祝孩子们天天健康快乐！

标题: 小升初数学探究型课堂实践 [打印本页]

作者: ccpaging 时间: 2013-5-12 22:10
标题: 小升初数学探究型课堂实践
（理论的话，先不要讲，上点干货再说。）

六年级：角色扮演游戏－－利率

今天下午跟几个六年级的童鞋结结实实玩了一次角色扮演游戏。这次的游戏是关于利率、利润率的。因为家长反映童鞋们不熟悉这方面的内容。对此，我在辅导家的六年级大男生时，也有所赶脚。原想，不就是几个公式么，有什么难的。

昨天刚跟一个妈妈聊过初中数学的话题，她发现，有些刚进入初中的优等生特别是女生，只是在做习题中“记住”了公式。所谓“记住”了，未必是费很大力气的死记硬背，因为这些孩子很聪明，记忆力好。但没有举其一隅而知三的动力，知其然而不知其所以然，不能灵活运用，到了初二初三数学成绩就稀里哗啦了。

而我自己早在进入初中前就已经进入了自我学习的状态，所以，没有能认识会出现这样的问题。现在带个探究班，遇到的孩子多了，形形色色，问题也就多了。

游戏角色分为：农场主（或者工厂主）、有钱人、银行家
五个同学加上我一共六人。各自自由选择，每个角色应不只一人，否则无法形成平等的市场竞争关系。其中，农场主两人，有钱人两人（一对可爱的双胞胎女孩），银行家两人。

游戏的背景：春天了，农场主买了种子、雇用农民、使用机械化设备完成了播种。眼见着刚长出了春苗，却突然遇到了旱灾。（备注：本来课前准备的内容是台风。有个同学爱抢话，直接说是“旱灾”，我想想也对。台风多发生于夏季，还是春旱更合理。抢话的孩子有时也是一种资源，只要老师能够随机应变。）可是农场主已经把所有的现金都用完了，变卖一部分财产也缓不应急。

游戏开始了

农场主1和农场主2都说：看来只好找银行家借钱了。
我说：“就算借10万元吧。”然后问银行家1：那么，你打算收多少借款利息呢？
银行家1几番踌躇，差点就翻书了，最后终于决定，“那就收2.5%的利息吧。”
这还真是个不贪钱的银行家。轮到银行家2（也就是我）。我先问农场主们：如果我借给你10万元，一年以后，你们估计能收回多少呢？
农场主2：15万元，也就是50%的利润率。当然是按照成本计算的，而不是按照收入计算的。
农场主1：20万元。
我惊讶了：100%的利润率啊。那好吧，我借给你们钱，利率是20%。

农场主们当然都愿意找 2.5% 的低息借款。这时，另外一个角色－－有钱人，出场了，因为银行家要借出钱首先要找到储户。
银行家2抢先了一步，问有钱人：现在我希望你们存钱到我的银行里来，我保证一年之后给你们15%的利息。
显然，这是另一个银行家所无法给出的条件。

有钱人问：为什么我要借钱给别人呢？
我说：因为农场主受灾了，如果你们不借钱给他们，农场主种不出粮食，我们全部都得挨饿。
于是，银行家2顺利的得到了10万元储蓄，贷给了农场主1。

一年以后，农场主1如愿获得了15万的产值，还贷款和利息共计12万元，获得毛利3万元。银行家2付给有钱人11.5万元，获得毛利0.5万元。有钱人连本带息收入11.5万元，新增收益1.5万元。至此，一个农场主、银行家、有钱人之间正常的借贷项目完美地结束了，大家都得到了各自的收益。

（后面更精彩，银行家2被流放到孤岛上去了、、、未完待续）

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-15 10:58 编辑 ]

作者: jiangying 时间: 2013-5-12 22:19
欢迎CC，儿教又迎来一尊大神

作者: ccpaging 时间: 2013-5-12 22:23
楼上谬赞了。我只不过是喜欢跟孩子一起玩，而且还有孩子愿意跟我一起玩我喜欢的数学，大学毕业以后，这是我求之而不得的事儿。上天眷顾，喜不自胜。

作者: 风云之间 时间: 2013-5-12 22:39
我家下半年就高一了，来支持楼主。会不会有高中数学的内容啊？先剧透一下吧。

作者: 骆驼16 时间: 2013-5-12 22:40
欢迎CC来到儿教，儿子比较喜欢数学，以后多多请教！

作者: bluebirdfriend 时间: 2013-5-12 22:48
数学是我最头疼的，谢谢ＣＣ！

作者: ccpaging 时间: 2013-5-12 22:48

原帖由 风云之间 于 2013-5-12 22:39 发表
我家下半年就高一了，来支持楼主。会不会有高中数学的内容啊？先剧透一下吧。

剧透一下、、、没有。不过，像今天这个探究性课堂，探究课堂的孩子回家要跟家长、兄长一起玩的，家长也很喜欢。

对他们来说，数学的部分是简单的，里边有一些经济常识还是很有意思的，甚至可以引申出相当高级的经济问题，例如，银行的利率应当由谁来定？现在的银行利率是否合理？

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-12 23:26 编辑 ]

作者: whyouth 时间: 2013-5-12 22:50
孩子刚读小学,也来学习一下,相信思路是可以借鉴的.多谢了

作者: helenminliang 时间: 2013-5-12 23:12
我们快读完小学了，让孩子来看看楼主的帖

作者: ccpaging 时间: 2013-5-12 23:25
标题: 六年级：角色扮演游戏－－利率（续）
前面说到顺利地完成了关于利率的探究，我以为是的，但开放性探究课堂里边总是有一些出格的童鞋，他们会做出完全让人意想不到的事情。
数一下前面的角色，发现了吗？有一个农场主2没有登场，而有钱人（那对双胞胎姐妹）手里还有10万元没有借出。我看到她们窃窃私语不时地传递一张字条，我还听到她们“不坏好意”的笑声，她们要做什么呢？

农场主2宣称：我已经获得了有钱人的另外10万元免息贷款。
有钱人确认了这一点。她们都看着我，我还没有来得及反应，先听见了银行家1的一声惨叫：“完了。”原来，银行家1什么生意也没有做成，坐吃山空，倒闭了！
“好嘛，原来是这样！”我心想。“但是，这没有什么啊，我仍然赚到了0.5万元。”我说：“但是这样的话，你们破坏了正常的市场秩序啊。”
农场主2说：这些都是我们心甘情愿的。
我说：那我们来算一算。一年以后，有钱人只是收回了本钱，一分钱也没有赚到。银行家自然也赚不到钱。只有农场主获得了暴利。这不正常啊。
有钱人说：我们没有损失啊。
我说：可是如果年复一年的这么做下去，有钱人的钞票总是要来吃吃喝喝，到后来只好去当乞丐了。
有钱人说：我们觉得当乞丐也没什么不好。
农场主2也说：没关系，我是种粮食的，我给她们饭吃。
那我就没办法了，银行家当不下去了，看了一下清单，说：那我变卖了银行的房产，当工厂主去。
有钱人和农场主2说：我们诬陷你，让政府把你的房子拆迁了，把你的设备变卖了，然后，政府再分给我们、、、
我打断了她们的话，说：那是两回事儿。政府收了就是政府的，如果分给你们，那就违法了。我要告你们。虽然我现在身无分文，但我有信用，可以找别的银行家借钱东山再起。

“那我们把你流放到孤岛上去。”
“我可以做一个卫星电话，跟我的朋友联系，让他告你们。”

农场主1有点犹豫。我劝他：你看她们这么联合起来诬陷我，将来她们也会诬陷你，你得帮我。
农场主1答应了。

有钱人和农场主2说：你不可能做得出卫星电话。你没有材料啊。
我说：那我先忍着，然后想办法逃出孤岛，回来找你们复仇。我回来先找银行家借100万元、、、

银行家1赶紧说：可以可以，我借给你，15%的利息。
农场主1也点头示意愿意帮忙。

“然后，我用这些钱恶意收购农场主的原料，农药、燃料什么的、、、最后把你们搞得一贫如洗，再让你们接受公开的审判。”突然想到，这就是《基督山伯爵》的剧情嘛。

时间到了，我如蒙大赦。休息期间，我顺带给大家介绍了《基督山伯爵》。巧了，我的电脑里边有，而且还是两个版本－－法语版中字和英语版英文字幕。其实，这些都是我一直准备着的，等个好机会端出来呢。

今天是个好日子。
（完）

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-15 10:58 编辑 ]

作者: 含香 时间: 2013-5-12 23:30

而我自己早在进入初中前就已经进入了自我学习的状态，所以，没有能认识会出现这样的问题。现在带个探究班，遇到的孩子多了，形形色色，问题也就多了。

复制代码

这种状态非常好, 能谈谈怎样让孩子自主学习数学吧? 语言自主学, 很多是不自觉在自然上去了, 但数学一个阶段很明显,前面不懂半懂,到后面就觉得困难了.

作者: ccpaging 时间: 2013-5-12 23:52

原帖由含香于 2013-5-12 23:30 发表
这种状态非常好, 能谈谈怎样让孩子自主学习数学吧? 语言自主学, 很多是不自觉在自然上去了, 但数学一个阶段很明显,前面不懂半懂,到后面就觉得困难了. ...

这个问题可以分成两个部分。
1、引导自主学习或者说自我学习是普及教育阶段的核心任务。我避免用“自学”是因为有不少人认为自学就是扔一本书给孩子看。其实，如果真这么做，很可能的结果是孩子根本不看。要完成这个任务，牵涉到方方面面，如兴趣、自信心、方法、能力、环境等等。完成了，普及教育阶段的育人目的也就基本达到了。

2、数学在人类发展史上是近代才有的。我指的是数学作为一门独立的学科而存在，那是在欧洲的文艺复兴以后。在普及教育阶段的节点就是初中（初一或者预初）。这个关口是比较难跨越的。

近期我会整理出一个专门讲自我学习数学的帖子，时间段从小学五年级开始。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-12 23:53 编辑 ]

作者: shengxsetjy 时间: 2013-5-13 08:20
欢迎CC，好帖。

作者: 无事生非 时间: 2013-5-13 08:41

原帖由 ccpaging 于 2013-5-12 23:52 发表

这个问题可以分成两个部分。
1、引导自主学习或者说自我学习是普及教育阶段的核心任务。我避免用“自学”是因为有不少人认为自学就是扔一本书给孩子看。其实，如果真这么做，很可能的结果是孩子根本不看。 ...

那太好了！期待！
我儿子对数学显然是喜欢的，但是我们肯定没办法引导自主学习，干脆就放任自流，随便他了。

作者: Martina-Mm 时间: 2013-5-13 08:57

原帖由 ccpaging 于 2013-5-12 23:25 发表
前面说到顺利地完成了关于利率的探究，我以为是的，但开放性探究课堂里边总是有一些出格的童鞋，他们会做出完全让人意想不到的事情。
数一下前面的角色，发现了吗？有一个农场主2没有登场，而有钱人（那对双胞 ...

这样学数学太好了！

看来教育孩子只能自己动手，丰衣足食了。

作者: luluq 时间: 2013-5-13 09:10
昨天还和儿子说，一个孩子自学能力强，能受用一辈子。我自己初中和高中分别在数学和语文的实验班。所谓实验班，就是一堂课先自己看书，老师只花最后的5-10分钟点拨一下。当时，没觉得有什么。真正地感受是在大学和工作后，自学能力强，做事情信心百倍。大学时候上课出去玩，不听课，考前全靠自学。后来的工作和生活中遇到不会的，就这么想"不会怕啥，自己学就是了”。
最近正好也在考虑自主学习的问题，孩子的英语和古文已经逐步走向自学了，数学几年级开始比较合适？如何引入？

作者: 一尘不染 时间: 2013-5-13 09:15
高人哪，这样教学的延展性太强，要有足够的掌控力啊

作者: 一尘不染 时间: 2013-5-13 09:16
来少了论坛，竟然回帖费了周折，一会儿不通过，一会又发重复了

请楼主多讨论中学孩子的数学问题，咱们要好好学学。

[ 本帖最后由一尘不染于 2013-5-13 09:18 编辑 ]

作者: 子云 时间: 2013-5-13 09:18
自主学习数学从五年级开始吗？之前的数学要怎么学？

咱关心这个，是因为豆现在二年级，

作者: jerryhao 时间: 2013-5-13 09:28
这些游戏真的不错，适合于中学老师使用。

作者: 焦焦爱宝宝 时间: 2013-5-13 10:00
跟着有智慧的妈妈学习真是太好了

作者: 盛胜利 时间: 2013-5-13 10:03
太好了，又是一个指路明灯。先谢谢了

作者: 榴琏 时间: 2013-5-13 10:04
有小学阶段的角色扮演吗？？你觉得现小学的数学基础方面对于初中或预初哪部分比较重要？

作者: 小荷听雨 时间: 2013-5-13 10:39
故事很有趣，不过要回头反复看

学懂了才能教孩子

作者: Apple02 时间: 2013-5-13 10:42
原来是大神，好好学习一下：）

作者: peterwuli 时间: 2013-5-13 10:59
认真的学习了！...

