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干嘛学数学？（美） 斯坦
第十二章 所有改革都到哪里去了
如何教数学？百年来一直有两派意见吵吵嚷嚷、争论不休。一派认为应该强调计算技巧，另一派认为应以了解本质为主。数学教育就在两边摆来摆去，一下子「回归基础」，一下子又变成「新数学」或「解决问题」，从来没出现一种平和的折衷方案。通常学校当局决定选择某种新的数学教材时，报纸的「读者投书」栏马上出现一场大混战，就像学校的图书馆决定禁逐哪本书，或学校想解散足球队时，引起的热烈讨论一般。
也许教数学最理想的方法是一对一的教学，这种冲突就不会发生。当我学画画的时候，就充分体会这种一对一教学的好处。我请美术系的一位女同学凯蒂教我，她直截了当地要我张开画布，把颜料挤在调色盘上，拿起画笔。接着她问我：「现在你想画什么？」我正好带着一张风景照片，有条小径穿过树林直达湖边。「好，开始吧。」事情就这么简单。当我试着把颜料涂上画布时，我们讨论该选什么颜色以及效果如何。我就学会画画了。
当学生每年都碰上数学
教数学应该也采一对一方式，就像师徒制，针对每个学生做特殊剪裁。老师可以了解学生的程度、学生的兴趣而做适当的鼓励。但经济条件不允许我们这么做。在美国，一位国中数学老师通常要教150名学生，每周平均分给一个学生的时间还不到15分钟，时间短到连寒暄都不够。至于小学老师，每班大约是30人，还可以勉强分成几个小组，让小组里的学生互相讨论，维持了最起码的人道规模。
老师如何处理小组教学或个人教学，实际上会影响整个课程的设计，而不只是影响到数学教育。但以学生的观点，数学和学校几乎是同义字。我猜想如果要求任何人以学校为主题作自由联想，大部分的人都会想到数学。数学毕竟是最显著的目标，从幼儿园到高中年年都有。而且它是一种累积性的知识结构，例如，百分率是从分数而来的，而分数又来自整数的算术。这意思是说，如果学生有某项重要观念没搞清楚，在后来的几年都会受影响。这种情形可能会导致恶性循环，造成学习效果更加低落。
难怪在宪法修正案里讨论到，学校要不要受到「默祷一分钟」这类事件的打扰时，有份报纸的时事漫画出现了这么一幕：教堂里一位牧师说：「政府要求我们，学校里若要学生作祷告，教堂里也应该匀出时间来学数学。」漫画里不提拼字、不提文法、也不提历史，单提数学。
我想起有一位教「教育学」的教授有种古怪的嗜好，专喜欢从数学教学里举例，评论失败的教法。有一天，她的课堂里正好有个学生是学数学的，学生问道：「难道其它科目里完全没有失败的例子吗？」她的坏习惯才中止。
数学教师烦恼不少
也许失败的例子在数学科比其它科目更显而易见。数学的答案对错分明，没有模棱两可的地方，因此学习过程中任何的混乱，很容易暴露出来。有一份历史悠久的刊物《数学教师》（The Mathematics Teacher），是专门谈数学教育的。浏览这份刊物你会发现满纸辛酸。从1908年出版的第一期中，就有人写：「在我们学校里，对数学教育最明显的现象就是普遍的不满。」在1911年出现的语调也好不到哪里：「我们学校的数学教师会议气氛很沮丧。我常有机会参加丧礼，丧礼上的气氛也不比我们的会议气氛差多少。我们的教学很失败，学生得不到任何有价值的东西。」
年复一年，《数学教师》里的抱怨持续不断。我们直接跳到1958年，有篇文章写着：「传统教材根本没有意义。而那些持现代见解的人所提出的抽象数学，又距现实过分遥远。」这是对所谓「新数学」的预警，这项新数学改革运动后面会详细介绍。到了1994年，情况还是一样，芝加哥大学的「学校数学计画」抱怨：「今天学生面对的教材，还是一百年前为当时的学生设计的内容，只是改头换面而已。」
在《数学教师》里，对这些抱怨有许多互相矛盾的理由：例行性计算太多、原理太多、应用部分不够、应用部分太多了、计算器与计算机的使用太少、使用太多……等等。其它还有，对数学科不够在意，不如艺术课程，也不如其它的文化课程；也常有人埋怨数学老师的准备不足。1910年就有一段文章是这类的抱怨：「所有近代物理的第一流设备也不能取代一位好老师，最好的教科书也不能代替生动的语言。」
