小孩数学思维【zt】

新新唐人

一、数形结合的思想方法

数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。

例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了数形结合的思想。

二、集合的思想方法

把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法,继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。集合思想作为一种思想，在小学数学中就有所体现。在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。

如用圆圈图（韦恩图）向学生直观的渗透集合概念。让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边行集合等。

三、对应的思想方法

对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。

如人教版一年级上册教材中，分别将小兔和砖头、小猪和木头、小白兔和萝卜、苹果和梨一一对应后，进行多少的比较学习，向学生渗透了事物间的对应关系，为学生解决问题提供了思想方法。

四、函数的思想方法

恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。学生对函数概念的理解有一个过程。在小学数学教学中，教师在处理一些问题时就要做到心中有函数思想，注意渗透函数思想。

函数思想在人教版一年级上册教材中就有渗透。如让学生观察《20以内进位加法表》，发现加数的变化引起的和的变化的规律等，都较好的渗透了函数的思想，其目的都在于帮助学生形成初步的函数概念。

五、极限的思想方法

极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，了解它有重要意义。

现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。 在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想；在循环小数这一部分内容中，1 ÷ 3 = 0.333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的；在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。

六、化归的思想方法

化归是解决数学问题常用的思想方法。化归，是指将有待解决或未解决的的问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决。客观事物是不断发展变化的，事物之间的相互联系和转化，是现实世界的普遍规律。数学中充满了矛盾，如已知和未知、复杂和简单、熟悉和陌生、困难和容易等，实现这些矛盾的转化，化未知为已知，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化困难为容易，都是化归的思想实质。任何数学问题的解决过程，都是一个未知向已知转化的过程，是一个等价转化的过程。化归是基本而典型的数学思想。我们实施教学时，也是经常用到它，如化生为熟、化难为易、化繁为简、化曲为直等。

如：小数除法通过“商不变性质”化归为除数是整数的除法；异分母分数加减法化归为同分母分数加减法；异分母分数比较大小通过“通分”化归为同分母分数比较大小等；在教学平面图形求积公式中，就以化归思想、转化思想等为理论武器，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应，从而构建和完善了学生的认知结构。

七、归纳的思想方法

在研究一般性性问题之前，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从而归纳出一般的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。数学知识的发生过程就是归纳思想的应用过程。在解决数学问题时运用归纳思想，既可认由此发现给定问题的解题规律，又能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的原理或命题。因此，归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法，也是思维过程中的一次飞跃。

如：在教学“三角形内角和”时，先由直角三角形、等边三角形算出其内角和度数，再用猜测、操作、验证等方法推导一般三角形的内角和，最后归纳得出所有三角形的内角和为180度。这就运用归纳的思想方法。

八、符号化的思想方法

数学发展到今天，已成为一个符号化的世界。符号就是数学存在的具体化身。英国著名数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”数学离不开符号，数学处处要用到符号。怀特海曾说：“只要细细分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便，甚至是必不可少的。”数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展。如果说数学是思维的体操，那么，数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。

人教版教材从一年级就开始用“□”或“（ ）”代替变量 x ，让学生在其中填数。例如： 1 + 2 = □ ，6 +（ ）=8 ， 7 = □+□+□+□+□+□+□；再如：学校有7个球，又买来4个。现在有多少个？要学生填出□ ○ □ = □ （个）。

符号化思想在小学数学内容中随处可见，教师要有意识地进行渗透。数学符号是抽象的结晶与基础，如果不了解其含义与功能，它如同“天书”一样令人望而生畏。因此 ，教师在教学中要注意学生的可接受性。

九、统计的思想方法

在生产、生活和科学研究时，人们通常需要有目的地调查和分析一些问题，就要把收集到的一些原始数据加以归类整理，从而推理研究对象的整体特征，这就是统计的思想和方法。例如，求平均数是一种理想化的统计方法。我们要比较两个班的学习情况，以班级学生的平均数作为该班成绩的标志是有一定说服力的，这是一种最常用、最简单方便的统计方法

小学数学除渗透运用了上述各数学思想方法外，还渗透运用了转化的思想方法、假设的思想方法、比较的思想方法、分类的思想方法、类比的思想方法等。从教学效果看，在教学中渗透和运用这些教学思想方法，能增加学习的趣味性，激发学生的学习兴趣和学习的主动性；能启迪思维，发展学生的数学智能；有利于学生形成牢固、完善的认识结构。总之，在教学中，教师要既重视数学知识、技能的教学，又注重数学思想、方法的渗透和运用，这样无疑有助于学生数学素养的全面提升，无疑有助于学生的终身学习和发展。

新新唐人

1.函数思想：
把某一数学问题用函数表示出来，并且利用函数探究这个问题的一般规律。这是最基本、最常用的数学方法。

2.数形结合思想：
把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。例如求根号（(a-1)^2+(b-1)^2）+根号(a^2+(b-1)^2)+根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^2+b^2)的最小值，就可以把它放在坐标系中，把它转化成一个点到(0,1)、(1,0)、(0,0)、(1,1)四点的距离，就可以求出它的最小值。

