诡辩术逻辑分析

果行育德

故事里的诡辩术—诡辩术逻辑分析
内容提要
序
导语
作者简介
一、概念应用中的诡辩术
实例分析
二、判断应用中的诡辩术
实例分析
三、违反同一律的诡辩术
实例分析
四、违反不矛盾律的诡辩术
实例分析
五、违反排中律的诡辩术
实例分析
六、违反充足理由律的诡辩术
实例分析
七、演绎推理中的诡辩术
实例分析
八、归纳推理中的诡辩术
实例分析
九、类比推理中的诡辩术
实例分析
十、论证中的诡辩术
实例分析
十一、反驳中的诡辩术
实例分析
后记


导语
下面，我们简要地谈谈关于诡辩的几个问题。
诡辩是一种逻辑错误，但并非任何逻辑错误都是诡辩。诡辩与一般性的逻辑错误虽然都违反了正确思维的规律和规则，但二者是有区别的。第一，前者的违反，通常是自觉的、有意的，而后者则是不自觉的、无意的；第二，前者是企图为某一荒谬的观点或错误的行为作辩护，而后者无此动机。例如，有人从“凡等边三角形都是等角三角形”的前提，推出“凡等角三角形都是等边三角形”的结论，这个推理是由于缺乏逻辑知识而犯的一般性逻辑错误，不能称之为诡辩。
诡辩常常包含有错误的判断，但并非任何错误的判断都是诡辩。一个孤立的、不包含逻辑矛盾的错误判断，尽管它与客观实际不符合，还不能说是诡辩。但是，如果将一个错误的判断作论题，企图论证它是正确的，或者把它作论据用来论证其他判断为正确时，就构成了诡辩。这时的错误判断就成为整个诡辩的一个组成部分，甚至成为诡辩的核心依据。
关于什么是诡辩，德国哲学家黑格尔曾给了精辟的解说。他说，诡辩是“以任意的方式，凭借虚假的根据，或者将一个真的道理否定了，弄得动摇了，或者将一个虚假的道理弄得非常动听，好像真的一样”《哲学史讲演录〉，第2卷，第7页）。黑格尔说的“以任意的方式”，是指诡辩论者任意地违背和践踏逻辑的规律和规则，而“凭借虚假的根据”，是指诡辩论者在论证中故意使用虚假的判断。这实际上是概括了诡辩的两个基本特征。列宁从辩证逻辑的角度揭露了诡辩。他指出：“概念的全面的、普遍的灵活性，达到了对立面统一的灵活性——这就是实质所在。主观地运用的这种灵活性=折衷主义与诡辩。”《列宁全集》第55卷，1990年版，第91页）
诡辩的手法种类繁多，谁也难以将它们一一列举出来。而且随着社会的进步，人们之间自由讨论问题的空气日益浓厚，特别是随着商品经济的大发展，广告、诉讼以及公开场合下的辩论增多了，必将产生出许多新的诡辩手法，这有待于我们的研究和总结。本书讲述的只是一些最常见的诡辩手法，通过对许多具体、生动的故事中的诡辩实例的逻辑分析，使读者对诡辩的特征和本质获得一个基本的了解。
诡辩的产生和至今仍然存在，有其深刻的认识的和社会的原因。从认识论的角度看，诡辩论者都是片面地夸大、吹胀了人的认识过程中的某一个特征或方面，从多样性统一的事物中，任意地抽出某一方面的规定作为立论的根据。孤立性、片面性、主观随意性是诡辩论者在认识上的根本特征。从社会方面看，人们之间经常发生利益上的矛盾，有的人手中无真理，身边无群众，为了一己的私利，他们只好求助于诡辩。由于诡辩的产生和继续存在有上述根源，我们同它的斗争将是一个长期而又艰巨的任务。
为了与诡辩论作斗争，首先要树立科学的世界观亦即辩证唯物主义的世界观，这样才能深刻揭露诡辩论的主观主义。相对主义、形而上学的哲学基础；其次，要掌握形式逻辑、辩证逻辑和语言学方面的知识，这样才能具体地指出诡辩的戏法是如何变出来的；最后，要尽可能多地学习一些有关的科学知识。否则，即使知道对方在诡辩，也讲不出有说服力的道理来。
从历史上看，作为一门研究人类思维的形式和规律的逻辑学，是在同诡辩的斗争中发展起来的，因此不了解诡辩就不能真正了解什么是逻辑。只有加强对错误思维特别是诡辩思维的研究，才能使逻辑科学不断地得到丰富和发展。从客观现实来看，我国正处在社会主义的初级阶段。对诡辩术的揭露和批判，有利于贯彻党的实事求是的思想路线。要求我们在一切工作中坚持从实际出发，按事物的本来面目去反映事物，坚决杜绝一切弄虚作假的欺骗行为。对诡辩术的揭露和批判，还有助于社会主义精神文明的建设。现实生活中的某些人，为了给自己的错误言行作辩护，他们在辩论中奉行“求胜不求真”的原则，明明是自己错了也死不承认，偏要无理搅三分，尽讲些假道理、歪道理，甚至根本不讲道理；在语言上表现为满口污言秽语，甚至用恐吓、谩骂和污辱对方人格的卑劣手法来代替对问题的辩论。上述表现不仅严重地违反了逻辑的规律和规则，而且是一种极不文明的行为，与社会主义的精神文明背道而驰。所以，为了加强社会主义精神文明建设，我们必须对各种各样的恶劣诡辩给以充分的揭露和批判，自觉地做一个“有理想、有道德、有文化、有纪律”的人。
总之，研究诡辩，揭露和批判诡辩，具有重要的理论意义和现实意义。
一、概念应用中的诡辩术
引言
概念、判断、推理是思维的基本形式。判断是由概念组成的，推理是由判断组成的，所以概念是思维的细胞，是我们的思维藉以进行的基础。逻辑学要求我们在思维过程中，力求做到概念明确、判断恰当、推理合乎逻辑。因而，如果在概念上出了问题，就会做出错误的判断和推理。
概念有两个重要的逻辑特征，即任何概念都有内涵和外延。内涵是概念所反映的对象的特有属性或本质属性，外延是概念所反映的一类对象，这些对象都具有概念的内涵所反映的属性；概念有不同的种类，各种概念之间存在着不同的关系；概念是通过语词表达的，概念和语词既有密切的联系，又有本质的区别。逻辑学提供的关于概念的基本知识，是我们正确应用概念的必要条件。
诡辩论者在概念应用中的诡辩手法主要有：玩弄语词游戏，利用歧义词、谐音词混淆概念；故意曲解概念的内涵和外延，以及主观地应用概念的灵活性，等等。