作者: ccpaging 时间: 2013-5-13 11:12

原帖由 一尘不染 于 2013-5-13 09:15 发表
高人哪，这样教学的延展性太强，要有足够的掌控力啊

哪里是什么高人啊？关键是要放松。上课有两种，一种是高屋建瓴，一种是平等的讨论。其实，就拿这节课来说，关于利率的话题，我并没有真正地阅读过经济学的著作，关于复仇的话题，涉及到法律体系的建立等，我也没有阅读过、、、所以，我根本 Hold 不住啊。

所以，我只能采用平等讨论的方式，让话题自然地延伸。我的作用只是在讨论的过程中，在可靠地情况下，施以少许的作用力，维持话题的方向也就是了。

另一个关键是把握话题的起点。人的思想过程和发展过程是人类历史发展的重复，所以，我采取的是从概念的原始诞生处讲起。这样做的好处，一是容易激发孩子的自由思想，二是让思想自然的发展规律发生作用。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-13 11:15 编辑 ]

作者: 学而妈妈 时间: 2013-5-13 11:16
初中数学探究型课堂实践--------及时雨啊！有空能否到中学天下指导一二？

作者: ccpaging 时间: 2013-5-13 12:04

原帖由 学而妈妈 于 2013-5-13 11:16 发表
初中数学探究型课堂实践--------及时雨啊！有空能否到中学天下指导一二？

家的六年级在我们这属于预初生。累年应试的结果造成学习的主要目的扭曲，学习不再是为了成长，变异成了竞争的工具。对难度的要求越来越高，知识也不断地下放，以至于如今小学老师教不了六年级了，六年级学生要上初中变成预初生。

从孩子的心理和思想发展的角度说，六年级应该算是小升初衔接的重要阶段。做好这个阶段，让学生逐渐进入初中生的角色，更好地适应初中阶段的学习。

作者: helenminliang 时间: 2013-5-13 12:18
很有意思，都超出数学的范围了，进入文学，社会学，法律的范围了，好玩。

作者: snazkf 时间: 2013-5-13 12:46
读了CC的贴子，我想CC这个利率的实例，目的是让孩子们自己，通过讨论，实践，来获得对基础知识的正确理解。而不是根据利率公式来套题。

我发现的问题是，比如我儿子弹琴，机械练琴是必不可少的，甚至为了演出和比赛，某一个曲子练了超过半年。
比如语文，现在儿子一年级，如果想要字写的好些，错字少些，那机械的多些重复写字也是必须的。不可否认，如果想写的字好些，就要多写一些。
所以我的问题是，既然机械训练看起来也不能或缺，而机械训练就要占用稀缺的时间资源。那在数学上，如何正确看待机械训练部分，比如如何让机械训练时间适度，或者干脆不要机械训练。
我知道您曾经花数年时间，完成了一个长贴，来反对机械训练。
纯粹的机械训练的危害是显而易见的。但我前面弹琴和写字的例子好像也在说明，一定程度的机械训练也是需要的。
您在数学上，是怎么看待这个问题的啊？多谢！

作者: ccpaging 时间: 2013-5-13 13:39

原帖由 snazkf 于 2013-5-13 12:46 发表
读了CC的贴子，我想CC这个利率的实例，目的是让孩子们自己，通过讨论，实践，来获得对基础知识的正确理解。而不是根据利率公式来套题。

这个问题其实是很难回答的，以下只是我目前的一些浅见。
最近在看徐中约老师写的《中国近代史》，其中有一部分讲到了明清两代中国的思想发展过程，对我的启发很大。
中国的传统思想以及在教育中所体现出来的东西是反对这种开放式探究课堂的，而且体现在术的层面，它是提倡刻苦训练的。
传统对人的影响还在于，你很难看到它在明面上的影响，但却根植于我们的大脑中，无时不刻不在发出反对的声音。
也就是说，一旦说到开放型探究幸性课堂，我们总能找到种种不予以实施的理由。

所以，在对待探究型课堂这一点来说，我提倡，放弃成见，先干起来再说。

原帖由 snazkf 于 2013-5-13 12:46 发表
我发现的问题是，比如我儿子弹琴，机械练琴是必不可少的，甚至为了演出和比赛，某一个曲子练了超过半年。
比如语文，现在儿子一年级，如果想要字写的好些，错字少些，那机械的多些重复写字也是必须的。不可否认，如果想写的字好些，就要多写一些。
所以我的问题是，既然机械训练看起来也不能或缺，而机械训练就要占用稀缺的时间资源。那在数学上，如何正确看待机械训练部分，比如如何让机械训练时间适度，或者干脆不要机械训练。
我知道您曾经花数年时间，完成了一个长贴，来反对机械训练。
纯粹的机械训练的危害是显而易见的。但我前面弹琴和写字的例子好像也在说明，一定程度的机械训练也是需要的。
您在数学上，是怎么看待这个问题的啊？多谢！ ...

从某种角度说，我把学习的方式分为被动学习和主动学习。例如，中国式上课就是被动学习，作业当然是主动学习，这个帖子说的探究也是主动学习。而以中国式教学而言，作业是最主要的主动学习的方式。所以说，作业非常重要。

我曾经碰到一些初中生，他们告诉我：我上课很认真的，老师课堂上的内容都掌握了，作业也认真完成了，但是我最大的疑惑是，为什么考试总出一些老师没讲过的题目呢？

而且，这些孩子在小学和初中低年级时往往都是优等生。问题出在哪里呢？个人分析，他们的课堂学习很好，被动学习的效果可以打满分，而主动学习特别是作业，效果太差。学习的内容通常只掌握了60-80%，显然以这样的水平在考试中表现不佳也就不奇怪了。

那么，如何解决这个问题呢？我会另外开一个《预初生数学辅导》的帖子来专门记录我自己的一些经验和方法。

实际上，我周末有两小时的时间跟孩子们在一起玩数学，前一小时主要是探究课题，后一小时就是辅导。目前是这么安排的。

独乐乐不如众乐乐，相熟的家长们可以组成一个小的亲子数学圈，由理工科类型的家长来充当主持人。给更多的孩子以一段快乐的数学时光，那多好啊。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-13 13:41 编辑 ]

作者: ccpaging 时间: 2013-5-13 14:02

原帖由 luluq 于 2013-5-13 09:10 发表
昨天还和儿子说，一个孩子自学能力强，能受用一辈子。我自己初中和高中分别在数学和语文的实验班。所谓实验班，就是一堂课先自己看书，老师只花最后的5-10分钟点拨一下。当时，没觉得有什么。真正地感受是在大学和工作后，自学能力强，做事情信心百倍。大学时候上课出去玩，不听课，考前全靠自学。后来的工作和生活中遇到不会的，就这么想"不会怕啥，自己学就是了”。
最近正好也在考虑自主学习的问题，孩子的英语和古文已经逐步走向自学了，数学几年级开始比较合适？如何引入？

自我学习是贯穿于整个教育阶段的一条主线。不仅仅是资优生而应当是每一个学生都要学习并掌握的一个内容。

现代跟古代不同啊。原来才几本书啊。孔老先生周游列国，用牛车载书，那些内容印在纸上，最多也就相当于一门学科一个学期的教科书的量吧。当然，孔老先生觉得需要随身带的书，肯定是字字珠玑、博大精深的。但终究受时代所限，不能涵盖现代人所面临的所有问题。所以，过去那种“半部论语治天下”的可能性早已不在。

老师能讲得完我们一生所需要的知识吗？不可能。一定需要自我学习。

回到这个问题“孩子的英语和古文已经逐步走向自学了，数学几年级开始比较合适？”个人以为，数学的自我学习要从学龄儿童开始，只是随孩子的成长，我们帮助他的侧重点和方式方法有所不同而已。

难，要浪费心力，周期长，要浪费时间。只要孩子走上了自我学习的道路，那就是另一幅“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的图景了。

探究型课堂是养成自我学习的内容之一。个人以为，关键在于这种方式下，老师尊重孩子的自我，接受并鼓励孩子的自由思想。像这个课堂上所遇到的情景，如果在孩子提出诸如诬陷、入狱、流放、这些与数学无关的问题时，我们一言以蔽之－－数学课堂上不能提这样的问题，那同学还怎么能有自由的思想呢？又如何能建立对自我的认识呢？所以，我不那么干，尽管这已经超出了我能 Hold 住的范围，我不能做一个讲文学讲法律的老师，就谦卑地做个学生一起参与讨论嘛。相对于孩子的自由思想而言，这不丢人。实际上，孩子会更尊重我更愿意跟我这个凡人一起玩，因为我尊重了他们以及他们自由的灵魂。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-13 16:40 编辑 ]

作者: selinamum 时间: 2013-5-13 15:41
非常好，希望能多讲些，谢谢。

作者: ccpaging 时间: 2013-5-14 10:54
标题: 六年级：用几何画板辅助代数作业（一）
前期准备－－选择合适的计算机辅助学习设备

这节课要使用的是函数作图软件。Windows 上可使用《几何画板》，IPAD 和安卓平板都有对应的函数作图软件。

个人建议给童鞋们买便携式计算机。IPAD 和安卓平板没有按年龄对应用软件等内容进行分类，游戏对孩子的诱惑太大，家长的管理工作量很大。

在此，均以《几何画板》为例进行说明，不再赘述。

代数解题过程

〔例题〕
为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任牌学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件，小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择，如果买4个笔记本和2枝钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和一枝钢笔，则需57元。
1.求购买每个笔记本和钢笔分别多少元？
2.售货员提示，买钢笔有优惠：如果买超过10枝，超出部分可以享受8折优惠，若买X枝钢笔需要花Y元，请你用含X的代数式表示Y。
3.在2的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请你帮小明判断买哪种奖品省钱？
〔解１〕设笔记本的价格为X元，钢笔的价格为Y元
　　　　4X + 2Y = 86 ...... (1)
　　　　3X + Y = 57 ...... (2)
　　　　(2) x 2 - (1) 得
　　　　2X = 57 x 2 - 86
　　　　2X = 28
　　　　X = 14
　　　　代入 (2) 得
　　　　3 x 14 + Y = 57
　　　　Y = 57 - 42
　　　　Y = 15〔验证〕将 X，Y代入（1）

　　　　4 x 14 + 2 x 15 = 56 + 30 = 86
　　　　答：每个笔记本价格为 14 元，每枝钢笔的价格为 15 元。

〔备注〕该题的第２、３问题的解题过程省略。

（未完待续、、、）

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-15 11:00 编辑 ]

作者: ccpaging 时间: 2013-5-14 12:07
标题: 用几何画板辅助代数作业（二）
使用几何画板前的准备

将以上（1）、（2）式分别化简，用X的代数式表示Y，即 “Y ＝ ...”的形式。
Y = (86 - 4X) / 2 ...... (1)
Y = 57 - 3X ...... (2)
在计算机软件中一般用符号“/”代表除号“÷”。

在几何画板中绘制函数
打开《几何画板》软件。安装软件的过程就不说了，正版软件一路 Next 就可以，与通常的软件相比在安装过程上并无特别之处。
点选菜单“绘图－绘制新函数”。

在弹出的对话框中输入函数1。

调整函数图。

调整后的样子。

点选菜单“绘图－绘制新函数”。
在弹出的对话框中输入函数2。

左键分别点选两条直线，然后点选菜单“构造－交点”。

左键点选交点，然后点右键在菜单中选择“坐标”。

注意Ａ点的坐标值，对照以上的方程解进行分析。

（完）

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-14 12:15 编辑 ]