这样怨东怨西的，最后一定会埋怨学生的家长或整个社会。我试着引述一段1911年的文章：「主要归咎于现代社会的精神错乱。这种精神错乱的原因之一是太多美国家长的数学不好，又没有充分与学校合作。」至1992年，情况依然不变，「在美国能进行有意义的教育改革之前，我们美国人必须决定自己对孩子的期望是什么。我们对学业成就是否很重视？或者我们重视其它的目标，比如待人和善或身体健康？」
数学教育改革名目多
针对这些批判，美国在二十世纪做过无数次的教育改革。有些规模很小，只在一、两个实验班进行；有些则涉及整个学校或行政区；更有些广及整座城市、全州或全国。这些改革计画大都是突然提出来的，甚至大家对造成问题的原因都还没有一致的看法。就像医生还没有找出病人的病因，就要病人试吃各种不同的药丸一样。
当政策由一个神奇解答摆到另一个时，每一阶段都有个响亮的名号。1950年代「回归基础」，1960年代「新数学」，1970年代又「回归基础」，1980年代「解决问题」以及1990年代「团体学习」。而改革运动会引起多大的回响，则看倡议者有多大的热忱，在宣导会上能否把改革的理念说得很清楚，使观念散布开来；或有没有本事从各种基金会或政府手中，拿到大笔的补助款。总有人被说服，认为倡议者握有能使数学教育成功之钥。接着行动症候群就登场了：没有什么东西比一位坚持理念的改革者更具说服力。
回顾以前那些改革行动，我对那些改革者能前仆后继，不断推动这个改革的破轮胎前进，实在印象深刻。
1909年，有人写过一段针对数学教育改革的告诫，至今仍然适用。「进行一项改革需要很大的能量来克服习惯的惰性。从数学教育的历史可以看出，教学重点有过一连串的变动，从强调这个到强调那个。而所有的改革就当时看来都很不错，但时间一久，终被弃置一旁，形同废物。有些改革者把现行体制的成就视若无物，只想全盘推翻，以便在全新的基础上建立全新的架构。真正的改革很少是这样做的。」
记住这些话，接着我要介绍四次数学教育改革，一个小型的、一个中型的，一个是大型的；大型的那个改革产生了「新数学」。最后是近日这个超大型的，支持者称之为「新教学标准」，而反对者说它是「新的新数学」。
贝尼泽特的小实验
1929年，在纽约的绮色佳（Ithaca）举行了一场校长会议，会中要求与会的校长设法减少课程，以腾出空间给一些新增的课目，「如安全、健康以及五花八门的指示事项。」针对这项要求，新罕布什尔州曼彻斯特的校长贝尼泽特（L. Benezet）写信响应：「让孩子花八年的时间才学会一般数学，是没有意义的。数学课程可以延迟到国中才教，正常学生只要花两年功夫就能学会。」
在此之前，贝尼泽特因为取消小学一、二年级的数学课，已饱受批评。他觉得自己的信「代表了自己真正的想法，因此若不能把它付诸实行，一定会影响自己的前程。」接着在几年之内，他真的进行一连串的实验，还写了很多篇报告公布实验结果，刊登在1935和1936年的《国家教育学会期刊》。
贝尼泽特知道自己能得到教师和学生的合作。但学生家长会怎么想？多少家长愿意让他们的孩子像天竺鼠一样，参加这种危险的实验？贝尼泽特把自己的计画写信通知家长，却没有什么人反对。贝尼泽特承认自己很幸运：「我的学区中，只有十分之一的家长是以英语为母语的。若学生的家长大部分有高中或大学学历，我一定会接到暴风雨般的抗议，实验就做不成了。」
依照贝尼泽特自己的说法，事情是这样的：「我们把第六届学生分成两组。实验组一直到六年级才开始教数学，而传统组在三年级就开始教数学。刚开始，传统组领先。到了四月，两组的数学成绩已不相上下。在一年之内，实验组学生的数学能力就完全追上传统组的学生，而后者已经学了三年半的数学。」此外，学生对求证的推理过程也能充分了解，例如：「为什么除数是分数的时候，把除数的分子、分母颠倒相乘，可以得到正确的答案。」
学生多出来的时间做什么呢？贝尼泽特用来上「阅读、推理和背诵」。实验组的学生对阅读更有兴趣，字汇能力较佳，语言的表达能力也比较流畅，甚至好过那些说英语的家庭。
当我阅读贝尼泽特的文章时，我非常赞成他的想法，觉得自己彷佛也参与了整个实验。虽然体会到一种行动症候群的冲动，我却知道不可能把他的想法传播出去，因为现在说英语的家长太多了。因此贝尼泽特的改革完全从舞台上消失得无影无踪。在一些私塾式学校或小型的私立学校里，学生是依照自己的进度来学习的，此时我们可以看到贝尼泽特的理论付诸实现，但并不能强迫所有的人都照样做。
中型实验「共同学习」
我要说的第二次改革，对数学教育留下的影响很多。由于我自己是两个始作俑者之一，我对这次改革知道得很清楚。
