发现，在数学学科的抽象性与复杂性上，全世界人民的观点似乎惊人


地相似。

但是这样一门世人眼中乏味枯燥的学科，为什么能让那么多拥有天赐之才的科学家为之
着迷？为什么人类追求美的天性并没有让他们对似乎没有任何美感的数学退避三舍？直到
最近一次偶然机会，才让我有时间仔细寻找学习数学的十几年在我的思想深处留下的痕迹，
并且站在那些数学大师的身旁，透过他们的眼睛看到闪着美丽光芒的数学之链。这时我终于
能够明白“天堂里也有数学之美”是出自对于怎样一种宏大之美的敬畏与向往。

1 美之理性篇

如果说培根的科学研究思想开启了人类认识世界的系统理性大门，那么最能够体现这种
理性美的学科当之无愧非数学莫属。无论是推理演绎的方法，还是严格的假设与证伪，都是
数学研究中随处可见的思想，更不用说著名的庞加来猜想、歌德巴赫猜想等等人类对客观世
界的理性扣问。在古希腊时代，《几何原本》影响巨大，直到今天，它都是印刷数量、版本
仅次于《圣经》的读物；文艺复兴延续到17、18世纪的近代文明，牛顿发明了微积分，连
同他的力学理论把整个科学带到了新的境界；以爱因斯坦相对论为基础的现代文明中，高斯、
黎曼准备了很多数学工作，黎曼几何就是相对论的数学基础；20世纪下半叶的信息时代，
就是冯·诺伊曼创造了计算机的数学基础，开启了通往今日世界繁荣的大门。数学参与了几
乎所有人类理性科学的发展阶段，是人类理性思维起源的重要相关者。作为起源最早的科学
体系之一，数学的理性光辉并不因为时光的流失而变得黯淡。客观存在的数字和隐藏在它们
后面的神秘规律甚至比人类更早存于地球上，研究它们的科学让我们系统地建立起认识世界
的理性框架。数学的理性也许有时候显得不那么可爱可亲，因为你会发现那些数字和定理是
如此地铁面无私，容不得半点虚假与背叛，一个点错的小数点，或者是一种未列于讨论范围
的情况，就会让通篇繁复恼人的计算毫无意义，甚至让长时间的研究充作废纸一堆。但是正
是这种不同于感性的严格而客观的“冷酷”才是人类社会进步需要的理性思维，教会我们用
敬畏的心看待世界，看待社会的客观发展规律，看待宝贵的生命。虽然数学不能给你风花雪
月的眼泪和伤春悲秋的惆怅，但历史证明这些眼泪和惆怅在赋予中国含蓄之美的同时，却没
有带给她进步的科学、经济和经典的实验精神，反而滋长了一种中庸唯谷、无病呻吟的消极
态度。一位台湾著名的评论家曾经感叹过：“中国古代大文豪苏轼的聪明才智如果用在数学
上，近代科学理性就会起源于中国了！”事实上，苏轼的许多诗句中也体现着朴素的数学思
想，充分说明即使充满感性的诗人也会憧憬数学的理性之美。从理性美感的意义上，无论是
研究对象还是研究方法，数学都是最先指引人类进入美学殿堂的天使。

2 美之确定篇

一位著名的数学家说过：“我之所以喜欢数学是因为我知道每一道题都有答案，哪怕是
那些现在还没有解决的难题与猜想。”对于现代人所生活的充满不确定性的世界来说，数学
的这种确定性存在就像一束温暖而强大的光芒。不确定努力是否就会有收获，不确定付出是
否就有回报，不确定以前的朋友会不会变成仇人，也不确定未来是否充满艰辛。然而，无论
现实中有多少不确定的茫然与无助，数学的领域里，答案始终是可以期许的。小到高等数学


