（转）谈谈我青少年时代学习数学的一些经历和感想

果行育德

谈谈我青少年时代学习数学的一些经历和感想
（大连理工大学，徐利治）

   

我很高兴（2007年12月4日）来到北京师范大学，也很愿意谈一谈与数学教育有关的事情。因为文化教育是国家大事，而数学教育是文化教育中的最重要的组成部分。



我要谈的几部分内容：第一部分是简历；其次谈一谈青少年时代学习数学的印象；第三，经验；第四，一点感想；最后谈谈我人生的格言，学数学的经验总结。



１．我的成长经历



1920年9月，我出生于江苏省沙洲县（今张家港市），沙洲属于常熟县，解放后改成沙洲市。再后来又改成张家港市。我的小学时代就是在老家沙洲度过的， 1937年我考上了一所师范学校——江苏省立洛杜乡村师范学校，是以培养乡村小学教师为目标的，全部公费。



这段经历对我人生来讲非常重要。假如我没有机会进江苏省立洛杜乡师的话，可能我就没有生存机会。因为家境清贫，中学的学费很贵，一般地讲半个学期中要60到70银元，当时我父亲去逝了，学费无论如何是凑不出来的。



那个时候，江苏省从南京到上海，叫沪宁线，有四所著名的省立师范学校，南京的栖霞乡师，无锡的洛杜乡村师范，苏州有吴江乡师，上海的黄渡乡师，这四个乡村师范学校很难考，我就读的洛社乡村师范当时在四所乡村师范中是水平最高的。每年都有好几百人应考，每年只录取一个班，45人。如果考取以后，全部公费，连饭钱都不用花，甚至还有一些零用费。所以我要感谢乡村师范对我的培养教育。乡村师范的教育课程基本上相当于初中，而且考进乡村师范的学生都很优秀。我的同班同学基本都是小学第一名。跟我一起去考的人，第二名都没有考取。所以乡村师范的学生水平相当高。所以当年考乡村师范不见得比现在高中考大学容易。



1937年，日本的侵略战争开始了。这年冬天，我们五个同学，徒步旅行到安徽，安徽安庆的轮船把我们带到武汉，住江苏难民收容所。过了一阵，教育部流亡生登记，到贵州的中学去读书。我就到了贵州铜仁国立第三中学师范部学习，这是高中师范。刚好跟我的乡村师范学习接头。1940年参加到贵阳去参加大学统一招考，我就考上西南联合大学的数学系了。



    进大学前接受的是师范教育，所以对师范教育有特殊的感情。如果没有抗战，我读不了大学。1938到1940年，我在贵州铜仁国立第三中学师范部学习，相当于高中阶段了。1941到1946年，我在昆明西南联合大学学习和工作。



    下面谈谈我青少年时代学习数学的印象。



２．青少年时代学习数学的印象



    回忆起来有些人是我终身难忘的，他们是虞明礼，吴在渊，陈建功，何鲁，章克标和刘熏宇。这些人给我的青少年时期留下了深刻的记忆，半个世纪过去了，我的印象依然很清晰。



我在洛杜乡村师范读的是虞明礼编写的代数课本。这本书给我留下了很深的印象，讲得很清楚，例子也讲得很明白，有的东西自己就能看懂。



吴在渊是上海大同大学教授，他是自学成才。他编了几何、代数课本，也发表一些初等数学的文章。



陈建功和毛路真合编过一本《高中代数》，我进大学以前翻阅过，他的《高中代数》主要是参考《大代数》写成的，比大代数要精简，在一些大的老的图书馆说不定还能找到这本书。



何鲁早年留学海外，在抗战时期培养了很多学生，当时已经是中央大学等很多大学的教授了。何鲁出过一些初等数学的学习参考书。他编的书都是印得很漂亮的，有《虚数详论》、《行列式详论》、《二次方程详论》等等。我买了两本，分别是《行列式详论》和《虚数详论》。他的书是课外看的。



刘熏宇先生的《数学的趣味》使我对数学产生了浓厚的兴趣。此书是解放前开明书店出版的。初中时，我读了这本书明白了数学归纳法是什么回事。



章克标也出了一本《算术的故事》，讲很多数学家的故事，讲古代的数学家，阿基米德，拉格朗日,看了以后非常受启发。高斯，拉普拉斯都讲过，每一个传记前面都有照片。



还有一本，是陈文翻译的《查里斯密大代数》，对我的影响很大。那个时候在乡村师范，相当于初中阶段，数学老师不是数学系毕业的，是武汉大学理化系毕业的，所以数学教师很一般。但是教科书，还有课外一些读物比较好。我们在那个环境下有充裕的课外时间，一方面听听课，另一方面主要是看看课外书。有很多好处。