作者: ccpaging 时间: 2013-5-14 12:09
以上是探究课后的辅导作业部分－－用几何画板辅助代数作业。

请各位大侠斧正。

作者: ccpaging 时间: 2013-5-14 12:37

原帖由 无事生非 于 2013-5-13 08:41 发表

那太好了！期待！
我儿子对数学显然是喜欢的，但是我们肯定没办法引导自主学习，干脆就放任自流，随便他了。

可以做力所能及的引导，例如，在小升初到初中一二年级阶段引导孩子使用《几何画板》来辅助学习。

还记得孩子学走路的情形吗？那时家长做了什么事情呢？肯定不会是跟孩子讲“运动原理”吧，也不需要让孩子做作业答题吧。想学走路的孩子必然已经有了强烈探索的欲望，想从爸妈的怀抱中挣脱出来，去自己想去的地方－－可能只是客厅的一隅或者爸爸那间神秘的书房。我给孩子买了学步车，把儿子放进去。儿子坐下去，脚正好能撑到地上，他轻轻地一使力，学步就动啦！儿子顿时兴奋了起来，朝左边一蹬，又朝右边一蹬，儿子笑得合不拢嘴。等到了第二天，他妈妈和我惊讶的发现，儿子已经能利用学步车自如地滑行，去他想去的任何地方。

学步车就是作为家长的我们给孩子的一个工具。《几何画板》则是我们给孩子的另一件礼物，它可以帮助孩子成长。让孩子们玩去吧，在探索的过程中，他们将积累足够的体验和感悟，为学习数学打下坚实的基础。把这样的孩子送进学校教给老师，老师是不是很喜欢啊？！

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-14 12:40 编辑 ]

作者: 从灵开始 时间: 2013-5-14 20:35
这样学习，想不爱数学都难！我要去恶补下课，楼主是哪路神仙？

作者: ccpaging 时间: 2013-5-14 21:16
标题: 辅助作业是数学探究的基础
看起来大家对第一节的探究课更有兴趣。

有家长问：你怎么能把数学课搞的那么好玩呢？孩子们回家把课堂的内容手舞足蹈地重新讲一遍，演示一遍，兴奋之情，溢于言表，就像是被魔术棒点中了，像一颗燃烧的礼花、、、

其实，我没有魔术棒，也没有什么魔力。如果仔细分析第一节探究课，大家一定会发现我只是开了一个头而已，其后的作用不过是顺势而为，好吧，严格地说是同学们的奇思妙想推动着这个课堂，是同学们的热情使课堂沸腾。

是我的运气特别好，收到了天底下最聪明的孩子吗？首先说，我信奉的是孔老先生的“教无类”，来我这里上课，既不要考试，也没有经过任何筛选。同学们都是普通的青春少年，你相信吗，每个青春少年都一颗狂野的心，他们想飞、、、但是，如卢梭所说，出自造物主之手的东西本来都是好好的，可一到人的手里就全坏了。这些孩子刚到探究班时，多不像现在这样。有的对数学没有兴趣，有的一言不发，有的数学成绩不好。

我无意在这里探究他们身上曾经发生了什么，我的任务是要重新激活他们。从哪里入手呢？从作业辅导开始，一点一滴地累积孩子的自信心，养成孩子进行数学作业的习惯，让孩子们熟悉解决数学问题的基本方法，教会孩子们使用数学工具。

辅助作业的工作看起来真的很平淡无奇，但其实最见功力。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-14 22:22 编辑 ]

作者: Martina-Mm 时间: 2013-5-14 22:10

原帖由ccpaging于 2013-5-14 21:16 发表
看起来大家对第一节的探究课更有兴趣。

有家长问：你怎么能把数学课搞的那么好玩呢？孩子们回家把课堂的内容手舞足蹈地重新讲一遍，演示一遍，兴奋之情，溢于言表，就像是被魔术棒点中了，像一颗燃烧的礼花、 ...

这种探究班的形式真好啊，只要做有心人，家长还是能有所为的。谢谢分享!

作者: 子云 时间: 2013-5-15 11:53
CC是哪个城市的，能开个低年级数学班不？

想报名耶！

作者: ccpaging 时间: 2013-5-15 12:06

原帖由子云于 2013-5-15 11:53 发表
CC是哪个城市的，能开个低年级数学班不？

想报名耶！

上海滴。有一个四五年级的班。其实，我希望有更多的理工科的大拿做这样的事儿。
在俄罗斯、美国、英国等国家，他们有一些数学教授定期给小学生中学生开讲座，把一些孩子组织起来做开放型讨论。

我觉得，这是很有价值的，无论对自我实现还是对社会来说。当然，我不是教授。

作者: Xieno 时间: 2013-5-15 12:24

原帖由 ccpaging 于 2013-5-15 12:06 发表

上海滴。有一个四五年级的班。其实，我希望有更多的理工科的大拿做这样的事儿。
在俄罗斯、美国、英国等国家，他们有一些数学教授定期给小学生中学生开讲座，把一些孩子组织起来做开放型讨论。

我觉得 ...

有没有兴趣在网络上组织这样的开放型讨论？

作者: ccpaging 时间: 2013-5-15 12:26

原帖由 Xieno 于 2013-5-15 12:24 发表

有没有兴趣在网络上组织这样的开放型讨论？

有兴趣的呀。只是应该怎么做呢？如何组织，技术问题怎么解决，能研究个方案出来吗？

作者: ccpaging 时间: 2013-5-15 12:27
标题: 五年级：初中数学是什么样子的？
有七年级的家长问：最近几何三角形全等论证有些困难，应该哪儿讲起呢？
巧了，前几天，在探究课课间的时候，有五年级小女生问到类似的问题，“初中的数学是什么样子的？”

显然他们都是在问，古典数学和萌芽期数学的区别是什么？对此，我心中有自己的答案，一是系统性，二是思想性，三是方法论。

何谓系统性？萌芽期数学无论从方法还是内容上，都是脚痛医脚、头痛医头，纷繁复杂，总的来说，缺乏系统性。《几何原本》的诞生和被世人所发现所重视，改变了这一切。在独狼所著《我教女儿学数学》中提出，“上中学以前一定要让孩子知道《几何原本》”，个人深以为然。

何谓思想性？这是指数学有了系统性以后，在一定程度上脱离了具体事物的束缚，开始试图阐释这个世界。达芬奇通过解剖和绘画的经验积累逐渐体验和感悟到黄金比例，在《维特鲁威人》描述了人的身体，而当时的欧洲人普遍接受“人是上帝创造的”的观念，达芬奇此举是在觊觎上帝的工作吗？那么，牛顿、爱因斯坦、霍金又做了什么或者正在做什么呢？

何谓方法论？翻出任何一本严肃的数学教科书，仔细看看例题，我们就会发现，几乎所有的例题都构成一个循环，提问、分析、解题、验证和反思。这是巧合吗？不是的。数学的方法都是这样一个个大大小小的循环。其实，这种方法最先是由笛卡尔在《方法》一书中提出来。我总结了四句话：怀疑一切、化繁为简、循序渐进、检查反思。

显然，跟一个五年级女生讨论这个问题，又是在课间休息的短暂时间里，无法涵盖所有的问题。我想了想，然后从一个故事开头：

（未完待续）

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-15 12:51 编辑 ]

作者: Xieno 时间: 2013-5-15 12:30

原帖由 ccpaging 于 2013-5-15 12:26 发表

有兴趣的呀。只是应该怎么做呢？如何组织，技术问题怎么解决，能研究个方案出来吗？

我研究一下，尽快回复您。

作者: ccpaging 时间: 2013-5-15 12:38
标题: 五年级：初中数学是什么样子的？（二）
我想了想，然后从一个故事开头：
有一个年轻人住在山边，山上有很多树，而年轻人特别喜欢木工，他的理想是做一个心灵手巧的木匠。你知道，木工的第一件作品一般是什么吗？

女孩说：不知道。

我说：是做椅子。如果你看过《爱国者》这部电影，你就会发现，男主角本杰明·马丁，一个独立战争的英雄也痴迷于做椅子。那么，你觉得，椅子应该如何做起呢？

女孩一边瞄旁边的一把椅子一边说：要做椅背，椅板，椅子腿，还要准备木头、木工的工具……

我问：好的，看来要做的事情还真是不少啊！那么，第一件要做什么呢？

女孩回答：准备材料。哦，对了，他应该先去砍树，然后……

我问：等等，我有个问题，随便什么木头都可以做椅子吗？

女孩说：不是的，一定要好木头。
我问：好，我也是这么想的。但是，你觉得什么才是“好”木头呢？

女孩说：木头里边不能有虫。

我说：对对。如果有虫的话，天气一转暖，虫卵孵化出虫子，虫子把木头给吃掉了，那做的再好的椅子也白瞎了。还有其它要求吗？

女孩说：嗯……

我说：例如，有些木头很轻但不够结实，适合做飞机模型。

女孩说：对了，木头要结实，重一点倒是没关系的。

我说：很好。目前为止，我们给适合做椅子的“好”木头下了一个定义，它应该是结实而且没有生过虫的木头，对吧？

女孩说：是的。

我说：先搞清楚定义，这就是初中数学跟小学数学不一样的地方。

女孩说：那你说说看，怎么定义菱形呢？

我说：忘了。但我觉得先给菱形下定义太复杂了，能不能更简单一些啊？

女孩说：好吧。那就说说三角形吧？

我说：我还是忘了，能不能更简单一些啊？

女孩说：那就说说直线吧？

我说：其实，直线还是太复杂，我们应该先给点下定义。

女孩说：点就是点嘛，怎么定义啊？

我拿起粉笔，在黑板上画了一个指甲盖大小的小方块，问：你觉得这是个点吗？

女孩说：你这个是方形啊。

我说：那你站到教室的另一头看看呢？

女孩跑了过去，看了看，再跑回来，对我说：在那边看，不那么方了，有点像“点”了。

我说：好吧，我来告诉你，在《几何原本》这本书上给点下的定义是这样的，“点是没有部分的。”

女孩歪着头，一脸不解的样子。

我拿起一张纸，撕下一小片纸，问：你觉得，点是这么大的吗？

女孩摇摇头。我把这小片纸再撕下一部分，继续问同样的问题，女孩又摇摇头。我再撕下一部分，又问，女孩又摇头。如此几个回合下来，纸片越来越小，这时，我对女孩子说：这就是没有部分的……点。

突然，上课铃响了。

（完）

另：这是在做几何启蒙吗？
http://v.youku.com/v_show/id_XNTIwNDE5ODI4.html

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-15 13:10 编辑 ]

作者: ellenliu 时间: 2013-5-15 12:54
网络授课，我强烈要求有六年级数学，CC 给儿子的私房课，应为我们是同一年级滴，从另一个网，寻踪到此

作者: Martina-Mm 时间: 2013-5-15 13:04

原帖由 Xieno 于 2013-5-15 12:30 发表

我研究一下，尽快回复您。

太好了，能让这种模式惠及更多的孩子，善莫大焉。

这让我想起了可汗学院。当初，就是可汗从给异地亲戚的孩子讲授在线视频课程开始，迅速向周围蔓延，并从家庭走进了学校，甚至正在“翻转课堂”，被认为正打开“未来教育”的曙光。

作者: Martina-Mm 时间: 2013-5-15 13:11

原帖由 Martina-Mm 于 2013-5-15 13:04 发表

太好了，能让这种模式惠及更多的孩子，善莫大焉。

这让我想起了可汗学院。当初，就是可汗从给异地亲戚的孩子讲授在线视频课程开始，迅速向周围蔓延，并从家庭走进了学校，甚至正在“翻转课堂”，被认为正 ...