3.分类讨论思想：
当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。比如解不等式|a-1|>4的时候，就要讨论a的取值情况。

4.方程思想：
当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。例如证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。

另外，还有归纳类比思想、转化归纳思想、概率统计思想等数学思想，例如利用归纳类比思想可以对某种相类似的问题进行研究而得出他们的共同点，从而得出解决这些问题的一般方法。转化归纳思想是把一个较复杂问题转化为另一个较简单的问题并且对其方法进行归纳。概率统计思想是指通过概率统计解决一些实际问题，如摸奖的中奖率、某次考试的综合分析等等。另外，还可以用概率方法解决一些面积问题。

新新唐人

数学思维方法（1）——集零为整巧解题

我们在平时学习的知识一般都是分层次、分内容的较零散的知识形式，在解答应用题时，就会将我们学习掌握的知识逐个知识点从储存的大脑中调出来分内使用。但是，有些题若按常规方法来解答不太容易，也比较麻烦，这时我们可以将思维方法转换一下，把问题看作一个整体，这样解题效果特别好。这种解决问题的的思维方法叫做集零为整法，或称为整体思维。
例1、有五个数的平均数是7；如把其中一个数改为9后，这五个数的平均数则为8。改动的那个数原来是多少？
[解题思路]：
你可能读了题目之后，想知道五个数各是多少，这显然是没有必要的。这道题的解答应该从整体去考虑，改动后的五个数的总和比原来增加：
8×5-7×5=5
那么，什么数“增加5”后变为9呢？这就太简单了，一年级的小朋友都会做。
解：根据分析，列综合算式为：
9-（8×5-7×5）=4
答：改动后的那个数是4。

例2、设有四个数，其中每三个数之和分别为22、20、17、25，求这四个数。
[解题思路]：
此题按常规的解题习惯，须分别设四个未知数，然后列出四个方程，这样就出现了很大的难度，我们小学没学过方程组。如把四个数之和作为整体x,则可列出简易方程求解。
解：设四个数之和为x,则四个数为x-22、x-20、x-17、x-25，由题意可得
(x-22)+(x-20)+(x-17)+(x-25)=x
解得x=28
所以，四个数依次为8、3、6、11。

请你试用集零为整的思维方法解答下面的题：
任意调换五位数12345的各位数上数字的位置，所得五位数中质数的个数有多少个？



数学思维方法（2）——巧在变更 豁然开朗

某山区农民收获了很多花椒，拿到集贸市场去卖，但销路不好，其原因是包装不吸引人。后来他们重新设计了一种漂亮、新颖的包装，很快就打开了销路。
这个例子说明了由于变更了花椒的包装，使得山区农民获得了可观的经济效益。
解数学题也要这样考虑，把问题进行适当的变更来达到化难为易，化繁为简的目的，从而达到顺利解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做变更思维法。

例：计算：1990×198.9-1989×198.9
[思路分析]
根据积的变化规律：一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变的道理，可把被减数变更成为：199×1989，变更后的被减数199×1989和减数1989×198.8中都有相同的因数1989，可运用乘法分配律把它提取出来，由此得如下解法。
解：1990×198.9-1989×198.9
=199×1989-1989×198.9
=1989×（199-198.9）
=1989×0.1
=198.1


数学思维方法（3）——反面思考 快速巧妙

如果要证明一台电视机坏了，可以有两种基本办法：一种是拆开电视机，检查零部件和线路，只要能找到一个故障，就可以断定说它坏了；另一种办法是接上电源，调节视频，如果接收不到相关频率的图象或声音，就断定它坏了。后一种思路实际上就：假定电视机没坏，那么接上电源，调整视频就能接收到清晰的图象和声音；现在收不到声音和图象，就与假定没坏产生矛盾，矛盾产生的根源在于假定电视机没坏，所以这个假定不成立，应该给予否定，既电视机坏了。这种反过来想问题的思考方法叫做逆向思维，可以在数学解题中借鉴。

例：永星小学的一次数学竞赛，共有10道题，每做对一道题得8分，每做错一道题扣5分，小华得了41分，他做对几道题？
[思路分析]
这道题固然可以按“常规”解法，设小华做对了x道题，做错了（10-x）道题，根据题意列出方程
8x=41+（10-x）×5
8x=41+50-5x
8x+5x=91
13x=91
x=7
答：小华做对了7道题。
如果用逆向思维，则可以得到如下新颖的解法：
解：假若小华10道题都做对，那么他应得10×8=80（分）
但他实际只得了41分，一共失了80-41=39（分）
条件告诉我们，每答错一道题“不仅不给分，还要倒扣5分”，即每答错一道题就失掉5+8=13（分），由此就能求出他答错了39÷13=3（道）题。
10-3=7（道）
答：小华答对了7道题。

在数学上解答题时，用反面去思考问题，思路会如“柳暗花明”，往往可以收到意想不到的效果。请你在学习中多运用逆向思维法解决问题。

请你用逆向思维法解决问题：
有这样一个抓牌游戏：两人轮流抓54张扑克牌，每人每次可以抓1张到4张但不可以不抓。规定抓到最后一张牌者为输。想想，如果你先抓，怎样才能立于不败之地？


