[讨论】蒙特霍问题

qqyou

我们都是一些有智慧的父母，在养育孩子的过程中，我们有自己的想法，也经常会遇到选择。那我们的选择是否就会比那些普通的父母更好呢，还是仅仅是为了自圆其说。这就类似下面的蒙特霍问题可能的一些答案。

蒙提霍尔问题，亦称为蒙特霍问题或三门问题（英文：Monty Hall problem），是一个源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏节目 Let's Make a Deal。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。
　　
　　这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？

qqyou

shanlon	2009-3-12 10:35	威望	+2	强烈要求换图片! 这么猥亵的图片应该打 ...
shanlon	2009-3-12 10:35	金钱	+2	强烈要求换图片! 这么猥亵的图片应该打 ...

图片，没有图片呀，你说的是论坛的广告么？那个我可是没法子

xfang126

真是一些有智慧的父母！！！

shanlon

这个问题的关键是：主持人是否知道门后面是什么?

如果知道， 就如同QQ的答案一样: 1/3的几率变为1/2, 那肯定要转换的...........

但是如果不知道呢?

第一选择:   车 (1/3)，  主持人开：羊，  转换: 失败
第一选择:   羊1 (1/3),  主持人开: 羊2 (50%),  转换: 成功
                  主持人开: 车 (50%),  转换: 不能实现
第一选择:   羊2 (1/3),  主持人开: 羊1 (50%),  转换: 成功
                  主持人开: 车 (50%),  转换: 不能实现

当选择之后， 如果主持人开出一个羊， 那么转换后的成功可能性是1/3*1/2 + 1/3*1/2=1/3, 转换的失败率也是1/3
所以转换不转换结果一样

所以结论， 站在选择人的角度， 无论主持人是否知道门后面是什么， 只要有机会就应该转换



这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？

jiangying

还真是这样

前面想错了

qqyou

这个问题，目前在中文或者英文Wiki中的答案都是转换可以提高一倍的几率。但我个人并不倾向于认可这种结论，但这个结论依然是事实，因为这个数学家们研究出来的。

问题
以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述，来自 Craig F. Whitaker 于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）专栏的信件：

假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来说是一种优势吗？

以上叙述是对 Steve Selvin 于1975年2月寄给 American Statistician 杂志的叙述的改编版本。如上文所述，蒙提霍尔问题是游戏节目环节的一个引申；蒙提·霍尔在节目中的确会开启一扇错误的门，以增加刺激感，但不会容许玩者更改他们的选择。如蒙提·霍尔寄给 Selvin 的信中所写：

如果你上过我的节目的话，你会觉得游戏很快—选定以后就没有交换的机会。
—(letsmakeadeal.com)

Selvin 在随后寄给 American Statistician 的信件中(1975年8月) 首次使用了“蒙提霍尔问题”这个名称。
一个实质上完全相同的问题于1959年以“三囚犯问题”（three prisoners problem）的形式出现在马丁·加德纳的《数学游戏》专栏中。葛登能版本的选择过程叙述得十分明确，避免了《展示杂志》版本里隐含的前提条件。
这条问题的首次出现，可能是在1889年约瑟夫·贝特朗所著的 Calcul des probabilités 一书中。 在这本书中，这条问题被称为“贝特朗箱子悖论”（Bertrand's Box Paradox）。
Mueser 和 Granberg 透过在主持人的行为身上加上明确的限制条件，提出了对这个问题的一种不含糊的陈述：

• 参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
• 主持人知道每扇门后面有什么。
• 主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。
• 主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
  • 如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
  • 如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
• 参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。

转换选择可以增加参赛者的机会吗？

[编辑] 解答问题的答案是可以：当参赛者转向另一扇门而不是继续维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。
有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)：

• 参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。
• 参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。
• 参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。

在头两种情况，参赛者可以透过转换选择而赢得汽车。第三种情况是唯一一种参赛者透过保持原来选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是透过转换选择而赢的，所以透过转换选择而赢的概率是2/3。
如果没有最初选择，或者如果主持人随便打开一扇门，又或者如果主持人只会在参赛者作出某些选择时才会问是否转换选择的话，问题都将会变得不一样。例如，如果主持人先从两只山羊中剔除其中一只，然后才叫参赛者作出选择的话，选中的机会将会是 1/2。 不过若主持人不知道哪扇门有羊，在参赛者选择后仍开出羊，此时透过转换选择而赢的概率仍为2/3。
另一种解答是假设你永远都会转换选择，这时赢的唯一可能性就是选一扇没有车的门，因为主持人其后必定会开启另外一扇有山羊的门，消除了转换选择后选到另外一只羊的可能性。因为门的总数是三扇，有山羊的门的总数是两扇，所以转换选择而赢得汽车的概率是2/3，与初次选择时选中有山羊的门的概率一样。

[编辑] 笔者的一个小小疑惑Ａ：车，Ｂ：山羊１，Ｃ：山羊２
以下是“所有”可能性：
－

• 先选Ａ

主持人选Ｂ,不变（Ａ） 主持人选Ｂ,变（Ｃ） 主持人选Ｃ,不变（Ａ） 主持人选Ｃ,变（Ｂ）

• 先选Ｂ

主持人选Ｃ,不变（Ｂ） 主持人选Ｃ,变（Ａ）

• 先选Ｃ

主持人选Ｂ,不变（Ｃ） 主持人选Ｂ,变（Ａ） －
在以上的组合，可见变与不变亦是一半可能。
这个疑惑留待其他人解答。

解答： 问题出在于，所谓“所有”的可能性，发生的几率并不是相等的。虽然列出了4种情况（选手A，主持人B；选手A，主持人C；选手B，主持人C；选手C，主持人B）但其实前面两种情况发生的几率相等于第三种或第四种情况发生的几率。
选手选择A，B或C的几率，各是1/3
在选手选A的情况下，主持人选择B或C的几率各是一半，既是1/6。 在选手选B（或C）的情况下，主持人必定选择C（或B）。 所以，选择不变换决定，答对的可能性是“先选A”情况下的1/6+1/6，仍是1/3。 选择变换决定，则正确率为“先选A”及“先选B”情况，1/3+1/3，得2/3。
疑问： 参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。 参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。 参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。 貌似应为： 参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。 参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。 参赛者挑汽车，主持人挑山羊二号。转换将失败。 参赛者挑汽车，主持人挑山羊一号。转换将失败。

[ 本帖最后由 qqyou 于 2009-3-10 22:14 编辑 ]

happy_99

在为人母以前我就知道为人母的后果
为人母后果然是这样
无论做什么事情
总是在做了以后觉得另一种做法更好
总觉得有另外的办法对孩子的成长更有利

所以
要孩子的最严重后果是：
本人自信心的严重丧失

woodhead

分析了一下，这问题还挺有意思。
假设为1，2，3号门。再假设车在3号门。
那么，所有的情形是：
选中     开门     重选
1             2        3
2             1        3
3             1        2
3             2        1

我们会发现，一共有四种情形。在不重新选择的情况下，选中车的情况3出现2次。
在重新选择的情况下，选中的情形也出现2次。
所以，从概率上说，是一样的。

jiangying

不会，几率都是５０％

jymm222

读中学时吧，在一本杂志上看过类似的问题，也许是同一个问题，记不清楚了，当时没仔细看，记得是要换另一扇仍然关上的门，当时自己觉得机率一样，所以对它的结论有印象。