祝孩子们天天健康快乐！

标题: 教儿子认识数 [打印本页]

作者: simpley 时间: 2011-9-24 18:47
标题: 教儿子认识数
儿子上五年级,刚学完循环小数.
父:1和0.999.......哪个大?
子:1大.
1除以3再乘3等几?
1
1除以3等几?
0.333......
0.333......乘3等几?
0.999.......
1除以3再乘3到底等几?
儿子思考.

父:这两个答案都对,但1除以3再乘3只能有一个答案.说明1和0.999.....是相等的.你认为这有道理吗
子:有道理.
可是儿子又发现了新的问题.
儿:有很多数都会有这种特点.比如2除以9乘9,2除以9等0.222.....,再乘以9等1.999......8
父:循环小数没有最后一位,所以不存在8
子:那就是1.999......等2
父:这是对的,因为0.999......=1,所以1.999......等2

作者: jiangying 时间: 2011-9-24 23:24
这样的一次思考胜过100道重复的习题

11条算术的规则，小学只教了5条，初中教了两条，我们的数学教学中忽略了那剩下的4条，也许认为它们太弱智。但是真正弱智的谁呢？
就是这4条弱智原则：
如果a,b是两个实数，那么a+b可运算
如果a,b是两个实数，那么a+b结果恒等

如果a,b是两个实数，那么aXb可运算
如果a,b是两个实数，那么aXb结果恒等

如果没有这4条规则，凭啥说算出来的结果不能有两个呢？

[ 本帖最后由 jiangying 于 2011-9-24 23:29 编辑 ]

作者: simpley 时间: 2011-9-24 23:35
本人水平有限.楼上的发言看不懂呀.
凭啥说算出来的结果不能有两个呢?想当然了.

作者: simpley 时间: 2011-9-27 15:51
饭桌上，儿子突然说知道打折是什么意思了。
父：32元，打8折，怎么算？
子：32÷10×8
父:32×8÷10行不行？
子：行。
父:32×（8÷10）行不行？
儿子想了一会：行。
那就是32直接×0.8就可以了。
子：对。
父总结：你现在只会小数的计算，还不会运用小数解决问题。只会用整数解决问题。今后要会运用小数
父充满希望地再出一题：打8折后的价格是32，原价怎么算？
子：32÷8×10
父无奈地笑

[ 本帖最后由 simpley 于 2011-9-27 16:00 编辑 ]

作者: simpley 时间: 2011-9-27 16:12
写完发现32÷8×10比32÷0.8更好算一些。
但不管怎么说，孩子要熟练地运用小数还需要一段时期。毕竟他与整数接触的时间太长了

作者: simpley 时间: 2011-9-28 14:42
父:有没有这样这两个数,它们相除的商是无限不循环小数.
子:有.老师说过有无限不循环小数
父:我问的是有没有这样的两个数?如果有,你给我说两个.
子:我想不出来.
父:那降低难度,有没有这样一个数,它除以23,得到的是无限小数,但不循环.

子长考后,说:我大彻大悟了,没有这样的数."接下去解释原因.
父进一步说:按照这种规律,就是说,没有这样两个数,它们相除的商是无限不循环小数
子:对.

作者: jiangying 时间: 2011-9-28 15:24
又一座好的数学楼正在奠基中

作者: secretgarden114 时间: 2011-9-28 15:33
我虽然是数盲，但看这个楼也觉得有趣，谢谢楼主。

作者: bluebirdfriend 时间: 2011-9-28 15:38
留个脚印，好好学习。

作者: 学而妈妈 时间: 2011-9-28 16:03

原帖由 simpley 于 2011-9-28 06:42 发表
父:有没有这样这两个数,它们相除的商是无限不循环小数.
子:有.老师说过有无限不循环小数
父:我问的是有没有这样的两个数?如果有,你给我说两个.
子:我想不出来.
父:那降低难度,有没有这样一个数,它除以23,得 ...