列举着眼 开辟坦途（4）
通过对问题所有可能情形的一一列举来获得解答的方法，应用于数学题的解答就是根据题目的某一方面的要求全部举出（不可遗漏）基本符合要求的数据；然后从中挑选出完全符合题目要求的答案。这种方法叫做列举思维法。
例、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中，选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3、5、7和13整除，这个数最大是多少？
[思路分析]
这道题的数量关系十分复杂，而且题目所给的条件不够“充分”，如果用一般的方法来分析解答，看来比较困难。我们不妨用列举思维法来试试。
解：要使这五个数能被3、5、7和13整除，可知这个五位数是3、5、7和13的公倍数。因为3、5、7和13的最小公倍数是（3×5×7×13）=1365，这个五位数中1365的最大倍数是1365×73=99645，但99645中有两个9重复，不符合题意，因而可以从99645中逐步减少1365，直到寻找出符合题意的五位数。
99645-1365=98280（不符合题意）98280-1365=96915（不符合题意）96915-1365=95550（不符合题意）95550-1365=94185（符合题意）
可见这个最大的五位数是94185

请你用列举思维法解答下题。
*有两个二位数，它们的差是56，它们的平方数的末二位数字相同，求此两数。


[思路分析]
把所求的两数所应满足的条件分解如下


数学思维方法（5）——一一对应巧解题

打上课铃了，同学们纷纷回到自己的座位上，每个同学和他们的座位之间就是一种对应关系；又如放学了，同学都回到自己的家了，这些同学与他们各自的家也是一种对应关系。对应关系是一种常见的普遍现象，每个对应都是按照一定的规律进行的。日常生活是这样，学习数学也不例外。有些数学题，如果按照常规方法去解答比较困难，这时我们就可以考虑把问题进行适当对应来达到化难为易的目的。从而使原问题得到顺利解决，这种思维方法叫做一一对应思维。

例、高级奶糖每千克10元，普通奶糖每千克6元，水果糖每千克2元。现将2千克高级奶糖、3千克普通奶糖、5千克水果糖混合在一起。问这种杂拌糖每千克多少元？


[思路分析]
这类问题实际上就是求平均数问题。由问题“这种杂拌糖每千克多少元？”知道，它的总数量应该总钱数，总分数应该是总千克数。由条件知道：10元与2千克、6元与3千克、2元与5千克分别相对应，由此可分别求出高级奶糖、普通奶糖、水果糖各自的钱数是：10×2=20（元），6×3=18（元），2×5=10（元）。三种糖果的总钱数是： 20+18+10=48（元）。三种糖果的总重量是2+3+5=（千克）。总钱数48元与总重量10千克相对应，由此可求出这种杂拌糖每千克的价格是：48÷10=4.8（元）

解：根据以上分析得：
（10×2+6×3+2×5）÷（2+3+5）=4.8（元）
答：这种杂拌糖每千克4.8

请你用一一对应思维方法来解答下面的题：
学校篮球队有12人合影留念，普通彩照洗2张的价格是16元，加洗一张0.8元。如果一人得一张照片，平均每人出多少钱？


数学思维方法（6）——凝聚发散 沟通纵横

在日常生活中存在着一种普遍现象——凝聚发散 。
例如，你往一锅采汤里滴一些香油，一会儿就会发现锅里有一大片油花；你往一条河里投下一块石头，也会出现一片浪花等等。这种现象在数学解题中有着广泛的运用。凝聚，就是思考，找出解决问题的规律；发散，就是运用规律，指导行动，使这个规律用于解决问题，从而可发展规律的广泛性。向“纵、横、深、广”拓展，向“少、精、活”探索。这样，学会一例，就可以驾驭一类，既能提高运算速度，又能有目的地把各类知识像糖葫芦一样串联起来，达到温故而知新的目的。这种思维方法叫做凝聚发散思维。
例、计算：32+64+128+256
[思路分析1]
按照从左到右的运算顺序计算
解法1、
32+64+128+256
=96+128+256
=224+256
=480
[思路分析2]
运用加法交换律和结合律：32和128结合，64和256结合，可以使计算简便。
解法2、
32+64+128+256
=（32+128）+（64+256）
=160+320
=480
[思路分析3]
这四个数分别是32的1倍、2倍、4倍、8倍，所以这四个数的是32的（1+2+4+8）倍，一个数乘15可以用“乘10加半”巧算。
解法3、
32+64+128+256
=32×（1+2+4+8）
=32×15...........用乘10加半巧算 32×10+(320/2)
=480

请你运用这个方法解答下面的题
一列火车6小时行360千米，照这样的速度，火车行12小时行多少千米？

jiaqimama2002

好贴，顶一个，谢谢分享

nnliziyuan

恩 不错哦， 有道理。

yankee318

好贴，顶一个，谢谢分享

听好歌

，顶一个，谢谢分享
不错哦， 有道理。