而且我还看到严济慈，写的一本几何教材。但我们没有用它作教本。老师是根据《三S平面几何》来教的。它的演绎证明对青少年很有好处。演绎论证方法给我当时印象很深，逻辑演绎的每一步都有所根据。



到了贵州铜仁，我又看了高等代数。在无锡买的《大代数》，我自学了一部分。因为高中师范不会讲太多的东西，都是我自己看，看得很费力。但是我的基本功得益于大代数。



十年前我到北京参加过一个会，碰到了我清华的一个老同事，年龄比我小两岁，叫周毓麟，后来是院士。他说：“我现在所以还能做计算数学方面的工作，实际上得益于高中时代的大代数，他说没有大代数的功夫啊，现在的计算是算不出来的。”我的体会也是如此。讲行列式，讲到拉普拉斯展开，用子行列式的展开，整个行列式的值。我都能看懂，看了很有好处。这些定理都是大学线性代数里讲的。可是在进大学之前我就懂了。棣美弗定理复数的开方根，（a+ib）1/n，很清楚。这个得益于大代数，所以后来，进入大学之后，由于大代数的底子，感到微积分容易，特别是初等微积分，我感到很容易，直接看就能看懂。微积分包括高等微积分，我都清楚得很。一些计算的难度还超不过大代数。这是我的个人经验啊。所以解放前我的印象是大代数的基本训练非常重要。



可惜解放后，看到我的孩子们的教材，相当于小代数。解放后的代数以小代数为主。解放前，我进大学以前，虽然读的是高中师范课，但是朱正青老师给我们讲解析几何，解析几何我也学得很懂，二次曲线的分类都基本明白的。椭圆、双曲、抛物，哪一个类。我们都基本会的。而且理由也会，也懂的。这些东西啊，在解放前，我们基本掌握，非常有益处。我在大代数里面学到初等概率论，排列组合，非常有兴趣，很好。还有级数论，无穷极数，根值判别法等，都弄懂了。高中生能弄懂的，并不难。方程中有一个定理是难的，给一个（a,b）区间，要求方程在这里面有多少个实根。这个我觉得很难，我当时花了很多时间。我进大学之前，我对代数很有兴趣。有一个定理弄不懂的，叫高斯的代数基本定理。根的存在性定理，《大代数》叫根源定理，根的来源。没有给证明，而且我看对高中生很难。真正弄懂代数基本定理是在读了大学之后。我觉得如果把连续性概念给高中生作了通俗地讲演之后，让高中生弄懂之后，我觉得代数基本定理可以在高中讲。可惜我在进大学之前。代数基本定理没有基本弄懂。这是第一个印象：小代数到大代数，得益于大代数。



第二个印象是兴趣很重要。前几年开会碰到了清华大学的同学，他跟我讲他之所以读数学系，是从几何学学出兴趣来了。几何学的演绎论证，严谨性好得很。我说你是从几何出发进数学系，我是从代数出发。虽然出发点不一样，但最后殊途同归。



第三，课外阅读对增强求知欲很重要。何鲁的书，科普读物，可以。读了非常有趣味。一定要让学生有时间课外读书。



第四个印象是习题自己做，平时不用交作业，没有负担。很感轻松自由。大家自己找题目做啊，做出来很有趣啊。做题由容易到难，先做容易的，一步步把难的做出来。做出来很高兴。从乡村师范，后来到贵州铜仁读高中师范，我的印象是老师不给我们批改作业的。一个学期，即使要交作业，只交一两回。老师不批改作业，所以我觉得那时的老师也轻松得很。只讲课，不批改作业。这些印象和经验，恐怕现在不能照搬。由于条件不一样，我只是把当年的情况提出来给大家供参考。