很想知道孩子多大了。

有理数是初一第一单元的课程，其中有理数的判断就是“能表示成两个整数之商的实数就称为有理数，不能表示成两个整数之商的实数是无理数”

你儿子应该在小学吧，参加了什么考试后能大彻大悟呢？

作者: jiangying 时间: 2011-9-28 16:38

原帖由 simpley 于 2011-9-28 14:42 发表
父:有没有这样这两个数,它们相除的商是无限不循环小数.
子:有.老师说过有无限不循环小数
父:我问的是有没有这样的两个数?如果有,你给我说两个.
子:我想不出来.
父:那降低难度,有没有这样一个数,它除以23,得 ...

有这样的数呀
直径为1的圆的周长就是这样的数

作者: simpley 时间: 2011-9-28 22:44
首先说明,我不是数学专业,所以有些说法仅是个人感觉,不一定正确.
我讲这些的目的不是扩大孩子的知识面,而是引导他进行思考.
我对他说:你自己想出来的笨方法,甚至是错误的方法,也比我告诉你的好方法有价值.
因为他在提出自己的方法前,肯定对这个问题已经想的比较深了.

上面说的没有两个数,它们相除的商是无限不循环小数.是一种不严密的表达(或者说错误的表达)
但我认为和孩子交流没必要这么严密,只要意思到了就行了.
长考指的是长时间思考,不是考试.

作者: jiangying 时间: 2011-9-28 23:26

原帖由 simpley 于 2011-9-28 22:44 发表
我讲这些的目的不是扩大孩子的知识面,而是引导他进行思考

非常赞同这句话。
有了正确的思考方法，知识是否正确其实是次要的。楼主的方法很好，此贴必火。

关于PI是数的话，是我在较真抬杠开玩笑，不必在意。

作者: 如果 时间: 2011-9-29 19:13
好厉害,我都快搞晕了

作者: 今是 时间: 2011-9-30 10:58
在这个论坛上看到思考的对话过程，真有趣。

作者: 苏格拉没有底 时间: 2011-9-30 15:19
好厉害的家长好厉害的娃

作者: V3V 时间: 2011-10-6 22:10
好喜欢啊，希望楼主继续。。。。

作者: 草莓馅饼 时间: 2011-10-7 18:40
注重解题的方法，学习。

作者: jjmrong7 时间: 2011-10-8 09:13
学习了,谢谢..........

作者: simpley 时间: 2011-10-8 22:55
今天我给儿子出了一道题:
a÷b和1÷(b÷a)哪个大,他说不能确定.

我不置可否.

作者: simpley 时间: 2011-10-11 16:13
今天我又给出孩子出了这道题,他解答出来了:
1÷(b÷a)=1÷b×a=1×a÷b=a÷b

实际上,这个解答并不是我希望的.我原来希望他以数代入,实验几次得出结论.
数学思维除了逻辑推理和运算外,还应该包括实验,猜测,想象.没有后者,数学学习就会陷入学究式的做题中,缺少了灵动.
数学不是做习题,而是解决问题.

作者: 苏格拉没有底 时间: 2011-10-11 16:26
你可以接着问：请举例说明

作者: jiangying 时间: 2011-10-11 22:54
同意楼上的说法，孩子需要引导的

即要他提问，也要问他

作者: simpley 时间: 2011-10-11 23:34
在对孩子的学习方面,我是很不自信且犹豫不定的.

一方面我注重引导;但在另一方面我又慎用引导.子曰:不愤不启,不悱不发.与引导相比,我又更加注重个人的"悟".
古人云:师傅领进门,修行在个人.现在如果有老师这么做,肯定会被认为不负责.但这句话,也蕴含着学习的真谛:浅显点说,就是自学能力.

作者: wynnzhang 时间: 2011-10-14 14:27
楼主一定要继续,会持续关注你这个帖子的,写的真好!