和代数概率的练习题，大到困扰数学家几千年的猜想与迷题，我们始终知道尽头有答案等待
着我们，不同的只是接近答案花费的时间长短。尽管有人会争辩正是世界的不确定性才吸引
着人们不断去探索，但是和不确定的变化无常的色彩相比，数学中体现出来的确定性更有一
种安定平和简朴自然的智慧光辉。无论用什么方法，无论中间经过多么复杂的演算，有一个
确定的未来在不确定的世界里显得弥足珍贵。任何过程或是事件，一旦能够运用数学的方法
进行描述，似乎就能够进行最直观稳定的掌握。比如房地产经济学中，影响房价的因素很多，
也有很多不确定因素，但是建立在数理统计基础上的OSD方法用一套数学方程就能够相对
准确的拟合现实中房价的变化情况。虽然作为理论中存在的确定性，数学的这种美感更多地
体现在学术研究的层次上，毕竟从某一方面讲，现实生活的基础就是不确定性。但是确定之
美却能够暂时将人们从沮丧和迷茫中解救出来，看到一个温婉清晰的世界。

3 美之简约篇

从来最困难的事就是把一项复杂的事物变得简单，而不是用一个复杂的过程解释简单。
数学就像一个神奇的黑盒子，让一切穿过它的复杂事物变得简单易懂。数学公式是数学简约
之美的集中体现，是自然规律的概括和提炼，它既是自然界的原则，也符合美的原则，它集
数学的深邃、真实、合理、有序、统一、和谐、优美、简洁、实用于一身，是数学真、优、
美的高境界，它处处充满着美的情绪、美的感受、美的欣赏、美的创造和美的表现，用简约
的符号刻划出一个深邃奇妙变化无穷的数学世界。它不仅揭示了客观世界的“真”，而且给
人一种美的享受。经济学中研究的消费者行为，综合了心理学等学科的知识，似乎是复杂到
没有规律可寻的事物，但是引入效用函数和预算线方程，这个看似复杂的概念也可以在简洁
明了的表达方式上深入研究，并给予现实一定的指导意义。再如市场结构中的垄断竞争阶段，
一个综合了多种市场结构特点平衡发展因而更加不好区分研究的结构，依靠数学语言的帮助
却能简单而准确地被描述继而打开研究的思路。实践和经验证明，与众人交流思想的更有效
方式是图形而不是文字。数学作为曾经出现在人类的最古老文字中的图形的一部分，享有得
天独厚的简化事物的本领，当然有助于人类的思想更加广泛地传播和传承。康熙年间，近代
中国与西方文化的首次碰撞就是康熙皇帝从传教士汤若望那里学习到微积分（与现代微积分
不同，刚刚起步）知识，而在中国流传千年的据说曾帮助大禹治水的《河图洛书》中简约的
数学图画竟是莱布尼兹发明微积分的灵感来源之一。能够经得起时光考验的始终是简约的
美，所以在褪去维多利亚时代繁复蕾丝群摆今天，数学的简约之美在学术的圣坛上尤为引人
注目。

4 美之基础篇

有一道GRE（北美研究生入学考试）的作文题这样说：任何学科如果没有学科外的专
家引入其他学科的知识与经验就得不到巨大的发展。在学生们的习作中，数学作为驳斥论点
的反例几乎出现在各国学生的笔下。因为几乎没有一门现代学科不涉及到数学的知识，它是
整个科学系统的基础。尤其是纯粹的理论数学，极端地讲，只需要笔和纸就可以构建直耸入
云的理论大厦。所以不用奇怪数学大师陈景润甚至不知道可乐和雪碧是饮料的牌子，因为他


只需要基础的数学知识就能进入数学的海洋。不必说在人类知识的起源阶段，多数自然学科
都直接源于数学或者间接地借助数学的推理方法取得进步，即使在现代信息爆炸的世纪，没
有数学的基础，一切研究赖以生存的重要工具——电子计算机及其相关技术，就只能是幻想
的存在而已。理工科对数学的无限依恋自不必讲，因为没有数学的指导与帮助，再客观的实
验结果也只是现象，永远不能上升到理论的高度。文史类的学科也并不与数学格格不入，经
济学在其出生地西方学术界早已被归入理工科的范畴，历史学的大量统计研究仰仗与数理统
计的知识，甚至还有红学家运用数学的知识来推断《红楼梦》的正确形成年代。前不久英国
某心理学研究所的研究人员还推出了一套测试爱情恒久性的函数，据说根据这套函数就能测
试出不同男女之间爱情可能的持续时间长度。数学似乎在不知不觉中成为除物质客观性外有
一个人类社会存在的基础。无论多少人叫嚣着学习数学无实际意义，他们生存的世界本身就
到处弥漫着数学基础之美的香气，且久久不散。