所以这是我的四点印象。

果行育德

２．我的经验



下面我就总结五点经验。



第一条：经典数学，好教好学。老师也很好教，学生也好学。

第二条：学通例题，很有好处。把例题学通，书中的例题很重要。书中的例题一定要搞得很透彻、明白。书上的例题都是很典型的，都是有启示作用的。

第三条：多做习题，没有必要。

第四条：批改作业，可以精简。

第五条：课外读物，很起作用。



对青少年学习数学有几忌．一忌教材教学内容中杂质太多。教材要力求“纯”。现在我看解放后的书，我翻一翻，杂质太多。理论联系应用是对的。但是很多应用题联系到社会生活、工厂车间的实际，联系到股票市场。那专门的名词要弄懂以后才能做数学题目。为了做这个题目，就要去了解那些与数学无关的东西。那些东西我觉得放在教材中就变成数学教材的杂质。杂质多有什么坏处呢？分散精力，分散注意力。我听说中学老师对那些名词都弄不明白，要解释半天。这种联系实际是让学生学经济科学呢，还是学生产实际呢？所以不应该有杂质。我们以前学的数学，大代数也好，平面几何也好，没有杂质。所以，第一要纯，让青少年学很纯的数学。有的人说数学枯燥无味，其实不见得，数学本身是优美的。几种形式，对称性、统一性、普遍性。杂质太多，把数学美都冲淡了、瓦解了、分散掉了。不应该让青少年在数学学科里分散注意去搞那么一堆与数学无关的名词、概念。假如当年我学数学，里面应用题讲了很多，而且烦躁得不得了。可能也对数学没有兴趣了。



二忌教材中概念名词太多。概念名词太多，青少年没有兴趣。因为青少年思维发展过程是从具体到抽象，从感性到理性。这个过程是发展的。数学课一下子出现很多名词概念。而且叫学生背啊，那是扫兴。另一个，我认为数学本身是优美的，强调趣。趣是有趣，兴趣。不可以割裂从生动直观到抽象思维天然的桥梁，这种认识过程应该体现在数学教学和教材中。不要破坏学生的好奇心和求纯求美的天性。理论联系实际是重要的，但不可以严肃化。所以要利用中学生的好奇心，数学教材教法要体现这个精神。



下面讲讲我学数学的人生总结。真正数学学好的人都有这样类似的体会：



“兴趣使人忘却疲劳；志趣使人坚毅持久；乐趣使人精神充实；三趣俱备，自学必有所成，能享健康长寿，且能成为后辈成才的明镜。”



很感谢他们把它收藏进中华名流格言里去。我在长春中国人民大学（改成吉林大学），教了几十年的书，感到人生非常愉快。教学科研精力持久。数学教学跟科研结合，教学相长，通过教学，通过科研，我在吉林大学数学系教了十七门不同名称的数学课程，增长了很多知识。教学相长。我提倡我的研究生，我的助教，鼓励他们多教课，不要选择课，代数几何分析什么都教，要把兴趣扩大。提高水平，做研究最后就能够集大成。我现在八十七周岁加一个月，一点病都没有。我的健康得益于搞数学。我从事数学学习、教学、科研、实践，已经把我身体搞得很健康了。所以前几年吉林大学数学系邀请我去开会。我没有去成。我就写了一封信，总结数学与我的关系：数学使我快乐，数学使我健康，数学使我长寿。我相信，再过两年、三年我到九十岁，我讲这个话就更有资格了。

果行育德

附：答老师同学问

王昆扬：（北京师范大学数学科学学院教授）

    解放后，近些年数学教科书杂质比较多，您觉得原因是什么？

答：我觉得原因是多方面的。其中一个原因，我想啊，解放后提倡大家政治学习。政治学习里边提倡辩证法唯物论，这个我觉得是完全正确的。搞辩证唯物主义是对的，其中有一条，就是“理论联系实际”强调得非常厉害。



特别有些政治运动。不联系实际不行，而且我们搞理论经常受到批判，我本来也受到过批判。说我们理论不联系实际。因此呢，理论联系实际就成了大家了挡箭牌和护身符。写教科书的人一定要强调理论联系实际，开会一定要强调理论联系实际。理论联系实际并不错啊，我现在还赞成理论联系实际。但是它严肃化了，严肃化了的程度，最突出的例子就是文化大革命期间，清华大学编的一本两毛钱能买到的微积分书。一把大锉通往微积分。但是联系实际严肃化了。中学老师、编中学教材的一些人、教育界的一些人都要强调实际。强调联系实际是对的，但是偏了，他们对联系实际的意义不了解，对联系实际的理解不深刻。其实数学理论联系实际啊，有一个人跟我讲的话我很赞成：“数学是联系联系实际的学科。”，工程科学、物理科学联系实际近了，我们数学科学可以联系这些东西，他们需要用到数学。两个联系啊，前面是动词，后面的联系是一个形容词。它是间接联系，数学联系实际是间接的。你不能说你学了数学，马上到生产车间去，马上到实践去。这不可能啊，不容易的。运筹学当然是另外一个分支，也是很起作用的。