果行育德

再推荐一本：神秘的怪圈—悖论趣话


一、徘徊的幽灵——悖论（代序）
二、现在的我与过去的我——形式逻辑的根本大法
三、悲壮的殉道者——希帕索斯悖论
四、阿基里斯追不上乌龟——芝诺悖论与贝克莱悖论
五、无穷旅馆——伽利略悖论
六、多少人参加比赛——康托尔悖论
七、理发师给不给自己刮胡子——罗素悖论
八、重温旧梦——悖论的解决
九、大跳蚤与小跳蚤——类型论
十、我受骗了——语言分层理论
十一、未来世界探秘——理发师定理
十二、卡里马楚斯的困惑——编目悖论及其解决
十三、镇长分身术——区别与规定法
十四、奇妙的唱机与唱片——拒斥排中律
十五、梵学者的预言——悖论的两要素
十六、怪圈之谜——悖论的实质

一、徘徊的幽灵
——悖论（代序）
“一个幽灵，共产主义的幽灵，在欧洲徘徊。”这是《共产党宣言》的开场白。这幽灵震撼了整个旧的世界，一切旧的势力为驱逐它而结成了同盟，而新的势力则在其鼓舞下开创了一个崭新的世界。在2000多年来的人的思维发展史中，也有一个幽灵不断缠绕着人们，这就是引起众多哲人的注意，并使许多人为之倾其毕生心血的难题——悖论。“悖论”的“悖”字，据《辞源》解：“‘悖’，背理也，乱也，逆也，惑也。”故“悖论”也称作“逆论”、“反论”。这个词的意义很丰富，它包括一切与人的直觉或日常经验相抵触的理论、观点或论断。悖论主要有以下几种表现形式：（l）一种论断看似谬误，但实际上却是对的（佯谬）；（2）一种论断看似正确，但实际上却是错的（似是而非的理论）；（3）某一理论体系中，从某些看似正确的公理出发，根据一系列的无懈可击的推理，却导致逻辑上的自相矛盾或矛盾循环。在逻辑和数学中，人们所说的“悖论”，主要指第三种形式，即自我矛盾的循环。最古老的悖论要算“说谎者悖论”了。
据传说，公元前6世纪，古希腊的克里特岛上住着一个叫埃皮门尼德的人。幼年时他与一些小朋友到山中玩耍，偶然误入一个山洞，在洞中迷迷糊糊地睡着了。但这一觉他竟然睡了57年，待他醒来时，已过了“耳顺之年”。他发现自己已成了一个学者，熟谙哲学和医学，成为岛上的“先知”。据《圣经》记载，作为克里特岛上“先知”的埃皮门尼德曾轻蔑地说过这样一句话：“克里特岛人都是说谎者。”
如何理解这句话呢？如果这句话是真的，即克里特岛人真的都是说谎者，而既然埃皮门尼德也是克里特岛人的一员。那么，他也是个说谎者。假如“说谎者”的含义是指不说一句真话的人，则显然可得出，这句话是谎话，即是假的，这显然是个矛盾。但是，这并不能使埃皮门尼德陷入困境，因为可以设定此话为谎话，但要具备一个条件，即克里特岛上其他任何人或埃皮门尼德本人除此之外还说过真话，而说过真话的人就不算作“说谎者”。这样，埃皮门尼德的这句话就成为谎话。但是，这种通过偶然的事实来解决悖论的方法，从逻辑上说是不能令人满意的。
在印度因明学（逻辑学）中也有与此类似的例子。因明学有一条立论的基本原则，就是不能“自语相违”。例如，“一切语皆妄（虚假）”就是自语相违。有一个叫神泰的因明家评论道：
说“一切语皆妄”的人，你口中的这句话是否真实呢？
假如说是真的，那么，为什么说“一切语皆妄”呢？如果说你这句话是虚假（妄）的，那么，应该承认一切语皆实。
即使你补充一句，说“除我所语，其余一切语皆妄”，也于事无补。因为有个第二者听了你这句补救的话后，指出：“你这句补充的话是实话。”那么，第二者的话是实，还是妄？如果第二者的话是妄，那说明你补充的话虚假；如果第二者的话为实，那你又有何理由说“除我所语，其余一切语皆妄”呢？
假定你再补充一句：“除了我语及这个评论我的第二者的话真实以外，其余所语皆妄。”这时又会有第三人接着评论说：“这第二个人的话也是真实的。”那么，第三个人的话是实，还是妄？
同理，如果设定为假，那么，第二个人及第一个人说的话就不对了；而如果第三个人的话是真的，又怎么能说除我及第二个人所语，其余皆妄呢？
同样，第四人、第五人……依次类推，以至无穷。你说“一切语皆妄”为真，而“一切语皆妄”也是“一切语”的一句，因此又推出“一切语皆妄”为假。你看到推出矛盾，就作一补充，说除你所语之外，一切语皆妄，但这样就会出现无穷多个例外，因而，例外也就不成其为例外。
可以看出，神泰的这一连串推理，除了从“一切语皆妄”虚假推出“一切语皆实”不合逻辑之外，其余的推论都是正确的。从逻辑上讲，从“一切语皆妄”中，只能推出“有些语为实”。
我国古代的经典《墨经》中也曾对这种自相矛盾作过论述。《墨经》指出：“言尽悖。”意思是说，断定一切的命题会导致矛盾，如“任何东西我都不信。”
严格说来，上述这些论断并不是真正的悖论。因为尽管由假设其真可导致矛盾，但我们可据反证法证明其为假，而设定其假并不能推出矛盾。