学院简介

可汗学院(Khan Academy)，是一个非盈利教育组织，通过在线图书馆收藏了3500 多部可汗老师的教学视频，向世界各地的人们提供免费的高品质教育。该项目由萨尔曼·可汗给亲戚的孩子讲授的在线视频课程开始，迅速向周围蔓延，并从家庭走进了学校，甚至正在“翻转课堂”，被认为正打开“未来教育”的曙光。

创始人可汗老师全名叫萨尔曼·可汗，孟加拉裔，

创始人介绍

自小课业优异，就读于麻省理工学院，大学双修数学和电机电脑工程，工作后读了哈佛的MBA课程，可汗老师什么都教，从数学，物理，化学，一直到理财人生，但他自己从来不出现在镜头前面。

创办初衷

1、创办人萨尔曼·可汗拥有麻省理工学院的硕士学位，以及哈佛大学的MBA学位，曾从事金融业。为了帮助住在远处的亲人，他试着把自己的教学影片放上网络，主要是在YouTube网站。
2、由于受到广泛好评，相关影片观看次数急速成长，受到鼓励的萨尔曼于2009年辞去工作，全职从事相关课程的录制。目前已有自己的独立网站。该机构曾获得2009年微软教育奖，2010年谷歌十的一百次方计划教育项目的两百万美元资助。

教学特点

1、可汗学院利用了网络传送的便捷与录影重复利用成本低的特性，每段课程影片长度约十分钟，从最基础的内容开始，以由易到难的进阶方式互相衔接。
2、教学者本人不出现在影片中，用的是一种电子黑板系统。其网站目前也开发了一种练习系统，记录了学习者对每一个问题的完整练习记录，教学者参考该记录，可以很容易得知学习者哪些观念不懂。
3、传统的学校课程中，为了配合全班的进度，教师只要求学生跨过一定的门槛（例如及格）就继续往下教；但若利用类似于可汗学院的系统，则可以试图让学生搞懂每一个未来还要用到的基础观念之后，再继续往下教学，进度类似的学生可以重编在一班。
4、在美国某些学校已经采用回家不做功课，看可汗学院影片代替上课，上学时则是做练习，再由老师或已经懂得的同学去教导其他同学不懂的地方这样的教学模式。
5、可汗老师教学的方式，就是在一块触控面板上面，点选不一样颜色的彩笔，一边画，一边录音，电脑软体会帮他将他所画的东西全部录下来，最后再将这一则录下的影片上传到网上，一切就大功告成了。
6、他的教学视频，没有精良的画面，也看不到主讲人，只想带领观众一点点思考。

学院发展

可汗的事业得到了越来越多的社会认可。2009年，“可汗学院”被授予“微软技术奖”中的教育奖。他本人也因此成为媒体追逐的对象。随之而来的物质支持，让这个免费网站更加活跃。一方面，由于教学视频点击量极高，可汗每月可从YouTube网站获得约2000美元（约合1.3万元人民币）的广告分成。另一方面，许多学生会自发给他汇钱，从几十到一两万美元不等。据报道，美国著名风险投资家多尔夫妇，就曾捐给他10万美元。2010年，“可汗学院”先后接到了两笔重要捐助：一笔是比尔·盖茨夫妇的慈善基金捐助的150万美元，另一笔是谷歌公司赞助的200万美元。利用这些钱，可汗将现有视频翻译成了西班牙语、法语、俄语、汉语等10余种语言，并聘请了一些助手。
大量捐助的到来，意味着可汗获得了肯定。比尔·盖茨曾说，可汗的成功“令人难以置信”：“我和孩子也经常使用‘可汗学院’。他是一个先锋，他借助技术手段，帮助大众获取知识、认清自己的位置，这简直引领了一场革命。”

[ 本帖最后由 Martina-Mm 于 2013-5-15 13:16 编辑 ]

作者: ccpaging 时间: 2013-5-15 13:11

原帖由 Martina-Mm 于 2013-5-15 13:04 发表

太好了，能让这种模式惠及更多的孩子，善莫大焉。

这让我想起了可汗学院。当初，就是可汗从给异地亲戚的孩子讲授在线视频课程开始，迅速向周围蔓延，并从家庭走进了学校，甚至正在“翻转课堂”，被认为正 ...

这个世界的变化太快了。我得去学习学习、、、

作者: ccpaging 时间: 2013-5-15 13:15

原帖由 Martina-Mm 于 2013-5-15 13:11 发表

学院简介

可汗学院(Khan Academy)，是一个非盈利教育组织，通过在线图书馆收藏了3500 多部可汗老师的教学视频，向世界各地的人们提供免费的高品质教育。该项目由萨尔曼·可汗给亲戚的孩子讲授的在线视 ...

网络上有“苏格拉底”，课堂上有孔老先生，绝配。都是孩子们的大爱。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-15 13:42 编辑 ]

作者: Apple02 时间: 2013-5-15 15:37
我太崇拜您了，对于我这样的数学白痴，您真可谓是高山仰止，尤其是看到您讲解的五年级：初中数学是什么样子的？（二），太精彩了

非常期待您的每一次内容：）

作者: 木头娘 时间: 2013-5-15 15:37
关注、学习。谢谢分享。

作者: cxxuexi 时间: 2013-5-15 16:49
真强，教育方法太重要

作者: Martina-Mm 时间: 2013-5-16 10:44

原帖由 ccpaging 于 2013-5-15 13:15 发表

网络上有“苏格拉底”，课堂上有孔老先生，绝配。都是孩子们的大爱。

美国是在课堂用“苏格拉底”，可汗来做“孔老先生”

作者: 无事生非 时间: 2013-5-16 20:16

原帖由 ccpaging 于 2013-5-15 12:26 发表

有兴趣的呀。只是应该怎么做呢？如何组织，技术问题怎么解决，能研究个方案出来吗？

若您组织，我愿跟随。静待方案。

作者: ccpaging 时间: 2013-5-18 11:49
标题: 二年级：无穷大无穷小（一）
缘起：圆是正无穷多边形

儿子上小学一二年级的时候，我的任务之一是接他回家。学校离家很近，我工作的单位正好在学校与家之间，如果骑车的话，接孩子这活儿只需要5分钟。如果碰巧工作不是很忙，我喜欢走去学校，然后再跟儿子一边聊天一边走回家。
在路上发生了许许多多的对话令我难忘，儿子也记得，这就是我们共同的亲子回忆。

子：爸爸，我们今天学习三角形了。

父：哦。

子：是学的正三角形，三条边相等。

父：还学了别的形状吗？

子：还有正方形、正五边形、、、

父：哦，正三角形、正方形、正五边形，下一个是几边形

子：正六边形

父：正六边形的下一个呢？

子：正七边形

父：如果我们的边越来越多，有好多好多个边，数也数不清，是什么？

儿子歪着头想了一会儿，对我说：爸爸，我认为是圆

“我认为”是爸爸的口头禅。儿子也学去了。

父：为什么是圆？

子：老师也说过这样的话，他让我们想想东方明珠，中间有一个球，（近看）有很多很多边，远看就像圆了。

儿子还分不清圆与圆球，平面图形与立体图形在语言描述上的区别。

（未完待续）

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-18 12:10 编辑 ]

作者: ccpaging 时间: 2013-5-19 11:51
标题: 二年级：无穷大无穷小（二）
乌龟和兔子过沼泽论除数为 0？

ccpaging 发表于2008-10-16 23:16:00

先准备一个20厘米的尺子。
父：当我们要把尺子分成2厘米的小节时，能分成几个小节？
子：10小节，写成算式就是 20 / 2 = 10，在这个算式里，20是被除数，2 是除数，10是商。
父：当我们要把尺子分成1厘米的小节时，能分成几个小节？
子：20小节，写成算式就是 20 / 1 = 20，在这个算式里，20是被除数，1 是除数，20是商。
父：当我们要把尺子分成0厘米的小节时，能分成几个小节？
子：没法分了。
父：原来我们学过乌龟和兔子过沼泽地的故事。兔子的腿长，一次可以跳2个树桩的距离，需要跳10次。乌龟的腿短，一次只能跳一个树桩的距离，同样的距离跳20次。如果来了一个腿更短的小动物，那么它就需要爬更多次，才能走过沼泽地。
子：如果是小蚂蚁，就需要走很多步。
父：所以，我们发现，腿越来越短，每次爬的距离越来越小，需要爬的次也就越来越多。如此反复，直到无穷大。也就是说，当除数为0时，商是无穷大。

子：如果是一片树叶掉在沼泽地里，一步也走不动，那它就永远也不可能走出沼泽地了。

三年级可以理解无穷大了
hxy007表于2008-11-4  17:55

今天早上不知什么原因，儿子说起老师告诉他0÷1=0，1除以 0也等于0. 估计孩子是听错了，但他坚持说就是老师教的。不管怎样，不能让孩子坚持一种错误。于是想到ccpaging这个帖子，既然人家的孩子二年级都能够理解“无穷大”概念，俺家孩子三年级了，应该也没有问题吧。况且，俺家孩子已经开始学小数。和他讨论“无穷大”，有利条件多了。下面是今天早上的父子对话：

父：1÷0.1等于多少？
子：10.
父：行啊！你怎么算出来的？
子：因为10×0.1=1.
父：我知道你怎么算的了。那么，1÷0.01呢？
子：100.
父：1÷0.001呢？
子：1000.
父：1÷0.0001呢？
子：10000.
……
父：我的除数就这样一直小下去，你的商呢？
子：我的商就一直大下去。
父：我的除数小小小，小到0，小得不能再小了。（其实还可以小下去，但
孩子没有学负数，就这样说吧）
子：我的商就大大大，大到不能再大。
父：对！大得不能再大的数叫“无穷大”。那你说，1÷0=0对不对？
子：不对。1÷0应该等于无穷大。
看来，学了小数，理解“无穷大”概念更加方便。

也许有人会说，hxy007父子的证明更严密，更数学！我倒由衷地认为ccpaging父子的方法更可取，因为它更直观，更有趣，更自由，更具想象力，小孩子的印象更深，而且把握得住。就是说，效果更好！只是我家孩子的问题有所不同，且因学单位换算而开始接触小数，我想知道孩子究竟能否理解小数，才使用了这个法子。否则，光和孩子讨论无穷大概念的话，还是用ccpaging的法子更为恰当。那可是一种富有诗意的数学！

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-20 17:24 编辑 ]

作者: diancai 时间: 2013-5-23 09:45
太好的贴子了。给小学数学注入新鲜的血液。儿子的数学是他的弱项，虽然我和他爸都是学理科的，可是孩子从小就不太喜欢数学。特别是低年级的时候计算是他的软肋，而且数学老师也不怎么样。所以一直提不起对数学的兴趣。我们也没有给他额外的辅导，因为担心弄不好了反而让孩子产生依赖性。看了这个帖子大受启发。原来可以这样引导孩子。

作者: selinamum 时间: 2013-5-23 16:17
期待网络课堂,希望能够参加

作者: hutianyang 时间: 2013-5-23 17:13
好贴，收藏。来学习。

我儿子刚好五年级。

作者: ldshs 时间: 2013-5-24 09:49
久闻大名啊，占位学习

作者: 小溪流水0 时间: 2013-5-28 09:34
谢谢各位，受益匪浅啊！
越发知道自己的不足了！
我家女儿上小六，即将计入初中！而数学，我一直没有过多的插手，因为觉得自己思维很乱！

孩子的数学成绩一直也算不错，可是进入小六就发现不少问题！
数学的运算的准确和速度都不好；审题中，对条件和问题的关系不理解（稍微复杂点的），公式一变形就容易出问题；计算过程不规范。

我也在重新反思和努力中。但是，自己的数学水平还是非常有限，不知能做到什么程度！
非常期待数学课堂，也希望得到大家的帮助！
谢谢！

作者: judymama 时间: 2013-5-28 11:25
真好哇，孩子正要升5，数学需要激发。好好学习一下

作者: petercatsea 时间: 2013-5-28 11:52
谢谢分享，正好用得上

作者: ccpaging 时间: 2013-5-28 11:57

原帖由 小溪流水0 于 2013-5-28 09:34 发表
谢谢各位，受益匪浅啊！
越发知道自己的不足了！
我家女儿上小六，即将计入初中！而数学，我一直没有过多的插手，因为觉得自己思维很乱！

孩子的数学成绩一直也算不错，可是进入小六就发现不少问题！
数学 ...