1968年，当我儿子约书亚进高中时，我开始有机会接触到高中数学课本。书里的说明和练习都非常可怕，不但卖弄文词，而且过分抽象、沉闷。我决定去拜访他的老师。
克雷比尔是一位令人尊敬又有经验的老师，我们商量之后，决定移动课桌椅，让学生四个人一组坐在一起。他们彼此可以互相帮忙，练习以数学的语汇交谈，而且能立刻得到回馈。老师仍然是关键性的角色，但不像以前那样只管讲课，他可以在教室里走来走去，检查各组的学习进度，如果发现全班学生普遍有同样的困难，他就走上讲台讲解。另外，在各组都讨论完毕之后，他上台介绍讨论的主题并作结论。简单地说，学生从小组讨论学到一些东西，也从老师的讲解学到一些东西。
学生的热烈反应鼓舞了我们，因此决定把实验范围扩大到整个代数、几何与三角的学习过程。就像贝尼泽特校长一样，我们也被行动症候群感染，开始在数学老师的集会中，推广我们的理念。
我们把教科书放在一旁，油印了一些适当的教材，并且邀请别人参加实验与练习。这些讲义最后还编成三本课本，几何课本是几何学家查克林（Donb Chakerian）与我们共同合作的。这是第一套由「小组学习」方式发展出来的数学教科书。
现在，过了二十年以后，「共同学习」已经变成1990年代的流行方式。但是当我到学校参观时，我发现这种技巧常遭误用：老师或者觉得应该把所有的事情都留给学生，让他们自己去发现，而一言不发；或者反过来，太快回答问题，使得学生没有机会好好思考。这并不是我和克雷比尔的本意。我们的教科书现在还在发行，没什么广告，淹没在一大堆印刷精美、色彩丰富的新书之中。不论如何，我们的改革成果是维持下来了，虽然已经不是原来的形式。这让我了解并没有所谓「不需要老师」的教科书。在教学活动中，老师永远是最重要的，远比任何教科书或计算机计画重要。
冷战产物「新数学」
我要讨论的第三次数学教育改革是来自「学校数学研究群」（School Mathematics Study Group），简称SMSG，大家称这次改革的内容为「新数学」，它是冷战期间的产物。
1957年10月4日，苏联发射了第一枚人造卫星「同路一号」（Sputnik 1）。当它飞过美国领空，有上百万美国人凝视着它。我也是其中之一，看着这个高空中的小光点，移动得比飞机还快些。一股民意声浪立刻涌现：「苏联的火箭比我们好，我们远远落后，情况危急。我们的教育系统一定有问题，我们必须改革所有各级学校的数学与科学教育。」
为了响应这股呼声，国家科学基金会撒出了好几百万美元，接连数年支持SMSG，发展标准数学课本。
其实有件事知道的人不太多，就是：美国本来可以在同路一号之前就发射人造卫星的。但是艾森豪总统不愿意把军事火箭用在和平用途上，他认为这样会引起不当的联想。后来他写道：「把和平用途的地球卫星计画与军事飞弹计画分开是不对的，最主要的问题在于，若不利用军事飞弹，卫星计画无法尽早实施。如果不分家，陆军在1956年底就应该能成功地把人造卫星送入地球轨道，会比苏联早得多。」美国在1958年1月1日成功发射自己的卫星「探险家一号」（Explorer 1），只比苏联晚三个月，可见艾森豪说得不错。如果不是他太有良心，可能就不会有SMSG了。
要了解SMSG的重要性，我们必须回过头去看看它对数学教育做了些什么，以及它有些什么贡献。
1958年当计画开始时，计画领导人贝格尔（Ed Begle）提出五项原则，似乎很有道理：
没有人能正确预测哪一种数学技巧在将来会有用。
没有人能正确预测学生将来会选择什么职业。
强调了解但又不忽略基本技巧的教学法，对学生最有益，也最能使学生为将来必须应用到数学的才能做好准备。
了解数学所扮演的角色，在我们的社会里，是知识分子的重要特质。
任何正常人都能欣赏数学的美丽与力量，而这种欣赏能力是文明人文化背景的重要部分。
贝格尔也描述了一种很合理的进行方法：SMSG将结合数学家、中学数学老师、师范院校的数学教师共同努力，提供出来的教材将可融合正确的数学内容与完善的教法。
从1958到1961四年之间，SMSG的大部分工作都已完成。每件事都已经好好想了出来：大学教授与中学数学老师合作，共同写出教科书，而这些教科书又在数百间学校试用。然后依据试用的老师与学生的反应，再改写课本里的说明。这些课本的作者可以说是脚踏实地完成这份教材的。
