成年组[守擂]——高数/数学分析习题

长用户

原帖由 qqyou 于 2009-6-24 15:21 发表
我说一下这个题的思路吧，好久不弄数学，那些基本定义和符号系统都不熟悉了

1、F(x)是连续函数，所以他的反函数G(y)也是连续函数，且值域是[0,n]
2、F(0)=F(n)决定了 u,v∈[0,n](u

F(x)是连续函数，仅连续函数未必有反函数.   所以他的反函数G(y) ?

qqyou

原帖由 小米爸爸 于 2009-6-24 19:47 发表


QQ的问题是，他用了反函数来证明。而原题的函数恰恰满足一个条件就是f(0)=f(n)也就是说当
   x1=0,  x2=n时   f(x1)=f(x2),那么原函数就存在着两个X对应于同一个函数值Y。


而一个函数存在反函数的充要 ...

你说得很对，我错了，让我再想想

我一直觉得从值域入手会最简单一些，哈

平行于X轴，对函数做平行线，除顶底点外，会相交至少两点，能否证明两个交点差形成的函数U-V是连续的呢？大概不是吧。看来需要换一个思路了。

[ 本帖最后由 qqyou 于 2009-6-25 00:21 编辑 ]

qdylz

感觉已经证明了，可能楼主还有其他方法，等楼主过来确认。

bucy

qdylz发话了：擂主在阶段结束时应当适当小结一下，比如攻擂的做法对不对，如果不对，是否继续攻擂，还是直接公布答案、宣布活动结束等等。

在小结之前，我先转贴一位中学数学老师的贴子，很有借鉴作用。


归纳的几种中学数学解题方法^o^

NO.1　配方法
配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
NO.2　因式分解法
因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
NO.3　换元法
换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
NO.4　判别式法与韦达定理
判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。  
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
NO.5　待定系数法
待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的重要方法之一。
NO.6　构造法
构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

bucy

    我本来是没有什么资质可以在几位专家面前班门弄斧的。但是我始终是擂主，就献丑了。

    其实各位能在这么多年不学数学的情况下把这道题弄成这样还是难能可贵的！至少各位想到了一些思路，比如周期延拓，介值定理，数学归纳法等等。而且有些思路已经接近正确的证法了，不过各位没有用到一个很重要的工具（象我前面说的，能熟练用这种工具的人，数学能力起码比一般人高一个档次），这个工具上面那个数学老师也总结了，就是所谓的“构造法"——它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等。
     另外针对各位的证法，我还要从复旦大学编的《数学分析》里摘录一句原话送给各位：大多数性质从直观上看是相当明显的，但在数学上却必须一个个加以严格的论证，而不能仅以直观来代替。


     从头分析一下这道题，题干只有3个信息，f(x)是连续函数，定义域是闭区间，两端的函数值相等。我们知道，数学的题干是没有废话的，每一个信息对题目的解答既不会多也不会少。换句话说，我们要证出来，必须把题干的信息都用到。
    先看前2个信息，那我们应该想到闭区间上连续函数的性质，这里面有用的有“零点存在定理”或“介值定理”。
    虽然知道肯定要用到这些性质，但这个题目直接去用或者画图很难用得上。所以需要构造法了！这种手法冒似技巧，在我看来却是数学的基本功，和一般“奥数”的思维技巧不是一回事。所以我对于孩子数学培养的观点始终是：在学习纯粹的思维技巧之前，更应该花大力气掌握扎实的数学基本功。

     先小结到这儿，各位加油，胜利在望！

jymm222

原帖由 bucy 于 2009-6-26 00:57 发表
qdylz发话了：擂主在阶段结束时应当适当小结一下，比如攻擂的做法对不对，如果不对，是否继续攻擂，还是直接公布答案、宣布活动结束等等。

在小结之前，我先转贴一位中学数学老师的贴子，很有借鉴作用。

...

我建议如果这期不能攻擂成功，转入下一期，别太早直接公布答案、宣布活动结束。喜欢这种看起来无计可施，做出来简捷的题目。

中小学很长一段时间对数学有兴趣，但当时资源严重缺乏，虽然喜欢，也没有什么突破 。大学后，没认真学习过（现在想来是非常后悔的）。所以，基础也不好，悟性也不好 。介值定理是什么意思，已经毫无概念。

我现在就去搜索学习一下。

qdylz

强烈建议别删帖，要是你最后证明出来了，这些过程中的手稿也会价值非凡。

bucy

曲线、图形是帮助我们思考的，本身和解决问题并无矛盾，但是要注意光靠图形能否走得通，一条路不一定走得通。
我看见的两个成功的证法一个是构造函数，一个是构造命题或两者结合。

bucy

你的思路很可贵的，真的！

qdylz

擂主提示了介值定理，以前小米爸爸也提示过（不愧为数学系的），找来看看，或许找到灵感了。

介值定理


　　定理：设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在这区间必有最大最小函数值：f(min)=A,f(max)=B,且A≠B 。那么，不论C是A与B之间的怎样一个数，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得 f(ξ)=C (a<ξ<b)。

　　特别是，如果f(a)与f(b)异号，那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ，使得f(ξ)=0 (a<ξ<b)---零值定理。

　　几何意义：在[a,b]上连续的曲线与水平直线y=C(A<C<B)至少相交于一点。

　　特别是，如果A与B异号，则连续曲线与x轴至少相交一次。

　　“介值定理”是闭区间上连续函数的性质之一。


写个思路吧：

1、假设x＝p时有最小值f(min)=A，x＝q时有最大值(max)=B，则p、q将f(x)分割成三段单调函数f1(x)、f2(x)、f3(x)。根据介值定理，可以证明对于任何〔0，p〕区间内的f1(x)，对于任何〔q，n〕区间内的f3(x)，都可以找到对应的f2(x)。证明f(u)=f(v)。
2、重新构建一个函数G(x)，G(x)＝x2-x1〔f1(x)=f2(x)〕，它在〔0，n〕上为连续函数，在〔0，m〕上最小值为0，最大值为m；在〔m，n〕有最小值0，最大值n－m。利用介值定理，x2-x1有n个整数。