这是从萌芽期数学向古典数学过渡所必须经历的困难。中国人在历史上花了一千多年时间都没有迈过这道坎。

萌芽期的特点是混乱、缺乏逻辑，古典数学的特点是系统性、逻辑性。所以，要在小升初这个阶段，完成从混乱到系统，从缺乏逻辑到建立逻辑的过渡。

您所说的问题，古人都遇到过，而且都解决了。可以看看笛卡尔的《方法》一书。

作者: ccpaging 时间: 2013-5-28 17:04
标题: 四五年级：数学辩论－－直线的定义（一）
辩论的背景
这场辩论发生在下学期快结束的时候，参加辩论的一共有六位同学，多数是四年级的，少数是五年级的。在上海，小学六年级要进入初中学习，算初中生了。所以，这批同学可以说都是小升初的年级，11-12岁，数学上正处于萌芽期数学到古典数学的过渡期。

据说这是某初中的小升初试题。请画一条直线将下列的多边形分成两个三角形（附加题，10分）：

同学们第一次进行辩论还是关于数学的，有些新鲜，很兴奋。纷纷拿出纸、笔、尺，开始画了起来。很快，同学们沮丧地发现，此题无解。但是，有一个同学做出来了，像这样：

同学们一看到这个解法就唧唧喳喳讨论起来。有的同学赞赏这种解法，有的同学后悔自己没想到，有的同学则直斥其非，说，“耍赖！这不是直线。”

有同学说：直线无粗细，这当然是直线了。
持反对意见的也说：直线无粗细，这当然不是直线了。
老师也纳闷了，都说“直线无粗细”，却得出了相反的结论，奇怪哉？

这种讨论的气氛正是辩论课所需要的。

课后反思：
曾经尝试把这道题放在六年级学过《几何原本》关于直线的定义之后去讨论，同学们已经有了先入为主的数学概念，争论的焦点也就往往不是数学本身而是一种学术道德的争论，仍然还有意义。毕竟小升初的考试中10分的附加题可能会改变一个学生的人生轨迹。我们是坚持对“真理”的追求，还是做出“小”的妥协呢，这是个问题。

（未完待续）

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-28 21:28 编辑 ]

作者: ccpaging 时间: 2013-5-28 23:47
标题: 四五年级：数学辩论－－直线的定义（二）
辩论纪律
此次辩论不以输赢计分，所以，不以说服对方为目的。辩论结束后将进行专门的讲评，届时以发表的有价值观点数来计分。
1、使用印第安发言棒规则。这时同学们经常在讨论事务时使用的规则，以一支笔为发言棒。拿到发言棒的才有发言权。
2、正反双方轮流发言。一方发言时，推选出一位发言代表，由代表发言。发言最长不超过5分钟。
3、发言完毕后，将发言棒交给主持人。由主持人对发言的关键意见进行总结性表达。（这是事后总结的，很关键。）

辩论过程
先以手心手背的方式选出第一个发言的一方。
正方观点：直线是无粗细的，所以这是直线的。
反方观点：直线是无粗细的，所以这不是直线的。
主持人糊涂了，问：为什么一模一样的理由，结论却不同呢？
正方解释：我们说的无粗细，是不管粗细的，粗线是直线，细线也是直线。
反方解释：我们说的无粗细，是没有粗细，直线是没有宽度的。

于是，辩论就这么展开了 ....... 直到出现了意外。
反方观点：正方定义的粗直线里包括了许多的细线，需要要涂抹，而且涂抹以后，颜色不均匀。
正方同学立即去想办法，包括把铅笔磨出斜面来画粗直线，用粉笔画线，把铅笔粉粘在手指上用手指画线，以此证明正方定义的直线不用涂抹。
但反方对正方的实验均有质疑，不予接受。
正方急了，抛出新的观点：你们反方也没有能力画出没有宽度的线。

于是，数学定义之争，逐渐地演变成能力之争，最后导致了人身攻击。
辩论中断，等问题解决以后，继续 ......

反方通过画图研究，提出了新的观点：请问，如何正方区分出长方形和直线？

.......

整个辩论进行了一个小时。辩论结束后，正反双方都还沉浸在一定的情绪中。于是留下一周的时间让同学们回味思考。

（未完待续、、、总结更精彩，请不要走开哦！）

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-29 16:00 编辑 ]

作者: ccpaging 时间: 2013-5-29 15:59
标题: 四五年级：数学辩论－－直线的定义（三）
辩论总结
一周以后，参加辩论的同学重新聚在了一起。

首先对上次辩论中出现的不幸的人身攻击事件做反思和总结。
同学们认为，辩论的后半段比较激烈，唇枪舌剑，忘了印第安棒规则。当然，老师们也有责任，检讨之。
那么，如果在辩论中不使用印第安棒规则，将遇到了哪些问题呢？
“听不清楚。”几个人同时说话，而不是耐心等待别人把话说完，自己再说。
“秩序乱。”
“偏题。”这跟四五年级孩子的表达能力有限相关。因此，建议以后在辩论中一方说完，将印第安棒交给主持人（老师），由主持人进行先归纳同学的发言。
“争吵。”

讨论告一段落。老师宣布辩论总结的计分规则如下：
一方若说出另一方的优点，＋1分。
一方若说出本方的缺点，＋1分。

举几个例子让同学们明白以后，按照上次的划分，正反双方坐好，开始正式进行辩论总结。沿用印第安棒规则。

1、正反双方在辩论一开始就给出自己对直线的定义。
这是非常好的辩论行为。有些辩论者参加辩论，带个“大箩筐”，把自己的观点藏在这个“大箩筐”后面，看到对方犀利的好的观点就收到己方的箩筐里，让对方失去观点，辩无可辩，看起来，这样做好像保护了自己赢得辩论。但这是辩论中的懦夫行为，到最后只不过收获了一堆互相矛盾的观点，不能增加彼此对问题的理解。
在辩论中，我们要像一个真正的勇士那样，亮明自己的观点，让正方和反方的观点对撞，从而使我对直线的认识更加清晰。

2、知错必改。
具体的过程，记不得了，好像是反方在给出自己对于直线的定义时，在语言描述和真实意思有差距，即词不达意，反方在辩论中发现以后，勇敢地承认并做出了修改。

3、以数学的方式讨论数学问题。
同学们认为，纠结与直线的涂抹是否均匀、颜色的深浅，这些都与数学上关于直线的定义无关，是非数学的方式。
如果发现对方偏题，出现了非数学的方式，应对的办法一个是“忍”，一是向主持人指出对方的谬误。

4、保持主题，讲数学的道理。
数形结合。讨论直线的定义，要画图，要在图上作研究，不只是“辩”不只是“讲”。

5、一方提出“如何正方区分出长方形和直线？”这样的问题。
这是一个非常犀利的质疑。辩论双方的眼光不再局限于孤立的直线的定义，而是从将其与其它的几何定义联系起来。

6、辩论时，声音要柔和。

（全文完）

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-29 16:02 编辑 ]

作者: Martina-Mm 时间: 2013-5-29 16:20

原帖由 ccpaging 于 2013-5-29 15:59 发表
辩论总结
一周以后，参加辩论的同学重新聚在了一起。

首先对上次辩论中出现的不幸的人身攻击事件做反思和总结。
同学们认为，辩论的后半段比较激烈，唇枪舌剑，忘了印第安棒规则。当然，老师们也有责任，检 ...

可以学习辩论，正是孩子们集体学习时最佳优势。可惜如今学校课堂依旧是满堂灌。

作者: ccpaging 时间: 2013-5-29 17:45

原帖由 pianocrazy 于 2013-5-29 16:32 发表

非常感谢cc老师。

上午用了点时间去图书馆查阅了一点相关文献，了解到以下信息，请老师指正，谢谢。

第一，关于《原本》对“线”的定义问题。汉语版本（陕西人民出版社）是这样说的：“线只有长度而没有宽度”；Heath英译本是这样翻译的：“A line is breadthless length.”资料显示，这个英译定义是直接从希腊原版翻译的。希腊语或者拉丁语俺不懂，只能依靠这两个定义来考量了。文献显示，亚里士多德对这个定义提出过质疑，说这个定义是有毛病的，因为它“divides the genus by negation"，汉语通俗点说就是它“以否定词来描述这个genus——即此处的长度”，这样length既可以是“没有宽度”也可以是“有宽度”，结果length就被分为互相矛盾的两个方面。所以，《原本》对line的定义是有问题的。

第二，关于对line的重新定义。亚里士多德和Proclus都给line重新定义过，这里我仅仅引用一下Proclus的定义如下：“flux of point”，或者直白一点说就是“一个点移动的路径”。Proclus认为，他的这个定义是完美的，就不会产生前述歧义了，更重要的是，他的定义是从“根本原因”上来着手定义的，即用point来定义line，前者是后者的原因。

我不懂数学，只是看了点资料得到以上认识的，错误或不当之处敬请指正。 ...

好问题，好问题。痛快！

《几何原本》最早是由徐光启翻译的。
http://ishare.iask.sina.com.cn/f/11258700.html

原文如下（原文无标点，请鉴之）：

第二界线有长无广
试如一平面光照之，有光无光之间，不容一物是线也。真平真圆相遇，其相遇处止有一点，行则止有一线。线有曲有直。

徐光启的译文中看出：
1、线是一种边界。
2、线的定义与点的定义有相关性。
3、线的定义可以从动态变化的角度去理解。这一点，跟点的定义有异曲同工之妙。

我更喜欢第二的定义，“flux of point”。从维度上看，点0，线1，面2，体3。时间改变了纬度？

但是在教学中，老师先说了，学生也就只剩下点头称是的份儿。老师应当设计一个过程，包括但不限于辩论，让学生在此过程中慢慢地逐渐领悟，老师则耐心地等待－－时机。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-30 12:39 编辑 ]

作者: ccpaging 时间: 2013-5-30 14:30
标题: 三四年级：“我不知道数学社”论文－－我们发现了分数加法
“我不知道数学社”论文－－我们发现了分数加法
作者：Alex

提出问题

今天正好是J同学的生日（ccpaging注：也是“我不知道”数学社成立以来的第一次一起过生日），我（ccpaging注：Alex）、J同学、11和11的爸爸妈妈都非常高兴，一起唱着生日歌。然后，J同学拿出了他带来的生日蛋糕，11的妈妈把蛋糕分成了六份，大家便吃了起来。这时，爸爸提出了一个问题：
1/2 + 1/3 = ?
11同学说：“也就是半个蛋糕，加上三块小蛋糕！”
11的爸爸说：“那么等于几呢？”
我们都摇了摇头。

探究时间

吃完蛋糕以后，我们每人拿了一张纸（不包括11的妈妈），可是，我不知道该从哪里画起，瞄了瞄11同学作的图：

我问他：“哪一块是1/2 + 1/3 ？”
11回答：“蓝色的部分是1/2，紫色的部分是1/3，把这两块加起来就是 1/2+1/3 。”
突然，11的爸爸叫道：“你们看，我发现黄色部分正好是1/6 ！”

ccpaging注：
其实从11同学的第一张图到发现剩下的部分正好是1/6，经历了一个过程，并不像Alex说的这么简单，这也不符合“我不知道”亲子数学社的一贯原则，即“我不知道”。可能是活动过后没能及时总结（正好碰到期末考试），Alex忘了，我来把这一段补上。
11同学画饼图的时候，先用圆规画一个圆，然后画一条过圆心的直线，正好把一个圆分成两半，1/2就被画出来了。这时11碰到困难了，1/3应该怎么画呢？11这时大叫了起来：“我要量角器。”这句话提醒了大家，于是大家纷纷寻找量角器，好像为了争夺有限的量角器还差点打了起来。最后只好用剪刀石头布来解决，这也是“我不知道”数学社通常用来解决无理争端的有效方法。
“360度的1/3就是120度、、、”11一边计算着一边在 1/2 边上画出了 1/3 ，其他成员也在手忙脚乱的画着。
1/2 + 1/3 已经被画好了，结果已经在图上，可是，它究竟是多少呢？大家陷入了沉思。
后来，11同学在作图中发现，一块蛋糕被吃掉1/2+1/3后，剩下的那一块正好是1/6，于是他打破了沉寂，宣告自己发现了一个神奇的数字（Magic Number）――“6”，因为6是2和3的倍数，如果我们把一个圆等分成6份的话，我们就可以把无法相加的1/2和1/3找到一个共同的单位1/6。

Alex的爸爸(ccpaging注：实际上是边写边说。)说：“1/2 ＝ 3个1/6， 1/3 = 2个1/6，那么1/2 + 1/3 ＝ 2x(1/6) + 3x(1/6)，也就是说 1/2 + 1/3 = 5/6！”

ccpaging注：
11同学明白了1/2 + 1/3的方法后，就开始不停的在纸上写到。
1/2 + 1/3 = 2/6 + 3/6 = 5/6
= 6/12 + 4/12 = 10/12
= 9/18 + 6/18 = 15/18
=12/24 + 8/24 = 20/24
=18/36 + 12/36 = 30/36
看到11同学发现了这么多可以帮助计算的分母，很自然地，我们的话题开始转向。我对大家说：“为什么只有6才能用于计算，而不是5或者7？”
11同学立刻反驳：“我找到很多数字可以用啊！”
我说：“那么他们有什么规律吗？好像不是随便找个数学就可以用来作计算哦。”

总结
我们又讨论了一会儿，发现了一个有趣的数字――“6”。Alex的爸爸画了一张图：

Alex的爸爸说：“兔子和松鼠跳树桩过沼泽地，兔子一下跳3个树桩，松鼠一下跳2个树桩，问哪一个树桩上既有兔子又有松鼠的脚印？”
J同学看着图说：“6、12、18，下面是24、、、”
Alex的爸爸说：“这些数字有什么规律吗？”
11同学说：“每两个数字之间都相差6！”
J想了一会儿，说：“还有一个更加简便的规律，1x6、2x6、3x6、4x6、5x6、、、”

