2009年7月10至22日在德国的不莱梅进行的第50届国际数学奥林匹克竞赛

人生有几何

4、 在三角形 ABC 中， AB=AC ， ∠CAB 和 ∠CBA 的角平分线分别交 BC,AC 于点 D,E 。
设 K 是三角形 ACD 的内心， ∠BEK=45° ，求 ∠BAC 。




∠BAC =60°，是个正三角形。

人生有几何

设AD交BE于P，∠CBA =∠BCA =x，那么，∠CAB=180°-2x

在三角形ECK中，∠ECK=x/2，∠CEK=∠CEB-∠BEK=（180-x/2-x）-45=135-3x/2，
∠CKE=180-∠ECK-∠CEK=180-x/2-135+3x/2=45+x

在三角形DCK中，∠DCK=x/2，∠CDK=45，所以∠DKC=180-45-x/2=135-x/2

在四边形PDKE中，∠DKE=360-（∠CKE+∠DKC）=360-（45+x+135-x/2）=180-x/2

∠DPE=360-∠ADK-∠DKE-∠BEK=360-45-45-180+x/2=90+x/2

在三角形APB中，∠APB=∠DPE=90+x/2

∠APB=180-∠ABP-∠BAP=180-x/2-1/2*∠CAB=180-x/2-1/2*（180-2x）=180-x/2-90+x=90+x/2



怎么解出了恒等式，是不是∠CAB为任意值，∠BEK永远等于45°？？？