五年级：初中数学是什么样子的？

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有七年级的家长问：最近几何三角形全等论证有些困难，应该哪儿讲起呢？巧了，前几天，在探究课课间的时候，有五年级小女生问到类似的问题，“初中的数学是什么样子的？”

显然他们都是在问，古典数学和萌芽期数学的区别是什么？对此，我心中有自己的答案，一是系统性，二是思想性，三是方法论。

何谓系统性？萌芽期数学无论从方法还是内容上，都是脚痛医脚、头痛医头，纷繁复杂，总的来说，缺乏系统性。《几何原本》的诞生和被世人所发现所重视，改变了这一切。在独狼所著《我教女儿学数学》中提出，“上中学以前一定要让孩子知道《几何原本》”，个人深以为然。

何谓思想性？这是指数学有了系统性以后，在一定程度上脱离了具体事物的束缚，开始试图阐释这个世界。达芬奇通过解剖和绘画的经验积累逐渐体验和感悟到黄金比例，在《维特鲁威人》描述了人的身体，而当时的欧洲人普遍接受“人是上帝创造的”的观念，达芬奇此举是在觊觎上帝的工作吗？那么，牛顿、爱因斯坦、霍金又做了什么或者正在做什么呢？

何谓方法论？翻出任何一本严肃的数学教科书，仔细看看例题，我们就会发现，几乎所有的例题都构成一个循环，提问、分析、解题、验证和反思。这是巧合吗？不是的。数学的方法都是这样一个个大大小小的循环。其实，这种方法最先是由笛卡尔在《方法》一书中提出来。我总结了四句话：怀疑一切、化繁为简、循序渐进、检查反思。

显然，跟一个五年级女生讨论这个问题，又是在课间休息的短暂时间里，无法涵盖所有的问题。我想了想，然后从一个故事开头：

（未完待续）

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五年级：初中数学是什么样子的？（二）



我想了想，然后从一个故事开头：
有一个年轻人住在山边，山上有很多树，而年轻人特别喜欢木工，他的理想是做一个心灵手巧的木匠。你知道，木工的第一件作品一般是什么吗？

女孩说：不知道。

我说：是做椅子。如果你看过《爱国者》这部电影，你就会发现，男主角本杰明·马丁，一个独立战争的英雄也痴迷于做椅子。那么，你觉得，椅子应该如何做起呢？

女孩一边瞄旁边的一把椅子一边说：要做椅背，椅板，椅子腿，还要准备木头、木工的工具……

我问：好的，看来要做的事情还真是不少啊！那么，第一件要做什么呢？

女孩回答：准备材料。哦，对了，他应该先去砍树，然后……

我问：等等，我有个问题，随便什么木头都可以做椅子吗？

女孩说：不是的，一定要好木头。
我问：好，我也是这么想的。但是，你觉得什么才是“好”木头呢？

女孩说：木头里边不能有虫。

我说：对对。如果有虫的话，天气一转暖，虫卵孵化出虫子，虫子把木头给吃掉了，那做的再好的椅子也白瞎了。还有其它要求吗？

女孩说：嗯……

我说：例如，有些木头很轻但不够结实，适合做飞机模型。

女孩说：对了，木头要结实，重一点倒是没关系的。

我说：很好。目前为止，我们给适合做椅子的“好”木头下了一个定义，它应该是结实而且没有生过虫的木头，对吧？

女孩说：是的。

我说：先搞清楚定义，这就是初中数学跟小学数学不一样的地方。

女孩说：那你说说看，怎么定义菱形呢？

我说：忘了。但我觉得先给菱形下定义太复杂了，能不能更简单一些啊？

女孩说：好吧。那就说说三角形吧？

我说：我还是忘了，能不能更简单一些啊？

女孩说：那就说说直线吧？

我说：其实，直线还是太复杂，我们应该先给点下定义。

女孩说：点就是点嘛，怎么定义啊？

我拿起粉笔，在黑板上画了一个指甲盖大小的小方块，问：你觉得这是个点吗？

女孩说：你这个是方形啊。

我说：那你站到教室的另一头看看呢？

女孩跑了过去，看了看，再跑回来，对我说：在那边看，不那么方了，有点像“点”了。

我说：好吧，我来告诉你，在《几何原本》这本书上给点下的定义是这样的，“点是没有部分的。”

女孩歪着头，一脸不解的样子。

我拿起一张纸，撕下一小片纸，问：你觉得，点是这么大的吗？

女孩摇摇头。我把这小片纸再撕下一部分，继续问同样的问题，女孩又摇摇头。我再撕下一部分，又问，女孩又摇头。如此几个回合下来，纸片越来越小，这时，我对女孩子说：这就是没有部分的……点。

突然，上课铃响了。

（完）

另：这是在做几何启蒙吗？
http://v.youku.com/v_show/id_XNTIwNDE5ODI4.html

天行妈

我觉得小学五年级的数学已经难倒我了。

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数学改变了人类和自然界
初中数学所对应的古典数学，在历史上恰好是在文艺复兴时期发展起来的。古典数学改变了人类对自然界的认知，由此而改变了自然界。初中生学习古典数学要体验这样一个问题并感悟其答案：

数学是如何发生作用的？

为此，教学上要展示数学思想和方法的力量。在思想上，这种力量体现在：讲理和逻辑，数形结合，函数思想。在方法上，则是示范笛卡尔数学方法以其使学生们能自觉运用：怀疑一切，化繁为简，循序渐进，总结反思。

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