（我忘了后面的。）

反思
过了几天，我和爸爸在吃牛肉面的时候，又重新讨论了这个问题。
“上次J同学发现的那个数列都是6的倍数，最后其实还发现了n x 6！”爸爸说。
“这么说，6是2的倍数，6是3的倍数，所以我们把6称作2和3的公倍数，也就是公共的倍数。我记起来了，你和11的爸爸把这句话下来了。”
“还有一句话当时也被写下来了，6是2和3的公倍数里边最小的。”
我一听，问道：“0是吗？”
爸爸说：“0是所有数的公倍数，这样就没什么意思了！而且0还不能做除数，至少在计算分数时，0这个最小公倍数没有什么意义。所以，严格地说，6是除0以外，2和3的最小公倍数。”
爸爸过了一会儿，又问：“n x 6是什么意思？”
我说：“就是随便一个数 x 6！”
爸爸说：“不完全是这样，在J同学的数列6、12、18、24、30中，n有特别的意义？！”
我想了一会回答到：“n是第几个数！”
爸爸说：“是啊，那么nx6的下一个数是多少呢？”
“是 (n+1)x6 ！”我大声说道。
“对了。其实当时11同学跟J同学关于这个数列的规律是有争议的，11认为相邻的两个数相差6，J同学认为是nx6，他们都认为自己的规律更简单。后来我们怎么说服11的呢？”
我说：“如果让11计算第10个数是什么，他要从第一个数 6 开始，一个个加下去，要算10次，J同学只要算一次就可以了―― 10x6 = 60。”

等到我们搞明白了，爸爸问道：“1/4 + 1/3 = ?”我们便开始做了起来。
我想，得先吧分母变成一样才能计算，我写到：
1/4 + 1/3
= 3/12 + 4/12
= 7/12

这时，大家也都写完了，都得出了一个结果：7/12
11爸爸写得跟我们不一样：
1/4 +1/3
= 1x3/(4x3) + 1x4/(3x4) <＝写得更清楚
＝3/12 + 4/12
=7/12

爸爸又问了一个新的问题：“为什么分母乘了一个数，分子也要乘同一个数呢？”
这就是我们下一次要研究的内容吧？

（全文完）

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-30 15:07 编辑 ]

作者: ccpaging 时间: 2013-5-30 16:12
标题: 四年级：忘记了习题，我们还剩下了些什么
紫色风铃03：
小四数学题
小学四年级数学题：某个学校组织划船活动，如果每船坐8人，多24个人，如果每船坐10个人，就多一条空船，问有多少个人参加活动？

junhuayang2005：
四年级没有学方程，其实也是可以用方程的方法来解的。
设一个X条船
那么8X+24=10X-10
所以X=17
一共的人数是
8*17+24=160人

Hxy007：
这是解决这个问题的正途。在孩子没有学代数和方程之前，不必强求孩子做这种题。
　　
　　也可以用算术方法解决这个问题。
　　思路是：要知道总共有多少人参加活动，就必须知道总共有多少条船。要知道总共有多少船，就必须知道后一种乘船方案比前一种乘船方案总共可以多乘几个人，还要知道每条船上后一种方案比前一种方案多坐几个人。
　　
　　每船坐10人的方案（后一种案），比每船坐8人的方案（有一种方案），总共可以多坐多少人？24+10=34（人）
　　其中，每条船上后一种案比前一种方案多坐几个人？10-8=2（人）
　　所以，可以划的船总共有：34/2=17（条）。
　　据此，可以推断参加本次活动的人数是：（17-1）*10=160（人）

　　但是，让成年人一下子想到这种算术解决方法也未必容易，所以不能强求小四生一定要想得出。换句话说，这种题并不是对小四生普遍的要求。想不出算术解决办法，也无所谓。
　　如果想让自己的孩子在这种有难度的题上进行探究，最好不要引导孩子机械地去套什么盈亏公式。
　　[（24+10）/（10-8）-1]*10=160（人）
这个令人敬畏的式子可能会把孩子吓得不敢思考，或者把孩子训练得不能思考。既然要解决，就要在理解的基础上解决。

Ccpaging：
甲数比乙数多150，正好是甲数比乙数多2倍。乙数是多少？甲数是多少？

Alex的解答如下：（Alex给这个步骤取名“破案法”）
甲＝乙x3
甲－乙=150
=>
乙x3 - 乙=150（Alex取名“代替更换法”）
=>
乙=150÷2=75
甲=225

按照三年级教科书的做法应该是这样：
甲：+-----+-----+-----+
乙：+-----+
实际操作时，可以用不同颜色的磁力棒来帮助思考。

思考部分：
甲比乙多出来的正好是2个乙，这部分是150。

书写计算：
150÷2=75
75 + 150=225
答：乙数是75，甲数是225。

最后，无论采用上述哪一种方法，都应把答案放在题目里边检查一下。
甲数（225）比乙数（75）多150，正好是甲数（225）比乙数（75）多2倍。乙数是多少？甲数是多少？

题后反思：
对比以上的两种不同解题方法，方程式方法看起来多了几个步骤，恰恰是多出来的步骤把磁力棒法思考的东西记录和呈现了出来，容易思考，也容易检查。

我现在有2个问题：
1、在小三已经方程式入门的情况下，是否还要反复去强调教科书的磁力棒计算法？
2、老师是否能接受方程式的解法？

hxy007：
能用“破案法”，又何必强求用“磁力棒法”？

Ccpaging：
第二天，Alex给另一个同学讲题时，先讲了“破案法”，但似乎对方没听懂。于是，他又用“磁力棒法”讲了一遍，那位同学明白了，写下了算式。在讲题的过程中，Alex也明白了，他回来跟我说：“原来两种方法是一样的，我的破案法更清楚一些。”

“两种方法是一样的”，听到这话，我心里非常高兴，这说明Alex真正明白了这两种方法，而且找到了它们之间的联系，完成“立而破，破而立”的思维循环。

hxy007：
　　我家小四生目前而言能够理解、接受和使用“磁力棒法”，但对“破案法”敬而远之。一建议他设个X什么的算算，他立即说：我到初中再学这个。
007真后悔早早地告诉他代数方程是初中的学习内容，现在人家理直气壮地拒绝提前学习。可是，看到小三生Alex也能够比较自如地使用“破案法”，007心里又痒痒的，恨不得自己的孩子愿意学学试试方程解法。小三小四生提前掌握这门功夫，就不必害怕许多变态的小奥题了。

Ccpaging：
忘记了习题，剩下的是什么？
跟Alex上小三以来，一直有一个问题萦绕在我心中，那就是“无用的数学”，想讲却又不知从何讲起。

我小时候特别喜欢数学，那时候题目不多，一本教科书的习题要做三遍，假期里边预习做一遍，上课的时候跟着老师安排做一遍，星期天再做一遍。小学、初中都是如此。

高中的时候，各种参考书多了起来，一开始也是见习题就做，还特别喜欢做难题，我会做别人不会，便沾沾自喜。慢慢地我发现，其实并不是所有的习题集都是有价值，有的纯粹就是抄袭来的，印刷有错误，只有答案没有过程，所以，那时我开始选择习题集了，而且只做一本习题集，一章习题中有一两道难题。按理说，题做的多了，考试应该是不怕的，可是我还是会害怕，因为我不知道今天考卷上的题目是不是我都做过的，题海深啊，谁敢说他就能踩到低，越是做得多，越是感到其深不可测。

到了高考结束，回过头去想想，我的高中数学有什么值得我留念的，或者说印象深刻的，没有，任何一道当时觉得无法逾越的难题都没有在我的脑海中留下印记。高考结束了，这些难题再也为难不了我，我在那个暑假一个数学题都没有做，而是把《基督山伯爵》完完整整，舒舒服服地读了一遍。

直到现在，我依然不记得在高中所遇到的那些习题，任何一道题都不记得。但是，在高中又两件事随时都会想起，一件事是我在学习立体几何之前，自己一个人看了《高教自考丛书》的《立体几何》部分。那本书是针对当时的知识青年的，如其书名，特别适合自学，由浅入深，徐徐道来，几乎没有什么习题，但是，每一个章节的内容都从实践、从生活中讲起。第二件事也是关于立体几何的，老师在黑板上出了一道立体几何的定律，在课堂上所有的同学都无法证明，只有我一个人用反证法证明了，那是我们第一次运用反证法。

到现在我仍然讨厌做题，尤其是计算题。整天的加加减减，有什么用？一天整个二三十道计算，做完了，笔一扔，第二天交给老师检查，错了，算我粗心了，对了，算我运气好。这些题早晚很快会被忘掉。太阳东升西落，地球自转公转，同学们吃饭拉屎。错了如何？对了又如何？这不就是“无用的数学”吗？

数学真的就是这样？当然不是，绝对不是。有这样的感觉是因为我们没有真正掌握数学的学习方法。就拿计算题中的数学来说吧，我们以为做一道计算题就是为了那个答案，其实那个答案一点都不重要，它的对错不会对任何事情产生影响，如果你只把注意力放在答案上，那你学到的就是“无用的数学”。

Alex他们班这次数学期中考试成绩普遍不好，大部分都失分在计算题，究其原因，大部分的同学都没有检查，考试的时间是充裕的。其实，说到这，聪明的同学已经可以看出一些计算题的端倪了。没错，计算的结果是无用的，要检查并且学会如何检查才是有用的数学，是可以受用受用终身的数学。做了几千几万道题，却没有想到要去检查，不知道如何去检查，这番功夫只能是无用功。习题可以忘掉，可以不做，但人总是要工作，在完成一件工作之前，一定要问问自己：“你检查了吗？”

所以，hxy007大可不必自责，你告诉11的东西不会成为他的枷锁，关键在于他自己能明白自己要追求什么，寻找到自己的方向。就这道题目而言，如果小四只关注一个答案，那么我们讲什么都是多余的，甚至都不需要去做，反正第二天老师会公布正确答案的。如果小四关注的是思想，那么他就会变成一块海绵玩命地吸收，你跟他说这是初中的还是高中的，还是大学的，都不会阻挡他的脚步。

今天，Alex在计算面积的时候给一块复杂图形的不同方块标注了字母代号，而且在每一个计算式前面加上了这个字母代号。

我问他：“你这道题的方法很好啊，我没教过你，你怎么发明的？”

“嘿嘿，这是我课间休息的时候看到三2班的张老师在黑板上写的。”

“哦，原来是张老师教你的，可是你是三1班的啊？”

“不是张老师教的，我是路过的时候瞄了一下，张老师在方块里边写上了S1、S2，我觉得不错，就用上了。爸爸，为什么要写上‘S’这个字母呢？”

“我猜是从Square来的吧，面积的单位不就是一个个小方块吗？”

“是这样啊，我写的是A和B。”

“AB也很好啊，这样计算过程就很清楚了，不会搞混。你能给这个方法取个名吗？”

“嗯、、、那就叫‘标记’法吧。”

作者: simpley 时间: 2013-5-30 16:57

原帖由 pianocrazy 于 2013-5-29 16:32 发表

非常感谢cc老师。

上午用了点时间去图书馆查阅了一点相关文献，了解到以下信息，请老师指正，谢谢。

第一，关于《原本》对“线”的定义问题。汉语版本（陕西人民出版社）是这样说的：“线只有长度而没有 ...