公元前4世纪，古希腊麦加拉哲学派的欧布利德斯对上述“说谎者悖论”作了修正。据说，他最初表述的是：那个说自己说谎的克里特岛人说谎吗？这是一个悖论。后来，欧布利德斯又把“说谎者悖论”表述为：“我正在说的是谎话。”这才是真正严格的悖论。因为假如这句话是真话，即“我真的在说谎话”。但我说的只有这一句话，因此，“我正在说的这句话是谎话”必是谎话，即为假；假如这句话为假，即我并非正在说谎话，那么，说的必然是真话，因此，这句话为真。无论采取哪种假设，都无法自圆其说。说它真，则推出假，说它假，则又推出真。真→假→真……陷入无穷的循环当中。
古希腊哲学家还经常讲一个鳄鱼的故事：
一位母亲抱着心爱的孩子到河边洗衣服。一条鳄鱼偷偷地从旁边游近她，从她的怀抱中把孩子抢走。母亲非常痛苦，哭哭啼啼地央告鳄鱼把孩子还给她。
“好吧，我可以把孩子还给你，但有一个条件。”鳄鱼说。
“什么条件我都答应，只要你能还我孩子。”
“是这样，你猜一猜我会不会吃掉你的孩子？如果你答对了，我就把孩子毫不伤害地还给你。答不对嘛，那我就把他吃掉了。”
母亲思索片刻回答说：“啊！你是要吃掉我的孩子的。”
“呣……我怎么办呢？如果我把孩子交还给你，你就说错了，我应该把他吃掉。”鳄鱼高兴起来，“好了，这样我就不把他还给你了。”
“可是，这样你必须把孩子还给我，因为如果你吃了我的孩子，我就说对了。你答应我说对了就把孩子还给我的。”
愚蠢的鳄鱼懵了，结果把孩子还给了母亲，母亲抱起孩子就跑掉了。
“唉，要是她说我要还给她孩子，我可就美餐一顿了。”鳄鱼很遗憾地说道。
仔细地琢磨一下这个著名的“鳄鱼悖论”，你会发现，这位母亲是多么聪明。她对鳄鱼说：“你要吃掉我的孩子。”这样，无论鳄鱼怎么做都会与其允诺相矛盾。如果把孩子还给母亲，她的话就是错的，那么，就应把孩子吃掉，即不还给母亲；而如果不还给母亲，母亲的话就是对的，那么，就应该还给母亲。还给→不还给→还给→不还给……鳄鱼陷入了无穷的循环中，无法从中摆脱出来而不违背自己的允诺。
如果不是这样，假如母亲换个说法：“你要把孩子还给我。”那么，鳄鱼就不用感到困惑了。它既可以交回孩子，也可以把他吃掉。如果它交回孩子，母亲的话就说对了，鳄鱼遵循了自己的诺言；如果它聪明的话，也可把孩子吃掉，这时，母亲的话是错的，鳄鱼也遵循了自己的诺言。
对于这种无限循环的悖论，美国人霍夫斯塔特给了它一个生动的名字：“一步即成的怪圈。”当代杰出画家埃舍尔曾用版画形象地说明了这种怪圈。图1的名字叫《瀑布》。在图中，一条瀑布倾泻而下，水花四起，还推动了水轮。汇集到一个大池子中的水顺着水渠哗哗地向下流去，一级一级下降。突然，水又流回到瀑布口！真是不可思议！可是在画面上却表现得明明白白，天衣无缝。图2的名字叫《上升与下降》。在冰冷阴森的教堂顶上，僧侣们排成两队向前走。其中一队总是沿着楼梯向上走，另一队总是往下走。可令人不解的是，他们走的却是同样的楼梯，并且不断地回到原来的出发点。
古代的一些人认为，这种怪圈“纯系文字游戏”，于是只把它们当做茶后饭余的笑料而已。然而，在历史发展的每一阶段中，这种怪圈总像幽灵一样神秘地出现在人们的思维中，令众多哲人为之烦恼。说它神秘，是因为至今没有能使大家信服的解释，也没有一种公认为完善的驱除它的方法。任何严谨的逻辑学家都会认识到这种怪圈所带来问题的严重性，因为在怪圈面前，形式逻辑的最基本规律同一律、不矛盾律、排中律完全失效。形式逻辑规定：一命题要么真，要么假，不能既真又假，”也不能不真不假。但对怪圈而言，一说它真，即可推知假，说它假，则又可推出真，真假无限循环。因此，著名数学家哥德尔说，这个问题不解决，形式逻辑就会破产，整个人类思维的大厦就会崩溃！
在历史上也有一些哲学家、逻辑学家和数学家试图对悖论进行解释。古代圣哲亚里士多德在其《论辩篇》和《形而上学》中解释过说谎者悻论，古希腊斯多葛哲学派的代表克里西波斯为解释说谎者悖论写了六部书。希腊诗人柯斯的裴勒塔潜心研究悖论，把身体搞得十分瘦弱。据说他的鞋中常带着铅，以免被大风吹跑，最后竟因操劳过度，一命呜呼，这可说是悖论的第一个“殉道者”了。中世纪的哲人们把悖论称为“不可解命题”，并对此进行了更加深入的研究。他们在说谎者悖论的基础上发现了一些新的悖论，并提出解决悖论的15种方法。集合论中悖论的出现，更引起人们对悖论的重视。人们又发现了理查德悖论、罗素悖论、格里灵悖论等一些著名的悖论，并提出了解决悖论的新方法。
悖论在历史上曾引起三次数学危机，导致了人们对思维层次的深入剖析，促使一些新学科的出现，因此，成为当代逻辑学家、数学家、语言学家和哲学家们共同的热门话题。