5 品味数学之美

培根说：“美中之最上者是言语所不能表现，初睹所不能见及者。”数学之美正是这样一
种美中之最上者。如果不能细心地体念和回味，其中宏大而深邃的理性、确定、简约、基础
之美不会给任何人的思想深处留下美的痕迹。但是无论是古希腊为数学捐躯的伟大女数学家
希帕蒂娅，还是陈老先生期许的数学天堂，都昭示着数学的美确实存在并且深深地打动每一
颗睿智的心灵。作为人类科学的皇后，数学的美需要更多毫无杂念的品味，也需要更多置身
于远山云雾中的淡然。

yanziwang1209

数学无处不在



饶治菁

（周恩来政府管理学院 行政管理 0612777）



摘 要：从远古时期的结绳记事、屈指计数到借助于现代计算机进行计算、证明


与科学管理，从利用勾股测量等具体操作到抽象的公理化体系的产生，都离不开
对数学科学的应用。数学科学的思想、方法与内容已经渗透到人类生活的各个领
域，由其创造出来的美无穷无尽、无限发展。

关键词：数学科学；时代；领域；应用



你从遥远的尼罗河畔走来，岸边高矗的是绝美无比的金字塔以及庄严肃穆的狮身人面
像；

你在两河流域的美索不达米亚平原扎根，不远处耸入云端的是精美绝伦的古巴比伦空
中花园；

奔流不息、九曲十八弯的黄河边上也看到了你，身后沉默不语的是那蜿蜒盘旋的万里
长城；

处于恒河河谷的古老印度大地上也发现了你的踪迹，那美伦美焕的泰姬陵便是最好的
证明。

穿透空间，跨越时间，你来到了我们身边；从古到今、方方面面，你发展悠远、应用
无限。多少种美由你衍化而生，多少种美由你创造出来。你贯穿于我们的生活，谱写出一篇
篇宏伟史诗，奏响了一曲曲壮丽乐章。

啊！数学之美，美之数学！

古埃及人在纸草书上用象形文字书书写写、描描画画，通过演算数学问题而得出了金
字塔的最佳位置，为后人留下了万世永垂的不朽建筑；在历史同样悠久的泥版书上，古巴比
伦人用楔形文字刻下了永远，那些符号虽然早已经风化了千年，但由此推算出的星期用法却
沿袭至今。数学为我们带来的美旷日持久、震烁古今！

古希腊的数学家们强调严密的逻辑推理和由此得出的结论，激发了人们对理想和美的
追求，这就是古希腊拥有很难为后世所超越的优美文学、极端理性化的哲学以及理想化的建
筑与雕塑的重要原因。地中海灿烂的阳光将数学的美广射全世界，让全人类共同拥有那份悠
久骄傲的文化。

遥远的东方，黑眼睛黄皮肤的华夏儿女也将数学的美发挥到了极致。《史记》卷二“禹
本论”中有载：大禹治水的工具为“左准绳，右规矩”，规为圆，矩为方，从而揭示了几何
学的最原始本质；商高答周公的“三角之形，勾广三、股修四、径隅五”则被后人概括为描
述直角三角形三边长度关系的勾股定理，这一定理简单明了，应用极其广泛，连黄毛小儿都
可以摇头晃脑地诵出“勾三、股四、弦五”；作者姓名无法考详的《九章算术》一书采用问
题集形式，每道题皆有问有答有术，“术”乃为解题的思想方法、公式法则，从生产实践、
日常生活中反映出人们对于数学知识的需求及应用。

无处不在、无时不用的数学为这广袤的世界创造出了无垠的美！

印度为人类贡献了一个结构简单却又充满神奇的花环——零；填满宇宙的沙粒数则证
明了大数单位的存在；阿拉伯人在征服了其他民族之后，并未排斥外来文化，而是关心并推


动科学、艺术的发展，他们所拥有的宽大胸怀造就了阿拉伯数字的广泛流传，让全世界的人
民有了一种简明易懂的交流工具。

变换、射影几何则让人类的视角从二维的画布上转移到三维的现实世界中，成功地实
现了时间与空间的转换；博弈论的应用，大到军事、经济、国家的对策，小到儿童玩的“石
头、剪子、布”，源远流长，高度渗透。

