弔诡的“三门问题”

imlucky

三门问题，又可称为蒙提霍尔问题（Monty Hall problem）、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，其场景源于美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。
参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车；另外两扇门后面则各藏有一只山羊。
当参赛者先选定一扇门，但在还未去开启它的时候，节目主持人（知道三门后面的情况）开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。
这时，主持人会给参赛者一个重新选择的机会——问参赛者，要不要换另一扇仍然关上的门，还是仍然坚持原先的选择。
问题来了：换另一扇门会增加参赛者赢得汽车的机会（概率）吗？

jiangying

当然会增加

imlucky

先给出一种解答，且称解答一吧

再说明一下，主持人知道三扇门后面的情况，永远只会开出有羊的一扇门（当然，否则就game is over了）
也永远会存有一扇有羊的门（不管车在哪扇门后）

好，
现在参赛者上场，作出选择，先选定一扇门。
当然，他选到车的可能是1/3；没选到的可能为2/3（这个应该没有异议吧）

主持人开一扇没车的门，然后提供机会，让重新选。
此时，假设参赛者1是坚持的，参赛者2是改选的

对参赛者1:
第一次选的是车的可能为1/3
第二次坚持，未重新选择（不影响结果）
so，得到车的可能自然是1/3

对参赛者2：
如果最后失败，一定是这样的：
第一次选了车（可能为1/3），
第二次改变，（100％失去车）
即失败的可能是1/3，
这样，成功的可能为 1－1/3=2/3

或者换个角度，参赛者2赢一定是这样的：
第一次选的是羊，（可能性为2/3）
第二次改变，而由于在选完以后剩下的2扇门，一扇是车，一扇是羊，开了羊的，只能剩下车的了，改变的结果100％开有车的门
这样，总的看，可能性是(2/3)x1=2/3
即这样的事件的概率是2/3，也即得到车的可能是2/3

imlucky

这里是另外的观点，姑且称为解答2吧：

"三门问题", 著名的玛丽莲给了答案, 原版网站也看过了, N多的PhD从不服到服, 似乎玛丽莲很有说服力.

不过, 事实果真如此么?

不了解什么是"三门问题"的, 建议先看看如下问题的原版:
Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors. Behind one door is a car, behind the others, goats. You pick a door, say #1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say #3, which has a goat. He says to you, "Do you want to pick door #2?" Is it to your advantage to switch your choice of doors?

Link: http://www.marilynvossavant.com/articles/gameshow.html

玛丽莲给出的答案是应该换一扇门, 理由是换一扇门的机会是2/3. 如果你仔细读下去, 就知道她的理由是:

DOOR1 DOOR2 DOOR3 RESULT
GAME 1 AUTO GOAT GOAT Switch and you lose.
GAME 2 GOAT AUTO GOAT Switch and you win.
GAME 3 GOAT GOAT AUTO Switch and you win.

表面上看, 好象 玛丽莲的分析很有道理. 但是, 不要忘记了" the host, who knows what's behind the doors, opens another door", 也就是说, 主持人是知道3#门后面没车的, 所以他才开. 以上Game 3的情况是不可能存在的. 只有2种可能性, 换与不换都只有1/2的结果.

同样地, 玛丽莲的回答也是不成立的:
Yes; you should switch. The first door has a 1/3 chance of winning, but the second door has a 2/3 chance. Here's a good way to visualize what happened. Suppose there are a million doors, and you pick door #1. Then the host, who knows what's behind the doors and will always avoid the one with the prize, opens them all except door #777,777. You'd switch to that door pretty fast, wouldn't you?

无论节目中有多少门, 被主持人开的, 都是不可能有车的门, 都不在考虑概率的范围内, 100万扇门又如何? 最终还是只有2种可能性. 还是只有1/2的可能性.

在什么情况下玛丽莲是对的呢? 在"host DOSE NOT know what's behind the doors"的情况下她才对. 假定游戏是这样的: 你选一个门后, 主持人再帮你开另一扇门, 如果开出来是车归你, 如果开出来是羊再继续由你决定. 那么这时, 玛丽莲才是正确的. 只有在这种情况下, 选2号门的概率才是2/3(实际上并不是说2号门是2/3, 而是2号门和3号门加起来是2/3)

结论是: 不要人云亦云,要有思辨力

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（解答2结束）