二、现在的我与过去的我
——形式逻辑的根本大法
古希腊的“晦涩哲人”赫拉克利特有一句著名的话：“踏入同一条河里的人们，流过他们的水是不同的，永远是不同的。”这句话是说，河水在不停地流动，当人第二次踏入这条河流时，接触的已不是原来的水流，而是变化了的新的水流。他用这句话说明，世界上的万事万物就像奔腾不息的河流，都处于不停的流动变化之中，永远凝固的东西是不存在的。有些事物的变化是明显的，人们可以直接感受到。“眼前红日又西斜，疾似下坡东。”“三五明月满，四五蟾兔缺。”说的是日月的变化。“有兴必有废，有盛必有衰。”讲的是社会的运动。可是，有些事物的变化比较缓慢，人们不易觉察到。例如，世界上最高的山喜马拉雅山巍然屹立在我国的西南边陲，看似永远不变化，然而，事实上它是从“喜马拉雅海”变来的。1亿多年以前，这里还是极目浩瀚的一片汪洋。另外还有一些事物，如恒星、高空飞行的超音速飞机、基本粒子等等，虽然它们的变化非常快，但由于距离我们太远或太小，我们也不易觉察它们的运动。总之，整个世界，从最小的东西到最大的东西，从自然到社会，无时不处在运动之中。“一切皆变，无物常住。”
我们承认任何事物都在运动，但并不否认静止的存在。不过这种静止不是绝对的静止，而是相对的静止。例如，一个人坐在奔驰的火车里，相对于火车的空间位置来说，他是没有运动的。可是，请不要忘记，火车在急速地行走，人和火车都在地球上，而地球也在不停地自转并围绕太阳公转。再说，人虽然坐着没动，但在他的体内，每天都有千万个细胞在死亡，又有千万个细胞在新生。总之，人也在不停地运动着。另外，某一事物虽然处在运动中，但在一定条件下只是发生一些细微的变化，而没有发生质的变化，此事物仍然为此事物，呈现出相对静止的面貌。只有当这些微小的变化积聚到一定程度，此事物才能变成别的事物。例如，一个人刚出生后就在不断地变化，但直到死亡之前，某人终归是某人。
否认事物的相对静止，就必然认为一切事物都是瞬息万变，不可捉摸，这也就必然否定事物特殊的质的规定性，导致相对主义和诡辩论。
赫拉克利特有一学生叫克拉底鲁，善于别出心裁，为了达到一语惊人的目的，提出“人连一次也不能踏入同一条河流”的惊世之言。他解释说，我们既然承认一切皆流，万物皆变，那就是说，任何事物无时无刻不在发生变化，不可能有片刻的静止和稳定。这正如一条河流，在我们刚刚踏入的一瞬间，它就变成了另外的河流了，所以，我们一次踏进去的就不是同一条河流了。
有人问克拉底鲁：“河流是如此，是否其他事物也这样呢？”
克拉底鲁不假思索地回答说：“从哲学的观点看，这是毫无疑问的。世界上的所有事物正是这样永不停息地变动着。”
这时，有人指着克拉底鲁坐着的椅子问他：“你坐着的是什么？”
“是椅子。”
“不对！”提问者反驳说，“按照你的理论，你的话还没说完，它已经变得不是椅子了。”
克拉底鲁无言以对。后来，他怕再出洋相，不管任何人问他什么问题，他都不作回答，而只是不断摇动大拇指。意思是说，你问的问题我不回答出来，因为就像指头的摇动一样，任何事物都在不断地变化，我们无法加以认识，我们更不能把它说出来，因为在说出时它已不存在了。后来，有人把克拉底鲁称为“只动手指头的哲学家。”
克拉底鲁否定事物相对稳定性的荒谬主张受到人们的嘲笑。有一位希腊的喜剧作家得知后，特意按照他的观点编了一个喜剧，在第一次演出时恭请克拉底鲁观看。克拉底鲁不知底细，欣然前往。
演出开始了，剧中人甲和乙出场。
甲：朋友，我有急用，但手头拮据，帮帮忙，先借点钱给我。
乙：你这人从来不讲信用，经常赖帐。前几次借我的钱还没还呢，现在又想来骗我。告诉你，我不会再上当了。
甲：朋友，怎么能这么说！我这个人从来都是讲道理的，前几次没有还不都是有道理的吗！
乙：什么道理？尽是些歪道理！你别想再耍花招了。
甲：朋友，这次你无论如何要帮我的忙，我向你保证，借你的钱一个月后全部还清。你要是不信，我可以向天发誓，到那时不还老天惩罚我！
乙：你既然发了誓，那就拿钱去吧！到时可不能再赖帐了。
（甲和乙退场，过一会儿二人又上场）

