成年组[守擂]——高数/数学分析习题

bucy

的确是很难，数学系的人也不一定做得出来。
不过当我看到证明方法时，才发现从这个角度其实也可以认为是简单的，至少用的都是初等数学里的方法。

原帖由 zhf_liu77 于 2009-6-23 22:57 发表
太难了，想了半天还是没作出来。放弃

小米爸爸

原帖由 bucy 于 2009-6-24 02:44 发表
这种证法是有问题的哟。
N=K+1,不一定有f(0)=f(K)=f(k+1)哟。
你这种是特殊的情况，f(x)=C一条平行与X轴的直线。

，看来还是不趟这个浑水为上, 说真的解题解够了，也没多少意义，其实你说的特殊情况我在7楼进就想到了，这个数学归纳法的证明过程我偷懒了一下，很讨厌。还有感觉你有点将连续函数与单调函数弄混了，也许你是故意这样来作弄我吧。

最后问你个问题，你是如何知道我是数学系出来的？我好象不认识你啊。

一不小心，还错编辑了你的贴子，看来当版主也不是好事。

[ 本帖最后由 小米爸爸 于 2009-6-24 10:27 编辑 ]

qdylz

哈哈，bucy一语言中，我也是才知道。

放下太久了，难怪。

bucy

我没搞混，不过如果把连续函数理解成没有断点的函数确实不对。但我是想让中学的孩子也参与进来（如果不考虑特殊情况的话）
好啦，贴出连续函数的定义：
Limf(x)=f(x0)
x-x0

中文定义就是函数在X趋向于x0时的极限等于X＝x0时的函数值。

另外，你是坛上名人，我怎么会不认识你？

原帖由 小米爸爸 于 2009-6-24 07:52 发表



，看来还是不趟这个浑水为上, 说真的解题解够了，也没多少意义，其实你说的特殊情况我在7楼进就想到了，这个数学归纳法的证明过程我偷懒了一下，很讨厌。还有感觉你有点将连续函数与单调函数弄混了， ...

bucy

刚才小米爸爸不是说做出来了吗？怎么又删贴了，呵呵。

qqyou

我说一下这个题的思路吧，好久不弄数学，那些基本定义和符号系统都不熟悉了

1、F(x)是连续函数，所以他的反函数G(y)也是连续函数，且值域是[0,n]
2、F(0)=F(n)决定了 u,v∈[0,n](u<v),使得f(u)=f(v)的存在
3、u-v=G(a)-G(b)
4、根据连续函数定义，G(a)-G(b)这个函数是连续的，且值域也是[0，n],所以至少有n个整数可以满足条件

qdylz

我怎么没有看懂呢？

“在0~k1这范围的曲线，v-u有1~k1总共k1个整数值，”为什么？

小米爸爸

本来给你加分了，但回家路上一想，觉得你的方法有根本性的错误。将加分给撤了。你忘了一点.

原帖由 qqyou 于 2009-6-24 17:21 发表
我说一下这个题的思路吧，好久不弄数学，那些基本定义和符号系统都不熟悉了


我说一下这个题的思路吧，好久不弄数学，那些基本定义和符号系统都不熟悉了

1、F(x)是连续函数，所以他的反函数G(y)也是连续函数，且值域是[0,n]
2、F(0)=F(n)决定了 u,v∈[0,n](u<v),使得f(u)=f(v)的存在
3、u-v=G(a)-G(b)
4、根据连续函数定义，G(a)-G(b)这个函数是连续的，且值域也是[0，n],所以至少有n个整数可以满足条件

小米爸爸

n为自然数，f(x)在[0，n]上为连续函数，且f(0)=f(n).试证明至少存在n对不同的u,v∈[0,n](u<v),使得f(u)=f(v),且v-u为整数.

QQ的问题是，他用了反函数来证明。而原题的函数恰恰满足一个条件就是f(0)=f(n)也就是说当
   x1=0,  x2=n时   f(x1)=f(x2),那么原函数就存在着两个X对应于同一个函数值Y。


而一个函数存在反函数的充要条件是，自变量（X）与函数值（y）的关系是一一对应，也就是x与yj是一对一的关系，而本题的条件是二对一的关系，所以本题的函数的反函数是不存在的，当反函数不存在的情况下你再用反函数来证明，那就是错的。

不过大米很佩服你思维的活跃性与灵活性。

其实本题可以用介值定理，加数学归纳法来证明，但作为一个老师来说，这样处理是个失败，所以我跳过不说了，

长用户

证明:
至少存在u=0,  v=n   u,v∈[0,n](u<v),
使得f(u)=f(0),  f(v)=f(n),    且v-u为整数.