几何原本中关于线点面还有别的一些定义是多余的，另外好象是弓形角的定义从来就没有使用过。
定义只能定到某个层次上，线点面虽然是个抽象概念，但已经很明晰，不需要再定义了。如果认为对定义进行研究可以增加对概念的认识，则是错误的，就会陷入无限轮回中。比如，你要分析直线无粗细的含义，就要分析什么是粗细------

作者: simpley 时间: 2013-5-30 17:06
无论什么定义，总要存在不须定义的元概念和语言，这些元概念（相当于公理）和语言是不需要解释的。而诡辩，耍赖的空间就存在元概念和语言里。
数学不需要对定义和概念进行讨论。

作者: ccpaging 时间: 2013-5-31 09:52
标题: 三四年级：路程、时间、速度
我们先来看看一道应用题：
原题是这样：
小英步行的速度是65米/分，小华步行的速度比小英每分钟快10米，小华9分钟行多少千米？

我改成了这样：
小英步行的速度是65米/分，小华步行的速度比小英每10分钟快100米，小华9分钟行多少千米？

小明是这样做的：
65 + 100 = 165 米/分
165 x 9 = 1485 米
1485米＝ 1.485千米

答：9分钟行1.485千米

请同学们看看小明的做法对吗？

先绕个弯子－－单位
速度公式很难
速度公式看似简单，只有速度、路程、时间三个变量（以小三的话来说，应该是数字吧），但实际上远不像看起来那么简单。纵观整个小学数学，速度是个难点，很多所谓的难题都出在速度公式上。例如，一道应用题只讲一个人或者物体的移动是简单的，三个数字，以小三的聪明凑也能凑出来，可是如果应用题讲的是2个人呢，那就有6个数字，2个人在各分为两个段，就有12个数字，可怕哇，这时候要想凑个答案出来，绝对是不可想象的。所以，学习速度一定不能单纯地从公式到习题，而要从最根本的概念出发，刨根究底，全面地理解速度的基本含义，真正搞清楚速度的来龙去脉。

从日常生活开始－－量词
在“我不知道”亲子数学社中，我和hxy007以及小三、小四们尝试了一种新的有关速度的学习方法，与各位小三小四分享。一开始，我们并没有急于去研究速度，而是绕了一个大圈子。
妈妈问小四：“你们今天不是要研究速度吗？现在在研究什么啦？”
小四回答曰：“我不知道啊在研究什么，看不出跟速度有关系啊？！”

原来hxy007先从中文与英语的区别开始，中文有量词（一“条”狗、一“个”苹果），英文则只有a、an、the，引导大家轮流说出我们知道的量词。一开始，大家说的还是日常用的量词，如只、条、个、碗、包、间等，后来逐渐地说出数学中的“量”，如克、千克、厘米、米等，这时，hxy007理解对小三小四们做了强调：“这些新的量词跟前面所说的量词有什么关系？”
有人说：“前面的量词都是不精确的，数学的量词都是精确的。”
hxy007说：“是啊，我分给你一碗饭，分给他一碗饭，说起来好像都一样，实际上，可能一个是大碗，一个是小碗。”
这句话很重要，它把数学研究问题的方式与日常生活的体验联系了起来，同时有点出了数学和生活的重要区别。

生活到数学，无序到有序
接下来，大家慢慢地开始把眼光集中在数学单位上，有重量单位（克、千克、吨）、长度单位（mm, cm, dm, m, km），开始比较乱，随着已经说出来的单位越来越多，要找出新的单位就越来越困难。自然地，小三小四们不自觉地对已经说出的单位进行了分类，并且开始按照单位的大小规律去进行有序思考。这是一个值得大声肯定的进步，从无序走向有序是数学的历史发展规律之一。

变态的面积单位
顺利地过渡到单位分类的时候，大家发现在以前学过的这些单位中，面积单位是一个特殊的单位，有别于长度和重量单位。
简单地说，长度单位和重量单位是一种基本单位，它是可以直接测量的。例如，当我们测量一根铅笔的长度时，我们会先用分米做单位测量，剩下不足1分米的，换用小一点的单位厘米测量，剩下不足1厘米的，再用更小的单位毫米测量，如此可以知道铅笔的长度。
而面积虽然与长度有关，却无法用长度尺测量。开始我们实验时，hxy007是选用的一个标准的长方形，这时小三小四还试图用（长X宽）来测量面积，后来我干脆撕去了长方形的一个角，使其变成不规则图形，这时小三小四只能根据测量长度的步骤：先做一个标准的1分米见方的正方形去测量，剩下不足1分米见方的，换用小一点的单位1厘米见方测量，剩下不足1厘米见方的，再用更小的单位1毫米见方测量。于是，我们开始得到三个面积测量单元，即1分米见方、1厘米见方、1毫米见方，这就是面积的基本单位1dm小2，1cm小2，1mm小2，标准的说法是1平方分米、1平方厘米、1平方毫米。
这产生了一个新的问题，既然面积单位跟长度单位是不同的单位，为什么它不像重量单位那样，重新设计另一个单位名称呢？这可不是一个无聊的问题哦，历史上有关平面确实存在过其它的单位，如亩、英亩、坪，或者模糊的单位如块（砖）等。原因就在于面积与长度虽然不同，但跟长度是密切相关的，正是这个联系使我们认识到，不需要为面积另设单位。
另外，中国人历史上有很多说法是不分长度和面积的，如一寸山河一寸血、寸土必争等，这里的寸是长度单位，表达的意思却指得是面积，具体的含义要根据上下文去体会理解，这不够方便、容易混淆。
面积的单位即不必要另设，又不能直接用长度单位代替，这就有点让人为难了。
所以，最后有人提出了平方分米的概念。既然面积就是一个个不同边长的正方形方块，如1平方分米＝1分米x1分米，那我们索性把面积的单位表示成（分米x分米），换成更简单的一种表达方式就是分米（小2），读成平方分米。这样可以表达出长度与面积单位的关系，又不用另造新的单位，岂不是两全其美了吗!

小结
这个弯子绕的不小啊，我们的目的明明是速度，却要从生活的量词开始，再长度、重量单位，然后还要重新复习面积单位，难怪妈妈要发出疑问了！
老实说，刚开始活动时，妈妈不解，同学不解，我也不解。待全部活动完了，我细细体会时才发现，这个弯子实在是绕的很恰当，很值。
1、hxy007设计了一个很巧妙的阶梯，从最简单、最生活的问题出发，使小三小四和其它BBMM比较容易地进入研究的情景。
2、小三小四在课堂上已经学习了很多单位，他们从课外书中看到了更多的单位，但这些知识是孤立的，从数学的角度看，甚至是混乱的。现在对这些孤立的知识点进行总结正是时候。
3、通过对已学单位的复习、分类、清理，使大家学到数学思维的一些基本要点，如模糊与精确、无序与有序。
4、使小三小四学到了如何从一个系统的角度观察、分析、思考问题的方法，掌握了这种方法不仅仅是复习，更为以后其它单位的学习打下了基础，使他们在将来的学习中有可能变被动为主动。
5、使小三小四真正明白单位是从生活中来的，每个单位的设定都有其道理，而学习数学就是要搞清楚这些道理。

参考资料
基本单位
http://baike.baidu.com/view/576750.htm

速度与战争
你第一次使用“速度”这个词是什么时候？
11同学回答说：“我比他跑的快。”
Alex回答：“我发现走路比较慢。”
J同学认真地想了一会，鼓起勇气说道：“我忘了。”

所有的回答都有一个共同的特征，那就是我们知道速度并不是在学习速度公式之后，从很小的时候就已经有了速度的体验。我们知道：
1、在同样的时间内，谁走的路更长，谁的速度就快。
2、走同样的路程，谁用的时间少，速度就快，像奥运会的百米飞人大赛就是这样比赛速度的。
3、出发起点要一样，否则不公平。
当然，这种速度的体验是模糊的，不精确的。

为什么要研究速度？
因为速度很重要。在历史上，速度曾经决定了战争的胜负，决定了国家民族的存亡。
蒙古人凭借速度征服了欧洲，他们的军队主要是骑兵，主要的武器是弓箭。那时候，别的军队主要是步兵，打仗的时候，步兵一般借助城市、堡垒、营寨、天险来击退侵略者。可是蒙古人根本不去攻击对方的步兵，而是骑马绕过敌人的军队，直接攻击敌人的后方，把敌人的粮草抢了烧了，前方的步兵没得吃没得穿，蒙古人便不战而胜。他们为了保持军队的速度，每个士兵通常骑一匹马，带1－2匹马。
德国军队在二次大战中使用的主要战术就是“闪电战”，他们真的像闪电一样，能够突然击中敌人后方最薄弱的环节。“闪电战”依靠的也是机械化部队，这些部队使用汽车、摩托、装甲（日本军队甚至使用过自行车）来装载士兵，使他们拥有更快地移动速度。当法国军队还在马其诺防线上等待德国军队冲锋时，德国军队已经传过从防线边上的森林，涌入了防线的后方，在法国的腹地横冲直撞，一举击败了法国军队。

速度的数学意义
hxy007给小三小四出了一个难题：“假定我朝明强小学方向走了1500米，J同学朝七宝外国语小学方向走了1000米。然后问大家：我跟J同学哪个走得快？”
小三小四立即说：“不知道？你又没有说你们俩各走了多长时间？”
hxy007梗着脖子说：“我走了1500米，J同学走了1000米，我走的路程更远，当然是我走得快了。这跟时间有什么关系？”
小三小四不屑地说：“你又没有说你们走了同样多的时间，不好比谁走得更快。”
hxy007总算释然了：“你们是说，要比速度的话，就不但要知道走了多长的路程，还要知道用了多少时间。我必须告诉你们时间，是不是？”
小三小四齐声答道：“是的。”
hxy007：“那好，我告诉你们，我走1500米用了30分钟，J同学走1000米用了20分钟。请问谁走得更快一些？”
小三小四们没吭声，纷纷拿起笔和纸，开始计算。
hxy007大声道：“这个还要笔算吗？1500*30肯定大于1000*20……”
小三小四诧异了：“不对啊，不能用乘法计算速度。”
hxy007再出个妖蛾子：“那我就用加法，1500+30也大于1000+20……”
小三小四们笑了：“不对，不能用加法算速度。”
hxy007又道：“那我就用减法，1500-30大于1000-20，还是我更快。”
小三小四们慌忙应道：“不行不行，计算速度要用除法，行程除以时间才是速度。”
hxy007说：“你凭什么说一定要用除法来计算速度？谁能说说这么算的道理是什么？”

小三小四们茫然了，就没碰见过这么轴的爸爸。Alex开始作图，画出hxy007的行程。他把一条线段分成30份，一份表示1分钟走的路程，算下来hxy007在1分种的时间里边走了50米，把hxy007的速度表示为50米/分。
J同学也图出了自己的行程，他把一条线段分成20份，一份表示1分钟走的路程。J同学计算出了自己的速度，也是1分钟走了50米。
这时，大家不约而同地笑了起来，原来hxy007和J同学的速度是一样，根本不存在谁快谁慢的问题。

hxy007紧接着问道：“为什么前面不能比两人的速度？为什么现在就可以比较两个的快慢了？”
11回答道：“因为两人走的路程不一样，用的时间不一样，所以不能直接比。等我们算出一格子一分钟两人的走路程之后，就可以比出谁快谁慢。”
ccpaging和hxy00这两个笨爸爸总算明白了：“换句话说，你们用了同样的单位，就能够比较谁快谁慢了。你们用一格表示一分钟的路程，其实是在规定一种速度单位，也就是“米/分”。我这样说对不对？”
11回答道：“对的，‘米/分’就是一个速度单位，还有‘米/时’、‘米/秒’、‘千米/时’……”
hxy007说：“那么，你们看看速度单位和面积单位有什么相同和不同的地方呢？”
小三小四们一脸惘然，不明白什么意思。
hxy007解释道：“你们看，面积公式是“长*宽”，所以面积单位是“米*米”，是两个长度单位组成的。那么，速度单位呢？”
小三小四们回答道：“速度公式是‘行程/时间’，所以速度单位是‘米/分’，是长度单位和时间单位组成的。”
hxy007笑道：“呵呵，面积单位里有乘法，速度单位里有除法。它们都是复合单位，但是好像速度单位比面积单位还变态哟。”

模拟战斗
法国军队与德国军队打仗，同时在早上8点出发相向而行，两只军队相距180公里路程。法军的速度为30公里/小时（读作30公里每小时），德军的速度为60公里/小时，问他们在何时何地相遇？

就把这道题留给同学们自由讨论吧！

效率主义者的批评
估计我们这么干会被现在的效率主义者笑死：我们几分钟可以搞定的问题，你们却把简单问题复杂化，真是浪费时间呀！

实际操作中，确实非常费时间。例如面积，至少集中讨论了7、8次，每次差不多2－3个小时，依次讨论了以下问题：
分田地，小明妈妈比较布的大小，引出面积问题。
长方形和正方形面积。
三角形、梯形面积。
Piza店的优惠，讨论圆的面积。在hxy007的带领下，一群小三小四，计算出了圆的面积。这个相当厉害了，他们用的是积分方法。

看起来确实非常浪费时间，他们研究的大部分内容恐怕在小学阶段都不会考的，如果我们以（效率＝考试成绩/时间）这样的公式来计算的话，肯定是不划算的。

在讨论三角形面积时，Alex还没学面积，我们也不知道如何去引导孩子学会切割、填补等计算面积基本方法。到了三年级上，Alex在做习题时自己发现了这些方法，我适时提醒他进行了总结。他根据这些总结，自己发现了计算平行四边形面积的方法，还有其它计算面积的好方法。据此推断，面积问题研究到这个程度，整个小学、初中都不需要我们BBMM再讲了，因为他们自己已经能根据所掌握的面积概念去发现和总结相关的问题。