乙：一个月已经过去了，借我的钱该还了吧！
甲：朋友，你知道我借钱干什么了吗？我拿这笔钱拜了一位老师学哲学。学了他的哲学，我不论做任何事都是有道理的。要不要把他的哲学讲给你听听？
乙：你少罗嗦！借我钱时你对天发了誓，现在一个月已到，你把钱还给我，不然，老天会惩罚你的。
甲：按照老师的哲学道理，我既不用还钱，也不会受惩罚。我的老师说，一切都在不断变化，人连一次也不能踏进同一条河流，因为河流眨眼间就变了。从你借钱到现在已一个月，现在的我早已不是向你借钱并对天发誓的我。所以，你不应向现在的我要钱，只能去向一个月前向你借钱的那个我去要钱。
（乙听后非常气愤，抓住甲痛打一顿）
甲：你敢打我！我到法院告你，要你赔偿损失并付医药费。
（甲叫喊着跑下，乙追下，下一场在法院）
法官：谁是原告？告什么状？
甲：我是原告，我控告乙打伤我。法律应罚他，还要他赔偿医药费。
法官（对乙）：是你打人吗？
乙：（在讲明了事情的经过后）我知道打人犯法，要受到法律制裁。但按照他老师的道理，一切事物都在变化，一事物马上会变成别的东西。我也在瞬息万变，现在的我并没有打人，打人的我是过去的我，因此，法律应惩罚先前打人的那个我，并让他付药费。
演到这里，剧场里的灯大亮，观众们无不捧腹大笑。这时，有人认出了克拉底鲁，大声喊道：“大家看，赖帐不还的人所拜的老师不就是这位克拉底鲁先生吗！”全场观众的目光一下子集中到克拉底鲁身上，弄得他非常尴尬，无地自容，他只是习惯地伸出手来摇动着大拇指，这一举动更引得人们笑得前仰后合。
所以，承认事物的运动变化并不是说否认它在一定条件下的相对稳定性或者说质的规定性。一个事物，如果它在某个时间在某个方面具有某个属性，那么，它在这个时间在这个方面就具有这个属性，它不能既具有又不具有这个属性，它或者具有这个属性，或者不具有这个属性。客观事物的这种质的规定性反映在人的思维中就表现为人的思维的确定性，也就是说，在同一思维过程中，每一概念、命题的自身都具有同一性；两个相互矛盾的思想不可能同时为真，即至少一假；两个相互矛盾的思想也不可能同时为假，即至少一真。这就是形式逻辑最基本的规律：同一律、不矛盾律和排中律。
曾有这样一个案例：有一天，某国首都一家珠宝店被盗贼窃走一块价值5000美元的钻石。经过侦破，警方人员查明作案的为甲、乙、丙、丁四人中的某一个。于是，四个人被作为重大嫌疑犯被拘留。在审讯中，四人的口供如下：
甲：钻石被窃的那一天，我正在别的城市，所以，我不可能作案。
乙：丁就是罪犯。
丙；乙是盗窃钻石的罪犯。三天前我见他在黑市上卖一块钻石。
丁：乙同我有私仇，故意诬陷我。
现在假定四人中只有一个人说真话，罪犯是谁？再假定四人中只有一人说假话，罪犯又是谁？
这四人的口供整理后实际上是下面的几句话：
甲：甲不是罪犯。（1）
乙：丁是罪犯。  （2）
丙：乙是罪犯。  （3）
丁：丁不是罪犯。（4）
这里，正因为丁这个人本身具有相对的稳定性，（2）与（4）构成两个相互矛盾的命题。
据排中律，两个相互矛盾的命题不能都假，其中必有一真。据第一个假定，四个人中只有一人说真话，因此，说真话的或者是乙或者是丁，甲和丙说的必是假话。丙说假话，证明乙不是罪犯，而甲说假话，则证明他是此案的罪犯。
据不矛盾律，两个相互矛盾的命题不可能同真，其中必有一假，因此，在乙和丁二人中必有一人说假话。又据第二个假定，四人中只有一个说假话，所以，甲、丙必然说真话。甲说真话，证明他不是罪犯，而丙说真话，证明乙是本案的罪犯。
同一律、不矛盾律和排中律既然是形式逻辑的基本规律，那么，日常思维在任何时候都必须遵循它们。这些规律也是科学理论体系保持首尾一贯的必要条件，否则，如果违背它们，在一理论体系中出现了逻辑矛盾，那么，此理论不可能是科学的理论。但是，在一个悖论中，由一命题真却推出它为假，而由它假又推出它真。真也就是假，假也就是真，真假是等值的。一命题既真且假，既不真也不假。在悖论面前，形式逻辑的根本大法同一律、不矛盾律和排中律全都失效，人们思维的基础崩溃了，难怪人们要惊得目瞪口呆了。