没有人能质疑中学数学老师在作者群里的代表性不够。1958年夏天撰写第一部分教材时，参加的47人中有16位中学数学老师。在1959年，106位作者中有41位中学数学老师，1960年是101人中有49位；最后到1961年，中学数学老师更超过半数，在71人中占了40位。
从一开始，SMSG就得到很有力的支持。在1959年的《数学教师》期刊中就提到：「课程内容的改革以前也有人提倡过。但这次的改革运动不太一样。数学教授与中学数学老师一起坐下来，写出课本。」另外，在1961年也提到：「对于我们这些熟悉过去五十年来各种改革运动的人来说，改革的成果似乎总是低于预期目标。但这次的改革有这么多地方级的老师密切参与，结果可能会不同。这个SMSG计画应当会成功。」
除了称许改革计画的目标明确以及许多人投入的热情之外，初期也还是有不安的声音冒出来。1960年，《数学教师》期刊里，有一位老师很严肃地提出他的疑惧：
我的教师同事们，你们觉得自己被逼得团团转吗？你们觉得自己的学生有一位像你这样保守的老师，是被欺骗了吗？他们学的数学不是已有六百年之久了吗？
「现代数学」到处风行。教现代数学成了最新的万灵丹，用来解决数学教育的弊病。但这次的运动不像以往，因为它有各界的普遍支持，也花了巨额经费。
现在大家都期望，高中数学的教材将和二十年来的内容完全不同，我们这些数学老师应该有权反对这种想法。我认为这些提倡新想法试验的人，可能反而使得数学教育倒退。
这种反对的疑云也吹进大学。1962年的期刊里，出现一份有65位数学家签名的备忘录，提到：
如果教材改革的方向错误，不但使我们错失掉最好机会，也将是一场大悲剧。很不幸的，现在有很多力量可能带领我们走错路。
过去，数学教育是由中学数学老师执牛耳的，他们重视教法更甚于重视教材内容。现在，数学家插一脚进来主导整个局面，强调教学内容，却牺牲了教法。这可能同样没有效益。在潜意识里，数学家很可能不自觉地假设，所有年轻人都会喜欢现在数学家喜欢的东西。
尽管如此，SMSG并没有受到这些异议的妨碍，继续往改革之道迈进。1963年，它发行一份「给父母的非常简短的数学课程」文告，文中提到：「父母将会发现，自己孩子所学的数学课程已有变化。学校指定的家庭作业里，有些新的词汇与想法。父母亲可能发现自己不再能协助孩子，解答算术问题。」
这些新观念之中，最令父母亲大惑不解的，就是「非十进制」的数字系统。因为它在新数学里有象征性的重要意义，以下我会稍微介绍一下。这种概念至少已经有三百年以上的历史，和我们现在以0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9来表示所有数字的系统相比，即不会比较难也不会比较简单。它之所以显得难，只是因为我们不习惯。它是写数字的不同方法，属于另一种数学语言。主要的混淆来自：我们仍然使用十进制的数字及算术方式来描述它。
非十进制简单吗？
我们有十个数字，因此小于10的数目，我们分别给予一个特定的符号来代表，从0到9。除此之外，我们不再需要数字元号。我们以十个为一群来计算，之后用十个10（即百）为一群来算，以下类推。当我们写21时，意思是「两个10加1」。当我们写201时，意思是「两个100，没有10，加1」。
「十」这个数目没有任何神秘性。如果人类只有四根手指头，每只手两根，我们很可能用四作计算基础而不是十。这种情况下，我们只需要0, 1, 2, 3这四个数字就够了。这就是四进制的世界，和我们的世界对照，我们是十进制的世界。
在四进制的世界里，下图的点将被算成「两组4，剩下3」：
这个数字写出来就是23。当然我们对自己的十进制系统这么习惯，一看到这个数字，立刻联想到更多点，意思是「二组10加3」。但是四进制是另外一种数学语言，它的数字虽然看起来和我们的很像，却有不同的意义。在这种语言里，23是指「二组4加3」。要忘掉我们习惯的十进制，而以其它的进制系统来写数字，并了解它们的算术表示法，可能需要好几天的功夫。
在此稍微提示一下，习惯四进制的小孩子看到的数学世界长什么样子。请看一下他的乘法表。因为只有四个数字0, 1, 2与3，乘法表只有九格要背，看起来令人相当开心。
这个乘法表看起来很奇怪，但这只是因为我们成长在十进制的世界里。举例来说，要计算出3×3，孩子会画出次页上方左边的图，然后他以四个一组来算，就像次页上方右边的图。我们可以看到图上有两组4个和剩下1个，学生会把结果写成21，因此3×3＝21。为了不与十进制混淆不清，这里的21应该念成「两组四与一」而不是「二十一」。