就上面的速度而言，我们在活动中实现了或者部分实现了以下几个目的。
1、对已学过的数学单位进行了整理和分类。俗话说，千金难买回头一看。经过这次活动，同学们把前面学过的、零散的各种单位，进行了分类和整理，使自己的知识更加系统有序，这对他们以后运用旧知识、学习新的知识能起到承前启后的作用，在小三进行这个工作特别是时候，小四也不晚。
2、同学们把自己的生活体验和数学知识贯通联合起来了。他们知道，原来数学公式和概念不是某某特别聪明的数学家凭空捏造出来的，而是跟我们的日常生活紧密联系的。而且，同学们已经逐渐开始了解如何把生活体验跟数学联系起来的方法。
3、由于我们的数学活动中是没有老师的，大家都可以进行平等的交流，甚至可以意气用事的互相争吵，同学们开始慢慢体会到如何在这种平等的研讨中去获得对自己有益的知识，如何归纳和提高。我认为，这一点是会影响到同学们未来的重要素质。而在学校里边他们很少会有这样的机会，甚至可能根本没有。
4、可能会令效率论者更加沮丧的是，我们花了这么多时间在速度问题上，可能还只是个开始，最多把同学们领到了速度问题的门口。可是我们并不担心，因为我们根本就没打算“带”孩子们进入到速度问题的门里边。他们在活动中已经获得了进行这种能力，完全可以自己主动去进行进一步的探索。

先总结这么四条吧。好像会让某些BBMM失望，这几天里边没讲到考试，没讲到题目，甚至讲数学而没讲到数字，这能算是讲数学吗？记得在hxy007在“亲子阅读：谈自由阅读的乐趣，斥应试训练”曾经提出过的疑问：“忘了考试和习题，我们还剩下什么？”据说，那些剩下的东西就是“教育”。我想，这次的活动总结也许可以作为注脚。

作者: 榴琏 时间: 2013-5-31 22:39
生活数学大杂烩啊，形成一个数学思维肯定有方法了，谢谢，慢慢反刍！

作者: simpley 时间: 2013-6-1 10:02

原帖由 ccpaging 于 2013-5-31 09:52 发表
我们先来看看一道应用题：
原题是这样：
小英步行的速度是65米/分，小华步行的速度比小英每分钟快10米，小华9分钟行多少千米？

我改成了这样：
小英步行的速度是65米/分，小华步行的速度比小英每10分钟快 ...

绝对正确的教学方法，但不赞成用这种方法大规模系统地教学。
这里所展现的是人如何进行数学思考，学生需要学的是这种思考的方法。

作者: ccpaging 时间: 2013-6-2 00:56

原帖由 simpley 于 2013-6-1 10:02 发表

绝对正确的教学方法，但不赞成用这种方法大规模系统地教学。
这里所展现的是人如何进行数学思考，学生需要学的是这种思考的方法。

能否详细说说“不赞成用这种方法大规模系统地教学”的理由？

作者: simpley 时间: 2013-6-2 10:04

原帖由 ccpaging 于 2013-6-2 00:56 发表

能否详细说说“不赞成用这种方法大规模系统地教学”的理由？

1。基本理论是小学生的逻辑思维还未成熟，不宜于过多地“正式”学习。
2。任何高层次学习都应以“悟”为主，启发次之，灌输又次之。
孔子说“不愤不启，不悱不发”，就是讲的这个道理，即使水平再高的启发，也应有限使用，慎用。
3。应该给孩子很多自己思考的时间，让他们在思考中多走一些“弯路”，再辅之以楼上这种教学，效果更好

作者: ccpaging 时间: 2013-6-3 14:38
标题: 二三年级：等号的秘密
以下内容是以天平为工具探究等号秘密的过程记录，可以算是代数之等式变化的启蒙。内容比较繁杂，可能让人望而生畏。其实，简单的说，就两句话：做一个天平，玩天平。

缘起：工人的智慧
大学毕业以后，被分配到工厂里，再下到车间。车间当时不好办啊，应用数学系毕业，那就去包装组数电解电容吧，500颗一袋，一颗电容也就两颗黄豆大，想想就就晕了。还好，包装组的几个工人跟我蛮谈得来，平时大家一起吹吹牛，工作的时候，也不让我数数。我在一边观察他们是怎么把小小的电容进行分装的。

首先先数500颗出来，然后用小天平称出重量，连续操作2－3次，这样我们就能得到一组数据，取其平均数，选择做靠近这个平均数的500颗电容，加上包装，作为基准包装。
然后按此基准开始分装电容，当天平趋于平衡的时候，多加一颗。少一颗是质量事故，要扣奖金的，一颗电容的价格也不到一分钱。

这样就能快速地把一天的工作量完成的。

用天平解题
昨天 - 星期天，跟Alex和他的同学结结实实玩了一把数射线。在玩数射线的过程中，笨爸爸发现小二同学对“=”号的具象意义不是十分清楚，因此准备出几个专题，专门讲讲“=”号。

原题：
　　○＋△＋□=17 ……………①
　　○＋△=10 ………………②
　　△＋□=12 …………………③

第一次秤量

拿走○＋△，红色部分拿走

同学们看，剩下的是什么？

□ = 7

拿走△＋□，红色的部分拿走

同学们看，剩下的是什么？

○ = 5

最后一个问题，△是多少？同学们能计算出来吗？

先看看真真的天平

三盒巧克力
小明今天过生日，妈妈买来了好多巧克力糖。小明吃不完，他把糖分成几包给好朋友们 - 小胖、小鱼、小林。
○是用的圆盒子；△，用的是三角形盒子；□，用的是方盒子。

放在天平上称，天平的左边是三包巧克力，右边是17颗巧克力。如下图：

用a/b/c给盒子编号
前面已经计算出：
○ = 5；△ = 5；□ = 7
为了方便计算，需要给三包糖编号，如果像往常那样用数字编号，容易混淆编号和包里巧克力的个数，所以我们换种方式，用a、b、c来编号吧。

也就是：
a = 5； b = 5； c = 7
a + b + c = 17

减法
如果我们从左边减掉编号为a的盒子，天平就失去平衡了，用数学式表示：
(a + b + c) - a < 17
如何能重新是天平恢复平衡呢？有一种办法就是从右边拿掉与 a 个数相等的巧克力，，用数学式表示：
(a + b + c) - a = 17 - 5
换一种角度去看，我们有过两个等式:
a + b + c = 17
a = 5
天平上操作的结果，就是两个等式的两边分别想减，这时，天平已然保持平衡：
(a + b + c) - a = 17 - 5
问同学们一个问题，下面这样可以吗？
(a + b + c) - 5 = 17 - a

加法
前面我们讲了两个等式可以加在一起，那么减法是不是也可以呢？

现在天平的右边只有编号为 c 的盒子，它里边装了7颗巧克力，所以，天平的右边也要放上7颗糖，天平才是平衡的。表示成数学式：
c = 7
前面已知，a 号盒子里边装了 5 颗巧克力，但 a 被放到天平的左边时，天平失去平衡：
c + a > 7
要使其恢复平衡，可以在天平的右边再加上 7 颗巧克力，也就是：
c + a = 7 + 5
c + a = 12
有个同学说，a 和 b装的巧克力是一样多的，那我们是不是可以右边加 b？
因为:
c = 7
a = b
所以：
c + a = 7 + b
您认为，这个同学的想法是对的吗？

简单的乘法

每个 c 号盒子里边放了7颗巧克力：
c = 7
在左边的托盘里边放了3个 c 号盒子，增加原来的到3倍，要保持天平的平衡，右边的糖也要增加到3倍：
3 x c = 3 x 7

复杂的乘法

a+b+c = 17
现在左边的托盘放了2倍的 a + b + c，要保持天平的平衡，右边的糖也是原来的2倍：
3 x (a+b+c) = 3 x 17
而且：
3 x (a+b+c) = 3 x a + 3 x b + 3 x c

天平上的除法
乘法搞明白了，除法也就好办了，把乘法的结果倒推去就可以了。

3 x (a + b + c) = 51
把天平的2边都缩小3倍，得到：
a + b + c = 17

自制天平
材料
一根比较规则的木条，若干回形别针，棉线，厚薄适中的纸（特快专递纸袋）

小窍门
我们考虑天平的悬梁孔应该打在木条的重心上（实验证明这不是必要的），而木条不是完全规整的，所以重心不在几何中心上。
不规则物体重心的确定方法有两个：
1、悬挂法；用绳子把物体吊起来，稳定后沿绳子方向在物体上画一条直线，换个位置再吊一次，稳定后画直线，2条直线相交的点就是物体的重心；

2、杠杆原理；找一支点支撑杠杆，并且使其处于平衡状态，则支点出就是物体重心的位置．
我们用的是悬挂法：

加工误差
由于加工误差，刚做好的天平总是不能达到平衡的状态。
这时，可以增减别针的数量，或者调整别针的位置，或者用橡皮泥，或者调整托盘的重量，来消除误差。

目的
自制天平的目的并不是一定要用来称，也许做好了却一次也没用过，这不紧要。重要的是，在制作过程中：
1、建立起等式的具体意义，使同学们一看到等式，就可以对具体的物的想象。
2、扩展出一些简单的手工制作知识。
3、把抽象的数学和有趣的手工结合起来，提高同学学习的兴趣。

hxy007：基本概念问题
　　老兄，基础性工作呀！咱也为孩子到了小三对等号意义的理解大成问题而苦恼。这都是一年级学得太快练得太多而没有给予机会反复玩味体会留下的祸根。
　　等号如此，加减乘除、差、和、因数、积、商、余数，何尝不是如此？面积公式、速度公式、立方体的平面展开又何尝不是如此？我经常用家乡俚语暗骂：学那么快做什么，赶着去进棺材呀？做那么多题干什么，想成“题匠”吗？
　　留下的祸患，只好靠平时慢慢消解了。
　　有人说hxy007不重视基本概念，那真是冤枉，俺可是极其重视孩子心理学意义上的数学基本概念。如果他不懂，我仅仅给他讲最标准的数学基本概念，又有什么用？咱们如此放慢步子，反复折腾，不就是想让孩子体会、掌握数学的基本概念、思维方式，热爱数学，主动探究数学么？

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-6-6 12:27 编辑 ]

作者: simpley 时间: 2013-6-3 15:37
俺可是极其重视孩子心理学意义上的数学基本概念
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心理学意义上的数学基本概念，这个提法很好，很深刻。我从初一学习了无理数这个概念，许多年后看了几何原本，才对这个概念有了进一步的理解，才能体会到古希腊人不承认无理数的那种心理。但这也从另一角度说明，有些概念是需要时间去理解的，不必（或很难）刚接触就要懂得多么深刻

作者: 飞飞的妈 时间: 2013-6-6 21:14

原帖由 ccpaging 于 2013-5-12 23:52 发表

这个问题可以分成两个部分。
1、引导自主学习或者说自我学习是普及教育阶段的核心任务。我避免用“自学”是因为有不少人认为自学就是扔一本书给孩子看。其实，如果真这么做，很可能的结果是孩子根本不看。 ...

真的是很期待！有老师带着就可以少走很多弯路了！

作者: hmchm 时间: 2013-6-7 13:35
CC , 在 WW上找不到你。我推荐给同事你与007那个数学帖子你的部分都没有了。想不到你在这里安家了。让她们也来这里看看。。。。。

作者: ccpaging 时间: 2013-6-7 17:23

原帖由 hmchm 于 2013-6-7 13:35 发表
CC , 在 WW上找不到你。我推荐给同事你与007那个数学帖子你的部分都没有了。想不到你在这里安家了。让她们也来这里看看。。。。。

只有前四页中我的帖子不见了。不影响阅读。

作者: Lisa.Du1 时间: 2013-6-9 10:14
太好了，我家女儿五年级，马上进入预初中，在期待

作者: 气象万千007 时间: 2013-7-6 18:02
好贴，最近太忽视孩子的学习了，充电充电

作者: 气象万千007 时间: 2013-7-9 14:08
我们9月份开学就是六年级，先预热一下，

作者: zqpzm 时间: 2013-8-27 11:25
从来没有听过这样学数学,耳目一新啊.碰到这样的老师是福气啊

作者: ruixuemary 时间: 2013-10-16 00:01
这种教学方法真好！感谢呀，孩子正好六年级了。

作者: 过眼云烟 时间: 2013-10-19 22:53
学习啊。

真是总结得太好了。

作者: hanhan0206 时间: 2014-5-8 12:22
好帖,先收藏.谢谢楼主.

作者: hanhan0206 时间: 2014-5-8 12:23
好帖,先收藏.谢谢楼主.

作者: hanhan0206 时间: 2014-5-8 12:24
好帖,先收藏.谢谢楼主.

作者: yangran2002 时间: 2014-10-20 19:32
学习了。研究研究

作者: yangran2002 时间: 2014-10-22 14:42
爬楼学习，我家的需要补数学了

欢迎光临祝孩子们天天健康快乐！ (http://www.xetjy.com/)