三、悲壮的殉道者
——希帕索斯悖论
毕达哥拉斯是一位与孔子、释迦牟尼几乎同时代的古希腊著名的数学家和哲学家。在中学的平面几何中，有一个定理叫“毕达哥拉斯定理”，就是以他的名字命名的。
毕达哥拉斯出生于爱琴海东面的萨摩斯。他十分好学，不愿跟随父亲学习雕刻指环的手艺，而是一心想拜有学问的人为师。于是，他周游各地，曾拜在阿那克西曼德、费雷居德等哲学家的门下，学习了不少哲学和自然科学的知识。后来，听说老师的许多知识都是从东方的巴比伦和埃及学来的，就动身到巴比伦和埃及求学。他曾在埃及居住了近22年，从埃及神庙的祭司那里了解了古埃及的数学、天文、宗教等方面的知识。在40岁左右时，毕达哥拉斯就已成为很有学问的人了。为了把所学知识传授给家乡的人民，他又回到了萨摩斯。由于政治观点不同，只得又离开家乡，前往希腊的移民地意大利南部的克罗通定居。他的后半生就是在这里度过的。
为了能向人们传授知识，毕达哥拉斯开办了一个公众学校，到这里学习的曾达300多人。为便于组织学习，他把学生组成一个类似宗教团体富于神秘主义色彩的集团。例如。他制定了许多奇怪的戒律：不准用刀子拨火，不准坐在斗上，不准在大路上行走，房子里不准有燕子，。不准养脚爪有
钩的鸟等等。准备参加学习的人一开始不能和他见面，只能在门外听讲，听过一段时间后进行考试，及格的人才能与老师见面，成为正式的学生。毕达哥拉斯是这个团体的最高首领，主持他们的学习和生活。
毕达哥拉斯学派提出一著名的观点：“一切都是数。”哲学的任务就是要发现世界的本原，而作为世界的本原应当是构成一切事物而又为一切事物所共同具有的东西，而数正是这种东西。因为不论什么事物，大到天体，小到尘埃，都有一定的长短、高低、大小、轻重等数量，没有数量的事物是不存在的。
数既然是世界的本原，那么，它如何构成世界上的事物呢？毕达哥拉斯派解释说，作为世界本原的“数”是一种单位，它占有一定的空间，是有形的。数的开端是“1”，“1”就是一个小点（•）。虽说这种点非常小，但却是存在着的，正如阳光透进房间时我们看见的无数纤尘是存在的一样。“2”这个数是两点的排列，即成为一条线（一）。同样，“3”这个数是面（△），而“4”这个数就是体了（ ）。数的排列到了“4”，就出现了有形体的事物。由这四个数就构成了土（立方体）、火（四面体）、气（八面体）、水（二十四面体）四大基本要素，这四种要素的不同排列组合就构成了世界上形形色色的具体事物。可见，一切事物都由数构成。
数不仅构成了一切事物，而且，作为一种量，它也存在于所有的事物之中。任何事物之间都存在着一定的数量比例关系，正因为这种数量比例关系，世界才表现出其秩序和规律。不同的数量形成一定的比例，一定的比例就是事物之间的和谐。他们在研究音乐乐理的谐音时发现，产生各种谐音的弦的长度都成整数比（分数）。例如，两根绷得同样紧的弦，当它们的长度比为2∶1时，就会产生相差八度的谐音，而当它们的长度比为3∶2时，短弦发出的音比长弦发出的音要高五度。而如果三根绷得同样紧的弦，当它们的长度比为3∶4∶6时，就能得到和声的谐音。如果把“中音1”的弦长定为1，音阶与弦长就有如下妙不可言的分数关系：
音阶   1  2  3  4  5  6   7   i

另外，他们还对正方形的面积进行了研究，所得结果令他们更加兴奋。

正方形同a为边长的正方形面积之比分别为4∶1、9∶1、16∶1……n2：1；同时，在研究同名正多边形覆盖平面问题时，他们发现，这种覆盖只有如下三种情况（见图3），即六个正三角形、四个正四边形和三个正六边形。在这三个图形中，其边数比为3∶4∶6，而其正多边形的个数之比则恰好相反，为6∶4∶3。
总之，一切事物都必须而且只能通过数得到解释，宇宙的本质和规律就是数的和谐，也就是说，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。毕达哥拉斯学派首创西方沿用的“宇宙”（cosmos），它的本义就是一个和谐而有规律的整体。公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的菲罗洛斯在谈到这个问题时说：“如果没有数和数的性质，世界上任何事物以及与其他事物的关系都不能为人们所清楚地了解……你不仅可以在鬼神的事务上，而且可以在人间的一切行动、思想，以至一切行业和音乐中看到这种数的力量。”
由于认为世界的本质就是数的严整性与和谐性，所以，毕达哥拉斯派非常重视数学的研究。他们基本建立了所有直线形的理论，包括三角形全等的定理，平行线理论、相似理论、三角形的内角和定理等等。三角形的内角和定理是说，一个三角形的内角和等于两直角。这是中学平面几何中非常重要的定理。他们还发现了有名的“毕达哥拉斯三数”，即可以排成直角三角形三条边的整数组，他们除了给出具体的特例外，还给出了一般法则：如果m