数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，也是人类文明史的最重要组成部分。通过
数学这面历史方镜，不仅看到了数学的应用与成就，也看到了数学的发展、分支。她教育人
们去进行抽象的推理，发扬理性主义的探索精神。

随着时代的进步，数学科学的思想、方法、内容已经渗透到人类生活的各个领域中，
科学技术包括社会科学的数学化已经成为一种共识。社会的需要和理论彼此间的渗透把数学
推向前进，并揭示出这些理论所反映的现实世界中各种关系的丰富多彩。正如美国著名的数
学史家M.克莱因所说的“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相
关，这种关系在我们这个时代尤为明显”。人类的现实生活需要数学，国家的发展、科学技
术的进步更离不开数学。

立足当下，活跃于情报机关的密码学完全数学化，成为了一门独立的应用学科；而被
广泛应用的计算机，其最基本的数值单位——二进制，也是来源于数学；概率论在保险业、
统计学等方面扮演了一个重要角色，其地位举足轻重。

数学方法与当前各个领域的发展相辅相成、相互促进、相互依存。现代技术的进步推
动了数学的发展，不断涌现出许多新概念、新课题、新方法，使得数学的应用更为广泛，影
响更为深远。

让我们用数学这锐利工具删繁就简、去粗存精，描绘出一幅以集合、代数、分析等类
学科为核心，多种学科交织而成的宏大而绚丽之图，让数学之美永世长存！

yanziwang1209

概率统计与数学之美



杨丽珊


（周恩来政府管理学院 行政管理 0612782）



摘 要：数学，是从自然万象中捕捉现象、寻找规律、指导实践的智者游戏，有
着灿烂的抽象之美和严密的逻辑之美以及实践的应用之美。而其中，概率统计作
为数学宫殿里的一朵奇葩，在这个数理统计广泛地应用于各个领域的信息时代，
更是受到人们的广泛关注。本文将试图从概率统计的起源发展以及应用来向读者
展现蕴涵其中的数学之美。

关键词：发现之美；逻辑之美；应用之美



1 概率统计论的起源——数学的发现之美

概率统计的起源相当的有趣，它源于对赌博问题的研究。

1653年正在度假的法国数学家帕斯卡遇到其朋友梅累。梅累告诉他，他与另一个人打
赌掷骰子，每人押了32个金币，约定若梅累先掷出三个6点或其赌友先掷出三个4点便算
赢家。然而当梅累先掷出两次6点，其赌友掷出一次4点时，梅累接到命令必须马上赶回皇
宫陪国王会见外宾，不得不中断赌局。他们决定按照已得成绩来分取金币。此时问题便出现
了：其赌友认为自己应该拿走三分之一，而梅累则认为现在自己已掷出两次6点，应拿二分
之一，若下次再掷有二分之一的希望掷出6点，所以还能再拿16个金币，即他认为自己应
该拿四分之三的金币。争论结果现已无从得知，但重要的是后来发生的事情。

当梅累以此事请教他的数学家朋友帕斯卡时，帕斯卡当时也不清楚应该如何分配。但他
意识到这不是一个简单的加减问题了，后来他回到家后又做了许多计算与研究但都没有找到
答案，于是他便写信给他的另一个数学家朋友费马与其讨论。有趣的是惠更斯知道这件事后
也加入了研究。后来他们的讨论结果被惠更斯写入到了他的著作当中，他给出了概率、数学
期望的基本概念的雏形，并得到相应的性质和计算方法，概率统计从此自成系统。