如果我们每只手只有一根手指头，那可能只有二进制，仅以0与1代表数字。小孩子要背的乘法表就会像下面的图那么简单。
孩子们如果知道这件事，可能会反对我们用十进制，而希望用二进制。但是当他们知道了二进制的缺点之后，也可能会遗憾自己的选择。用二进制时，即使遇到很小的数字，也需要很多位数。比方说在二进制里，2要写成10，4要写成100，8是1000，而16则会成为10000。
另一方面，二进制让计算器非常方便，因为只有两个数字，0与1，很容易用电子组件的「开」状态或「关」状态来代表。
专心学好十进制就可以了
我不想继续往下说了，不然这一章会变成讨论其它进制的章节了。要把一种新的进制说完，例如怎么做加法与乘法的运算，还需要不少篇幅。读者可能要花好几个小时的练习，才能体会相关的算术技巧。这里我只是想指出，我们这些在十进制环境长大的人，在面对非十进制系统时会遭遇到的挑战。也许数学老师应该学一点其它进制的演算技巧，使他能对学生强调演算的重点，帮助学生好好学会十进制的技巧。但不管在任何情况下，学习任何一种进制最好的方法，就是经常用它。我们用的既然是十进制，实在不需要把它和别的进制混为一谈。
但是SMSG却深信，必须教导中学数学老师学会不同于十的进制。在SMSG给国一数学老师的建议里，说明：「这个单元会加深学生对十进制与整数的了解。因为在学习新的进制时，学生必须了解进制与其它数学演算的机制与原因，他对十进制会得到更深的见解。」
诺贝尔物理奖得主费曼（Richard Feynman, 1918-1988）就对教中学生非十进制非常感冒。在他的书《别闹了，费曼先生》里，他详述了自己的看法：
1960年代早期，有一天我的助理哈维说：「你应该看看学校的数学课本长的样子。我女儿带回家的东西和想法，实在有够荒谬！」
在苏联发射了同路号人造卫星之后，很多美国人觉得我们的科技落后了，于是就请数学家提供意见，看怎样用些有趣、近代的数学观念来教数学……
让我举个例子：他们讨论数字的不同进制，比如五进制、六进制、七进制等等。如果学生已经明白十进制，那么讨论其它进制还说得过去，这可让他的脑袋轻松一下。可是在这些课本里，他们把这转变成每个孩子都要学会的进制。于是就出现了这类令人望而生畏的习题：「把这些七进制的数字转换成五进制的数字。」把数字从一种进制转换到另一种进制，是完完全全没用的事情。如果你会转换，也许还蛮好玩的；如果不会，没关系，因为那一点也代表不了什么。
到了1965年，SMSG的工作几乎都完成了。有一本书检视了SMSG的成果，是由伍登（W. Wooton）写的，书名是《SMSG：教科书的诞生》。书中的论调还蛮乐观的：「直到目前为止，对这份教材的反应还不错，不论学生、教师、家长、官员和数学家都表示满意。迹象显示它的影响将会持续下去。从它前四年的发展情形看来，教室里的老师和象牙塔里的数学家是可以共同合作的。」
但是几年之后，多数新数学的改革都消失了。也许它太注重于介绍技术名词、太过抽象或解说太复杂了；也许教师的训练不够，不足以处理这种新数学；也许它根本没有得到发展的机会，举例来说，有一位SMSG新教科书的业务代表对数学老师说：「如果你不想教新数学，只要跳过最前面的一百页就行了。」
SMSG的工作也不是完全白费了，它至少让数线（number line）在教室里有了显著的地位。任何看温度计或直尺的人，都知道数字可以对应于直线上的点。整数、分数甚至负数，都可以在这条称为数线的直线上，有个固定的位置，如下图所示。
有了数线的帮助，学生就可以像看见几何物体一样，看到数字的世界。除此之外，SMSG还将机率的观念引进教材里，也帮助很多高中学生有能力读微积分。
像SMSG这种开头轰轰烈烈的大型改革运动，不但结合了教师与学者的努力，还搜集了从教室回馈回来的反应，甚至依据这些反应改编了教材，最后仍难免失败的命运。不过数学教育的改革运动并未终止，很多由私人基金会或州政府、甚至联邦政府支持的改革仍然持续进行。但现在的刺激源头不再是同路号人造卫星了，而是美国学生在国际数学竞赛中的成绩低落，或认为少数民族的儿童需要不同的数学教学方式，或只是想把数学与计算机结合等原因。