明了关于直角三角形斜边与两直角边关系的定理，即著名的“毕达哥拉斯定理”（即“勾股定理”）：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方之和。在当时，中国人、巴比伦人、埃及人和印度人早已了解到此定理的部分情况，但都没有给出一般的证明。因此，毕达哥拉斯和他的门徒在给出这条定理的证明后欣喜若狂，后来主张简朴节俭的师徒们也破例举行隆重、热烈的庆贺。据说，他们宰了100头牛举办了盛大的“百牛宴”，以至有人议论说，人们喜悦，牛却遭了殃。
然而，正当兴致未尽之时，他们的狂热却被一个人狠狠地泼了一盆冷水，这就是入会不久的希帕索斯。希帕索斯是个勤奋好学的青年，他善于独立思考，不盲目附合。他学了勾股定理以后，在研究正方形的对角线时发现，这条对角线（亦即等腰直角三角形的斜边）既不能用整数表示，也不能用整数之比（分数）表示。因为，如果能用整数或整数之比表示，则必然带来不可克服的矛盾。证明如下：
设等腰直角三角形的两直角边为a，斜边的长度为约去公因数的两整数

因为m、n约去了公因数，则二者之中至少有一奇数（都是偶数则有公因数2）。

而m2=2a2n2。
∵2a2n2为偶数，则 mZ为偶数，
∴m必为偶数〔m不可能为奇数，因为任一奇数 Zn＋1的平方（2n＋1）2＝4（n2＋n）＋1必是奇数〕。
又∵中至少有一奇数，
∴n必是奇数。
m既是偶数，设 m＝ 2P，
于是，m2＝4p2＝2a2n2，


n2为偶数，而n也必是偶数。
综上可知，假如他们的信念是正确的，那么，同一数n既是奇数又是偶数。说它是奇数，它又是偶数，而说它是偶数，那么，它又是奇数。但是，一个数要么是奇数，要么是偶数，不能既是奇数又是偶数。因此，以上的循环必然是一矛盾，人们把这种循环称为“希帕索斯悖论”。
在一推导中得出明显错误的结论，无非有两种情况：一种是前提错误，一种是推导过程不正确。以上的推导中使用了两个前提：一个是毕达哥拉斯派“一切现象可归结为整数或整数之比”的信念，另一个就是华达哥拉斯定理，但由二者推出了矛盾。显然，推导过程毫无差错，因此，问题只能出在前提上。毕达哥拉斯定理是已证明为正确的定律，这样，他们的信念就是不成立的。因此，希帕索斯悖论的发现就如同一声晴天霹雳，动摇了毕达哥拉斯学派整个信念大厦的基础，引起其他毕氏门徒的极大恐慌。他们决定立即封锁消息。可是如何能封锁得住？一传十，十传百早就传开了。这使得他们非常恼火，决定捉拿泄露天机的希帕索斯。希帕索斯并不屈服，于是逃离了这个学会。一些激进的门徒紧追不舍，结果在地中海的一条船上抓住了希帕索斯，并把他扔到了海里。
“青山遮不住，毕竟东流去。”希帕索斯可以抛到大海里淹死，但希帕索斯悖论是淹不死的。等腰直角三角形斜边的问题是人类社会生活中客观存在的问题，人们需要解决它来完成生产建设中某一环节的计算。因此，社会生活会从实际需要中促使希帕索斯悖论的发现。另外，根据毕达哥拉斯定理，可以看出，直角三角形的三条边并不一定就是整数，这使得毕达哥拉斯学派的信念中必然导致矛盾。作为直角三角形特殊情形的等腰直角三角形必然会成为研究者的课题，即使没有希帕索斯，也会有另外一个人看到这一悖论，只不过是时间早晚而已。人们很快发现，不能用整数或整数之比表示的数并

路人皆知的事实，这些事实像潮水一样猛烈地冲击着传统观念，促使人们重新审视一切数都是整数或整数比的有理数理论，这就是历史上的第一次数学危机。
严格说来，这种危机并不是数学本身的危机，而是毕达哥拉斯学派“万物皆数”（整数或整数之比）信念的危机。本来，整数或整数之比确实是宇宙中普遍存在的现象，但他们把这种现象夸大并神秘化了。例如，当他们发现l、2、3、4能构成谐和的乐音时，就把l、2、3、4之和的10看作神圣而完美的数目，并把这一图形（由10个点构成的完美整体）也看作神奇而玄妙的图形，以至于认为天体也应该达到10这个数目。他们认为，人与人的关系也与数有直接联系。他们把理性看作1，意见看作2，正义看作4，婚姻看作5，爱情看作8。由于他们把违反客观规律的这种信念当作绝对真理，因此，必然会造成悖论，而危机也必然会接踵而至。

四、阿基里斯追不上乌龟
——芝诺悖论与贝克莱悖论
阿基里斯是《荷马史诗》中的一个善跑健将，而乌龟是人们公认的跑得最慢的动物。起跑时让乌龟领先10米，发令之后，阿基里斯如离弦之箭向前冲去，而乌龟不论多急也只能慢吞吞地向前爬。大家肯定认为阿基里斯只需一眨眼的工夫就会追上并超过乌龟，但古希腊埃利亚学派的芝诺却指出，跑得最快的并不能跑过最慢的，阿基里斯永远追不上乌龟。这是著名的“芝诺悖论”之一。芝诺提出此悖论的目的是为了否认运动的真实性。据说，后来古希腊犬儒学派的第欧根尼曾用十分简单的方法——行动进行反驳。他一语不发地站起来，在房间里走来走去，然后，询问学生这种反驳如何。其中一个学生很高兴，对反驳感到非常满意。第欧根尼上去就踹了他一脚，然后把他狠狠地训斥了一顿。这是因为芝诺并不否认这种感性的运动，而是在理性上用理由进行证明运动并不真正存在，因此，对方只有用理由进行反驳才有效。
芝诺的论证是这样的：
假设阿基里斯和乌龟的速度都保持不变，而阿基里斯的速度是乌龟的10倍，那么，当阿基里斯跑到第10米——乌龟起跑的地方时，乌龟已爬到第11米的地方去了，乌龟领先1米。于是，阿基里斯又奋勇向前。当他跑到第


