整除的一个题目

jymm222

由0、1、2、3、4、5、6 可以组成很多个无重复数字的七位数。有些能被55整除，求这些数中的最大数和最小数。

qdylz

一楼的题目，好像jiangying的最简单，不记住11整除的规律只有象10楼那样自己推导了。

没有更简单的做法。

jymm222

原帖由 qdylz 于 2011-2-22 22:27 发表


把1a87a2分成两块，即1a8和7a2，很显然，前者是某数乘以2008的2，后者是这个数乘以2008中的8。
（这个倍数不会超过100，否则，1a8中的1就成了2以上的数字了，数字7位数上不会进位。）

7a2＝8/2*1a2，700+10a+2＝4×（100+10a+8）＝400+40a+32，

a＝9

用这个思路，换个说法（我家孩子思维还不够跳跃，需要知道一步一步怎么来的）：

1a87a2是2008的倍数，这个倍数不会超过100，否则，1a8中的1就成了2以上的数字了，不合题意。
这个倍数是两位数，在此写为mn (十位数字为m，个位数字为n)。

mnx2008=1a87a2
mnx(2000+8)=1a87a2
( )  ( )  ( )  000+［］［］［］=1a87a2
( )  ( )  ( )  =mnx2，［］［］［］=mnx8，所以( )  ( )  ( ) x4=［］［］［］，即1a8x4=7a2，(100+10a+8)x4=700+10a+2，解得a=9。

qdylz

这个题目jiangying的方法最简单，但是需要记住11整除的规律。
10楼的做法就是在不了解规律的情况下，自己推导求解的，但是有些繁琐。

有没有一种不需要记住11整除规律，比10楼更简单的方法？

jiangying

关于整除，那个帖子还漏了些

对于7，11，13
还可以截断最后三位，求差，再看能否整除

qdylz

研究整除，这个帖子不能不看http://bbs.etjy.com/thread-155118-1-1.html

qdylz

原帖由 oye妈妈 于 2011-2-21 12:56 发表
请教一下1a87a2是2008的倍数，a=___________。 这题怎么除了凑外怎么理解？

把1a87a2分成两块，即1a8和7a2，很显然，前者是某数乘以2008的2，后者是这个数乘以2008中的8。
（这个倍数不会超过100，否则，1a8中的1就成了2以上的数字了，数字7位数上不会进位。）

7a2＝8/2*1a2，700+10a+2＝4×（100+10a+8）＝400+40a+32，

a＝9

jymm222

原帖由 jiangying 于 2011-2-21 15:07 发表
1. 能被55整除，则必能被5和11整除
得出结论：
a.个位为5或0
b.奇数位与偶数位的和之差能被11整除

...

不知“b.奇数位与偶数位的和之差能被11整除”这个特征，因此绕了一个弯，才到16和5那里，后面一样了。




绕的弯：

0+1+2+3+4+5+6=21

1）如果(abcdef+abcdef0)没有进位，则奇数位数字之和＝偶数位数字之和，依题意(奇数位数字之和+偶数位数字之和)为21，无解。

2）如果(abcdef+abcdef0)有进位

1. 奇数位和偶数位，如双方进位次数相同，则奇数位数字之和＝偶数位数字之和，......无解。

2. 如单方进位次数为1次，则一方数字之和减10，另一方数字之和加1，两者相差11，双方总和21，因此为16和5

3. 如单方进位次数为2次，则相差22，双方总和21，无解。

数字之和为5的组合：0、1、4 和 0、2、3。
......（后面一样了）

[ 本帖最后由 jymm222 于 2011-2-21 15:56 编辑 ]

jiangying

1. 能被55整除，则必能被5和11整除
得出结论：
a.个位为5或0
b.奇数位与偶数位的和之差能被11整除

2. 0、1、2、3、4、5、6 相加得21，要使奇数位与偶数位的和之差能被11整除，必为16－5，一共7个数，组合只能是0，2，3或0，1，4为偶数位，其他为奇数位

3.先求最大数，百万为6，个位为5，偶数位取1，4可以最大，该数为6431205

4.再求最小数，百万位取1，个位取5，最小为1042635

jymm222

2008=8x251，则1a87a2是8的倍数。
1a87a2＝1a8000+700+a2，因1a8000能被8整除，700除以8，余数为4，则a2除以8，余数必定为4。这样的a有3个：1、5、9。代入1a87a2，除以251，a=9符合要求。