不受挫于过去的失败教训，还是有许多教授和老师敢发展新的数学教材。当我见到一份这种新教材的编辑说明书时，我觉得上面说的都对，包括它的目标、严谨的试验过程、改版花费的时间以及使用者的回馈意见等。我觉得自己似乎已成为他们的一份子，行动症候群又在我身上发作了。我想，终于有人找到正确的途径，它一定会成功的。而这一定也是当年SMSG计画的参与者，那些教授与老师共同的感觉。
但是当我看到他们的最终产品，一本高中几何课本时，所有的信心全崩溃了。这本书居然超过八百页，单单解释「点」的定义，就足足写了十二页。
「新教学标准」大张旗鼓
1989年，一场新的数学教育改革运动又轰轰烈烈地登场，规模甚至超过SMSG。这一年，美国国家数学教师委员会（NCTM, Na-tional Council of Teachers of Mathematics）公布了一份《课程与评估标准》，那是一本浅白说明数学课应该教些什么内容的书。两年之后，他们又发行另一本类似的书《数学教学标准》，建议数学应该怎么教，以及数学老师怎么养成。这份「标准」的意图是「为以后十年的学校数学教育改革建立广阔的架构，引导改革的方向。指出数学教材应有的内容、各单元的优先次序与该强调的部分。」
这两本书都鼓吹一种彻底的改革，不注重老师授课，而强调学生自行发现，不注重例行计算，而朝向非例行问题的解题和推理。两本书都敦促老师应该持续强调「行」而不是「知」，数学观念应该以一种「探究导向」的态度，由学生自己发掘问题，而不是由老师提出问题再来教。就像新数学，这新教学标准强调了解，但最后的命运也类似。
新数学产生于冷战期间，新教学标准则是针对美国学生在国际数学竞赛成绩低落的反应。新数学着眼于数学的逻辑性，新教学标准则把焦点放在学生身上，要他们从经验里「建构」数学知识。新数学做出一套可供使用的课本，而新教学标准反而只提供评估课本与教学方式的准则。新数学是由数学家和老师共同参与的，双方人数大略相等，但新教学标准则纯粹由数学老师发展出来。新数学只针对教材做改革，但新教学标准却打算翻修所有的东西，包括教材、教育方式，以及评定学生成绩的方法。
不过，新教学标准和新数学的目标却很类似：「学生应该重视数学，对自己的数学能力有信心，能解决数学问题，并且能用数学方法来沟通与推理。」
为了达成这些目标，学生常被编成小组，共同建构他们的数学知识（专有名词称为「建构理论」）。新教学标准强调，「好老师能刺激学生学数学。学生只有在自己了解的情形下才能学会数学。他们必须检查、应用、证明、沟通。当学生编成小组后，经由讨论、参与并且自己努力学习之后，才能建构自己的数学知识。学生不可能只听到什么东西就学得会。」
一片歌功颂德之声，绝非好事
新教学标准同样面临「计算」与「思考」这类古老的冲突：「某些纸、笔的计算技巧是很重要的，但这种知识只在利用它们解题时才重要。」另一方面，「在传统复杂的纸、笔计算技巧上，计算器已经可以取代。」
新教学标准的改革内容洋洋洒洒，在应增加的教学内容方面，包括：增加开放性的问题、发现数学理念、由经验推理、将数学与外面世界连接、和其它同学的连系、发展数字的观念……。新教学标准主张应当减少的部分，包括：例行性一步步解答的问题、填空式的作业、依赖老师的权威、老师的说明、背诵规则……。
也许这项新的教育改革有机会成功。如NCTM的主席普莱斯（Jack Price）在1994年所写的：
在我们进行目前的数学教育改革过程中，已有些成功的迹象。我们会这样认为，是有理由的。第一，所有与数学教育有关的社群、数学家、数学教育人员和行政官员都已经站在同一阵线，虽然步调仍可能不完全一致。第二，我们摆脱了以往的改革「由上而下」的模式，这种模式已证实是失败的。在改革的发展与进行过程中，我们确实做到使每个人都是平等地位的参与者。第三，这项改革有研究基础，理论架构也很健全。第四，符合新教学标准的课本正由出版商在编辑筹备中。第五，现有的科技可以协助改革的进行。最后，政府也支持这种改革方向。
新改革运动的支持者相信这次会成功，因为他们相信已经避免了新数学推动时所犯的错误。
但新教学标准也与新数学一样，受到一些零星的质疑。在布什总统时代协助拟定全国教育行政计画的芬恩（Chester Finn, Jr.）在1993年的《教育周刊》上撰文：「即使在全世界流行十二年义务教育的今天，像新教学标准这样的东西也很少被采用。不过，绝少有哪一种挑战传统做法的改革，能得到如此的尊敬与支持的……我们最好祈祷他们走对方向，否则就会像旅鼠似的，一大堆人盲目跟着前面的领袖前进，最后才发现自己置身险地。」