作者: simpley 时间: 2011-10-22 23:20
父:一条线段长4,一条线段长8,可以用长为1的线段恰好把这两条线段量完.
父:一条线段长4,一条线段长17.9,能不能找到一条线段,恰好把这两条线段量完?
子:可以,0.1的线段可以量完
父:任意画两条线段,能不能找到一条线段,恰好把这两条线段量完?
子:如果有一条线段是无限循环小数,比如0.333---就不能.
父:0.333---是线段1的1/3,用这个1/3去量,也可以量完
子:是的.
父:任何无限循环小数都是两个数相除得到的商,比如一条线段长21/37,一条线段长19,能不能找到一条线段,恰好把这两条线段量完?
子想不出来.
父:用1/37的线段可以量完.用长1/37的线段量长19的线段,几次能量完?
子:37*19
父:那量长21/37的线段呢?
子想了一会:21次.

作者: simpley 时间: 2011-10-22 23:31
我一直想找一个问题,把它作为一个系列,通过对它的不断深化探索,使儿子进行研究型的学习.
这个问题就是无理数.
但我发现要绕开分数来认识无理数还比较困难(因为儿子还没有学分数的运算,只学过一点分数的初步概念).所以我一度放弃了这个目标.但今天我决定还是试一试.

这将是一个不断深化的认识过程.

作者: bucy 时间: 2011-10-23 13:27

父:这两个答案都对,但1除以3再乘3只能有一个答案.说明1和0.999.....是相等的.

jiangying的意思是：你这句推理的理论基础就是他说的其中一条算术规则：

如果a,b是两个实数，那么aXb结果恒等

如果没有这个基础存在，

1除以3再乘3只能有一个答案

就不应该成立。

作者: bucy 时间: 2011-10-23 13:40
如果我想培养孩子数学，我会更加注重他对数学的兴趣。楼主的有些问题引导得很好。特别有个观点我也很赞同。

实际上,这个解答并不是我希望的.我原来希望他以数代入,实验几次得出结论.
数学思维除了逻辑推理和运算外,还应该包括实验,猜测,想象.没有后者,数学学习就会陷入学究式的做题中,缺少了灵动.
数学不是做习题,而是解决问题.

如果让孩子慢慢意识到学的内容背后还“隐藏”着这么多秘密。他再自发地去找寻、思考、阅读（相关书籍）、论证这些问题。那么孩子不光是数学水平的提高，更重要的是他对数学将走上一条完全兴趣为导向、探究式地学习。

当然，孩子不同年纪对这条途径探索的水平与深度是不一样的。但这不是重要的事情。

作者: bucy 时间: 2011-10-23 14:04
标题: 回复 #28 bucy 的帖子
还可以用极限的方法证明0.9的循环等于1。
不过具体就不用给孩子展开了。

作者: simpley 时间: 2011-10-23 19:39

原帖由 bucy 于 2011-10-23 13:27 发表

jiangying的意思是：你这句推理的理论基础就是他说的其中一条算术规则：

如果没有这个基础存在，就不应该成立。

这个问题我是这么看的:
所有的推理都必须有一个不需要证明的前提,在这个前提下通过推理形成了一个系统.而这个前提(或者说公理)则是人定的.
三角形的内角和为什么是180,你可以说它是推导出来的.但我也可以说这是上帝的安排,没有道理.
说它是推导出来的,是因为人类把平行公理作为前提;但我同样可以把内角和是180作为前提,而把平行公理作为推导的结果.
学习数学,既要学习系统内的数学(即人类建筑好的数学系统),同时也要认清这些数学并不是天经地义的.

作者: jiangying 时间: 2011-10-23 19:58
认识无理数还是要从根号开始

当然分数的基础知识得知道

如果知道第一次数学危机的故事，了解无理数就是顺理成章的事情了。

作者: jiangying 时间: 2011-10-23 20:06

原帖由 simpley 于 2011-10-23 19:39 发表

这个问题我是这么看的:
所有的推理都必须有一个不需要证明的前提,在这个前提下通过推理形成了一个系统.而这个前提(或者说公理)则是人定的.
三角形的内角和为什么是180,你可以说它是推导出来的.但我也可以 ...