所以有些教材，讲联系实际可以到高年级。到大学，搞应用数学、经济数学、生物数学当然联系实际了。这个一步一步来，而不能在中学教材里把这些东西变成杂质搞到教材里面去。我们以前学的东西都是很纯的，有趣的东西。基本东西学到手了，根深蒂固、终身难忘。（这些知识）学到手以后再解决实际问题不就方便了吗？

代钦：（内蒙古师范大学教授）

    徐先生讲到当时学生作业很少，但现在一般的高中里面，学生的作业太多。如何解释这种情况？

答：不用做那么多题目，培养数学人才也好，非数学人才也好，都不用做那么多题目，浪费。

搞数学的人不用做那么多题目，大多数人更不应做那么多题目，这是我的经验。

王昆扬：我听了徐先生的报告，我是晚辈了啊。我们相差不到30岁，但我也64了。您说的兴趣、志趣、乐趣，没能体会得深，我也很有体会。我学数学也是得益于这些东西。我觉得许多事情没有是非判断，唯独数学，对就对，错就错。你也没法儿给我较真，对不对？我学数学，学到后来，我也喜欢下棋啊，一做数学难题，我觉得比下象棋还有乐趣。这个是天生的，这就是乐趣，有了乐趣才有志趣，对不对啊？上大学的时候，我们大学的招生简章就是培养科研人才，当时我就想我是不是得研究点什么，有了兴趣，那么接着就有点志趣。这个志趣正值运动中破灭了，然后花了12年，把青春献给革命路线。后来还是得到了乐趣，回到北师大，又教了差不多30年书，刚才他提到了一些具体问题啊，这个说起来话就长多了。我非常赞成您的非常深的一些体会；您说数学的“纯”，我就喜欢纯数学。国外的数学系有的就叫Pure Mathematics，我还是比较喜欢“纯”。学纯数学的人并不都是那些不会应用的人。

答：谢谢！这是我们数学家的一些共同体会。

王昆扬：2000年，我们讨论新课标，当时有那段文字，我不知道删掉了没有啊。说汽车在前面走，下了雨，从雨水的反光里看到车牌号。这跟数学有什么大的关系啊？这不美啊。这样数学就不太严肃化了。它不是这么回事儿。您说的一个理由、一个推导。数学它最大的功能是什么？您总结的它是联系联系实际的学科，间接联系。我教给你的是那个本事，教的是你的素质，推理的、应用的。我不是学你的半导体，但我学完数学后，对你的半导体会学得更好。对你的话，我是坚决地拥护。

答：你学好了数学，再去联系实际的话，你的实际能力反而强了。

孔凡哲：（东北师范大学教授）

    弗赖登塔尔提出“学数学实际上是学‘数学化’。”，您能不能谈一谈“数学化”？

答：“数学化”的概念非常广，这个要解释起来很多。陈省身先生，西南联大的，跟华罗庚先生同时代的，几年前，他说他在欧洲留学时，到德国，后来到法国，他说国外的数学家都是强调数学是追求简单化。Mathematics is for simplicity. 追求简单，简单作一个名词用。例如微积分基本定理就是基本的、核心的东西，是简单的。如果没有数学，物理中的力学要表示运动规律，话就说不清楚。数学使物理学简单化。数学，它实际上是使其它学科简单化。你们想想看，假如没有数学的话，没有微积分的话，非用微分方程表示的力学运动规律就不能实现。数学使别的学科简单化，简单化，就是数学化。我提一个RMI(Relationship,Mapping,Inversion)原则，是方法论上的。用的是一个方法模式，模型化的方法。很多例子都可用这个原则解决。我们发现一些很难的问题，如高等微积分，通常用这个原则两回。还没有发现需要用三阶的。如果一个问题非常难的话，要用n次。这个原则物理学家可以用，提示物理运动规律。物理问题，变成数学问题，求解，繁衍下去，从而解决物理问题，数学模型化的方法也是一个例子。所以这个原则带有普遍性，这不是我发现的。我只是把它介绍给大家。概念映射是把实际问题概念化，也是一个映射。