芝加哥大学一位专研数学教育的教授尤希斯金（Z. Usiskin）把他的疑惧说得更清楚。在一道相当温和的标题＜NCTM标准的第二版应该有什么改变＞下，他做了一些不怎么客气的批评：
反对新教学标准的声音很微弱，主要是NCTM阻止任何对它的批评。如果有人不赞成这项标准，就表示他反对好的数学教育、好的教法和好的评量方式。
实际上，新教学标准并没有记取以往的失败教训，它没有指出哪些建议是以前提过、但没有成功的。在新教学标准里也看不出来什么是真正的新东西，它的很多建议从未大规模试验过。
虽然大家支持数学教育改革，是因为美国学生在国际比赛的表现欠佳，但新教学标准并没有把那些成绩好的国家所用的最好观念引进来。它也轻视其它国家所用的数学课本。为什么？理由之一是那些课本并不符合新教学标准所揭示的理念。别的国家并不认为学生永远必须自己建构数学知识。
只是纸上空谈罢了
事实上，新教学标准里的想法并不是新东西，许多单位的文献都已经提过。而我最感到忧心的是，新教学标准的作者群并没有引述任何先导型计画的结果，也没有任何学区曾经真正进行过试验，不知道他们的目标在真实世界里是否真的能达成？我的意思是说，他们提议改变整个世代学习数学的方法，但却没有事先检查建议的可行性。肥皂制造商想推销一种新肥皂，都比他们慎重：在大量制造之前，一定会先在几个商店或城镇里试卖的。
不管新教学标准的目标与建议多么令人满意，它还是必须依赖出版课本的书商与负责教学的老师来贯彻与落实。出于好奇心，我特别翻阅了加州最近采用的一本课本，该课本声称符合新教学标准的准则。
下面是国中一年级数学课本的一部分，它要学生「发现」三角形的三个内角和永远是180度。在「共同作业」的标题之下，写着这些指示：
带一个纸制的三角形来，形状与同一小组里每个人的纸制三角形都不同。把三个内角的角度写上去，然后把三个角撕下来。再把三个角边靠着边并排在一起，不要重叠。
看起来出现什么结果？与小组的成员一起比较你们的结果，做个合理的推测。
就在这段文字的次页，响应这段指示的是，「在共同作业的活动当中，你会发现下面的陈述是对的，」然后用粗体字排出，「三角形的三个内角和是180度。」
从这样一个学习实验，学生能发现或建构什么数学知识？由我对学生的了解，他们一定会马上翻到下一页，看看粗体字写些什么，并且停止小组实验活动。
如果真的要学生自己发现，可以要求学生画几个不同形状的三角形，度量每个内角的角度，再把三个内角的角度加起来。而正好这也让学生有些练习的机会。然后教室里的同学可以互相比较结果，并且猜猜什么是对的。他们可能、也可能不会推测出三个内角和是180度。这时候，老师可能说：「对，它永远是180度。」但如果老师这么做，他就剥夺了学生学习数学推理的机会。
另一方面，老师可以说：「实验结果似乎表示三角形的三个内角和是180度。但它们真的永远恰好是180度吗？我现在不用任何实验，为你们证明三个内角和确实是180度。」
「首先，你们必须知道一些与角度有关的事。在下面这张图里，有两条并行线被第三条线切割，角x与角y是相等的。
「同样的，在下面这张图里，角y与角u也是相等的。
「因此，在下图中的角x与角u是相等的。
「现在假设有任何一个三角形，三个内角分别是A、B与C，正如次页的图。
「我们从这个三角形的顶点，画一条与对面的边平行的线，并把这个顶点的两个边都延长。则三角形的三个内角都挤到这个角落的水平线上，形成一个平角，也就是180度。而我们刚才已经说过，这三个角正好分别等于三角形的三个内角A、B与C。」
接下来，老师可以要求全班同学画一个四边形，然后实验一下，看看四个内角和是多少。虽然老师已经对三角形做过完整的说明，学生还是有很多余地可以探索与学习的。他们可以自己说明实验的结果。
日本的教科书就用不同的方式来处理这个问题：章节一开始，就讨论等角关系，接着说明三角形的三个内角和是180度，并解释原因。学生并不是靠自己去发现的，他们是被教会的。尽管如此，日本学生在一些需要创造力的测验里也表现优异。
美国课本在两方面都很差劲，既剥夺学生发现数学真相的机会，也剥夺他们认识数学推理与证明的过程。
我认为最理想的做法是，让学生进行我所描述的实验，而课本对内角和的结果是多少则只字不提。当全班都忙着对付这个问题时，也许会推论出内角和为180度。此时老师可以反问他们：「大家确定吗？会不会是179.45度？」经过一些讨论后，老师再把证明过程讲出来。老师要在学生的发现与自己的授课之间，保持一种均衡。我很担心有些老师看到新教学标准所做的建议「减少老师的讲授」，会误解成「不必老师讲授」。