现在的数学家也认为数学是人为的
其实科学家也人为科学是人为的。

这样理解没错

作者: simpley 时间: 2011-11-12 00:05
一条线段9.6厘米,一条4.5厘米.
如果用棋子来表示这两条线段,每条线段最少要用几枚棋子(一个棋子代表的长度可以任意规定)

我经过几次尝试,终于找到了孩子可以理解的"共度线段"概念的表达方式.

作者: simpley 时间: 2011-11-14 00:11
经过一段时间,我现在基本厘清了讲解无理数的思路:
1.明确共度线段的概念
2.用辗转相除法求共度线段
3.证明正方形情形下的勾股定理(直接用图形证明而不必涉及几何知识)
4.证明边和对角线不可共度

后面再逐步把几何转化为数字，但我始终不会提到无理数这个名词。
这个学习的预期目标就是使孩子对无理数的现象感到有点不可思议。一如我的感觉。

我在以前的一个贴子里说过，我对无理数感觉就是它很“没有道理”。当然，我知道，现代数学已经能够让它有道理了，但这已在我的知识范围之外了。

作者: simpley 时间: 2011-11-14 23:00
今天熟悉辗转相除法.两条线段a,b,用短b的去量长的a,量9次后有剩余c,再用c量b,量8次后剩余d,再用d量c,量7次正好量完.用两个数来表示a,b的长度.

儿子想了40多分钟,说出一个答案,是错误的;随后又想了几分钟,得出520,57
他能用40多分钟的时间思考一道题,其间我多次要他不要再想了(我认为长时间思考往往效果不好),可他仍然坚持.这种表现我很高兴

作者: jiangying 时间: 2011-11-15 09:14
是几何原本中的命题？

作者: simpley 时间: 2011-11-15 10:54
可能是几何原本中第一次出现了辗转相除法.
实际上我开始认识无理数也是始自几何原本,虽然这本书从来没有提到无理数
很多书上说古希腊人拒绝承认无理数,我认为这种说法是不严谨的,实际上是他们没有建立无理数的概念.而这正体现了古希腊人的思维严密.
几何原本凡是涉及面积的证明都很繁琐,我初看时搞不懂为什么本来很简单的证明要复杂化,但是当我经过这本书的训练有了一点逻辑思维后,我才明白他们要通过这种方式绕过无理数这个概念.

几何原本最大的特点就是让人要追根究底,长方形面积为什么是长乘宽?这是一个看过这本书后才会产生的问题,我在网上查了一下,都不是正确答案.只找到一篇文章似乎要正确地回答它,但它要注册收费,太麻烦了,我只好放弃.

作者: simpley 时间: 2011-11-16 23:21
给儿子四个等腰直角三角形,让他以此为道具证明勾股定理,很快证明出来了.
但在向他说明直角边和斜边不可共度时,遇到了障碍.
结论:他现在这个年龄还不能理解这个概念,只有停止

作者: simpley 时间: 2011-12-4 15:02
我给儿子画了一个图形,问是不是梯形
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这是我偶尔想起的一个问题,最后,他经过翻书,知道这也是梯形.
"假如你不知道它是不是梯形,你怎么计算它的面积?"
"按两个三角形计算."
"对,用三角形计算,你可以看到它的面积计算和梯形一样,所以,你即使不看书,仍然可以断定它是梯形."(注:这个逻辑是有问题的,但我在此着重说明解决问题的不同方法,不追求逻辑的严密)
"如果三角形面积公式我也不知道呢?)
"三角形面积怎么来的?"
"根据平行四边形推导"
那就算平行四边形."
"可如果平行四边形公式我也忘了呢"
那就算长方形.
可长方形我也忘了呢
那就没办法了