米……显然，这些距离有无限多个，跑完一个又一个，永远也跑不完，乌龟始终领先一段距离。因此，阿基里斯只能无限地接近乌龟，而永远追不上、更不能超过乌龟。
由于在常识看来，阿基里斯能追上并超过乌龟，芝诺的上述论证在当时被认为最难以驳倒的，而所得结论却明显与直觉矛盾，因此，人们称之为“阿基里斯悖论”。
这种论证正确吗？从哲学上讲，这显然是一种诡辩。表达运动的概念有两个，即间断性（或点截性）与不间断性域连续性），是不间断性与间断性的统一。芝诺的错误在于，他不懂得运动本身是二者的统一，而形而上学地割裂两者，只承认间断性而不承认不间断性。他把运动假定为在空间可无限分割的点，而把物体（阿基里斯）局限于点上，把运动看作这些静止状态的点的总和。他不懂得运动的物体到达这个点的同时就要离开这一点，因此，运动的物体不可能达不到目的而停留在无限可分的点上，阿基里斯会很快赶上并超过乌龟。
另外，芝诺没有看到，那些距离虽然有无限多个，可是，它们的和却是一个有限的、确定的距离。相应地，阿基里斯所用时间间隔虽然有无限多个，但它们的和也是确定的、有限的一段时间。
按已知条件，设阿基里斯跑完第一段路程所需时间为1分钟，则第二、

龟所有需时间t为：

用10乘等式两边得：  

用（2）式减（l）式则有：

芝诺悖论在当时并不受重视，但它在数学上的价值直到后世才为人们所发现，它说明“无穷大”、“无穷小”等概念逐渐出现在数学研究的项目中，这也是极限理论的萌芽。
在近代，随着科学技术的发展及社会实践的需要，这些概念又重新引起人们的注意，微积分理论就是主要建立在无穷小量分析之上的。但无穷小量分析后来被证明是包含矛盾的。
无穷小量分析的特点在于“无穷小量”的自由应用。例如，15世纪的尼古拉斯就曾用这种方法求出了圆的面积公式。他首先通过无穷分割得出了无穷小三角形OAB（见图4）。由于AB为无穷小量，因此，无穷小三角形就既被看作一直边三角形，同时又被看成曲边三角形。作为直边三角形，它的

角形的高），而由于它又是曲边三角形，它的无穷累积就是圆。因而，圆的

（L1＋L2……为圆的周长）。
又如，费尔玛也曾用无穷小量分析解决过求非匀速运动物体的速度问题。他的方法是这样的：（l）截取一时间间隔△t，并求出这一时间间隔物体所通过的距离△s；（2）求出△s，显然，这是物体在此时间间隔内的平均速度：（3）令△t=0，这时，我们所截取的时间间隔就是无穷小量dt,因此，这时所获取的速度就是物体在这一时刻的瞬时速度。
由于微积分理论的研究对象是非均匀变化（如非匀速运动、曲线形），因此，这里的主要问题就是如何把非均匀变化转化为已解决的均匀变化来研究，即“变非匀速运动为匀速运动”，“化曲为直”。而无穷小量由于其本身的特性恰好为这种转化实现提供了条件。因此，无穷小量分析在严格的极限理论建立以前一直是微积分理论中的主要方法。
但是，作为其基础的无穷小量分析却包含有逻辑矛盾。具体而言就是：在无穷小量的实际应用中，它必须既是0又不是0；但从形式逻辑的角度来看，这无疑是违反不矛盾律的。例如，就圆的求面积而言，如果认定无穷小量AB为0，那么，无穷小三角形OAB就根本无面积可言（这时根本不存在三角形）；而如果认定AB不为0，那么，无穷小三角形仍然是曲边三角形，从而，也就不能用计算直角三角形的方法来计算它的面积。又如，就非匀速

传统法则，这是无意义的。事实上，这时也没有任何

平均速度，而不是瞬时速度。
由于无穷小量分析中包含有这样的矛盾，而牛顿、莱布尼兹在建立微积分时也没有在理论上解决这个问题，这就使得无穷小量必然会首当其冲地成为不少人攻击的对象。在反对无穷小量分析的人士中，最激烈的要算爱尔兰克罗因地区的主教乔治•贝克莱。他认为，无穷小量只是一些数学家臆想的产物，是抽象的、虚无缥缈的主观猜测。他把无穷小量讽刺为“逝去了的量的幽灵”贝克莱的目的虽然是企图否定无穷小量，但通过这种指责可以看出，他在此问题上的确是个“行家”，他确实有效地揭示了无穷小量分析中所包含的逻辑矛盾。由于当时人们确信建立在无穷小量分析之上的微积分理论的正确性，因而，由此引起的矛盾就被认为是悖论，世称“贝克莱悖论”。
由于贝克莱的攻击切中了要害，因此，贝克莱悖论的发现动摇了数学的基础，在当时的数学界引起了一定的混乱，人们把它称之为“第二次数学危机”。
实际上，这并不是整个数学的危机，而是无穷小量分析方法的危机。第二次数学危机后，一些数学家致力于解决这一矛盾。通过近半个世纪的努力，人们发展了极限理论，从而为微积分理论建立了可靠的基础，克服了危机，解决了悖论。

朵朵平安

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