罗丹早就说过世界上不是缺少美而是缺少发现美的眼睛。显而易见，帕斯卡、费马、惠
更斯都拥有“发现美的眼睛”。掷骰子是生活中常见的现象，每次掷出的点数是偶然的，似
乎是没有规律可寻的，但是通过大量的实验可以发现每个点出现的频数是趋于某个常数的，
他们就是在这种看似无规律的现象中去探求规律，把它们用抽象的数学语言表达出来，最终
奠定了一个新的数学分支——概率论的基础。这即是发现之美吧。正如J.Kepler所说的“对
外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些上帝是以数学
语言透露给我们的”。

2 概率统计论的发展完善——数学的逻辑之美

在帕斯卡人的努力下，概率论已经成为数学系统下一门独立科学，而后来的经济发展又
为其进一步丰富发展提供了绝好的契机。

18世纪的欧洲，工商业迅速发展，一门崭新的事业——保险业开始兴起。保险公司为
了获取丰厚的利润，必须先确定水、火灾等意外事件发生的概率，据此来确定保险价格。因


此，各国数学家纷纷加入对概率统计的研究。在这种推动下，研究成果层出不穷。1713年，
瑞典数学家雅各布．伯努力得出了著名的伯努力定理。他的工作使得建立在经验分析基础上
的频率稳定性的估计理论化，概率论也从此对特殊问题的求解发展成为对一般理论的概括阶
段。而同时期的法国数学家悝莫弗首次定义了独立事件的乘法定理，给出了二项分布式，以
及正态分布的概念，对概率论的发展做出了重要贡献。后来泊松、德国的高斯、俄罗斯的契
必雪夫、马尔科夫等人也都对这门理论做出了重要贡献，使之最终发展成了一门系统化的理
论。

我们知道，由简单到复杂，由单一到丰富，由因导出果等等都是大方向上的逻辑顺序。
因为是合理有序、不是杂乱无章，因为是循序渐进不是一蹴而就的。正如概率统计论的发展
完善的过程，从对随机现象的认识到提出频数频率的概念、到抽象概括出古典概型、条件概
型、全概率公式，然后引用函数思想提出了随机变量的概念，又以此为基础研究各种不同类
型的随机变量的特征性质，而这些又是统计论的基础。环环相扣，逻辑严密，我想这可以说
是从大的方向上看数学的逻辑之美吧。

3 概率统计的广泛应用——数学的应用之美

理论之花总要结出实践之果才算得上完美。数学虽然是一门抽象的艺术，但细心观察不
难发现，生活中数学其实无处不在。各种数学理论被应用于各个领域。而在当今这个信息时
代，如何获得更有效的信息，如何对信息进行加工处理成为了成功的必要条件。而概率统计
的知识又是获得和处理信息的所必须的，因此概率统计得以广泛应用于各个领域，不管是自
然科学领域还是社会科学领域。

先举一个它被应用于生物学领域的有趣的例子：一般人或许会认为生男生女的可能性是
相等的，但事实并非如此。一般来说男婴的出生率要比女婴的高一些，发现这个问题的并不
是生物学家而是法国的数学家普拉斯，他通过对伦敦、巴黎等城市的人口统计报告的研究后
得出这个结论的。

在社会科学领域，各国政府都经常要做一些抽样调查来了解民众对某项政策的满意程度
或者通过民意调查来为是否出台某项政策提供现实依据。当然还有像人口普查之类的调查都
需要运用概率统计的知识，用样本信息去推断总体信息，这样可以大大减少财政支出。而大
部分的企业在决定是否投资某个产品的开发之前都会做市场调查，通过被调查人的态度来推
测产品推出后会不会受欢迎，然后再决定是否进行投资，这样就降低了投资风险，这也是运
用了概率统计用样本信息去估计总体的基本思想。而对收集到的数据的处理也从原来的依靠
人算的阶段发展到利用各种计算机软件来处理的阶段。实际上这种软件的开发也是利用了数
理统计的知识。

相信随着网络技术的不断发展，概率统计的知识将会越来越广泛地运用来处理庞大而繁
杂的信息。而数学的应用也将得到更多人的认识与赞美！

yanziwang1209

其余的文章不一一贴了，需要的朋友请下载全文。

imlucky

非常精彩
谢谢分享

安心儿妈妈

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有时间的时候 慢慢拜读
我认为学好数学最大的好处（对我这个普通人） 就是有一定的推理能力 规划能力