"不过,实际上长方形的面积也是可以推导的,不过这是非常深奥的问题."
"我知道,把长方形分成好多小正方形."
"这只是个粗略的方法,有漏洞."
"有什么漏洞?"
我试图向他说明这个问题,可当我正说着的时候,他突然说:"
这个问题你跟我说过!"
我明白他记起了我以前说过的不可公度问题.虽然我原来不准备再和他提这个问题了

儿子自觉地把这个问题和不可公度即无理数问题联系起来了
原来我向它讲解无理数问题时,只是一种纯理论的讲解,他可能觉得很空洞;现在他自己为这个"空洞"的概念找到了现实中的对象.

接下去,就是他对这个概念的不信任:"不可能有这种情况出现."

不过,至少他对这个概念已经理解了.这是个意外的结果.

作者: jiangying 时间: 2011-12-7 23:23
有一点点看不懂了，还是顶一下

作者: simpley 时间: 2013-3-12 02:12
孩子学了圆柱，我在看它的作业时突然想到一个有趣的问题：一个指甲盖那么大面积的一块纸，拿它作圆柱的侧面积，可以让这个圆柱的体积装下一个地。
设侧面积是C=A*B，以b作底面周长。
（B/2*3。14）^2*3.14*a=(a*b/2*3.14)*b，所以，体积的大小完全取决于b
一个针尖大的面积可以装下宇宙，而整个地球的面积却装不下一个针尖。

作者: simpley 时间: 2013-3-12 02:22
以此类推，如果把这张纸当作整个圆柱的表面积的话，圆柱的体积最大是C/6根号（2c/3pai)（C是面积）
就是说，如果用一个1平方米的面做个圆桶（包括上下底），当侧面积等于上下底面积的两倍时，这个圆桶的体积取最大值0.077立方米.不过这个过程没有上边的简单，已不适合讲给小学生了

[ 本帖最后由 simpley 于 2013-3-12 10:52 编辑 ]

作者: simpley 时间: 2013-6-10 01:06
最近我又和儿子讲无理数的问题，不过我开始觉得这个问题对于思维的培养也许是无关紧要的了。只是作为一种闲谈吧。
“如果一个圆的周长除以它的直径得到的值，是无限不循环小数，那么怎么证明周长和直径没有共度线段？”
儿子用我讲过的方法说了一下。
“古希腊人认为世界上的线段都存在共度线段，你认为呢？”
“周长和直径就没有。”
“何以见得？”
儿子又把证明大致说了一下。
“可是这个证明是建立在圆周率是无限不循环小数的基础上的，所以这是无法说服古希腊人的。”
“我觉得你的这个问题真的很无聊。”

作者: simpley 时间: 2013-6-30 00:03
从2M^2=N^2这个方程的讨论，儿子得出这么一个结论：不可能有一个数的平方等于2
“从古希腊人也是这么认为的，但现代数学认为可以有。”
“那么是几？”
“我们可以随便给这个数起个名字，比如叫它”温儿“。
”这是赖皮。这个数必须用阿拉伯数字表示。“
”阿拉伯数字说到底也是人起的名字。为什么一个数只能叫123----，不能叫”温儿“
”因为”温儿“这个名字大家都不知道。“
”你的意思是大家都知道，就可以了。事实上现代人确实给它起了名字，不过不叫”温儿“，叫根号2。”
“我还是和古希腊人的意见一致。”

儿子虽然不能接受根号2，但他却很自然地接受了pai（圆周率）这个概念。这是因为pai是老师作为既定概念灌输进去的，而对2开方则是他自己对具体问题经过思考达到的一个问题节点，如果在初中老师讲到根号2，他必不会有任何疑虑。

现代数学的一些概念虽然看上去很简单，但都是人类经过千百年的思考得出的。通过灌输方式接受，自然体会不到它的深刻意义

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