这算什么数学课本？
在加州一本新的数学课本里，标题为「关键思考」栏里写着：「一个圆的圆周是否比它的内接正方形的边长还长？这有何意义？请解释。」
我相信这是因为新教学标准强调思考与沟通得来的灵感。但我对于应该怎么回答第二小题，一点概念也没有；至于学生会怎么解释，我也毫无头绪。第一小题的答案倒是很简单，只要回答「是」就行了，这似乎也很难发展出什么沟通技巧。
课本的其它地方还提到，圆周与它直径的比值，不能用一个确切的小数来表达。这完全是胡说八道。这个商是个无穷小数，始于3.14159，你只要有时间，爱写多少位数就写多少位数。但无穷小数也有它确定的值，例如1/3＝0.333……。
浏览过几本所谓合格的新课本好几百页的内容后，我有很不安的感觉。这些课程内容显然是匆匆忙忙编在一起的，既未经过任何教室的试验，也未经过数学家认真的审查。这些课本的内容只顾及到新教学标准的文字表相，却没有触及它内在的意涵。也许受限于时间与经费，出版商没办法把事情做好；但在另一方面，他们却又有时间与金钱，把书印得色彩精美、漂漂亮亮的。在林林总总的彩色说明里，我看不到一点数学的踪影。我担心的是，出版商在课本里放了这么多照片，目的恐怕不是想帮助学生学习，而是想让教科书评选委员留下深刻印象。因为，要从这么多候选教科书中挑一本出来，毕竟是很费力的工作。
有一份报告比较了美、日两国的教科书，结论如下：「日本的课本平均约有200页，一般分为七章，每章又分为互有关联的二到三节。反观美国课本，平均厚达475页，大约包含有十二章，每章又很松散地包含十几个没什么关联的主题……美国课本里大约有19%的说明文不对题，日本课本根本没有这种情形。」显然，美国课本的生产方式应该要进行一次大翻修。
老师加油！
除了教科书出版商之外，数学老师也有责任把新教学标准的理念落实到现实环境里。其中特别重要的是小学数学老师。小孩子对数学的印象是从小学五、六年级开始的，以后就定型了。而且数学有很紧密的结构，一个观念架在另一个观念上，一种技巧排在另一种技巧之后。如果学生没把一种重要的想法搞懂，以后的东西就完全无法了解了。
很少有老师具备足够的背景知识去执行新教学标准。我教的学生里，很多是将来的小学数学老师，通常他们都不想选修科学与数学方面的课。他们把必须修的数学课程尽量往后延，拖到高年级才来修。有些人的数学能力很差，甚至分不清5/6与1/2哪个比较大，也有人算不出2/5＋1/10等于1/2，不论用式子或图形都不没办法。
有个老师想照新教学标准的建议，让班上的学生实际练习，因此要学生计算兴建一座公园的成本。在篱笆这个项目，他应该把圆周的计算公式给学生，结果他给的是面积公式。显然，如果老师本身的数学能力不足，在带领学生的时候，任何时候都可能碰到各种奇怪的难题，而觉得陷入水深火热之中。
新教学标准为数学老师的训练，开出一张包罗万象的药方，远超过目前的实际状况。举例来说，小学五年级到国中二年级的数学老师，应该要会矩阵、三角学、坐标几何、球几何、统计学、微积分，以及极限与无穷。我希望新教学标准把数学老师的再教育列为最优先的工作，而不要一次就想同时完成课程、教材、评量等等的大翻修，否则一定会失败。
改革运动总是眼高手低？
我担心新教学标准很像个建筑师，已经设计出一座很漂亮的大桥，但是承包商却使用包着铁皮的木头来做桥墩，造桥工人也像木匠一样，只是用钉子把整个结构钉牢而已，不是焊上去的。
这份新教学标准到底会把我们带到美好的应许之地，或是另一处险地，现在还言之过早。但有件事很清楚，在过去一百年来，至少有过一次大型的数学教育改革运动，并没有成功。有一位数学教育家，以前也曾担任数学老师，道格戴尔（S. Dugdale）告诉我：「这种改革运动总是换汤不换药，名字每十年就换一次，内容却很少改变。」
我在下一章会对数学教育做一些建议，内容很简单，规模也很小，因此我不认为它们与枝繁叶茂的数学教育改革运动，有什么瓜葛。 |
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狗仔卡
发表于 2009-5-30 11:36:34
看来还得多花心思在这上面。唉，时间不够啊。