代钦：为什么不叫论数学方法，而叫数学方法论？



答：这个要说明一下，数学方法不等于数学方法论。数学方法，归纳法、演绎论证是数学方法；数学方法论不等于数学方法，它是对方法形成理论，它更高地概括总结一切方法，找出一切方法的共性。



一女老师问：



    兴趣对孩子发展很重要，我有一个困惑，我理解，觉得您产生数学兴趣有两个，一个是获得“结论-理由”的纯的数学；还有一个是何鲁和刘熏宇他们的数学科普有关。我认为他们一个是纯美，一个是丰富的美。在孩子的发展中，有没有对孩子影响一个先后的顺序。反思的就是在现在中小学教育中，我们应该多给他们一点什么？纯正美现在大家都认可，而科普呢现在孩子都很缺。



答：我认为解放初期，国家曾经出了一些科普的读物，包括华罗庚都写科普的书。有一点仿照苏联，因为苏联的一些专家都写科普读物。早期的苏联数学家写的科普读物对高中生、大学生都起很大作用，都翻译成中文。我也见到几本，后来我们中国在北京有一些专家写一些科普读物。这个非常好。科普非常重要。我对数学发生兴趣，一个是学大代数，学平面几何，另一个科普读物对我是很有启发的。科普读物对有些数学方面的问题，它的观念是更高的，它还讲究趣味性。比如说我记得刘熏宇讲归纳法，他举了个例。他说火车啊，火车头一动，由于中间有联结，第一节动，第二节就动，第二节动，就传到第三节，第三节传到第四节，第n节传到第n+1节，那么整个火车就动了起来。虽然火车节数是有限的，自然数是无限的。但他这比方很生动。讲函数概念的时候，也讲了许多充实的例子。我觉得这些例子读了很有意思。对青少年很有好处，我赞成写出版大量的科普读物。应该让专家、中学老师提供科普读物给中学生，我很赞成。而且要有正规教育来完成，因为正规教育讲纯的东西。但是科普读物和杂质不一样，它有趣味性，趣味性不算杂质。例如七桥问题，通过概念映射，它转换为一笔画问题，再翻译回去，从而解决七桥问题，这种问题它有趣味性，它的启发性很强啊。它与给中学生讲车间的生产，讲股票的投机是两码事。它不是杂质。认为数学界应该多出一些象高士其这样的人物。大学老师、如果是有经验的中学老师都可以写，研究生如果文笔很好也可以写。



张英伯：（北京师范大学数学科学学院教授）



    现在教辅材料很多，科普读物少。您对现在的精英教育有何建议？对于现在的博士生的培养，可以说是高层次的精英教育。您有什么建议？



答：我不是很赞成精英教育。因为教育是面向大众的Education is for majority，教育有群众性。美国的教育直到硕士研究生都是通才教育。到博士生才是专才教育。专才教育很重要，不可缺，但是整个教育来讲特别是基础教育来讲，还是要面向大众的。所以我并不是很赞成把少数天才儿童集中到一个学校去培训。以前，科技大做过这么一件事，据说事后效益不太好，好多人转行。所以我不是很赞成精英教育。有一次乘火车到广州去，同火车有一个人，他是搞体育的。他说体育有竞技体育和国民健康体育。对国家来讲，竞技体育当然要搞，但是作为国家富强来讲是靠国民健康体育。他讲的话对我有启发。所以我对精英教育不反对，但不提倡。

    关于博士生的成才问题，我鼓励博士生面向名家原著学习，这样对发展自己的水平很有利。

（衷心感谢《数学通报》编辑部提供的发言稿）

今是

虽然看不太懂，但是一直明白喜欢数学是因为它有趣。从小我的母亲就说数学是最不用费脑筋的，很有意思。我的一位老师李文凯老师总是把数学和习惯啊人生什么的扯在一起旁征博引，那时候不太懂但也傻傻觉得很有意思，才有了还算快乐的数学学习。
果行的女儿对数学有特别的兴致，想必果行老师为了女儿的爱好也是费了一番功夫去寻找名师所论。

paisley

谢谢分享！ 这方面的文章很少呢。

小语妈妈

期中考试女儿的数学史无前例考了82分，她爸爸大发雷霆，说都是读经惹的祸，郁闷中！